10 класс математика урок по теме логарифмические уравнения

Конспект уроков по алгебре и началам анализа на тему «Логарифмические уравнения» (10 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 300 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ Разработка уроков в 10 классе..doc

Тема: «Логарифмические уравнения».

Цель: 1.Ввести алгоритм решения логарифмических уравнений, используя свойства логарифмов и логарифмической функции.

Научиться решать логарифмические уравнения, используя различные способы решения. Показать применение темы на итоговой аттестации.

2. Развивать умение обобщать учебный материал, выделять главное и применять в решении.

3. Воспитывать интерес к предмету через использование ИКТ.

Алгебра и начала анализа 10 класс.

1.Учебник: Алгебра и начала анализа – 10 класс. Ю.М.Колягин. Москва, Мнемозина, 2001 год.

2. Н.П.Левченко Математика. Практикум по подготовке к ЕГЭ. Москва, «Вентана — Граф» 2006 год.

3. КИМы по ЕГЭ за различные годы.

Учитель: Сидорова Галина Степановна.

МОУ Первомайская СОШ.

Категория – первая, педстаж – 23 года.

I . Организационный момент.

Сегодня мы начинаем изучать тему «Логарифмические уравнения ». Мы рассмотрим алгоритм решения логарифмических уравнений. Посмотрим различные виды логарифмических уравнений, начиная с самых легких. Также посмотрим применение этой темы на едином государственном экзамене. Для того, чтобы хорошо усвоить эту тему, нужно хорошо знать свойства логарифмов и логарифмической функции. С этого и начнем.

Вычислим устно. Вспомним, какие свойства применяем при решении.

Назовите свойства следующей функции:

Найдите область определения функции.

III . Объяснение новой темы.

Итак, вся эта теория нам пригодится в дальнейшем.

1.Определение: Уравнение вида называется логарифмическим.

2. При решении логарифмического уравнения часто используются свойства логарифмов.

3. Рассмотрим несколько примеров. На первом уроке мы будем решать простейшие уравнения, чтобы начать отработку решения логарифмических уравнений.

Пример1. Решить уравнение

Помним, что логарифмическая функция ограничена в своей области определения, поэтому начнем с области определения.

3. Проверим, входит ли полученный корень, в область определения, и записываем ответ. Ответ: 3.

Пример 2. Решить уравнение:

Начнем с области определения.

— парабола, ветви вверх, найдем пересечение с Ох, для этого решим уравнение Это уравнение не имеет корней, следовательно, график параболы выше оси Ох при любых значениях х.

2. Решаем уравнение вида . Решая это квадратное уравнение получаем корни х1 = 2, х2 = -3. Так как область определения неограниченна, оба эти числа идут в ответ. Ответ:-3, 2.

IV . Закрепление новой темы.

Итак, используя полученную теорию, попробуем решать простейшие логарифмические уравнения. Так как эта тема новая, отрабатывать решение уравнений будем вместе – у доски.

Итак, предлагаемые для решения уравнения:

V . Домашняя работа. п. 18 (теория), № 366(2, 4, 5).

VI . Подведение итога урока.

I . Организационный момент.

На первом уроке мы попробовали решать простейшие логарифмические уравнения, посмотрели теорию, и выполнили домашнее задание. Сегодня мы продолжим, и будем решать более сложные задания.

Начнем с проверки домашнего задания.

II . Проверка домашнего задания.

Опрос теории: какие виды логарифмических уравнений вы знаете; алгоритмы их решения;

Посмотрим решение домашних примеров (контроль по образцу).

III .Закрепление изучаемой темы.

1) Объяснение учителем. Итак, сегодня мы решаем уравнения более сложного уровня. При решении мы будем применять следующую теорию:

Если в уравнении сумму логарифмов двух выражений заменить логарифмом их произведения, то полученное уравнение будет следствием данного.

Если в уравнении разность логарифмов двух выражений заменить логарифмом их частного, то полученное уравнение будет следствием данного.

Пример 1. Решить уравнение:

Проверка показывает, что число 5 не является корнем исходного уравнения, так как при подстановке левая и правая части теряют смысл.

Пример 2. Решить уравнение.

Решая, получаем корни: х1 = 2; х2 = -2. Проверкой убеждаемся, что х = 2 – корень уравнения, а х = -2 не является корнем уравнения. Ответ: 2.

Практическая работа (работа по группам).

Класс разбивается на три группы. Каждая группа решает предложенные задания с последующим обсуждением решения у доски.

IV . Домашняя работа. №369(4,5), №370(3), №371(4).

V . Подведение итога урока.

I .Организационный момент.

Мы продолжаем изучать алгоритмы решения логарифмических уравнений. Сегодня рассмотрим решение уравнений несколько другого вида. Вначале посмотрим, как мы выполнили задание на дом. ( консультация – ответы на все непонятные моменты из домашнего задания).

II . Закрепление изучаемой темы.

Объяснение учителем (с привлечением сильных учащихся). Я начинаю решение, вы заканчиваете.

Итак, сегодня мы рассмотрим еще два вида логарифмических уравнений.

Пример 1. Решите уравнение:

Решается это уравнение путем разложения на множители.

Проверка показывает, что оба эти числа являются корнями уравнения. Ответ: 1, 16.

Пример 2. Решите уравнение:

Чтобы его решить, нужно вспомнить свойства показательной функции.

Проверка показала, что х = 100 является корнем уравнения. Ответ: 100.

Итак, решение таких уравнений мы сейчас будем выполнять.

Решим вместе из учебника №377(2) и №374(2).

III . Самостоятельная работа.

Решим самостоятельно следующие задания:

IV . Домашняя работа. №380(1, 4), №372(2).

V . Подведение итога урока.

Анализ самостоятельной работы. Разбор типичных ошибок, комментирование оценок.

III . Закрепление изучаемой темы.

Мы продолжаем рассматривать решения логарифмических уравнений. Сегодня посмотрим уравнения, которые решаются введением новой переменной. Для их решения нужно вспомнить алгоритмы решения квадратных и дробно-рациональных уравнений.

Вспоминаем алгоритмы решения квадратных и дробно-рациональных уравнений.

Решаем следующие уравнения:

Проверка показала, что оба корня подходят. Ответ:

Пусть Получаем уравнение:

Оба эти корня удовлетворяют условию уравнения. Ответ:

Решаем по данному алгоритму аналогичные уравнения ( решаем у доски с комментированием и самопроверкой).

Из учебника: № 378(2), №381(2).

Итак, мы с вами посмотрели основные виды решений логарифмических уравнений.

Дома вы порешаете уравнения, аналогичные сегодняшним – это №381(3,4), а также посмотрите по вашим КИМам, где применяется эта тема на экзамене.

Подведение итогов урока.

Проверка домашнего задания ( контроль по образцу). Вопрос: Нашли ли применение темы на ЕГЭ?

Закрепление изучаемой темы.

Разбор решения заданий из ЕГЭ.

Логарифмические уравнения есть как в части А, так и в части В.

Рассмотрим решение некоторых из них.

Часть А: Какому промежутку принадлежит корень уравнения.

Часть В.Решите уравнение.

Часть В. Пусть (х00) – решение системы уравнений

А193. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

А198. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

1) (-4; -2) 2) (-2; 0) 3) 4)

А202. Найдите сумму корней уравнения.

1) 2,5 2)18 3)14 4)1,5.

А205. Найдите произведение корней уравнения

1) -100 2) -1 3) -10 4) 100.

А204. Укажите промежуток, которому принадлежит больший корень уравнения

1) 2) 3) [2; 4) 4) [4; +∞).

VI .Подведение итогов занятия.

Итак, на протяжении пяти занятий, мы рассматривали различные способы решения логарифмических уравнений. Наша основная задача – решить их на экзамене, что мы сегодня попробовали сделать. Надеюсь, что вы хорошо усвоили этот материал и удачно примените теорию на экзамене. Желаю успеха!

Выбранный для просмотра документ Разработка уроков в 10 классе..ppt

Описание презентации по отдельным слайдам:

logax=b, где х > 0, а > 0, а ≠1. Уравнение содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим. Решение логарифмического уравнения. Решение логарифмического уравнения вида log a f (x)=log a g (x) основано на том, что такое уравнение равносильно уравнению f (x)=g (x) при дополнительных условиях f (x)>0, g (х)>0.

Мы рассмотрим следующие виды уравнений:

Пример1. Решить уравнение Помним, что логарифмическая функция ограничена в своей области определения, поэтому начнем с области определения. 3. Проверим, входит ли полученный корень, в область определения, и записываем ответ. Ответ: 3. Пример 2. Решить уравнение: Начнем с области определения. парабола, ветви вверх, найдем пересечение с Ох, для этого решим уравнение Это уравнение не имеет корней, следовательно, график параболы выше оси Ох при любых значениях х. 2. Решаем уравнение вида . Решая это квадратное уравнение получаем корни х1 = 2, х2 = -3. Так как область определения неограниченна, оба эти числа идут в ответ. Ответ:-3, 2.

Итак, предлагаемые для решения уравнения:

Пример 1. Решить уравнение: Проверка показывает, что число 5 не является корнем исходного уравнения, так как при подстановке левая и правая части теряют смысл. Ответ: -1. Пример 2. Решить уравнение. Решая, получаем корни: х1 = 2; х2 = -2. Проверкой убеждаемся, что х = 2 – корень уравнения, а х = -2 не является корнем уравнения. Ответ: 2. Обратим внимание, что при решении логарифмических уравнений замена логарифма произведения суммой логарифмов, логарифма частного разностью логарифмов может привести к потере корней!

Решите уравнения: 1 вариант. Решите уравнения: 2 вариант. Решите уравнения: 3 вариант.

Пример 1. Решите уравнение: Решается это уравнение путем разложения на множители. Проверка показывает, что оба эти числа являются корнями уравнения. Ответ: 1, 16. Пример 2. Решите уравнение: Чтобы его решить, нужно вспомнить свойства показательной функции. Проверка показала, что х = 100 является корнем уравнения. Ответ: 100.

2 вариант 1 вариант

Пример 1. Проверка показала, что оба корня подходят. Ответ: Пример 2. Пусть Получаем уравнение: Оба эти корня удовлетворяют условию уравнения. Ответ:

1) log0.2(х+1)+log0.27=-2 1)2; 2)18; 3) 4) Решение: х + 1 >0, х >-1. 2. log0,27(x + 1)= -2, 7(x + 1) = 0,2-2, 7x + 7 = 52, 7x + 7 = 25, 7x = 25 – 7, 7x = 18, х = Ответ:4. 2) log0.3(7x+5) — log0.33 = log0.34 1)7; 2)0; 3)1; 4)4. Решение: 1.7х + 5 >0, 7х > -5, х> 2. log0,3(7x + 5) = log0,33 + log0,34, log0,3(7x + 5) = log0,312, 7x + 5 = 12, 7x = 12 – 5, 7x = 7, x = 1. Ответ:3

Алгебра и начала анализа 10 класс. Ю.М.Колягин. Москва, Мнемозина, 2002 год. Н.П.Левченко Математика. Практикум по подготовке к ЕГЭ. Москва, «Вентана — Граф», 2006 год. 3. КИМы по ЕГЭ за несколько лет.

Краткое описание документа:

Тема: «Логарифмические уравнения».

Цель: 1.Ввести алгоритм решения логарифмических уравнений, используя свойства логарифмов и логарифмической функции.

Научиться решать логарифмические уравнения, используя различные способы решения. Показать применение темы на итоговой аттестации.

2. Развивать умение обобщать учебный материал, выделять главное и применять в решении.

3. Воспитывать интерес к предмету через использование ИКТ.

Алгебра и начала анализа 10 класс.

1.Учебник: Алгебра и начала анализа – 10 класс. Ю.М.Колягин. Москва, Мнемозина, 2001 год.

2. Н.П.Левченко Математика. Практикум по подготовке к ЕГЭ. Москва, «Вентана — Граф» 2006 год.

3. КИМы по ЕГЭ за различные годы.

Учитель: Сидорова Галина Степановна.

МОУ Первомайская СОШ.

Категория – первая, педстаж – 23 года.

I . Организационный момент.

Сегодня мы начинаем изучать тему «Логарифмические уравнения ». Мы рассмотрим алгоритм решения логарифмических уравнений. Посмотрим различные виды логарифмических уравнений, начиная с самых легких. Также посмотрим применение этой темы на едином государственном экзамене. Для того, чтобы хорошо усвоить эту тему, нужно хорошо знать свойства логарифмов и логарифмической функции. С этого и начнем.

Вычислим устно. Вспомним, какие свойства применяем при решении.

Назовите свойства следующей функции:

Найдите область определения функции.

III . Объяснение новой темы.

Итак, вся эта теория нам пригодится в дальнейшем.

1.Определение: Уравнение вида называется логарифмическим.

2. При решении логарифмического уравнения часто используются свойства логарифмов.

3. Рассмотрим несколько примеров. На первом уроке мы будем решать простейшие уравнения, чтобы начать отработку решения логарифмических уравнений.

Пример1. Решить уравнение

Помним, что логарифмическая функция ограничена в своей области определения, поэтому начнем с области определения.

3. Проверим, входит ли полученный корень, в область определения, и записываем ответ. Ответ: 3.

Пример 2. Решить уравнение:

Начнем с области определения.

— парабола, ветви вверх, найдем пересечение с Ох, для этого решим уравнение Это уравнение не имеет корней, следовательно, график параболы выше оси Ох при любых значениях х.

2. Решаем уравнение вида . Решая это квадратное уравнение получаем корни х1 = 2, х2 = -3. Так как область определения неограниченна, оба эти числа идут в ответ. Ответ:-3, 2.

IV . Закрепление новой темы.

Итак, используя полученную теорию, попробуем решать простейшие логарифмические уравнения. Так как эта тема новая, отрабатывать решение уравнений будем вместе – у доски.

Итак, предлагаемые для решения уравнения:

V . Домашняя работа. п. 18 (теория), № 366(2, 4, 5).

VI . Подведение итога урока.

I . Организационный момент.

На первом уроке мы попробовали решать простейшие логарифмические уравнения, посмотрели теорию, и выполнили домашнее задание. Сегодня мы продолжим, и будем решать более сложные задания.

Начнем с проверки домашнего задания.

II . Проверка домашнего задания.

Опрос теории: какие виды логарифмических уравнений вы знаете; алгоритмы их решения;

Посмотрим решение домашних примеров (контроль по образцу).

III .Закрепление изучаемой темы.

1) Объяснение учителем. Итак, сегодня мы решаем уравнения более сложного уровня. При решении мы будем применять следующую теорию:

Если в уравнении сумму логарифмов двух выражений заменить логарифмом их произведения, то полученное уравнение будет следствием данного.

Если в уравнении разность логарифмов двух выражений заменить логарифмом их частного, то полученное уравнение будет следствием данного.

Пример 1. Решить уравнение:

Проверка показывает, что число 5 не является корнем исходного уравнения, так как при подстановке левая и правая части теряют смысл.

Пример 2. Решить уравнение.

Решая, получаем корни: х1 = 2; х2 = -2. Проверкой убеждаемся, что х = 2 – корень уравнения, а х = -2 не является корнем уравнения. Ответ: 2.

Практическая работа (работа по группам).

Класс разбивается на три группы. Каждая группа решает предложенные задания с последующим обсуждением решения у доски.

IV . Домашняя работа. №369(4,5), №370(3), №371(4).

V . Подведение итога урока.

I .Организационный момент.

Мы продолжаем изучать алгоритмы решения логарифмических уравнений. Сегодня рассмотрим решение уравнений несколько другого вида. Вначале посмотрим, как мы выполнили задание на дом. ( консультация – ответы на все непонятные моменты из домашнего задания).

II . Закрепление изучаемой темы.

Объяснение учителем (с привлечением сильных учащихся). Я начинаю решение, вы заканчиваете.

Итак, сегодня мы рассмотрим еще два вида логарифмических уравнений.

Пример 1. Решите уравнение:

Решается это уравнение путем разложения на множители.

Проверка показывает, что оба эти числа являются корнями уравнения. Ответ: 1, 16.

Пример 2. Решите уравнение:

Чтобы его решить, нужно вспомнить свойства показательной функции.

Проверка показала, что х = 100 является корнем уравнения. Ответ: 100.

Итак, решение таких уравнений мы сейчас будем выполнять.

Решим вместе из учебника №377(2) и №374(2).

III . Самостоятельная работа.

Решим самостоятельно следующие задания:

IV . Домашняя работа. №380(1, 4), №372(2).

V . Подведение итога урока.

Анализ самостоятельной работы. Разбор типичных ошибок, комментирование оценок.

III . Закрепление изучаемой темы.

Мы продолжаем рассматривать решения логарифмических уравнений. Сегодня посмотрим уравнения, которые решаются введением новой переменной. Для их решения нужно вспомнить алгоритмы решения квадратных и дробно-рациональных уравнений.

Вспоминаем алгоритмы решения квадратных и дробно-рациональных уравнений.

Решаем следующие уравнения:

Проверка показала, что оба корня подходят. Ответ:

Пусть Получаем уравнение:

Оба эти корня удовлетворяют условию уравнения. Ответ:

Решаем по данному алгоритму аналогичные уравнения ( решаем у доски с комментированием и самопроверкой).

Из учебника: № 378(2), №381(2).

Итак, мы с вами посмотрели основные виды решений логарифмических уравнений.

Дома вы порешаете уравнения, аналогичные сегодняшним – это №381(3,4), а также посмотрите по вашим КИМам, где применяется эта тема на экзамене.

Подведение итогов урока.

Проверка домашнего задания ( контроль по образцу). Вопрос: Нашли ли применение темы на ЕГЭ?

Закрепление изучаемой темы.

Разбор решения заданий из ЕГЭ.

Логарифмические уравнения есть как в части А, так и в части В.

Рассмотрим решение некоторых из них.

Часть А: Какому промежутку принадлежит корень уравнения.

Часть В.Решите уравнение.

Часть В. Пусть (х00) – решение системы уравнений

А193. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

А198. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

1) (-4; -2) 2) (-2; 0) 3) 4)

А202. Найдите сумму корней уравнения.

1) 2,5 2)18 3)14 4)1,5.

А205. Найдите произведение корней уравнения

1) -100 2) -1 3) -10 4) 100.

А204. Укажите промежуток, которому принадлежит больший корень уравнения

1) 2) 3) [2; 4) 4) [4; +∞).

VI .Подведение итогов занятия.

Итак, на протяжении пяти занятий, мы рассматривали различные способы решения логарифмических уравнений. Наша основная задача – решить их на экзамене, что мы сегодня попробовали сделать. Надеюсь, что вы хорошо усвоили этот материал и удачно примените теорию на экзамене. Желаю успеха!

logax=b, где х > 0, а > 0, а ≠1. Уравнение содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим. Решение логарифмического уравнения. Решение логарифмического уравнения вида log a f (x)=log a g (x) основано на том, что такое уравнение равносильно уравнению f (x)=g (x) при дополнительных условиях f (x)>0, g (х)>0. Мы рассмотрим следующие виды уравнений: Пример1. Решить уравнение Помним, что логарифмическая функция ограничена в своей области определения, поэтому начнем с области определения. 3. Проверим, входит ли полученный корень, в область определения, и записываем ответ. Ответ: 3. Пример 2. Решить уравнение: Начнем с области определения. парабола, ветви вверх, найдем пересечение с Ох, для этого решим уравнение Это уравнение не имеет корней, следовательно, график параболы выше оси Ох при любых значениях х. 2. Решаем уравнение вида . Решая это квадратное уравнение получаем корни х1 = 2, х2 = -3. Так как область определения неограниченна, оба эти числа идут в ответ. Ответ:-3, 2. Итак, предлагаемые для решения уравнения: Пример 1. Решить уравнение: Проверка показывает, что число 5 не является корнем исходного уравнения, так как при подстановке левая и правая части теряют смысл. Ответ: -1. Пример 2. Решить уравнение. Решая, получаем корни: х1 = 2; х2 = -2. Проверкой убеждаемся, что х = 2 – корень уравнения, а х = -2 не является корнем уравнения. Ответ: 2. Обратим внимание, что при решении логарифмических уравнений замена логарифма произведения суммой логарифмов, логарифма частного разностью логарифмов может привести к потере корней! Решите уравнения: 1 вариант. Решите уравнения: 2 вариант. Решите уравнения: 3 вариант. Пример 1. Решите уравнение: Решается это уравнение путем разложения на множители. Проверка показывает, что оба эти числа являются корнями уравнения. Ответ: 1, 16. Пример 2. Решите уравнение: Чтобы его решить, нужно вспомнить свойства показательной функции. Проверка показала, что х = 100 является корнем уравнения. Ответ: 100. 2 вариант 1 вариант Пример 1. Проверка показала, что оба корня подходят. Ответ: Пример 2. Пусть Получаем уравнение: Оба эти корня удовлетворяют условию уравнения. Ответ: 1) log0.2(х+1)+log0.27=-2 1)2; 2)18; 3) 4) Решение: х + 1 >0, х >-1. 2. log0,27(x + 1)= -2, 7(x + 1) = 0,2-2, 7x + 7 = 52, 7x + 7 = 25, 7x = 25 – 7, 7x = 18, х = Ответ:4. 2) log0.3(7x+5) — log0.33 = log0.34 1)7; 2)0; 3)1; 4)4. Решение: 1.7х + 5 >0, 7х > -5, х> 2. log0,3(7x + 5) = log0,33 + log0,34, log0,3(7x + 5) = log0,312, 7x + 5 = 12, 7x = 12 – 5, 7x = 7, x = 1. Ответ:3 № Задания А201 А202 А203 А204 А205 № ответа 3 2 4 3 1 Алгебра и начала анализа 10 класс. Ю.М.Колягин. Москва, Мнемозина, 2002 год. Н.П.Левченко Математика. Практикум по подготовке к ЕГЭ. Москва, «Вентана — Граф», 2006 год. 3. КИМы по ЕГЭ за несколько лет.

Конспект урока по алгебре «Логарифмические уравнения» для 10 класса

Просмотр содержимого документа
«Конспект урока по алгебре «Логарифмические уравнения» для 10 класса»

Тема: Логарифмические уравнения

Цель урока: повторить понятие и свойства логарифма; изучить способы решения логарифмических уравнений и закрепить их при выполнении упражнений.

— обучающие: повторить определение и основные свойства логарифмов, уметь применять их при вычислении логарифмов и решении логарифмических уравнений;

развивающие: развивать логическое мышление, память, внимание, культуру математической речи;

воспитательные: воспитывать настойчивость, самостоятельность; прививать интерес к предмету.

Тип урока: формирование новых знаний.

Формулирование целей и задач урока

Актуализация опорных знаний

1. Дайте определение логарифма.

2. От любого ли числа можно найти логарифм?

3. Какое число может стоять в основании логарифма?

4. Функция y=log0,8 x является возрастающей или убывающей? Почему?

5. Какие значения может принимать логарифмическая функция?

6. Какие логарифмы называют десятичными, натуральными?

7. Назовите основные свойства логарифмов.

8. Можно ли перейти от одного основания логарифма к другому? Как это сделать?

Изучение нового материала

Определение: Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим.

Простейшим примером логарифмического уравнения служит уравнение .

Способы решения логарифмических уравнений:

Решение уравнений на основании определения логарифма

Уравнения, решаемые с помощью применения основного логарифмического тождества

Метод приведения логарифмов к одному и тому же основанию

Решение уравнений на основании определения логарифма.

имеет решение .

На основе определения логарифма решаются уравнения, в которых:

по данным основаниям и числу определяется логарифм,

по данному логарифму и основанию определяется число,

по данному числу и логарифму определяется основание.

Под потенцированием понимается переход от равенства, содержащего логарифмы, к равенству, не содержащему их т.е. , то , при условии, что .

Пример: Решите уравнение

3

— неверно

Ответ: решений нет.

Уравнения, решаемые с помощью применения основного логарифмического тождества.

Пример: Решите уравнение

– не принадлежит ОДЗ

Метод приведения логарифмов к одному и тому же основанию.

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок № 27. Логарифмические уравнения.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) Понятие простейшего логарифмического уравнения

2) Основные способы решения логарифмический уравнений

3) Общие методы в решении логарифмических уравнений

Глоссарий по теме

Простейшее логарифмическое уравнение. Уравнение вида , где, a > 0, a ≠ 1.

Основные способы решения логарифмических уравнений

1. , где, a > 0, a ≠ 1, то , при условии, что

2. .

Общие методы для решения логарифмических уравнений

  1. Разложение на множители.
  2. Введение новой переменной.
  3. Графический метод.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Базовый и углублённый уровни. – М.: Просвещение, 2014.–384с.

Открытые электронные ресурсы:

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Уравнение вида , где, a > 0, a ≠ 1 называют простейшим логарифмическим уравнением.

Данное уравнение имеет единственное решение, которое мы можем получить графически или по определению логарифма: .

Способы решения логарифмических уравнений:

  1. Если , то (где, a > 0, a ≠ 1,

.

Воспользуемся определением логарифма

;

.

Оба корня удовлетворяют неравенству

  1. Если

Если ,

.

;

;

;

;

.

В данном уравнении систему с ограничивающими условиями можно не составлять, сделав в конце проверку о существовании логарифмов для конкретных значений х.

Сумму логарифмов в левой части заменим логарифмом произведения:

.

Подставим каждый корень в исходное уравнение, получаем верные числовые равенства.

Встречаются уравнения, когда нельзя сразу использовать 1 или 2 правило. В этом случае сначала используют общие методы решения уравнений.

Перенесем все в левую часть:

Можно увидеть общий множитель: .

Для этого приведем к основанию первый логарифм:

.

Вынесем за скобку общий множитель:

Имеем произведение равное нулю. (Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю)

, два простейших логарифмических уравнения.

;

Выполняем проверку. Оба числа являются корнями уравнения.

  1. Введение новой переменной.

Замена: тогда

Обратная замена:

Оба числа являются корнями уравнения.

Ответ: ; 5.

  1. Графический способ решения.

Строим графики левой и правой частей уравнения, определяем абсциссы точек пересечения графиков.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Решите уравнение:

Дважды используем определение логарифма:

№2 Укажите промежуток, содержащий нули функции

.

Возможные варианты ответа:

Решение: Чтобы найти нули функции, приравниваем ее к нулю.

Приведем логарифмы к основанию 5: .

Две равные дроби с равными знаменателями, следовательно, равны и числители. Т. е. Слева и справа логарифмы по одинаковому основанию, значит .


источники:

http://multiurok.ru/files/konspekt-uroka-po-algebre-logarifmicheskie-uravnen.html

http://resh.edu.ru/subject/lesson/4732/conspect/