12 какие уравнения называют показательными каковы основные методы их решения

Показательные уравнения

О чем эта статья:

6 класс, 7 класс

Определение показательного уравнения

Показательными называются уравнения, в которых переменная находится в показателе степени. Простейшее уравнение такого вида: a х = b, где a > 0, a ≠ 1 и a x = a y .

Для решения даже простейших показательных уравнений нужно вспомнить из курса алгебры за 6–7 класс тему «Свойства степенной функции» — советуем повторить ее перед тем, как читать дальнейший материал.

Показательной функцией называют такую: y = a x , где a > 0 и a ≠ 1. У нее есть одно важное для решения показательных уравнений свойство — это монотонность. При a > 1 такая функция непрерывно возрастает, а при a

Свойства степеней

Мы недаром просили повторить свойства степенной функции — на них будет основано решение большей части примеров. Держите небольшую шпаргалку по формулам, которые помогут решать сложные показательные уравнения.

Показательные уравнения и системы

п.1. Определение показательного уравнения

Например:
1) \(5^=5^3\Leftrightarrow x^2+2=3\Leftrightarrow x^2=1\Leftrightarrow x=\pm 1\)
Мы получили решение: \(x=\pm 1\)
2) \(\left(\frac13\right)^<\sqrt>=\frac<1><\sqrt<3>>\Leftrightarrow \left(\frac13\right)^<\sqrt>=\left(\frac13\right)^<1/2>\Leftrightarrow \sqrt=\frac12\Leftrightarrow \begin x-4=\frac14\\ x-4\geq 0 \end \Leftrightarrow x=4\frac14 \)
Мы получили решение: \(x=4\frac14\)

п.2. Методы решения показательных уравнений

Для решения показательных уравнений применяются следующие методы:
1) переход от уравнения \(a^=a^\) к равносильному уравнению \(f(x)=g(x)\);
2) графический метод;
3) замена переменной.

Первый метод был продемонстрирован выше, второй – показан в примере 3 предыдущего параграфа (§26 данного справочника).
Рассмотрим третий метод.

Решим уравнение \(9^x-6\cdot 3^x-27=0\)
Заметим, что \(9^x=3^<2x>\). Проведём замену переменной \(t=3^x\gt 0\)
Получаем: \(t^2-6t-27\Rightarrow (t+3)(t-9)=0\Rightarrow \left[ \begin t=-3\lt 0 — \text<не подходит>\\ t=9 \end \right. \)
Возвращается к исходной переменной: \(3^x=9\Rightarrow 3^x=3^2\Rightarrow x=2\)
Ответ: 2

При замене переменной в показательном уравнении необходимо помнить, что область значений показательной функции \(t=a^x\gt 9\) — всегда положительна.

п.3. Примеры

в) \(3^x\cdot 4^=0,25\cdot 12^<3-2x>\)
Выражение слева: \(3^x\cdot 4^=3^x\cdot 4^=3^x\cdot 4^x\cdot 4^<-1>=\frac14(3\cdot 4)^x=\frac14\cdot 12^x\)
Подставляем: \(\frac14\cdot 12^x=\frac14\cdot 12^<3-2x>\)
\(12^x=12^<3-2x>\)
\(x=3-2x\)
\(3x=3\)
\(x=1\)
Ответ: 1

e) \(5^x-5\cdot 5^<-x>=4\)
Замена: \(t=5^x\gt 0\)
\(t-\frac5t-4=0\Rightarrow\frac=0\Rightarrow \begin t^2-4t-5=0\\ t\ne 0 \end \Rightarrow \begin (t+1)(t-5)=0\\ t\ne 0 \end\Rightarrow \)
\( \Rightarrow \left[ \begin t=-1\lt 0 — \ \text<не подходит>\\ t=5 \end \right. \)
\(5^x=5\)
\(x=1\)
Ответ: 1

в) \(x\cdot 3^+3\cdot 3^<\sqrt<7-x>>=3^x+x\cdot 3^<\sqrt<7-x>>\)
\(x\cdot 3^-3^x=x\cdot 3^<\sqrt<7-x>>-3\cdot 3^<\sqrt<7-x>>\)
\(3^(x-3)=3^<\sqrt<7-x>>(x-3)\)
\(3^(x-3)-3^<\sqrt<7-x>>(x-3)=0\)
\(\left(3^-3^<\sqrt<7-x>>\right)(x-3)=0\)
\( \left[ \begin 3^-3^<\sqrt<7-x>>=0\\ x-3=0 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin 3^=3^<\sqrt<7-x>>\\ x=3 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x-1=\sqrt<7-x>\\ x=3 \end \right. \)
Решаем первое уравнение:
\( \begin (x-1)^2=7-x\\ x-1\geq 0\\ 7-x\geq 0 \end \)
ОДЗ: \( \begin x\geq 1\\ x\leq 7 \end \Rightarrow 1\leq x\leq 7 \)
\(x^2-2x+1=7-x\Rightarrow x^2-x-6\Rightarrow (x+2)(x-3)=0\Rightarrow \left[ \begin x=-2\\ x=3 \end \right. \)
Корень \(x=-2\notin [1;7]\) — не подходит по ОДЗ.
Остается только \(x=3\), который совпадает с корнем из скобки \((x-3)\).
Ответ: 3

г) \(5\cdot 3^<2x>+15\cdot 5^<2x-1>=8\cdot 15^x\) \begin 5\cdot 3^<2x>+\frac<15><5>\cdot 5^<2x>-8\cdot 3^x\cdot 5^x=0\ |:2^<2x>\\ 5+3\cdot\left(\frac53\right)^<2x>-8\cdot\left(\frac53\right)^x=0\\ 3\cdot\left(\frac53\right)^<2x>-8\cdot\left(\frac53\right)^x+5=0 \end Замена: \(t=\left(\frac53\right)^x\gt 0\)
$$ 3t^2-8t+5=0\Rightarrow (3t-5)(t-1)=0\Rightarrow \left[ \begin t=\frac53\\ t=1 \end \right. $$ Оба корня подходят. Возвращаемся к исходной переменной: $$ \left[ \begin \left(\frac53\right)^x=\frac53\\ \left(\frac53\right)^x=1 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=1\\ x=0 \end \right. $$ Ответ:

д) \((2+\sqrt<3>)^x+(2-\sqrt<3>)^x)=4\)
Заметим, что \((2+\sqrt<3>)\cdot(2-\sqrt<3>)=4-3=1\Rightarrow 2-\sqrt<3>=\frac<1><2+\sqrt<3>>\)
\begin \\ (2+\sqrt<3>)^x+\left(\frac<1><2+\sqrt<3>>\right)^x=4 \end Замена: \(t=(2+\sqrt<3>)^x\)
\begin t+\frac 1t-4=0\Rightarrow \frac=0\Rightarrow \begin t^2-4t+1=0\\ t\ne 0 \end\\ D=4^2-4=12,\ \ t=\frac<4\pm 2\sqrt<3>><2>=2\pm\sqrt <3>\end Оба корня подходят. Возвращаемся к исходной переменной: $$ \left[ \begin (2+\sqrt<3>)^x=2-\sqrt<3>\\ (2+\sqrt<3>)^x=2+\sqrt <3>\end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=-1\\ x=1 \end \right. $$ Ответ: \(\left\<\pm 1\right\>\)

e) \(2\sqrt\cdot 4^x+5\cdot 2^+2\sqrt=2^<2x+2>+5\sqrt\cdot 2^x+4\)
ОДЗ: \(x\geq 0\)
\begin 2\sqrt\cdot 4^x-5\sqrt\cdot2^x+2\sqrt=2^<2x+2>-5\cdot 2^+4\\ \sqrt(2\cdot 4^x-5\cdot 2^x+2)=2(2\cdot 4^x-5\cdot 2^x+2)\\ \sqrt(2\cdot 4^x-5\cdot 2^x+2)-2(2\cdot 4^x-5\cdot 2^x+2)=0\\ (\sqrt-2)(2\cdot 4^x-5\cdot 2^x+2)=0\\ \left[ \begin \sqrt-2=0\\ 2\cdot 4^x-5\cdot 2^x+2=0 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=4\\ \begin 2t^2-5t+2=0\\ t=2^x\gt 0 \end \end \right. \end Решаем квадратное уравнение: \begin 2t^2-5t+2=0\Rightarrow (2t-1)(t-2)=0\Rightarrow \left[ \begin t=\frac12\\ t=2 \end \right. \\ \left[ \begin 2^x=\frac12\\ 2^x=2 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=-1\\ x=1 \end \right. \end \(x=-1\) — не подходит по ОДЗ (в исходном уравнении есть \(\sqrt\)).
Остается \(x=1\). И ещё есть \(x=4\) из скобки (\(\sqrt-2\)).
Ответ:

Пример 3. Решите систему:
a) \( \begin 2^x\cdot 4^y=64\\ 3^x\cdot 81^y=3^ <10>\end \) \begin \begin 2^x\cdot 2^<2y>=2^6\\ 3^x\cdot 3^<4y>=3^ <10>\end \Rightarrow \begin 2^=2^6\\ 3^=3^ <10>\end \Rightarrow \begin x+2y=6\\ x+4y=10 \end \overset<(-)> <\Rightarrow>\begin 2y=10-6\\ x=6-2y \end \Rightarrow \begin x=2\\ y=2 \end \end Ответ: (2;2)

в) \( \begin 3^x-2^<2y>=77\\ 3^-2^y=7 \end \)
Замена: \( \begin a=3^\gt 0\\ b=2^y\gt 0 \end \) \begin \\ \begin a^2-b^2=77\\ a-b=7 \end \Rightarrow \begin (a-b)(a+b)=77\\ a-b=7 \end \Rightarrow \begin a+b=11\\ a-b=7 \end \overset<(\pm)> <\Rightarrow>\begin 2a=11+7\\ 2b=11-7 \end \Rightarrow \begin a=9\\ b=2 \end \end Возвращаемся к исходным переменным: $$ \begin 3^=9\\ 2^y=2 \end \Rightarrow \begin \frac x2=2\\ y=1 \end \Rightarrow \begin x=4\\ y=1 \end $$ Ответ: (4;1)

г) \( \begin 2^x+2^y=12\\ x+y=5 \end \)
\( \begin 2^x+2^<5-x>=12\\ y=5-x \end \)
Решаем первое уравнение: \(2^x+\frac<2^5><2^x>=12\)
\(t=2^x\gt 0\) \begin \\ t+\frac<32>-12=0\Rightarrow \frac=0 \Rightarrow \begin t^2-12t+32=0\\ t\ne 0 \end \\ t^2-12t+32=0\Rightarrow (t-4)(t-8)=0\Rightarrow \left[ \begin t=4\\ t=8 \end \right. \\ \left[ \begin 2^x=4\\ 2^x=8 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=2\\ x=3 \end \right. \end Получаем две пары решений: \( \left[ \begin \begin x=2\\ y=5-x=3 \end\\ \begin x=3\\ y=5-x=2 \end \end \right. \)
Ответ:

д*) \( \begin 4^<-x>+4^<-y>=\frac<33><64>\\ 2^=8\sqrt <2>\end \)
\begin \\ \begin \left(\frac12\right)^<2x>+\left(\frac12\right)^<2y>=\frac<33><64>\\ \frac<1><2^>=\frac<1><4\sqrt<2>> \end \Rightarrow \begin \left(\frac12\right)^<2x>+\left(\frac12\right)^<2y>=\frac<33><64>\\ \left(\frac12\right)^x\left(\frac12\right)^y=\frac<1><8\sqrt<2>> \end \end Замена: \( \begin a=\left(\frac12\right)^\gt 0\\ b=\left(\frac12\right)^\gt 0 \end \)
\begin \\ \begin a^2+b^2=\frac<33><64>\\ ab=\frac<1><8\sqrt<2>> \end \Rightarrow \begin a^2+\left(\frac<1><8\sqrt<2>a>\right)^2=\frac<33><64>\\ b=\frac<1><8\sqrt<2>a> \end \Rightarrow \begin a^2+\frac<1><128a^2>=\frac<33><64>\\ b=\frac<1><8\sqrt<2>a> \end \end Решаем биквадратное уравнение: \begin a^2+\frac<1><128a^2>=\frac<33><64>\Rightarrow \frac<128a^4-66a^2+1><128a^2>=0\Rightarrow \begin 128a^4-66a^2+1=0\\ a\ne 0 \end \\ 128a^4-66a^2+1=0\Rightarrow (64a^2-1)(2a^2-1)=0\Rightarrow \left[ \begin a^2=\frac<1><64>\\ a^2=\frac12 \end \right. \end По определению замены берем положительные корни: \( \left[ \begin a=\frac18\\ a=\frac<1><\sqrt<2>> \end \right. \)
Получаем две пары решений: \( \left[ \begin \begin a=\frac18\\ b=\frac<1><8\sqrt<2>a>=\frac<1><\sqrt<2>> \end \\ \begin a=\frac<1><\sqrt<2>>\\ b=\frac<1><8\sqrt<2>a>=\frac18 \end \end \right. \)
Возвращаемся к исходным переменным:
\( \left[ \begin \begin \left(\frac12\right)^x=\frac18\\ \left(\frac12\right)^y=\frac<1><\sqrt<2>> \end \\ \begin \left(\frac12\right)^x=\frac<1><\sqrt<2>>\\ \left(\frac12\right)^y=\frac18 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin \left(\frac12\right)^x=\left(\frac12\right)^3\\ \left(\frac12\right)^y=\left(\frac12\right)^ <0,5>\end \\ \begin \left(\frac12\right)^x=\left(\frac12\right)^<0,5>\\ \left(\frac12\right)^y=\left(\frac12\right)^3 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin x=3\\ y=0,5 \end \\ \begin x=0,5\\ y=3 \end \end \right. \)
Ответ:

Методы решения показательных уравнений

Показательные уравнения — определение

Показательными в алгебре называют уравнения с неизвестным, которое записано в показателе степени.

Простейшее показательное уравнение в теории имеет вид:

Здесь a > 0 , a ≠ 1 .

Пример формулы простейшего показательного уравнения:

При решении показательных уравнений многие математики советуют привести их к следующему виду:

После преобразования необходимо решить уравнение:

Виды показательных уравнений

Существуют разные типы показательных уравнений, как и неравенств. К примеру, самым простым из них является:

Знак перед b определяет количество корней показательного уравнения:

  • при b ≤ 0 решения отсутствуют x ∈ ∅ ;
  • когда b > 0 , x = log a b .

Показательным является уравнение в кратком виде:

В этом случае, неизвестная определяется таким образом:

  1. При b ≤ 0 ⇒ x ∈ ∅ .
  2. При b > 0 ⇒ f x = log a b .

Показательное уравнение может быть записано таким способом:

Данное уравнение является равносильным следующему уравнению:

Другой вариант записи показательного уравнения:

φ x f x = φ x g x

В этом случае возможны следующие решения:

  • при φ x = 1 все части данного уравнения являются равными для каких-либо f x , g x ;
  • при φ x > 0 , φ x ≠ 1 такое уравнение равносильно уравнению f x = g x ;
  • при φ x = 0 уравнение равносильно f x > 0 , g x > 0 .

Записанное показательное уравнение является равносильным совокупности систем:

φ x = 1 , x ∈ R , φ x > 0 , φ x ≠ 1 , f x = g x , φ x = 0 , f x > 0 , g x > 0 .

Существуют показательные уравнения, которые допускается привести к квадратным. Как пример:

A · a 2 x + B · a x + C = 0

В этом случае A отлично от нуля, B и C являются какими-либо числами, a>0 и не равно единице.

В процессе решения подобных показательных уравнений требуется выполнить замену:

При этом t должно быть больше нуля. Получим:

A · a f x + B · a — f x + C = 0

Здесь A, B, a являются какими-либо числами, отличными от нуля. При этом а отлично от единицы, C определяется, как произвольное действительное число. Умножим все части уравнения на a f x > 0 , чтобы свести его к квадратному уравнению:

A · a f x 2 + B + C · a f x = 0

Выполним обратную замену a f x = t , t > 0 и запишем квадратное уравнение:

A t 2 + C t + B = 0

Следующим видом показательных уравнений являются однородные.

Однородные показательные уравнения первой степени являются такими уравнениями, которые записаны в виде:

Свести подобное уравнение к показательному a f x = b несложно. Достаточно обе части равенства разделить на a f x > 0 (или b f x > 0 ) :

a f x b f x = 1 ⇒ a b f x = 1 ⇒ f x = 0

Однородным показательным уравнением второй степени называют уравнение в виде:

A · a 2 f x + B · a f x · b f x + C · b 2 f x = 0

Подобные уравнения решают, согласно стандартному алгоритму. В первую очередь следует сократить обе части уравнения на a 2 f x > 0 , либо на b 2 f x > 0 . Таким образом, выражение примет следующий вид:

A · a 2 f x + B · a f x · b f x + C · b 2 f x = 0 , : b 2 f x > 0

A · a 2 f x b 2 f x + B · a f x · b f x b 2 f x + C = 0

A · a b 2 f x + B · a b f x + C = 0

Если заменить a b f x = t , где t больше нуля, то получится квадратное уравнение:

A t 2 + B t + C = 0

Метод решения показательных уравнений через приведение к одинаковому основанию

В процессе решения показательных уравнений a x = b обычно b заменяют какой-то степенью числа а. В результате уравниваются основания. Важно правильно определить общий множитель, и решение значительно упроститься.

При идентичных основаниях, но отличающихся показателях степени, умножение чисел предполагает сложение степеней, а в процессе деления степени вычитаются.

Рассмотрим правило на примере решения показательного уравнения, содержащего корень:

Заметим, что для чисел 64 и 8 общим множителем является число 2. Запишем степени:

Подставим полученные значения и преобразуем уравнение:

( 1 2 12 ) — x = 1 2 3

1 2 — 12 x = 1 2 2 3

( 1 2 ) — 12 x = ( 1 2 ) 2 3

В результате получилась дробь.

Попробуем решить следующее показательное уравнение. Здесь будет преобразована каждая часть выражения:

( 0 , 5 ) x 2 × 4 x + 1 = 64 — 1

Вычислим, каким должно быть общее основание:

0 , 5 = 1 2 = 2 — 1

В результате получим:

( 2 — 1 ) x 2 × ( 2 2 ) x + 1 = ( 2 6 ) — 1

2 — x 2 × 2 2 x + 2 = 2 — 6

2 — x 2 2 x + 2 = 2 — 6

— x 2 + 2 x + 2 = — 6

Заметим, что для данного показательного уравнения имеется пара решений: -2 и 4

Метод решения показательных уравнений через приведение к одинаковой степени

Не всегда при решении показательных уравнений получается использовать предыдущий метод. В некоторых случаях можно упростить задачу с помощью преобразования показателей степени. Данная методика имеет место лишь в том случае, когда в выражении используются операции умножения или деления.

Умножить числа, которые отличаются основаниями, но имеют идентичные степенные показатели, можно путем умножения лишь оснований. Степень при этом не меняется:

a x b x = ( a b ) x

Потренируемся использовать записанное правило. Решим пример:

5 2 x — 4 = 49 2 — x

В этом случае можно заметить отсутствие общих множителей в обеих частях выражения. Это не позволит найти общее основание и преобразовать уравнение. Тогда поработаем с показателями:

5 2 x — 4 = 49 2 — x

5 2 x — 4 = 7 4 — 2 x

5 2 x — 4 = 1 7 2 x — 4

Закрепить принцип решения показательных уравнений с помощью приведения к одинаковой степени можно на следующем примере:

Приведем части уравнения слева и справа к одному показателю степени. С помощью свойства степенных функций преобразуем правую часть:

2 x — 2 = 1 5 x — 2

Затем следует умножить полученное выражение на 5 x — 2 :

2 x — 2 × 5 x — 2 = 1

Примеры решения показательных уравнений

Найти корни уравнения:

Заметим, что здесь b = 25 > 0 . Таким образом:

Руководствуясь свойствами логарифма, преобразуем выражение:

x = log 5 5 2 = 2 · log 5 5 = 2 · 1 = 2

x 2 x + 1 = x 3 x — 4

Заметим, что данное уравнение равносильно системе:

x = 1 , x ∈ R , x > 0 , x ≠ 1 , 2 x + 1 = 3 x — 4 , x = 0 , 2 x + 1 > 0 , 3 x — 4 > 0

⇒ x = 1 x ∈ 0 ; 1 ∪ 1 ; + ∞ , — x = — 5 , x = 0 , x > — 1 2 , x > 4 3 ⇒

⇒ x = 1 x ∈ 0 ; 1 ∪ 1 ; + ∞ , x = 5 , x = 0 , x > 4 3 ,

Ответ: x 1 = 1 , x 2 = 5

Требуется найти решения уравнения:

2 x — 3 · 4 x = 2 16 x

В первую очередь преобразуем все части равенства так, чтобы основанием было число 2:

Решим приведенное уравнение:

3 x — 3 = 1 2 — 4 x ⇒ 7 x = 7 2 ⇒ x = 1 2 .

Найти корни уравнения:

5 x — 2 · 5 x — 2 = 23

Здесь требуется вынести число 5 в самой маленькой степени, то есть в степени ( х — 2 ). В процессе разделим каждое из слагаемых на этот множитель:

5 x — 2 · 5 x — x — 2 — 2 = 23 ⇒ 5 x — 2 · 5 x — x + 2 — 2 = 23 ⇒ 5 x — 2 · 25 — 2 = 23 ⇒

⇒ 5 x — 2 · 23 = 23 ⇒ 5 x — 2 = 1

x — 2 = log 5 1 ⇒ x — 2 = 0 ⇒ x = 2

С учетом, что 1 = a 0 , уравнение 5 x — 2 = 1 допустимо записать таким образом:

5 x — 2 = 1 ⇒ 5 x — 2 = 5 0 ⇒ x — 2 = 0 ⇒ x = 2

Необходимо решить уравнение:

4 x + 1 — 3 · 2 x = 10

Здесь необходимо привести выражение к единому основанию:

4 x · 4 — 3 · 2 x — 10 = 0 ⇒ 4 · 2 2 x — 3 · 2 x — 10 = 0 ⇒ 4 · 2 x 2 — 3 · 2 x — 10 = 0

Заменим 2 x = t , при этом t больше нуля. Получим:

4 t 2 — 3 t — 10 = 0

Получилось квадратное уравнение, которое можно решить:

D = — 3 2 — 4 · 4 · — 10 = 9 + 160 = 169 = 13 2

t 1 = 3 + 13 2 · 4 = 16 8 = 2

Если выполнить обратную замену, то получится простейшее показательное уравнение 2 x = 2 :

Найти корни уравнения:

3 x + 3 2 — x = 10

3 x + 3 2 · 3 — x = 10 .

Умножим уравнение на 3 x > 0 . Получим:

3 x 2 + 9 = 10 · 3 x ⇒ 3 x 2 — 10 · 3 x + 9 = 0

Заменим 3 x = t , при этом t больше нуля. Получится квадратное уравнение:

t 2 — 10 t + 9 = 0

Согласно теореме Виета, решениями такого уравнения являются:

Выполним обратную замену:

3 x = 9 , 3 x = 1 ⇒ 3 x = 3 2 , 3 x = 3 0

Ответ: x 1 = 2 , x 2 = 0

Вычислить корни уравнения:

В этом случае целесообразно разделить уравнение, то есть все его части, на 3 x + 1 > 0 :

x + 1 = log 2 3 1 ⇒ x + 1 = 0 ⇒ x = — 1

Требуется решить уравнение:

4 x + 6 x = 2 · 9 x

В этом случае следует перенести все слагаемые в левую часть. Затем можно выполнить тождественные преобразования:

2 2 x + 2 · 3 x — 2 · 3 2 x = 0

2 x 2 + 2 x · 3 x — 2 · 3 x 2 = 0 , : 3 2 x > 0

2 3 x 2 + 2 3 x — 2 = 0

Выполним замену 2 3 x = t , где t не равно нулю. В итоге получится квадратное уравнение:

Решения данного уравнения:

t 1 = — 2 0 ∉ , t 2 = 1

Обратная замена даст нам показательное уравнение в простейшем виде:


источники:

http://reshator.com/sprav/algebra/10-11-klass/pokazatelnye-uravneniya-i-sistemy/

http://wika.tutoronline.ru/algebra/class/11/metody-resheniya-pokazatelnyh-uravnenij