1 из корней уравнения равен 4 найдите 2 корень и число а

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Калькулятор онлайн.
Решение квадратного уравнения.

С помощью этой математической программы вы можете решить квадратное уравнение.

Программа не только даёт ответ задачи, но и отображает процесс решения двумя способами:
— с помощью дискриминанта
— с помощью теоремы Виета (если возможно).

Причём, ответ выводится точный, а не приближенный.
Например, для уравнения \(81x^2-16x-1=0\) ответ выводится в такой форме:

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Если вы не знакомы с правилами ввода квадратного многочлена, рекомендуем с ними ознакомиться.

В качестве переменной может выступать любая латинсая буква.
Например: \( x, y, z, a, b, c, o, p, q \) и т.д.

Числа можно вводить целые или дробные.
Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.

Правила ввода десятичных дробей.
В десятичных дробях дробная часть от целой может отделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так: 2.5x — 3,5x^2

Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.

Знаменатель не может быть отрицательным.

При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: 3&1/3 — 5&6/5z +1/7z^2
Результат: \( 3\frac<1> <3>— 5\frac<6> <5>z + \frac<1><7>z^2 \)

При вводе выражения можно использовать скобки. В этом случае при решении квадратного уравнения введённое выражение сначала упрощается.
Например: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

Немного теории.

Квадратное уравнение и его корни. Неполные квадратные уравнения

Каждое из уравнений
\( -x^2+6x+1<,>4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac<4><9>=0 \)
имеет вид
\( ax^2+bx+c=0, \)
где x — переменная, a, b и c — числа.
В первом уравнении a = -1, b = 6 и c = 1,4, во втором a = 8, b = —7 и c = 0, в третьем a = 1, b = 0 и c = 4/9. Такие уравнения называют квадратными уравнениями.

Определение.
Квадратным уравнением называется уравнение вида ax 2 +bx+c=0, где x — переменная, a, b и c — некоторые числа, причём \( a \neq 0 \).

Числа a, b и c — коэффициенты квадратного уравнения. Число a называют первым коэффициентом, число b — вторым коэффициентом и число c — свободным членом.

В каждом из уравнений вида ax 2 +bx+c=0, где \( a \neq 0 \), наибольшая степень переменной x — квадрат. Отсюда и название: квадратное уравнение.

Заметим, что квадратное уравнение называют ещё уравнением второй степени, так как его левая часть есть многочлен второй степени.

Квадратное уравнение, в котором коэффициент при x 2 равен 1, называют приведённым квадратным уравнением. Например, приведёнными квадратными уравнениями являются уравнения
\( x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Если в квадратном уравнении ax 2 +bx+c=0 хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением. Так, уравнения -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 — неполные квадратные уравнения. В первом из них b=0, во втором c=0, в третьем b=0 и c=0.

Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов:
1) ax 2 +c=0, где \( c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, где \( b \neq 0 \);
3) ax 2 =0.

Рассмотрим решение уравнений каждого из этих видов.

Для решения неполного квадратного уравнения вида ax 2 +c=0 при \( c \neq 0 \) переносят его свободный член в правую часть и делят обе части уравнения на a:
\( x^2 = -\frac \Rightarrow x_ <1,2>= \pm \sqrt< -\frac> \)

Так как \( c \neq 0 \), то \( -\frac \neq 0 \)

Значит, неполное квадратное уравнение вида ax 2 +bx=0 при \( b \neq 0 \) всегда имеет два корня.

Неполное квадратное уравнение вида ax 2 =0 равносильно уравнению x 2 =0 и поэтому имеет единственный корень 0.

Формула корней квадратного уравнения

Рассмотрим теперь, как решают квадратные уравнения, в которых оба коэффициента при неизвестных и свободный член отличны от нуля.

Решим квадратне уравнение в общем виде и в результате получим формулу корней. Затем эту формулу можно будет применять при решении любого квадратного уравнения.

Решим квадратное уравнение ax 2 +bx+c=0

Разделив обе его части на a, получим равносильное ему приведённое квадратное уравнение
\( x^2+\fracx +\frac=0 \)

Преобразуем это уравнение, выделив квадрат двучлена:
\( x^2+2x \cdot \frac<2a>+\left( \frac<2a>\right)^2- \left( \frac<2a>\right)^2 + \frac = 0 \Rightarrow \)

Подкоренное выражение называют дискриминантом квадратного уравнения ax 2 +bx+c=0 («дискриминант» по латыни — различитель). Его обозначают буквой D, т.е.
\( D = b^2-4ac \)

Теперь, используя обозначение дискриминанта, перепишем формулу для корней квадратного уравнения:
\( x_ <1,2>= \frac < -b \pm \sqrt> <2a>\), где \( D= b^2-4ac \)

Очевидно, что:
1) Если D>0, то квадратное уравнение имеет два корня.
2) Если D=0, то квадратное уравнение имеет один корень \( x=-\frac <2a>\).
3) Если D 0), один корень (при D = 0) или не иметь корней (при D

Теорема Виета

Приведённое квадратное уравнение ax 2 -7x+10=0 имеет корни 2 и 5. Сумма корней равна 7, а произведение равно 10. Мы видим, что сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Таким свойством обладает любое приведённое квадратное уравнение, имеющее корни.

Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Т.е. теорема Виета утверждает, что корни x1 и x2 приведённого квадратного уравнения x 2 +px+q=0 обладают свойством:
\( \left\< \begin x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end \right. \)

Контрольная работа по алгебре 8 класс Квадратные уравнения

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 2 500 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

Контрольная работа №5 по алгебре 8 класс: «Квадратные уравнения».

1. Решите уравнения:

а) х 2 – 4х + 3 = 0; (по формуле четного коэффициента b)

в) 7х 2 – х – 8 = 0;

2. Длина прямоугольника на 5 см больше ширины, а его площадь равна 36 см 2 .

Найдите стороны прямоугольника.

3. Один из корней данного уравнения равен 4. Найдите второй корень и число а:

4. Составьте квадратное уравнение, корни которого равны: – 5 и 8.

Контрольная работа №5 по алгебре 8 класс: «Квадратные уравнения».

1. Решите уравнения:

а) х 2 – 6х + 5 = 0; (по формуле четного коэффициента b)

в) 6х 2 + х – 7 = 0;

2. Ширина прямоугольника на 6 см меньше длины, а его площадь равна 40 см 2 .

Найдите стороны прямоугольника.

3. В уравнении х 2 + рх – 18 =0 один из корней равен – 9. Найдите другой корень и коэффициент р.

4. Составьте квадратное уравнение, корни которого равны: 9 и – 4.

Контрольная работа №5 по алгебре 8 класс: «Квадратные уравнения».

1. Решите уравнения:

а) 5х 2 + 8х – 4 = 0; (по формуле четного коэффициента b)

б) х 2 – 3х = 0; в) 3х 2 + х – 30 = 0; г) 7х 2 – 28 = 0.

2. Найдите длины сторон прямоугольника, периметр которого равен 32 см, а площадь 55 см 2 .

3. Определите значение у, при которых верно равенство:

4. Один из корней данного уравнения равен 4. Найдите второй корень и число а:

5. Составьте квадратное уравнение, корни которого равны: – 3 и .

Контрольная работа №5 по алгебре 8 класс: «Квадратные уравнения».

1. Решите уравнения:

а) 7х 2 + 6х – 1 = 0; (по формуле четного коэффициента b)

б) 3х 2 + 2х = 0; в) 2х 2 – х + 11 = 0; г) 2х 2 – 18 = 0.

2. Найдите длины сторон прямоугольника, периметр которого равен 40 см, а площадь 51 см 2 .

3. Один из корней уравнения х 2 +11х +q = 0 равен – 7. Найдите второй корень и число q.

4. Составьте квадратное уравнение, корни которого равны: – 2 и .

Контрольная работа №5 по алгебре 8 класс: «Квадратные уравнения».

1. Решите уравнения:

а) х 2 + х = 90; (по теореме Виета)

б) – 4х = 7х 2 ; в) х 2 + х – 10 = 0; г) х 2 + 4х + 5 = 0.

2. Когда от квадратного листа фанеры отрезали прямоугольную полосу шириной 2 м, площадь листа составила 24 м 2 . Найдите первоначальную площадь листа.

3. Разность корней уравнения 2х 2 – 5х + с = 0 равна 1,5. Найдите с.

4. Составьте квадратное уравнение, корни которого равны: и

Контрольная работа №5 по алгебре 8 класс: «Квадратные уравнения».

1. Решите уравнения:

а) х 2 – х = 110; (по теореме Виета)

б) – 3х 2 = 11х; в) х 2 – х – 3 = 0; г) х 2 – 2х + 3 = 0.

2. От прямоугольного листа картона длиной 16 см отрезали квадрат, сторона которого равна ширине листа. Площадь оставшегося прямоугольника равна 60 см 2 . Найдите ширину листа картона.

3. Разность корней уравнения 2х 2 – 3х + с = 0 равна 2,5. Найдите с.

4. Составьте квадратное уравнение, корни которого равны: и

Проверочный тест по теме

«Квадратные уравнения» (8 класс)

А1. Чему ранен дискриминант квадратного уравнения -7х + 4 + 2х2 =0?

1) 30 2) 72 3) 17 4) -40

А2. Укажите число корней квадратного уравнения 5х2 + 9х + 17 = 0.

А3. При каком значении с квадратное уравнение 6х2 – 15х + с = 0 не имеет корней.

А4. Составьте квадратное уравнение по его корням х1 = -8, х2 = 7, используя теорему Виета.

В1. В уравнении х2 + рх + 24 =0 один из корней равен -2. Найдите второй корень и коэффициент р.

В2. При каком значении параметра а один из корней уравнения 3х2 – ах + а2 – 4 =0 равен 0?

А1. Чему ранен дискриминант квадратного уравнения -2х2 + 1 — 3х = 0?

А2. Укажите число корней квадратного уравнения 4х2 + 12х + 9 = 0.

А3. При каком значении с квадратное уравнение -2х2 + 8х — 5с = 0 не имеет корней.

А4. Составьте квадратное уравнение по его корням х1 = , х2 = , используя теорему Виета.

В1. В уравнении 2х2 + рх + 6 =0 один из корней равен -0,5. Найдите второй корень и коэффициент р.

В2. При каком значении параметра а один из корней уравнения х2 – 6х + 2а -1 = 0 равен 0?

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

  • Сейчас обучается 703 человека из 76 регионов

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

  • Сейчас обучается 857 человек из 77 регионов

Курс повышения квалификации

Педагогическая деятельность в контексте профессионального стандарта педагога и ФГОС

  • Сейчас обучается 48 человек из 21 региона

«Мотивация здорового образа жизни. Организация секций»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

  • Для всех учеников 1-11 классов
    и дошкольников
  • Интересные задания
    по 16 предметам

«Как закрыть гештальт: практики и упражнения»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Дистанционные курсы для педагогов

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 846 656 материалов в базе

Материал подходит для УМК

«Алгебра», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. / Под ред. Теляковского С.А.

§ 8. Квадратное уравнение и его корни

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Другие материалы

  • 17.01.2019
  • 266
  • 1

  • 17.01.2019
  • 461
  • 14

  • 15.12.2018
  • 282
  • 0

  • 14.12.2018
  • 349
  • 0

  • 10.12.2018
  • 696
  • 0

  • 07.12.2018
  • 1410
  • 2

  • 02.12.2018
  • 1377
  • 2

  • 06.11.2018
  • 298
  • 0

«Учись, играя: эффективное обучение иностранным языкам дошкольников»

Свидетельство и скидка на обучение
каждому участнику

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

  • 25.01.2019 62426
  • DOCX 27.5 кбайт
  • 914 скачиваний
  • Рейтинг: 5 из 5
  • Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Зайнутдинова Уркуят Абдулакимовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

  • На сайте: 4 года и 10 месяцев
  • Подписчики: 6
  • Всего просмотров: 104773
  • Всего материалов: 45

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Вузы РФ не будут повышать стоимость обучения на первом курсе

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения рекомендует школьникам сдавать телефоны перед входом в школу

Время чтения: 1 минута

Роспотребнадзор сообщил об опасности размещения вышек сотовой связи на территории школ

Время чтения: 1 минута

Путин объявил 2022-2031 годы Десятилетием науки и технологий

Время чтения: 1 минута

Онлайн-семинар о здоровом образе жизни и организации секций

Время чтения: 2 минуты

В России выросло число детей с ОВЗ, поступающих в колледжи

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.


источники:

http://infourok.ru/kontrolnaya-rabota-po-algebre-klass-kvadratnie-uravneniya-3540206.html