1 метод гаусса решения систем алгебраических уравнений и его варианты

Метод Гаусса. Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

В этой теме мы разберем реализацию метода Гаусса на примерах различных СЛАУ. Напомню преобразования, допустимые в методе Гаусса:

  1. Смена мест двух строк.
  2. Умножение всех элементов строки на некоторое число, не равное нулю.
  3. Прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на любой множитель.
  4. Вычеркивание строки, все элементы которой равны нулю.

Замечание относительно пункта №4: некоторые авторы не вычёркивают нулевые строки, а опускают их в низ расширенной матрицы системы. Я предпочитаю не копить внизу матрицы нулевые строки, поэтому считаю удобным просто вычёркивать их по мере появления.

Отмечу, что можно менять местами и столбцы матрицы системы, хоть применяется это преобразование нечасто. Например, смена мест первого и третьего столбцов матрицы системы означает, что переменные $x_1$ и $x_3$ поменялись местами во всех уравнениях.

Сам алгоритм состоит из двух этапов: прямой ход метод Гаусса и обратный. Перед тем, как рассмотреть преобразования, которые выполняются на каждом из указанных этапов, введём несколько терминов.

Нулевая строка – строка, все элементы которой равны нулю. Ненулевая строка – строка, хоть один элемент которой отличен от нуля. Ведущим элементом ненулевой строки называется её первый (считая слева направо) отличный от нуля элемент. Например, в строке $(0;0;5;-9;0)$ ведущим будет третий элемент (он равен 5).

Буквами $r$ (от слова «row») я стану обозначать строки: $r_1$ – первая строка, $r_2$ – вторая строка и так далее.

Прямой ход метода Гаусса

На данном этапе мы работаем с расширенной матрицей системы. Цель преобразований: сделать расширенную матрицу системы ступенчатой.

Прямой ход метода Гаусса состоит из нескольких шагов, на каждом из которых используется некая строка расширенной матрицы системы. На первом шаге используется первая строка, на втором шаге – вторая и так далее. Как только расширенная матрица системы будет приведена к ступенчатому виду, прямой ход прекратится.

Теперь обратимся к тем преобразованиям над строками, которые выполняются на каждом шаге алгоритма. Пусть под текущей строкой, которую нам нужно использовать на данном шаге, имеется хоть одна строка, причём $k$ – номер ведущего элемента текущей строки, а $k_<\min>$ – наименьший из номеров ведущих элементов тех строк, которые лежат ниже текущей строки.

  • Если $k\lt>$, то переходим к следующему шагу алгоритма, т.е. к использованию следующей строки.
  • Если $k=k_<\min>$, то производим обнуление ведущих элементов тех нижележащих строк, у которых номер ведущего элемента равен $k_<\min>$.
  • Если $k\gt>$, то меняем местами текущую строку с одной из тех нижележащих строк, у которых номер ведущего элемента равен $k_<\min>$. После этого производим обнуление ведущих элементов тех нижележащих строк, у которых номер ведущего элемента равен $k_<\min>$. Если таких строк нет, то переходим к следующему шагу алгоритма.

Нулевые строки могут появиться именно в ходе выполнения прямого хода метода Гаусса. Напомню, что нулевые строки мы вычёркиваем по мере их появления.

На любом шаге можно, хоть это и не обязательно, вычёркивать одинаковые строки (т.е. строки, все соответствующие элементы которых равны меж собой), оставляя при этом одну из этих строк. Например, если строки $r_2$, $r_5$, $r_6$ одинаковы, то можно оставить одну из них, – например, строку $r_2$. При этом строки $r_5$ и $r_6$ будут удалены.

К слову, указанную выше возможность удаления одинаковых строк можно обобщить: допустимо вычёркивать не только одинаковые строки. Если все элементы одной строки равны соответствующим элементам другой строки, умноженным на некое отличное от нуля число, то одну из этих строк можно вычеркнуть. Например, для строк $(-2;\;0;\;4)$ и $(-6;\;0;\;12)$ имеем $(-6;\;0;\;12)=3\cdot(-2;\;0;\;4)$. Следовательно, одну из этих строк можно убрать из матрицы. Впрочем, обязательным условием оставим лишь вычёркивание нулевых строк. Из повторяющихся или пропорциональных строк в любом случае останется лишь одна, а остальные станут нулевыми и будут удалены из матрицы.

Если в ходе выполнения прямого хода метода Гаусса возникла строка вида $\left(\begin 0&0&\ldots&0&x\end\right)$, где $x\neq<0>$, то нет смысла продолжать преобразования, так как система является несовместной, т.е. не имеет решения.

В конце прямого хода метода Гаусса мы должны получить ступенчатую матрицу вида $\left(C|D\right)$, где $C$ – преобразованная матрица системы, а $D$ – преобразованная матрица свободных членов системы.

Обратный ход метода Гаусса

В начале обратного хода метода Гаусса нужно проанализировать результат предыдущего этапа решения, в ходе которого мы получили ступенчатую матрицу вида $\left(C|D\right)$.

Если матрица $C$ является прямоугольной, то нужно оставить слева от черты те столбцы, которые содержат ведущий элемент некоей строки данной матрицы. Остальные столбцы нужно перенести за черту (знаки элементов в переносимых столбцах при этом изменятся на противоположные). Это делается для того, чтобы матрица $C$ стала верхней треугольной матрицей. Если же матрица $C$ является квадратной, то никаких дополнительных действий выполнять не нужно, матрица $C$ уже будет верхней треугольной.

Цель обратного хода метода Гаусса: привести матрицу $\left(C|D\right)$ к виду $\left(E|F\right)$, где $E$ – единичная матрица. Для этого нам потребуется два условия: элементы на главной диагонали матрицы до черты должны равняться единице, а все элементы выше главной диагонали нужно обнулить.

Начинаем преобразования обратного хода метода Гаусса. На обратном ходе метода Гаусса сначала используется последняя строка, затем предпоследняя, и так далее – пока не дойдём до первой строки.

С каждой строкой делаем однотипные действия. Пусть, например, речь идёт о некоей k-й строке $r_k$. Матрица, расположенная до черты, содержит в строке $r_k$ диагональный элемент $a_$. Если $a_=1$, то это нас вполне устраивает, а если $a_\neq<1>$, то просто умножаем строку $r_k$ на коэффициент $\frac<1>>$, чтобы диагональный элемент стал равен 1. Затем с помошью строки $r_k$ обнуляем элементы k-го столбца, расположенные над строкой $r_k$.

Как конкретно происходит обнуление элементов, рассмотрим на практике. Буквой $k$ я стану обозначать номер ведущего элемента текущей строки, а запись $k_<\min>$ будет использована для обозначения наименьшего из номеров ведущих элементов строк, лежащих под текущей строкой.

Решить СЛАУ $ \left\ <\begin& x_1+2x_2=11;\\ & 3x_1-x_2=12. \end\right.$ методом Гаусса.

Это вводный пример, в котором поясняются самые простые понятия, лежащие в основе метода Гаусса. В следующем примере применение метода Гаусса будет разобрано пошагово.

Системы с двумя уравнениями и двумя переменными изучаются в школьном курсе математики, где для их решения применяются методы подстановки и сложения. Метод Гаусса, по сути, и представляет собой обобщённый метод сложения. Для начала избавимся от переменной $x_1$ во втором уравнении. Для этого из второго уравнения вычтем первое уравнение, предварительно умноженное на $3$:

$$ 3x_1-x_2-3\cdot (x_1+2x_2)=12-3\cdot 11;\\ 3x_1-x_2-3x_1-6x_2=12-33;\\ -7x_2=-21. $$

Фразу «из второго уравнения вычтем первое уравнение, предварительно умноженное на $3$» запишем короче: $II-3\cdot$. Заметьте, первое уравнение системы мы не изменяли. Мы затронули лишь второе уравнение, поэтому исходная система станет такой:

Домножив обе части второго уравнения $-7x_2=-21$ на $-\frac<1><7>$, имеем $x_2=3$. При этом система примет вид:

Переменная $x_2$ найдена. Осталось определить значение переменной $x_1$. Для этой цели преобразуем первое уравнение, убрав из него переменную $x_2$. Вычтем из первого уравнения второе уравнение, предварительно умноженное на 2 (т.е. выполним действие $I-2\cdot$). Первое уравнение станет таким:

$$ x_1+2x_2-2\cdot x_2=11-2\cdot 3;\\ x_1=11-6=5. $$

Ответ найден. Запишем то же решение, но уже без промежуточных пояснений. Решение методом Гаусса заданной СЛАУ будет иметь вид:

Однако такая форма записи неудобна. Гораздо удобнее работать с матричной формой записи. Запишем расширенную матрицу заданной системы: $\left(\begin 1 & 2 & 11\\ 3 & -1& 12 \end \right)$. Когда мы вычитаем или складываем уравнения, то, по сути, мы складываем или вычитаем строки этой матрицы. В матричной форме записи метод Гаусса станет таким:

$$ \left(\begin 1 & 2 & 11\\ 3 & -1& 12 \end \right) \begin \phantom <0>\\ r_2-3r_1 \end \rightarrow \left(\begin 1 & 2 & 11\\ 0 & -7& -21 \end \right) \begin \phantom <0>\\ -1/7\cdot \end \rightarrow \left(\begin 1 & 2 & 11\\ 0 & 1& 3 \end \right) \begin r_1-2r_2 \\ \phantom <0>\end \rightarrow \left(\begin 1 & 0 & 5\\ 0 & 1& 3 \end \right) $$

Отсюда имеем: $x_1=5$, $x_2=3$. Обратите внимание, что от матричной формы записи всегда можно перейти к уравнениям и наоборот. Например, вторая строка матрицы $\left( \begin 1 & 2 & 11\\ 0 & -7& -21 \end \right)$ соответствует уравнению $0\cdot x_1-7\cdot x_2=-21$, т.е. $-7x_2=-21$.

Система решена, однако прочувствовать суть метода Гаусса на таком простом примере несколько затруднительно, посему перейдем к решению СЛАУ с большим количеством переменных.

Прямой ход метода Гаусса

На первом шаге мы работаем с первой строкой расширенной матрицы системы. В первой строке этой матрицы ведущим является первый элемент (число 2), т.е. номер ведущего элемента первой строки $k=1$. Посмотрим на строки, расположенные под первой строкой. Ведущие элементы в этих строках имеют номера 1 и 1. Наименьшим из этих номеров есть $k_<\min>=1$. Так как $k=k_<\min>$, то производим обнуление ведущих элементов тех нижележащих строк, у которых номер ведущего элемента равен $k_<\min>$. Иными словами, нужно обнулить ведущие элементы второй и третьей строк.

В принципе, можно приступать к обнулению указанных выше элементов, однако для тех преобразований, которые выполняются для обнуления, удобно, когда ведущим элементом используемой строки является единица. Это не обязательно, но очень упрощает расчёты. У нас ведущим элементом первой строки есть число 2. Чтобы заменить «неудобное» число единицей, можно попробовать поменять местами текущую строку с одной из нижележащих строк. В данном случае целесообразно поменять местами первую и третью строки:

$$ \left(\begin 2 & 10 & -3 & 38\\ -3 & -24& 5 & -86\\ 1 & 3& -5& 27 \end\right) \overset> <\rightarrow>\left(\begin \boldred <1>& 3 & -5 & 27\\ \normgreen <-3>& -24& 5 & -86\\ \normblue <2>& 10& -3& 38 \end\right) $$

От перемены мест строк номера $k$ и $k_<\min>$ не изменились. Ведущим элементом первой строки стала единица (этот элемент выделен красным цветом). Нам по-прежнему нужно обнулить ведущие элементы второй и третьей строк (эти элементы выделены зелёным и синим цветами).

Чтобы обнулить нужные элементы, будем выполнять операции со строками матрицы. Запишу эти операции отдельно:

Запись $r_2+3r_1$ означает, что к элементам второй строки прибавили соответствующие элементы первой строки, умноженные на три. Результат записывают на место второй строки в новую матрицу. Если с устным выполнением такой операции возникают сложности, то это действие можно выполнить отдельно:

Действие $r_3-2r_1$ выполняется аналогично. Первую строку мы не трогали, поэтому в новую матрицу она перейдёт без изменений:

$$ \left(\begin 1 & 3 & -5 & 27\\ -3 & -24 & 5 & -86\\ 2 & 10 & -3 & 38\end\right) \begin \phantom<0>\\ r_2+3r_1 \\ r_3-2r_1 \end \rightarrow \left(\begin 1 & 3 & -5 & 27\\ 0 & -15 & -10 & -5\\ 0 & 4 & 7 & -16\end\right) $$

Матрица пока не приведена к ступенчатому виду, поэтому будем продолжать прямой ход метода Гаусса. Нулевых строк не возникло, вычёркивать нечего. Обратите внимание, что все элементы третьей строки нацело делятся на -5. Чтобы упростить дальнейшие расчёты, домножим третью строку на $-\frac<1><5>$ перед тем, как переходить ко второму шагу. Это не обязательное действие, т.е. можно, в принципе, обойтись и без него, но я предпочитаю упрощать решение по мере возможности.

$$ \left(\begin 1 & 3 & -5 & 27\\ 0 & -15 & -10 & -5\\ 0 & 4 & 7 & -16\end\right) \begin \phantom<0>\\ -1/5\cdot \\ \phantom <0>\end \rightarrow \left(\begin 1 & 3 & -5 & 27\\ 0 & 3 & 2 & 1\\ 0 & 4 & 7 & -16\end\right) $$

На втором шаге прямого хода метода Гаусса используется вторая строка. Во второй строке полученной матрицы ведущим является второй элемент (число 3), т.е. номер ведущего элемента второй строки $k=2$. Посмотрим на строки, расположенные под второй строкой, т.е. на третью строку. Ведущий элемент третьей строки имеет номер 2 (этот элемент равен 4), т.е. $k_<\min>=2$. Так как $k=k_<\min>$, то производим обнуление ведущего элемента третьей строки. Операции со строками, которые выполняются при этом, аналогичны тем действиям, которые осуществлялись на первом шаге:

$$ \left(\begin 1 & 3 & -5 & 27\\ 0 & 3 & 2 & 1\\ 0 & 4 & 7 & -16\end\right) \begin \phantom<0>\\\phantom<0>\\r_3-4/3\cdot\end\rightarrow \left(\begin 1 & 3 & -5 & 27\\ 0 & 3 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 13/3 & -52/3\end\right) $$

Матрица приведена к ступенчатому виду. Прямой ход метода Гаусса закончен.

Можно ли было избежать работы с дробями на втором шаге? показать\скрыть

На первом шаге мы меняли местами строки, чтобы ведущий элемент первой строки стал равен единице. Сделано это было для того, чтобы избежать работы с дробями. Однако на втором шаге смена мест второй и третьей строк ничего бы не дала, так как ведущий элемент третьей строки тоже отличен от единицы. В принципе, можно было выполнить такое действие: $3r_3-4r_2$. В результате такой операции, ведущий элемент третьей строки был бы обнулён, а дробей при этом не возникло бы:

$$ \left(\begin 1 & 3 & -5 & 27\\ 0 & 3 & 2 & 1\\ 0 & 4 & 7 & -16\end\right) \begin \phantom<0>\\\phantom<0>\\3r_3-4r_2\end\rightarrow \left(\begin 1 & 3 & -5 & 27\\ 0 & 3 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 13 & -52\end\right) $$

Вообще, если есть желание получить число 1 или -1 на месте разрешающего элемента текущей строки, то можно выполнить вспомогательное преобразование со строками. Например, в данном случае сделать действие $r_2-r_3$, тогда ведущий элемент второй строки станет равен -1:

$$ \left(\begin 1 & 3 & -5 & 27\\ 0 & 3 & 2 & 1\\ 0 & 4 & 7 & -16\end\right) \begin \phantom<0>\\r_2-r_3\\\phantom<0>\end\rightarrow \left(\begin 1 & 3 & -5 & 27\\ 0 & -1 & -5 & 17\\ 0 & 4 & 7 & -16\end\right) $$

После этого уже приступать к обнулению ведущего элемента третьей строки:

$$ \left(\begin 1 & 3 & -5 & 27\\ 0 & -1 & -5 & 17\\ 0 & 4 & 7 & -16\end\right) \begin \phantom<0>\\\phantom<0>\\r_3+4r_2\end\rightarrow \left(\begin 1 & 3 & -5 & 27\\ 0 & -1 & -5 & 17\\ 0 & 0 & -13 & 52\end\right) $$

Однако в данном случае такое вспомогательное преобразование мне кажется лишённым практического смысла, так как не столь уж много действий с дробями надо выполнить, чтобы ради возможности избежать дробей делать некие дополнительные операции.

Исходя из результатов прямого хода метода Гаусса, можем записать ранги матрицы системы и расширенной матрицы системы, т.е. $\rang=3$, $\rang\widetilde=3$. Так как ранг расширенной матрицы системы равен рангу матрицы системы и равен количеству неизвестных ($\rang\widetilde=\rang=3$), то согласно следствию из теоремы Кронекера-Капелли данная СЛАУ является определённой (т.е. имеет единственное решение).

Найдём это решение, используя обратный ход метода Гаусса. Замечу, что некоторые авторы комбинируют способы записи метода Гаусса, осуществляя прямой ход в форме матричной записи, а обратный ход – записывая уравнения. Мне эта комбинация разных форм записи представляется бессмыслицей, ибо матричная форма записи вполне удобна и наглядна.

Обратный ход метода Гаусса

Проанализируем результат, который мы получили в процессе выполнения прямого хода. Матрица до черты является квадратной, поэтому никаких столбцов переносить за черту не нужно. Наша цель: сделать матрицу до черты единичной.

На первом шаге обратного хода мы работаем с последней, т.е. третьей строкой матрицы. Посмотрим на диагональный элемент в третьей строке: он равен $\frac<13><3>$. Сделаем этот элемент единицей, домножив третью строку на $\frac<3><13>$:

$$ \left(\begin 1 & 3 & -5 & 27\\ 0 & 3 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 13/3 & -52/3 \end\right) \begin \phantom<0>\\\phantom<0>\\3/13\cdot\end\rightarrow \left(\begin 1 & 3 & -5 & 27\\ 0 & 3 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 1 & -4\end \right) $$

Используя третью строку обнулим элементы третьего столбца, расположенные над третьей строкой (эти элементы -5 и 2 выделены синим цветом):

$$ \left(\begin 1 & 3 & \normblue <-5>& 27\\ 0 & 3 & \normblue <2>& 1\\ 0 & 0 & 1 & -4 \end \right) \begin r_1+5r_3\\r_2-2r_3 \\\phantom<0>\end\rightarrow \left(\begin 1 & 3 & 0 & 7\\ 0 & 3 & 0 & 9\\ 0 & 0 & 1 & -4 \end\right) $$

Первый шаг обратного хода метода Гаусса окончен.

На втором шаге обратного хода мы работаем с предпоследней, т.е. второй строкой матрицы. Посмотрим на диагональный элемент во второй строке: он равен 3. Сделаем этот элемент единицей:

$$ \left(\begin 1 & 3 & 0 & 7\\ 0 & 3 & 0 & 9\\ 0 & 0 & 1 & -4\end \right) \begin \phantom<0>\\1/3\cdot\\\phantom<0>\end\rightarrow \left(\begin 1 & 3 & 0 & 7\\ 0 & 1 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 1 & -4 \end \right) $$

Используя вторую строку обнулим элемент второго столбца, расположенный над второй строкой (этот элемент выделен синим цветом):

$$ \left(\begin 1 & \normblue <3>& 0 & 7\\ 0 & 1 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 1 & -4 \end \right) \begin r_1-3r_2\\\phantom<0>\\\phantom<0>\end\rightarrow \left(\begin 1 & 0 & 0 & -2\\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & -4\end \right) $$

Матрица до черты стала единичной, решение окончено. Ответ таков: $x_1=-2$, $x_2=3$, $x_3=-4$. Если пропустить все пояснения, то решение будет записано так:

$$ \left(\begin 2 & 10 & -3 & 38\\ -3 & -24& 5 & -86\\ 1 & 3& -5& 27 \end\right) \overset> <\rightarrow>\left(\begin 1 & 3 & -5 & 27\\ -3 & -24 & 5 & -86\\ 2 & 10 & -3 & 38\end\right) \begin \phantom<0>\\ r_2+3r_1 \\ r_3-2r_1 \end \rightarrow $$ $$ \left(\begin 1 & 3 & -5 & 27\\ 0 & -15 & -10 & -5\\ 0 & 4 & 7 & -16 \end \right) \begin \phantom<0>\\-1/5\cdot\\\phantom <0>\end\rightarrow \left(\begin 1 & 3 & -5 & 27\\ 0 & 3 & 2 & 1\\ 0 & 4 & 7 & -16 \end \right) \begin \phantom<0>\\\phantom<0>\\r_3-4/3\cdot\end\rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin 1 & 3 & -5 & 27\\ 0 & 3 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 13/3 & -52/3 \end\right) \begin \phantom<0>\\\phantom<0>\\3/13\cdot\end\rightarrow \rightarrow\left(\begin 1 & 3 & -5 & 27\\ 0 & 3 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 1 & -4 \end \right) \begin r_1+5r_3\\r_2-2r_3 \\\phantom<0>\end\rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin 1 & 3 & 0 & 7\\ 0 & 3 & 0 & 9\\ 0 & 0 & 1 & -4\end \right) \begin \phantom<0>\\1/3\cdot\\\phantom<0>\end\rightarrow \left(\begin 1 & 3 & 0 & 7\\ 0 & 1 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 1 & -4 \end \right) \begin r_1-3r_2\\\phantom<0>\\\phantom<0>\end\rightarrow \left(\begin 1 & 0 & 0 & -2\\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & -4\end \right) $$

Пару слов относительно смены мест строк. Это очень удобное действие, которое зачастую позволяет упростить расчёты. Например, представим себе, что после первого шага прямого хода метода Гаусса мы получили такую матрицу:

$$ \left(\begin -2 & 1 & 4 & 0 & 3\\ 0 & 12 & -5 & -3 & 3\\ 0 & -3 & -1 & 5 & 7\\ 0 & -9 & 1 & -4 & 1 \end \right) $$

Пора переходить ко второму шагу и с помощью второй строки обнулить ведущие элементы третьей и четвёртой строк:

$$ \left(\begin -2 & 1 & 4 & 0 & 3\\ 0 & 12 & -5 & -3 & 3\\ 0 & -3 & -1 & 5 & 7\\ 0 & -9 & 1 & -4 & 1 \end \right) \begin \phantom<0>\\\phantom<0>\\r_3+1/4\cdot\\r_4+3/4\cdot\end\rightarrow \left(\begin -2 & 1 & 4 & 0 & 3\\ 0 & 12 & -5 & -3 & 3\\ 0 & 0 & -9/4 & 17/4 & 31/4\\ 0 & 0 & -11/4 & -25/4 & 13/4 \end \right) $$

Как видите, операции вполне выполнимы, однако работать с дробями обычно немного затруднительно. Чтобы избежать такой работы, поменяем местами вторую и третью строки, а затем уже обнулим ведущие элементы:

$$ \left(\begin -2 & 1 & 4 & 0 & 3\\ 0 & -3 & -1 & 5 & 7\\ 0 & 12 & -5 & -3 & 3\\ 0 & -9 & 1 & -4 & 1 \end \right) \begin \phantom<0>\\\phantom<0>\\r_3+4r_2\\r_4-3r_2\end\rightarrow \left(\begin -2 & 1 & 4 & 0 & 3\\ 0 & -3 & -1 & 5 & 7\\ 0 & 0 & -9 & 17 & 31\\ 0 & 0 & 4 & -19 & -20 \end \right) $$

Как видите, простая вспомогательная смена мест строк позволила упростить расчёты. Этим приёмом нередко пользуются. Кстати, можно использовать и иной приём, о котором я упоминал в примечании в конце прямого хода метода Гаусса в примере №1. Я имею в виду выполнение вспомогательной операции со строками, чтобы ведущий элемент текущей строки стал равен 1 или -1. Например, в полученной нами матрице нужно с помощью третьей строки обнулить ведущий элемент четвёртой строки. В принципе, для этого вполне подойдёт операция $r_4+\frac<4><9>\cdot$, однако она приведёт к работе с дробями. Чтобы этого избежать, можно выполнить вспомогательное действие $r_3+2r_4$, тогда ведущий элемент третьей строки станет равен -1:

$$ \left(\begin -2 & 1 & 4 & 0 & 3\\ 0 & -3 & -1 & 5 & 7\\ 0 & 0 & -9 & 17 & 31\\ 0 & 0 & 4 & -19 & -20 \end \right) \begin \phantom<0>\\\phantom<0>\\r_3+2r_4\\\phantom<0>\end\rightarrow \left(\begin -2 & 1 & 4 & 0 & 3\\ 0 & -3 & -1 & 5 & 7\\ 0 & 0 & -1 & -21 & -9\\ 0 & 0 & 4 & -19 & -20 \end \right) $$

При желании можно ещё умножить третью строку на -1. Теперь обнуление ведущего элемента четвёртой строки пройдёт без дробей. Выполнять такие вспомогательные действия или нет – надо смотреть по ситуации. Если действий с дробями предвидится немного, то особого смысла в попытках их избежать нет. Если же нас ожидают ещё несколько шагов метода Гаусса, то, разумеется, лучше упростить себе расчёты и выполнить вспомогательное действие, чтобы потом не работать с дробями. Впрочем, если есть необходимость избавиться от дробей в некоей строке, то можно просто домножить данную строку на соответствующий коэффициент. Например, строку $\left(\frac<1><3>;\;-\frac<4><5>;\;2;0\right)$ можно домножить на число 15, тогда дроби исчезнут, и строка станет такой: $\left(5;\;-12;\;30;0\right)$.

Расширенная матрица данной системы будет такой:

Прямой ход метода Гаусса

На первом шаге мы работаем с первой строкой расширенной матрицы системы. В первой строке этой матрицы ведущим является третий элемент (число 12), т.е. номер ведущего элемента первой строки $k=3$. Посмотрим на строки, расположенные под первой строкой. Все ведущие элементы в этих строках имеют номер 1. Наименьшим из этих номеров есть $k_<\min>=1$. Так как $k\gt>$, то меняем местами первую строку с одной из тех нижележащих строк, у которых номер ведущего элемента равен $k_<\min>$, т.е. с второй, третьей или четвёртой. Чтобы не работать с дробями я выберу третью строку. Поэтому поменяем местами первую и третью строки:

$$ \left(\begin 0 & 0 & 12 & -18 & 5 & -9\\ -2 & 4 & 3 & 5 & 0 & -7\\ -1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\\ -4 & 8 & 12 & -6 & 13 & -1 \end \right) \overset> <\rightarrow>\left(\begin -1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\\ -2 & 4 & 3 & 5 & 0 & -7\\ 0 & 0 & 12 & -18 & 5 & -9\\ -4 & 8 & 12 & -6 & 13 & -1 \end \right) $$

В новой матрице $k=1$, $k_<\min>=1$. Так как $k=k_<\min>$, то необходимо выполнить обнуление ведущих элементов тех нижележащих строк, у которых номер ведущего элемента равен $k_<\min>$, т.е. нужно обнулить ведущие элементы второй и четвёртой строк:

$$ \left(\begin -1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\\ -2 & 4 & 3 & 5 & 0 & -7\\ 0 & 0 & 12 & -18 & 5 & -9\\ -4 & 8 & 12 & -6 & 13 & -1 \end \right) \begin \phantom<0>\\ r_2-2r_1 \\\phantom <0>\\ r_4-4r_1 \end \rightarrow \left(\begin -1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\\ 0 & 0 & -3 & 5 & -2 & 1\\ 0 & 0 & 12 & -18 & 5 & -9\\ 0 & 0 & 0 & -6 & 9 & 15 \end \right) $$

Матрица пока не приведена к ступенчатому виду, поэтому будем продолжать прямой ход метода Гаусса. Нулевых или одинаковых строк не возникло, вычёркивать нечего.

Обратите внимание, что все элементы четвёртой строки нацело делятся на 3. Чтобы упростить расчёты, умножим четвёртую строку на $\frac<1><3>$:

$$ \left(\begin -1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\\ 0 & 0 & -3 & 5 & -2 & 1\\ 0 & 0 & 12 & -18 & 5 & -9\\ 0 & 0 & 0 & -6 & 9 & 15 \end \right) \begin \phantom<0>\\ \phantom <0>\\\phantom <0>\\ 1/3\cdot \end \rightarrow \left(\begin -1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\\ 0 & 0 & -3 & 5 & -2 & 1\\ 0 & 0 & 12 & -18 & 5 & -9\\ 0 & 0 & 0 & -2 & 3 & 5 \end \right) $$

На втором шаге прямого хода метода Гаусса используется вторая строка. Во второй строке полученной матрицы ведущим является третий элемент (число -3), т.е. номер ведущего элемента второй строки $k=3$. Посмотрим на строки, расположенные под второй строкой, т.е. на третью и четвёртую строки. Ведущий элемент третьей строки имеет номер 3 (этот элемент равен 12), а ведущий элемент четвёртой строки имеет номер 4 (этот элемент равен -2), поэтому $k_<\min>=3$. Так как $k=k_<\min>$, то производим обнуление ведущего элемента третьей строки:

$$ \left(\begin -1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\\ 0 & 0 & -3 & 5 & -2 & 1\\ 0 & 0 & 12 & -18 & 5 & -9\\ 0 & 0 & 0 & -2 & 3 & 5 \end \right) \begin \phantom<0>\\ \phantom <0>\\ r_3+4r_2 \\ \phantom <0>\end \rightarrow \left(\begin -1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\\ 0 & 0 & -3 & 5 & -2 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 2 & -3 & -5\\ 0 & 0 & 0 & -2 & 3 & 5 \end \right) $$

Матрица пока не приведена к ступенчатому виду, поэтому будем продолжать прямой ход метода Гаусса. Нулевых или одинаковых строк не возникло. В принципе, несложно заметить, что $r_4=-r_3$, т.е. одну из строк $r_3$ или $r_4$ можно вычеркнуть, тем самым сразу приведя матрицу к ступенчатому виду. Однако допустим, что мы этого не заметили, и формально выполним ещё один шаг метода Гаусса. Разумеется, четвёртая строка станет нулевой, и её можно будет вычеркнуть.

На третьем шаге прямого хода метода Гаусса используется третья строка. В третьей строке полученной матрицы ведущим является четвёртый элемент (число 2), т.е. номер ведущего элемента третьей строки $k=4$. Посмотрим на строки, расположенные под третьей строкой, т.е. четвёртую строку. Ведущий элемент четвёртой строки имеет номер 4 (этот элемент равен -2), поэтому $k_<\min>=4$. Так как $k=k_<\min>$, то производим обнуление ведущего элемента четвёртой строки:

$$ \left(\begin -1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\\ 0 & 0 & -3 & 5 & -2 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 2 & -3 & -5\\ 0 & 0 & 0 & -2 & 3 & 5 \end \right) \begin \phantom<0>\\ \phantom <0>\\ \phantom <0>\\ r_4+r_3 \end \rightarrow \left(\begin -1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\\ 0 & 0 & -3 & 5 & -2 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 2 & -3 & -5\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end \right) $$

Появилась нулевая строка, удалим её из матрицы, получив при этом такой результат:

$$ \left(\begin -1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\\ 0 & 0 & -3 & 5 & -2 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 2 & -3 & -5 \end \right) $$

Итак, мы получили ступенчатую матрицу, прямой ход метода Гаусса завершён. Исходя из результатов прямого хода метода Гаусса, можем записать ранги матрицы системы и расширенной матрицы системы, т.е. $\rang=3$, $\rang\widetilde=3$. Так как ранг расширенной матрицы системы равен рангу матрицы системы, но меньше количества переменных ($\rang\widetilde=\rang=3\lt<5>$), то согласно следствию из теоремы Кронекера-Капелли данная СЛАУ является неопределённой (т.е. имеет бесконечное количество решений).

Обратный ход метода Гаусса

Проанализируем результат, который мы получили в ходе выполнения прямого хода. Матрица до черты является прямоугольной, поэтому оставим до черты те столбцы матрицы системы, которые содержат ведущие элементы строк матрицы. Это столбцы, соответствующие переменным $x_1$, $x_3$ и $x_4$ (данные столбцы выделены зелёным цветом). Остальные столбцы, соответствующие переменным $x_2$ и $x_5$ (они выделены синим цветом), перенесём за черту. Знаки элементов в переносимых столбцах при этом изменятся на противоположные.

$$ \left(\begin \normgreen <-1>& \normblue <2>& \normgreen <3>& \normgreen <0>& \normblue <1>& -4\\ \normgreen <0>& \normblue <0>& \normgreen <-3>& \normgreen <5>& \normblue <-2>& 1\\ \normgreen <0>& \normblue <0>& \normgreen <0>& \normgreen <2>& \normblue <-3>& -5 \end \right) \rightarrow \left(\begin -1 & 3 & 0 & -4 &-2 &-1\\ 0 & -3 & 5 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 2 & -5 & 0 & 3 \end \right) $$

Почему меняются знаки? Что вообще значит это перенесение столбцов? показать\скрыть

Давайте обратимся к расширенной матрице, которую мы получили после прямого хода метода Гаусса.

$$ \left(\begin -1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\\ 0 & 0 & -3 & 5 & -2 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 2 & -3 & -5 \end \right) $$

Второй и пятый столбцы этой матрицы содержат коэффициенты при переменных $x_2$ и $x_5$. Перенос за черту данных столбцов соответствует переносу переменных $x_2$ и $x_5$ в правые части уравнений. Разумеется, при переносе слагаемых из одной части равенства в иную, у них меняется знак на противоположный.

Например, первая строка соответствует уравнению $-x_1+2x_2+3x_3+x_5=-4$. Перенося переменные $x_2$ и $x_5$ в правую часть уравнения, будем иметь: $-x_1+3x_3=-4-2x_2-x_5$. Если вновь записать коэффициенты этого уравнения в виде строки, мы и получим первую строку новой матрицы с перенесёнными за черту столбцами: $(-1;\;3;\;0;\;-4;\;-2;\;-1)$.

Наша цель – привести матрицу до черты к единичной. С этой целью начнём выполнять преобразования обратного хода метода Гаусса.

На первом шаге обратного хода мы работаем с последней, т.е. третьей строкой матрицы. Посмотрим на диагональный элемент в третьей строке: он равен 2. Сделаем этот элемент единицей:

$$ \left(\begin -1 & 3 & 0 & -4 &-2 &-1\\ 0 & -3 & 5 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 2 & -5 & 0 & 3 \end \right) \begin \phantom<0>\\\phantom<0>\\1/2\cdot\end\rightarrow \left(\begin -1 & 3 & 0 & -4 &-2 &-1\\ 0 & -3 & 5 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 1 & -5/2 & 0 & 3/2 \end \right) $$

Используя третью строку обнулим элементы третьего столбца, расположенные над третьей строкой:

$$ \left(\begin -1 & 3 & 0 & -4 &-2 &-1\\ 0 & -3 & 5 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 1 & -5/2 & 0 & 3/2 \end \right) \begin \phantom<0>\\r_2-5r_3 \\\phantom<0>\end\rightarrow \left(\begin -1 & 3 & 0 & -4 &-2 &-1\\ 0 & -3 & 0 & 27/2 & 0 & -11/2\\ 0 & 0 & 1 & -5/2 & 0 & 3/2 \end \right) $$

Первый шаг обратного хода метода Гаусса окончен.

На втором шаге обратного хода мы работаем с предпоследней, т.е. второй строкой матрицы. Посмотрим на диагональный элемент во второй строке: он равен -3. Сделаем этот элемент единицей:

$$ \left(\begin -1 & 3 & 0 & -4 &-2 &-1\\ 0 & -3 & 0 & 27/2 & 0 & -11/2\\ 0 & 0 & 1 & -5/2 & 0 & 3/2 \end \right) \begin \phantom<0>\\-1/3\cdot\\\phantom<0>\end\rightarrow \left(\begin -1 & 3 & 0 & -4 &-2 &-1\\ 0 & 1 & 0 & -9/2 & 0 & 11/6\\ 0 & 0 & 1 & -5/2 & 0 & 3/2 \end \right) $$

Используя вторую строку обнулим элемент второго столбца, расположенный над второй строкой:

$$ \left(\begin -1 & 3 & 0 & -4 &-2 &-1\\ 0 & 1 & 0 & -9/2 & 0 & 11/6\\ 0 & 0 & 1 & -5/2 & 0 & 3/2 \end \right) \begin r_1-3r_2\\\phantom<0>\\\phantom<0>\end\rightarrow \left(\begin -1 & 0 & 0 & 19/2 &-2 &-13/2\\ 0 & 1 & 0 & -9/2 & 0 & 11/6\\ 0 & 0 & 1 & -5/2 & 0 & 3/2 \end \right) $$

Второй шаг обратного хода окончен. Переходим к третьему шагу.

На третьем шаге обратного хода мы работаем с первой строкой. Диагональный элемент в первой строке равен -1. Сделаем данный элемент единицей:

$$ \left(\begin -1 & 0 & 0 & 19/2 &-2 &-13/2\\ 0 & 1 & 0 & -9/2 & 0 & 11/6\\ 0 & 0 & 1 & -5/2 & 0 & 3/2 \end \right) \begin -1\cdot\\\phantom<0>\\\phantom<0>\end\rightarrow \left(\begin 1 & 0 & 0 & -19/2 &2 &13/2\\ 0 & 1 & 0 & -9/2 & 0 & 11/6\\ 0 & 0 & 1 & -5/2 & 0 & 3/2 \end \right) $$

Матрица до черты стала единичной, решение окончено. Чтобы записать ответ, вспомним, что мы переносили за черту столбцы, соответствующие переменным $x_2$ и $x_5$. Эти переменные называют свободными, а переменные $x_1$, $x_3$ и $x_5$ – базовыми. Ответ будет таким:

Полное решение без пояснений таково:

$$ \left(\begin 0 & 0 & 12 & -18 & 5 & -9\\ -2 & 4 & 3 & 5 & 0 & -7\\ -1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\\ -4 & 8 & 12 & -6 & 13 & -1 \end \right) \overset> <\rightarrow>\left(\begin -1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\\ -2 & 4 & 3 & 5 & 0 & -7\\ 0 & 0 & 12 & -18 & 5 & -9\\ -4 & 8 & 12 & -6 & 13 & -1 \end \right) \begin \phantom<0>\\ r_2-2r_1 \\\phantom <0>\\ r_4-4r_1 \end \rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin -1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\\ 0 & 0 & -3 & 5 & -2 & 1\\ 0 & 0 & 12 & -18 & 5 & -9\\ 0 & 0 & 0 & -6 & 9 & 15 \end \right) \begin \phantom<0>\\ \phantom <0>\\\phantom <0>\\ 1/3\cdot \end \rightarrow\left(\begin -1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\\ 0 & 0 & -3 & 5 & -2 & 1\\ 0 & 0 & 12 & -18 & 5 & -9\\ 0 & 0 & 0 & -2 & 3 & 5 \end \right) \begin \phantom<0>\\ \phantom <0>\\ r_3+4r_2 \\ \phantom <0>\end \rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin -1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\\ 0 & 0 & -3 & 5 & -2 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 2 & -3 & -5\\ 0 & 0 & 0 & -2 & 3 & 5 \end \right) \begin \phantom<0>\\ \phantom <0>\\ \phantom <0>\\ r_4+r_3 \end \rightarrow \left(\begin -1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\\ 0 & 0 & -3 & 5 & -2 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 2 & -3 & -5\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end \right) \rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin -1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\\ 0 & 0 & -3 & 5 & -2 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 2 & -3 & -5 \end \right) \rightarrow \left(\begin -1 & 3 & 0 & -4 &-2 &-1\\ 0 & -3 & 5 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 2 & -5 & 0 & 3 \end \right) \begin \phantom<0>\\\phantom<0>\\1/2\cdot\end\rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin -1 & 3 & 0 & -4 &-2 &-1\\ 0 & -3 & 5 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 1 & -5/2 & 0 & 3/2 \end \right) \begin \phantom<0>\\r_2-5r_3 \\\phantom<0>\end\rightarrow \left(\begin -1 & 3 & 0 & -4 &-2 &-1\\ 0 & -3 & 0 & 27/2 & 0 & -11/2\\ 0 & 0 & 1 & -5/2 & 0 & 3/2 \end \right) \begin \phantom<0>\\-1/3\cdot\\\phantom<0>\end\rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin -1 & 3 & 0 & -4 &-2 &-1\\ 0 & 1 & 0 & -9/2 & 0 & 11/6\\ 0 & 0 & 1 & -5/2 & 0 & 3/2 \end \right) \begin r_1-3r_2\\\phantom<0>\\\phantom<0>\end\rightarrow \left(\begin -1 & 0 & 0 & 19/2 &-2 &-13/2\\ 0 & 1 & 0 & -9/2 & 0 & 11/6\\ 0 & 0 & 1 & -5/2 & 0 & 3/2 \end \right) \begin -1\cdot\\\phantom<0>\\\phantom<0>\end\rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin 1 & 0 & 0 & -19/2 &2 &13/2\\ 0 & 1 & 0 & -9/2 & 0 & 11/6\\ 0 & 0 & 1 & -5/2 & 0 & 3/2 \end \right) $$

Данный пример я не буду расписывать с подробными пояснениями, так как они были даны ранее. Расширенная матрица системы будет такой:

Прямой ход метода Гаусса

Вспоминаем, что появление строки вида $\left(\begin 0&0&\ldots&0&x\end \right)$, где $x\neq<0>$, на любом этапе метода Гаусса означает, что система не имеет решения, т.е. является несовместной. Четвёртая строка расширенной матрицы системы, т.е. $\left(\begin0&0&0&2\end\right)$, относится к упомянутому виду строк, поэтому заданная СЛАУ является несовместной. Для наглядности я запишу четвёртую строку в виде уравнения: $0\cdot x_1+0\cdot x_2+0\cdot x_3=2$, откуда имеем $0=2$. Полученное противоречие и указывает на отсутствие решения системы.

Впрочем, к этому же выводу можно прийти, записав ранги матрицы системы и расширенной матрицы системы. Вычеркнем нулевую строку:

$$ \left(\begin 1 & -1 & 2 & -1\\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end\right) $$

Расширенная матрица системы приведена к ступенчатому виду. Ранг матрицы системы равен двум. Ранг расширенной матрицы системы равен трём, т.е. $\rang\widetilde\neq\rang$, поэтому согласно теореме Кронекера-Капелли система несовместна.

Ответ: система несовместна.

Исследовать на совместность СЛАУ

Найти её решение методом Гаусса.

Так как все свободные члены (числа в правых частях равенств) равны нулю, то заданная СЛАУ является однородной. Однородная СЛАУ всегда имеет хотя бы одно решение – нулевое, т.е. $x_1=x_2=x_3=x_4=0$. Таким образом, совместность системы не вызывает сомнений, – заданная СЛАУ совместна. Вопрос лишь в том, является ли она определённой (т.е. имеет одно решение) или же неопределённой (т.е. имеет бесконечное количество решений). На этот вопрос мы и дадим ответ в ходе решения методом Гаусса.

Прямой ход метода Гаусса

Пару слов по поводу полученного после первого шага результата. Нам надо переходить ко второму шагу, т.е. использовать вторую строку. При этом номер ведущего элемента во второй строке равен $k=2$, а номера ведущих элементов нижележащих строк равны 3, т.е. $k_<\min>=3$. Так как $k\lt>$, то просто переходим к следующему (третьему) шагу алгоритма, на котором станем использовать третью строку.

$$ \left(\begin 1 & -5 & -1 & -2 & 0\\ 0 & 4 & 3 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 19 & -20 & 0\\ 0 & 0 & -19 & 20 & 0\end \right) \begin \phantom<0>\\\phantom<0>\\\phantom<0>\\r_4+r_3\end\rightarrow\\ \rightarrow\left(\begin 1 & -5 & -1 & -2 & 0\\ 0 & 4 & 3 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 19 & -20 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end \right)\rightarrow \left(\begin 1 & -5 & -1 & -2 & 0\\ 0 & 4 & 3 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 19 & -20 & 0 \end \right) $$

Итак, ранги расширенной матрицы и матрицы системы равны между собой, но меньше, нежели количество неизвестных, т.е. $\rang\widetilde=\rang=3\lt<4>$. Согласно следствию из теоремы Кронекера-Капелли, данная система является неопределённой (т.е. имеет бесконечное количество решений).

Переносим столбец, соответствующий свободной переменной $x_4$, за черту и продолжаем решение методом Гаусса.

Обратный ход метода Гаусса

Вспоминая, что столбец за чертой соответствует переменной $x_4$, записываем ответ.

Заметили ошибку, опечатку, или некорректно отобразилась формула? Отпишите, пожалуйста, об этом в данной теме на форуме (регистрация не требуется).

Метода Гаусса: примеры решения СЛАУ

В данной статье мы:

  • дадим определение методу Гаусса,
  • разберем алгоритм действий при решении линейных уравнений, где количество уравнений совпадает c количеством неизвестных переменных, а определитель не равен нулю;
  • разберем алгоритм действий при решении СЛАУ с прямоугольной или вырожденной матрицей.

Метод Гаусса — что это такое?

Метод Гаусса — это метод, который применяется при решении систем линейных алгебраических уравнений и имеет следующие преимущества:

  • отсутствует необходимость проверять систему уравнений на совместность;
  • есть возможность решать системы уравнений, где:
  • количество определителей совпадает с количеством неизвестных переменных;
  • количество определителей не совпадает с количеством неизвестных переменных;
  • определитель равен нулю.
  • результат выдается при сравнительно небольшом количестве вычислительных операций.

Основные определения и обозначения

Есть система из р линейных уравнений с n неизвестными ( p может быть равно n ):

a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + . . . + a 2 n x n = b 2 ⋯ a p 1 x 1 + a p 2 x 2 + . . . + a p n x n = b p ,

где x 1 , x 2 , . . . . , x n — неизвестные переменные, a i j , i = 1 , 2 . . . , p , j = 1 , 2 . . . , n — числа (действительные или комплексные), b 1 , b 2 , . . . , b n — свободные члены.

Если b 1 = b 2 = . . . = b n = 0 , то такую систему линейных уравнений называют однородной, если наоборот — неоднородной.

Решение СЛАУ — совокупность значения неизвестных переменных x 1 = a 1 , x 2 = a 2 , . . . , x n = a n , при которых все уравнения системы становятся тождественными друг другу.

Совместная СЛАУ — система, для которой существует хотя бы один вариант решения. В противном случае она называется несовместной.

Определенная СЛАУ — это такая система, которая имеет единственное решение. В случае, если решений больше одного, то такая система будет называться неопределенной.

Координатный вид записи:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + . . . + a 2 n x n = b 2 ⋯ a p 1 x 1 + a p 2 x 2 + . . . + a p n x n = b p

Матричный вид записи: A X = B , где

A = a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a p 1 a p 2 ⋯ a p n — основная матрица СЛАУ;

X = x 1 x 2 ⋮ x n — матрица-столбец неизвестных переменных;

B = b 1 b 2 ⋮ b n — матрица свободных членов.

Расширенная матрица — матрица, которая получается при добавлении в качестве ( n + 1 ) столбца матрицу-столбец свободных членов и имеет обозначение Т .

T = a 11 a 12 ⋮ a 1 n b 1 a 21 a 22 ⋮ a 2 n b 2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a p 1 a p 2 ⋮ a p n b n

Вырожденная квадратная матрица А — матрица, определитель которой равняется нулю. Если определитель не равен нулю, то такая матрица, а потом называется невырожденной.

Описание алгоритма использования метода Гаусса для решения СЛАУ с равным количеством уравнений и неизвестных (обратный и прямой ход метода Гаусса)

Для начала разберемся с определениями прямого и обратного ходов метода Гаусса.

Прямой ход Гаусса — процесс последовательного исключения неизвестных.

Обратный ход Гаусса — процесс последовательного нахождения неизвестных от последнего уравнения к первому.

Алгоритм метода Гаусса:

Решаем систему из n линейных уравнений с n неизвестными переменными:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + . . . + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + . . . + a 2 n x n = b 2 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 + . . . + a 3 n x n = b 3 ⋯ a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + a n 3 x 3 + . . . + a n n x n = b n

Определитель матрицы не равен нулю.

  1. a 11 не равен нулю — всегда можно добиться этого перестановкой уравнений системы;
  2. исключаем переменную x 1 из всех уравнений систему, начиная со второго;
  3. прибавим ко второму уравнению системы первое, которое умножено на — a 21 a 11 , прибавим к третьему уравнению первое умноженное на — a 21 a 11 и т.д.

После проведенных действий матрица примет вид:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + . . . + a 1 n x n = b 1 a ( 1 ) 22 x 2 + a ( 1 ) 23 x 3 + . . . + a ( 1 ) 2 n x n = b ( 1 ) 2 a ( 1 ) 32 x 2 + a ( 1 ) 33 x 3 + . . . + a ( 1 ) 3 n x n = b ( 1 ) 3 ⋯ a ( 1 ) n 2 x 2 + a ( 1 ) n 3 x 3 + . . . + a ( 1 ) n n x n = b ( 1 ) n ,

где a i j ( 1 ) = a i j + a 1 j ( — a i 1 a 11 ) , i = 2 , 3 , . . . , n , j = 2 , 3 , . . . , n , b i ( 1 ) = b i + b 1 ( — a i 1 a 11 ) , i = 2 , 3 , . . . , n .

Далее производим аналогичные действия с выделенной частью системы:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + . . . + a 1 n x n = b 1 a ( 1 ) 22 x 2 + a ( 1 ) 23 x 3 + . . . + a ( 1 ) 2 n x n = b ( 1 ) 2 a ( 1 ) 32 x 2 + a ( 1 ) 33 x 3 + . . . + a ( 1 ) 3 n x n = b ( 1 ) 3 ⋯ a ( 1 ) n 2 x 2 + a ( 1 ) n 3 x 3 + . . . + a ( 1 ) n n x n = b ( 1 ) n

Считается, что a 22 ( 1 ) не равна нулю. Таким образом, приступаем к исключению неизвестной переменной x 2 из всех уравнений, начиная с третьего:

  • к третьему уравнению систему прибавляем второе, которое умножено на — a ( 1 ) 42 a ( 1 ) 22 ;
  • к четвертому прибавляем второе, которое умножено на — a ( 1 ) 42 a ( 1 ) 22 и т.д.

После таких манипуляций СЛАУ имеет следующий вид:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + . . . + a 1 n x n = b 1 a ( 1 ) 22 x 2 + a ( 1 ) 23 x 3 + . . . + a ( 1 ) 2 n x n = b ( 1 ) 2 a ( 2 ) 33 x 3 + . . . + a ( 2 ) 3 n x n = b ( 2 ) 3 ⋯ a ( 2 ) n 3 x 3 + . . . + a ( 2 ) n n x n = b ( 2 ) n ,

где a i j ( 2 ) = a ( 1 ) i j + a 2 j ( — a ( 1 ) i 2 a ( 1 ) 22 ) , i = 3 , 4 , . . . , n , j = 3 , 4 , . . . , n , b i ( 2 ) = b ( 1 ) i + b ( 1 ) 2 ( — a ( 1 ) i 2 a ( 1 ) 22 ) , i = 3 , 4 , . . . , n . .

Таким образом, переменная x 2 исключена из всех уравнений, начиная с третьего.

Далее приступаем к исключению неизвестной x 3 , действуя по аналоги с предыдущим образцом:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + . . . + a 1 n x n = b 1 a ( 1 ) 22 x 2 + a ( 1 ) 23 x 3 + . . . + a ( 1 ) 2 n x n = b ( 1 ) 2 a ( 2 ) 33 x 3 + . . . + a ( 2 ) 3 n x n = b ( 2 ) 3 ⋯ a ( n — 1 ) n n x n = b ( n — 1 ) n

После того как система приняла такой вид, можно начать обратный ход метода Гаусса:

  • вычисляем x n из последнего уравнения как x n = b n ( n — 1 ) a n n ( n — 1 ) ;
  • с помощью полученного x n находим x n — 1 из предпоследнего уравнения и т.д., находим x 1 из первого уравнения.

Найти решение системы уравнений методом Гаусса:

3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 x 1 — x 2 + 4 x 3 — x 4 = — 1 — 2 x 1 — 2 x 2 — 3 x 3 + x 4 = 9 x 1 + 5 x 2 — x 3 + 2 x 4 = 4

Коэффициент a 11 отличен от нуля, поэтому приступаем к прямому ходу решения, т.е. к исключению переменной x 11 из всех уравнений системы, кроме первого. Для того, чтобы это сделать, прибавляем к левой и правой частям 2-го, 3-го и 4-го уравнений левую и правую часть первого, которая умножена на — a 21 a 11 :

— 1 3 , — а 31 а 11 = — — 2 3 = 2 3 и — а 41 а 11 = — 1 3 .

3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 x 1 — x 2 + 4 x 3 — x 4 = — 1 — 2 x 1 — 2 x 2 — 3 x 3 + x 4 = 9 x 1 + 5 x 2 — x 3 + 2 x 4 = 4 ⇔

⇔ 3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 x 1 — x 2 + 4 x 3 — x 4 + ( — 1 3 ) ( 3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 ) = — 1 + ( — 1 3 ) ( — 2 ) — 2 x 1 — 2 x 2 — 3 x 3 + x 4 + 2 3 ( 3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 ) = 9 + 2 3 ( — 2 ) x 1 + 5 x 2 — x 3 + 2 x 4 + ( — 1 3 ) ( 3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 ) = 4 + ( — 1 3 ) ( — 2 ) ⇔

⇔ 3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 — 5 3 x 2 + 11 3 x 3 — 4 3 x 4 = — 1 3 — 2 3 x 2 — 7 3 x 3 + 5 3 x 4 = 23 3 13 3 x 2 — 4 3 x 3 + 5 3 x 4 = 14 3

Мы исключили неизвестную переменную x 1 , теперь приступаем к исключению переменной x 2 :

— a 32 ( 1 ) a 22 ( 1 ) = — — 2 3 — 5 3 = — 2 5 и а 42 ( 1 ) а 22 ( 1 ) = — 13 3 — 5 3 = 13 5 :

3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 — 5 3 x 2 + 11 3 x 3 — 4 3 x 4 = — 1 3 — 2 3 x 2 — 7 3 x 3 + 5 3 x 4 = 23 3 13 3 x 2 — 4 3 x 3 + 5 3 x 4 = 14 3 ⇔

⇔ 3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 — 5 3 x 2 + 11 3 x 3 — 4 3 x 4 = — 1 3 — 2 3 x 2 — 7 3 x 3 + 5 3 x 4 + ( — 2 5 ) ( — 5 3 x 2 + 11 3 x 3 — 4 3 x 4 ) = 23 3 + ( — 2 5 ) ( — 1 3 ) 13 3 x 2 — 4 3 x 3 + 5 3 x 4 + 13 5 ( — 5 3 x 2 + 11 3 x 3 — 4 3 x 4 ) = 14 3 + 13 5 ( — 1 3 ) ⇔

⇔ 3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 — 5 3 x 2 + 11 3 x 3 — 4 3 x 4 = — 1 3 — 19 5 x 3 + 11 5 x 4 = 39 5 41 5 x 3 — 9 5 x 4 = 19 5

Для того чтобы завершить прямой ход метода Гаусса, необходимо исключить x 3 из последнего уравнения системы — а 43 ( 2 ) а 33 ( 2 ) = — 41 5 — 19 5 = 41 19 :

3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 — 5 3 x 2 + 11 3 x 3 — 4 3 x 4 = — 1 3 — 19 5 x 3 + 11 5 x 4 = 39 5 41 5 x 3 — 9 5 x 4 = 19 5 ⇔

3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 — 5 3 x 2 + 11 3 x 3 — 4 3 x 4 = — 1 3 — 19 5 x 3 + 11 5 x 4 = 39 5 41 5 x 3 — 9 5 x 4 + 41 19 ( — 19 5 x 3 + 11 5 x 4 ) = 19 5 + 41 19 39 5 ⇔

⇔ 3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 — 5 3 x 2 + 11 3 x 3 — 4 3 x 4 = — 1 3 — 19 5 x 3 + 11 5 x 4 = 39 5 56 19 x 4 = 392 19

Обратный ход метода Гаусса:

  • из последнего уравнения имеем: x 4 = 392 19 56 19 = 7 ;
  • из 3-го уравнения получаем: x 3 = — 5 19 ( 39 5 — 11 5 x 4 ) = — 5 19 ( 39 5 — 11 5 × 7 ) = 38 19 = 2 ;
  • из 2-го: x 2 = — 3 5 ( — 1 3 — 11 3 x 4 + 4 3 x 4 ) = — 3 5 ( — 1 3 — 11 3 × 2 + 4 3 × 7 ) = — 1 ;
  • из 1-го: x 1 = 1 3 ( — 2 — 2 x 2 — x 3 — x 4 ) = — 2 — 2 × ( — 1 ) — 2 — 7 3 = — 9 3 = — 3 .

Ответ: x 1 = — 3 ; x 2 = — 1 ; x 3 = 2 ; x 4 = 7

Найти решение этого же примера методом Гаусса в матричной форме записи:

3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 x 1 — x 2 + 4 x 3 — x 4 = — 1 — 2 x 1 — 2 x 2 — 3 x 3 + x 4 = 9 x 1 + 5 x 2 — x 3 + 2 x 4 = 4

Расширенная матрица системы представлена в виде:

x 1 x 2 x 3 x 4 3 2 1 1 1 — 1 4 — 1 — 2 — 2 — 3 1 1 5 — 1 2 — 2 — 1 9 4

Прямой ход метода Гаусса в данном случае предполагает приведение расширенной матрицы к трапецеидальному виду при помощи элементарных преобразований. Этот процесс очень поход на процесс исключения неизвестных переменных в координатном виде.

Преобразование матрицы начинается с превращения всех элементов нулевые. Для этого к элементам 2-ой, 3-ей и 4-ой строк прибавляем соответствующие элементы 1-ой строки, которые умножены на — a 21 a 11 = — 1 3 , — a 31 a 11 = — — 2 3 = 2 3 и н а — а 41 а 11 = — 1 3 .

Дальнейшие преобразования происходит по такой схеме: все элементы во 2-ом столбце, начиная с 3-ей строки, становятся нулевыми. Такой процесс соответствует процессу исключения переменной . Для того, чтобы выполнить этой действие, необходимо к элементам 3-ей и 4-ой строк прибавить соответствующие элементы 1-ой строки матрицы, которая умножена на — а 32 ( 1 ) а 22 ( 1 ) = — 2 3 — 5 3 = — 2 5 и — а 42 ( 1 ) а 22 ( 1 ) = — 13 3 — 5 3 = 13 5 :

x 1 x 2 x 3 x 4 3 2 1 1 | — 2 0 — 5 3 11 3 — 4 3 | — 1 3 0 — 2 3 — 7 3 5 3 | 23 3 0 13 3 — 4 3 5 3 | 14 3

x 1 x 2 x 3 x 4

3 2 1 1 | — 2 0 — 5 3 11 3 — 4 3 | — 1 3 0 — 2 3 + ( — 2 5 ) ( — 5 3 ) — 7 3 + ( — 2 5 ) 11 3 5 3 + ( — 2 5 ) ( — 4 3 ) | 23 3 + ( — 2 5 ) ( — 1 3 ) 0 13 3 + 13 5 ( — 5 3 ) — 4 3 + 13 5 × 11 3 5 3 + 13 5 ( — 4 3 ) | 14 3 + 13 5 ( — 1 3 )

x 1 x 2 x 3 x 4

3 2 1 1 | — 2 0 — 5 3 11 3 — 4 3 | — 1 3 0 0 — 19 5 11 5 | 39 5 0 0 41 5 — 9 5 | 19 5

Теперь исключаем переменную x 3 из последнего уравнения — прибавляем к элементам последней строки матрицы соответствующие элементы последней строки, которая умножена на а 43 ( 2 ) а 33 ( 2 ) = — 41 5 — 19 5 = 41 19 .

x 1 x 2 x 3 x 4 3 2 1 1 | — 2 0 — 5 3 11 3 — 4 3 | — 1 3 0 0 — 19 5 11 5 | 39 5 0 0 41 5 — 9 5 | 19 5

x 1 x 2 x 3 x 4

3 2 1 1 | — 2 0 — 5 3 11 3 — 4 3 | — 1 3 0 0 — 19 5 11 5 | 39 5 0 0 41 5 + 41 19 ( — 19 5 ) — 9 5 + 41 19 × 11 5 | 19 5 + 41 19 × 39 5

x 1 x 2 x 3 x 4

3 2 1 1 | — 2 0 — 5 3 11 3 — 4 3 | — 1 3 0 0 — 19 5 11 5 | 39 5 0 0 0 56 19 | 392 19

Теперь применим обратных ход метода. В матричной форме записи такое преобразование матрицы, чтобы матрица, которая отмечена цветом на изображении:

x 1 x 2 x 3 x 4 3 2 1 1 | — 2 0 — 5 3 11 3 — 4 3 | — 1 3 0 0 — 19 5 11 5 | 39 5 0 0 0 56 19 | 392 19

стала диагональной, т.е. приняла следующий вид:

x 1 x 2 x 3 x 4 3 0 0 0 | а 1 0 — 5 3 0 0 | а 2 0 0 — 19 5 0 | а 3 0 0 0 56 19 | 392 19 , где а 1 , а 2 , а 3 — некоторые числа.

Такие преобразования выступают аналогом прямому ходу, только преобразования выполняются не от 1-ой строки уравнения, а от последней. Прибавляем к элементам 3-ей, 2-ой и 1-ой строк соответствующие элементы последней строки, которая умножена на

— 11 5 56 19 = — 209 280 , н а — — 4 3 56 19 = 19 42 и н а — 1 56 19 = 19 56 .

x 1 x 2 x 3 x 4 3 2 1 1 | — 2 0 — 5 3 11 3 — 4 3 | — 1 3 0 0 — 19 5 11 5 | 39 5 0 0 0 56 19 | 392 19

x 1 x 2 x 3 x 4

3 2 1 1 + ( — 19 56 ) 56 19 | — 2 + ( — 19 56 ) 392 19 0 — 5 3 11 3 — 4 3 + 19 42 × 56 19 | — 1 3 + 19 42 × 392 19 0 0 — 19 5 11 5 + ( — 209 280 ) 56 19 | 39 5 + ( — 209 280 ) 392 19 0 0 0 56 19 | 392 19

x 1 x 2 x 3 x 4

3 2 1 0 | — 9 0 — 5 3 11 3 0 | 9 0 0 — 19 5 0 | — 38 5 0 0 0 56 19 | 392 19

Далее прибавляем к элементам 2-ой и 1-ой строк соответствующие элементы 3-ей строки, которые умножены на

— 11 3 — 19 5 = 55 57 и н а — 1 — 19 5 = 5 19 .

x 1 x 2 x 3 x 4 3 2 1 0 | — 9 0 — 5 3 11 3 0 | 9 0 0 — 19 5 0 | — 38 5 0 0 0 56 19 | 392 19

x 1 x 2 x 3 x 4

3 2 1 + 5 19 ( — 19 5 ) 0 | — 9 + 5 19 ( — 38 5 ) 0 — 5 3 11 3 + 55 57 ( — 19 5 ) 0 | 9 + 55 57 ( — 38 5 ) 0 0 — 19 5 0 | — 38 5 0 0 0 56 19 | 392 19

x 1 x 2 x 3 x 4

3 2 1 0 | — 11 0 — 5 3 0 0 | 5 3 0 0 — 19 5 0 | — 38 5 0 0 0 56 19 | 392 19

На последнем этапе прибавляем элементы 2-ой строки к соответствующим элементам 1-ой строки, которые умножены на — 2 — 5 3 = 6 5 .

x 1 x 2 x 3 x 4 3 2 1 0 | — 11 0 — 5 3 0 0 | 5 3 0 0 — 19 5 0 | — 38 5 0 0 0 56 19 | 392 19

x 1 x 2 x 3 x 4

3 2 + 6 5 ( — 5 3 ) 0 0 | — 11 + 6 5 × 5 3 ) 0 — 5 3 0 0 | 5 3 0 0 — 19 5 0 | — 38 5 0 0 0 56 19 | 392 19

x 1 x 2 x 3 x 4

3 0 0 0 | — 9 0 — 5 3 0 0 | 5 3 0 0 — 19 5 0 | — 38 5 0 0 0 56 19 | 392 19

Полученная матрица соответствует системе уравнений

3 x 1 = — 9 — 5 3 x 2 = 5 3 — 19 5 x 3 = — 38 5 56 19 x 4 = 392 19 , откуда находим неизвестные переменные.

Ответ: x 1 = — 3 , x 2 = — 1 , x 3 = 2 , x 4 = 7 . ​​​

Описание алгоритма использования метода Гаусса для решения СЛАУ с несовпадающим количеством уравнений и неизвестных, или с вырожденной системой матрицы

Если основная матрица квадратная или прямоугольная, то системы уравнений могут иметь единственное решение, могут не иметь решений, а могут иметь бесконечное множество решений.

Из данного раздела мы узнаем, как с помощью метода Гаусса определить совместность или несовместность СЛАУ, а также, в случае совместности, определить количество решений для системы.

В принципе, метод исключения неизвестных при таких СЛАУ остается таким же, однако есть несколько моментов, на которых необходимо заострить внимание.

На некоторых этапах исключения неизвестных, некоторые уравнения обращаются в тождества 0=0. В таком случае, уравнения можно смело убрать из системы и продолжить прямой ход метода Гаусса.

Если мы исключаем из 2-го и 3-го уравнения x 1 , то ситуация оказывается следующей:

x 1 + 2 x 2 — x 3 + 3 x 4 = 7 2 x 1 + 4 x 2 — 2 x 3 + 6 x 4 = 14 x — x + 3 x + x = — 1 ⇔

x 1 + 2 x 2 — x 3 + 3 x 4 = 7 2 x 1 + 4 x 2 — 2 x 3 + 6 x 4 + ( — 2 ) ( x 1 + 2 x 2 — x 3 + 3 x 4 ) = 14 + ( — 2 ) × 7 x — x + 3 x + x + ( — 1 ) ( x 1 + 2 x 2 — x 3 + 3 x 4 ) = — 1 + ( — 1 ) × 7 ⇔

⇔ x 1 + 2 x 2 — x 3 + 3 x 4 = 7 0 = 0 — 3 x 2 + 4 x 3 — 2 x 4 = — 8

Из этого следует, что 2-ое уравнение можно смело удалять из системы и продолжать решение.

Если мы проводим прямой ход метода Гаусса, то одно или несколько уравнений может принять вид — некоторое число, которое отлично от нуля.

Это свидетельствует о том, что уравнение, обратившееся в равенство 0 = λ , не может обратиться в равенство ни при каких любых значениях переменных. Проще говоря, такая система несовместна (не имеет решения).

  • В случае если при проведении прямого хода метода Гаусса одно или несколько уравнений принимают вид 0 = λ , где λ — некоторое число, которое отлично от нуля, то система несовместна.
  • Если же в конце прямого хода метода Гаусса получается система, число уравнений которой совпадает с количеством неизвестных, то такая система совместна и определена: имеет единственное решение, которое вычисляется обратным ходом метода Гаусса.
  • Если при завершении прямого хода метода Гаусса число уравнений в системе оказывается меньше количества неизвестных, то такая система совместна и имеет бесконечно количество решений, которые вычисляются при обратном ходе метода Гаусса.

Метод Гаусса онлайн

Данный онлайн калькулятор находит решение системы линейных уравнений (СЛУ) методом Гаусса. Дается подробное решение. Для вычисления выбирайте количество переменных и количество уравнений. Затем введите данные в ячейки и нажимайте на кнопку «Вычислить.»

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Метод Гаусса

Метод Гаусса − это метод перехода от исходной системы линейных уравнений (при помощи эквивалентных преобразований) к системе, которая решается проще, чем исходная система.

Эквивалентными преобразованиями системы линейных уравнений являются:

  • перемена местами двух уравнений в системе,
  • умножение какого-либо уравнения в системе на ненулевое действительное число,
  • прибавление к одному уравнению другого уравнения, умноженного на произвольное число.

Рассмотрим систему линейных уравнений:

(1)

Запишем систему (1) в матричном виде:

Ax=b(2)
(3)

A-называется матрица коэффициентов системы, b − правая часть ограничений, x− вектор переменных, которую нужно найти. Пусть rang(A)=p.

Эквивалентные преобразования не меняют ранг матрицы коэффициентов и ранг расширеннной матрицы системы. Не меняется также множество решений системы при эквивалентных преобразованиях. Суть метода Гаусса заключается в приведении матрцы коэффициентов A к диагональному или ступенчатому.

Построим расшренную матрицу системы:

(4)

Предположим a11≠0. Если это не так, то можно поменять местами эту строку со строкой с ненулевым элементом в столбце 1 (если нет таких строк, то переходим к следующему столбцу). Обнуляем все элементы столбца 1 ниже ведущего элемента a11. Для этого сложим строки 2,3, . m со строкой 1, умноженной на −a21/a11, −a31/a11, . −am1/a11, соответственно. Тогда (4) примет следующий вид:

(5)

На следующем этапе обнуляем все элементы столбца 2, ниже элемента . Если данный элемент нулевой, то эту строку меняем местами со строкой, лежащий ниже данной строки и имеющий ненулевой элемент во втором столбце. Далее обнуляем все элементы столбца 2 ниже ведущего элемента a22. Для этого сложим строки 3, . m со строкой 2, умноженной на −a32/a22, . −am2/a22, соответственно. Продолжая процедуру, получим матрицу диагонального или ступенчатого вида. Пусть полученная расширенная матрица имеет вид:

(6)

Обратим внимание на последние строки. Если . равны нулю, то система линейных уравнений имеет решение, если же хотя бы один из этих чисел отлично от нуля, то система несовместна. Иными словами, система (2) совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы A навен рангу расширенной матрицы (A|b).

Пусть . Тогда

(7)

Так как rangA=rang(A|b), то множество решений (7) есть (n−p)− многообразие. Следовательно n−p неизвестных можно выбрать произвольно. Остальные неизвестные из системы (7) вычисляются так. Из последнего уравнения выражаем xp через остальные переменные и вставляем в предыдущие выражения. Далее из предпоследнего уравнения выражаем xp−1 через остальные переменные и вставляем в предыдущие выражения и т.д. Рассмотрим метод Гаусса на конкретных примерах.

Примеры решения системы линейных уравнений методом Гаусса

Пример 1. Найти общее решение системы линейных уравнений методом Гаусса:

Матричный вид записи: Ax=b, где

Для решения системы, запишем расширенную матрицу:

Обозначим через aij элементы i-ой строки и j-ого столбца.

Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a1 1. Для этого сложим строки 2,3 со строкой 1, умноженной на -2/3,-1/2 соответственно:

Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже элемента a2 2. Для этого сложим строку 3 со строкой 2, умноженной на 9/8:

Делим каждую строку матрицы на соответствующий ведущий элемент (если ведущий элемент существует):

Из вышеизложенной таблицы можно записать:

Подставив верхние выражения в нижние, получим решение.

,,.

Пример 2. Найти общее решение системы линейных уравнений методом Гаусса:

Матричный вид записи: Ax=b, где

Для решения системы, построим расширенную матрицу:

Обозначим через aij элементы i-ой строки и j-ого столбца.

Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a11. Для этого сложим строки 2,3 со строкой 1, умноженной на -1/5,-6/5 соответственно:

Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже элемента a22. Для этого сложим строку 3 со строкой 2, умноженной на -1:

Делим каждую строку матрицы на соответствующий ведущий элемент (если ведущий элемент существует):

Выразим переменные x1, x2 относительно остальных переменных.

где x3, x4− произвольные действительные числа.

Подставив верхние выражения в нижние, получим решение.

где x3, x4− произвольные действительные числа.

Векторный вариант решения:

Запишем вышеизложенное решение, представив свободные переменные в виде тождеств:

Тогда векторное решение можно представить так:

где x3, x4− произвольные действительные числа.


источники:

http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/issledovanie-slau/metod-gaussa/

http://matworld.ru/calculator/gauss-method-online.php