13 как выглядит уравнение бернулли для изотермического и адиабатического газовых потоков

Уравнение Бернулли ( формула пример)

Уравнение Бернулли Статическое и динамическое давление

Силы притяжения между молекулами в жидкости больше, чем в газах, но значительно меньше, чем в твердых телах. Частицы жидкости легко взаимно смещаются и под действие тления легко перемещаются из области более высокого давления в сторону более низкого. Это называется тече нием жидкости.

Вследствие наличия сил притяжения взаимное смещение частиц жидкости сопровождается некоторым сопротивлением, которое подобно механическому трению между мелкими частицами твердого вещества и называется внутренним трением, или вязкостью, жидкости. Вязкость жидкости проявляется, например, сопротивлением при помешивании жидкости, замедлением при падении в жидкости предметов и т. д.

Рассмотрим вначале стационарное течение идеальной жидкости (идеальной называется несжимаемая жидкость, не имеющая вязкости; стационарным называется течение, при котором величина скорости в любой точке жидкости со временем не изменяется). Установим для этих условий соотношение между давлением р в жидкости, скоростью движения v ее частиц и положением их в поле силы тяжести, характеризуемое высотой Л над некоторым уровнем отсчета (рис. 2).

Уравнение Бернулли

В соответствии с законом сохранения энергии полная энергия некоторой массы m (имеющей объем V) идеальной жидкости при течении остается неизменной, так как в ней отсутствуют потери на внутреннее трение.

Полная энергия составляется из потенциальной энергии давления (Еn = pV), потенциальной энергии тяжести (E«п = mgh) и кинетической энергии (Ек = m υ 2 /2). На основании сказанного: pV + mgh + (m υ 2 /2) = const.

Соответственно для каких-либо двух положений массы т идеальной жидкости, например в точках А и Б (рис. 2):

Если предпоследнее уравнение разделить почленно на объем V жидкости, то учитывая, что m/V есть плотность ρ жидкости, получим:

Это и есть уравнение Бернулли.

Для движения жидкости в горизонтальных трубках силу тяжести можно не учитывать и тогда уравнение Бернулли принимает вид:

Из этого уравнения следует вывод, называемый правилом Бернулли: давление невязкой жидкости, текущей по горизонтальной трубе, выше там, где скорость ее меньше, и наоборот.

Пример расчета по формуле

Рассмотрим течение жидкости по трубе с неодинаковым сечением. Течение называется непрерывным, если через любое сечение трубы в единицу времени протекает одинаковое количество (объем) жидкости. При этом скорость движения жидкости на участках трубы обратно пропорциональна площади их сечений.

Действительно не трудно доказать, что объем V0 жидкости, протекающей в единицу времени через любое сечение трубы, может быть выражен произведением площади S сечения трубы на скорость υ течения жидкости: V0=Sυ. По условию этот объем постоянен для любого сечения трубы, следовательно,

т. е. произведение скорости течения жидкости на поперечное сечение струи есть величина постоянная. Это соотношение называют уравнением неразрывности струи.

Если обозначить сечение и скорость движения на участках трубы соответственно S1 и υ1 S2 и υ2, то согласно сказанному:

Скорость течения жидкости в трубе с переменным сечением обратно пропорциональна площади этих сечений.

При этом в соответствии с правилом Бернулли на участках меньшего сечения трубы давление будет ниже, на участках большего сечения — выше (рис. , а). Поясним механизм этого явления. При переходе на участок трубы меньшего сечения (линия ab на рис. , б) частицы жидкости ускоряются, на что затрачивается часть силы Р4, создающей давление на более широком участке (по условию равновесия частиц жидкости Р1= Р2+Fу, где Р2 — сила, создающая давление на суженном участке, Fу — сила, обеспечивающая ускорение частиц).

Наоборот, при переходе на участок с большим сечением (линия cd на рис. 82, б) частицы жидкости набегают на лежащую впереди и более медленно двигающуюся массу жидкости и, затормаживаясь, создают дополнительную силу Fт, повышающую давление на более широком участке (аналогично P3=P2 + Fт).

Можно подобрать условия, при которых давление жидкости в сужен ном участке трубы станет ниже атмосферного и тогда в этом месте струя будет обладать всасывающим действием. Всасывающее действие струи газа, пара или воды, выходящей из суженного отверстия с большой скоростью, используется в ряде приборов, применяемых в медицинской практике (ингалятор, водоструйный насос и др.).

Паровой ингалятор

Это прибор для вдыхания жидких лекарственных веществ в распыленном виде. Он состоит из кипятильника В, стакана К с лекарственной жидкостью и вставленной в него тонкой трубкой Т и направляющего патрубка С. Струя пара выходит из трубки кипятильника с большой скоростью. Вследствие этого давление около ее отверстия падает и лекарственная жидкость, всасываясь по трубке Т, поступает в струю, распыляется и, смешиваясь с паром, вдыхается больным через патрубок С

Водоструйный насос состоит из стеклянного сосуда Н, в который впаяно три трубки. Трубка имеет на конце коническое сужение. Насос присоединяется к водоводу и колбе К, из которой производится отсасывание. Вода, имеющая достаточно высокое давление, выходит из суженного конца трубки 1 с большей скоростью. Давление у отверстия трубки резко снижается и в сосуд А через трубку 2 засасывается воздух или жидкость, которые вместе с водой удаляются через трубку 3. Водоструйный насос удобен тем, что он не имеет вращающихся частей, требующих смазки, бесшумен и гигиеничен. Поэтому он часто применяется в лабораториях, операционных и т. п.

В уравнении Бернулли давление р называется статическим давлением рс жидкости. Оно может быть измерено обычным манометром, который двигается вместе с жидкостью, или практически при помощи неподвижной манометрической трубки, плоскость отверстия которой расположена параллельно направлению движения жидкости.

Второй член уравнения Бернулли (ρυ2/2)также имеет размерность давления и называется динамическим давлением рд в жидкости. Сумма статического и динамического давлений называется полным давлением р в жидкости:

Для измерения его применяют манометрическую трубку, изогнутую под прямым углом и помещенную отверстием навстречу движению жидкости. Частицы жидкости, заходящие в отверстие трубки полностью тормозятся в ней: скорость υ2 частиц жидкости в отверстии рав няется нулю: υ 2=0. Тогда по уравнению Бернулли

Следовательно, давление р2 в трубке:

где р1 — давление и υ1 — скорость движущейся жидкости

Если в струю жидкости поставить рядом две такие трубки, то разность уровней в трубках будет соответствовать динамическому давлению. На этом основан способ измерения скорости движения жидкости или газа В струю погружают две скрепленные вместе измерительные трубки, прямую и изогнутую (подобное устройство называется трубкой Пито), которые соединяются с U= образным манометром. Манометр покажет динамическое давление, по величине которого, пользуясь приведенной выше формулой, вычисляют искомую скорость:

Статья на тему Уравнение Бернулли

Похожие страницы:

Понравилась статья поделись ей

Leave a Comment

Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.

13 как выглядит уравнение бернулли для изотермического и адиабатического газовых потоков

Документальные учебные фильмы. Серия «Физика».

Даниил Бернулли (Daniel Bernoulli; 29 января (8 февраля) 1700 — 17 марта 1782), швейцарский физик-универсал, механик и математик, один из создателей кинетической теории газов, гидродинамики и математической физики. Академик и иностранный почётный член (1733) Петербургской академии наук, член Академий: Болонской (1724), Берлинской (1747), Парижской (1748), Лондонского королевского общества (1750). Сын Иоганна Бернулли.

Закон (уравнение) Бернулли является (в простейших случаях) следствием закона сохранения энергии для стационарного потока идеальной (то есть без внутреннего трения) несжимаемой жидкости:

— плотность жидкости, — скорость потока, — высота, на которой находится рассматриваемый элемент жидкости, — давление в точке пространства, где расположен центр массы рассматриваемого элемента жидкости, — ускорение свободного падения.

Уравнение Бернулли также может быть выведено как следствие уравнения Эйлера, выражающего баланс импульса для движущейся жидкости.

В научной литературе закон Бернулли, как правило, называется уравнением Бернулли(не следует путать с дифференциальным уравнением Бернулли), теоремой Бернулли или интегралом Бернулли.

Константа в правой части часто называется полным давлением и зависит, в общем случае, от линии тока.

Размерность всех слагаемых — единица энергии, приходящаяся на единицу объёма жидкости. Первое и второе слагаемое в интеграле Бернулли имеют смысл кинетической и потенциальной энергии, приходящейся на единицу объёма жидкости. Следует обратить внимание на то, что третье слагаемое по своему происхождению является работой сил давления и не представляет собой запаса какого-либо специального вида энергии («энергии давления»).

Соотношение, близкое к приведенному выше, было получено в 1738 г. Даниилом Бернулли, с именем которого обычно связывают интеграл Бернулли. В современном виде интеграл был получен Иоганном Бернулли около 1740 года.

Для горизонтальной трубы высота постоянна и уравнение Бернулли принимает вид: .

Эта форма уравнения Бернулли может быть получена путём интегрирования уравнения Эйлера для стационарного одномерного потока жидкости, при постоянной плотности : .

Согласно закону Бернулли, полное давление в установившемся потоке жидкости остается постоянным вдоль этого потока.

Полное давление состоит из весового , статического и динамического давлений.

Из закона Бернулли следует, что при уменьшении сечения потока, из-за возрастания скорости, то есть динамического давления, статическое давление падает. Это является основной причиной эффекта Магнуса. Закон Бернулли справедлив и для ламинарных потоков газа. Явление понижения давления при увеличении скорости потока лежит в основе работы различного рода расходомеров (например труба Вентури), водо- и пароструйных насосов. А последовательное применение закона Бернулли привело к появлению технической гидромеханической дисциплины — гидравлики.

Закон Бернулли справедлив в чистом виде только для жидкостей, вязкость которых равна нулю. Для приближённого описания течений реальных жидкостей в технической гидромеханике (гидравлике) используют интеграл Бернулли с добавлением слагаемых, учитывающих потери на местных и распределенных сопротивлениях.

Известны обобщения интеграла Бернулли для некоторых классов течений вязкой жидкости (например, для плоскопараллельных течений), в магнитной гидродинамике, феррогидродинамике.

В статье были спользованны материалы Wikipedia

Уравнение Эйлера в форме Громека для движения газа

34. Интеграл Бернулли в изотермическом процессе течении ид. газа.

Этот интеграл называется интегралом Бернулли. Из уравнения (3.38) следует, что сумма удельной кинетической (первое слагаемое), удельной потенциальной (второе слагае-мое) энергий и удельной работы сил давления (третье слагае-мое) для безвихревого потока — величина постоянная.

При изотермическом процессе Т = const, поэтому отношение давления к плотности газа есть величина постоянная и функция давления имеет вид:

Интеграл Бернулли для поля сил тяжести тогда запишется так:

В большинстве случаев, однако, считать происходящие в газе процессы изотермическими не совсем верно, но поскольку все эти процессы являются быстро протекающими, т.е. теплообмен с внешней средой не успевает происходить, то исключительно важное значение в гидромеханике приобретают адиабатические процессы. (если тебе попался этот вопрос, лучше не пизди про адиабатический процесс, а то получишь порцию вопросов. Просто имей ввиду на всякий случай)

35. Интергал Бернулли в адиабатическом процессе течения идеального газа.

Этот интеграл называется интегралом Бернулли. Из уравнения (3.38) следует, что сумма удельной кинетической (первое слагаемое), удельной потенциальной (второе слагае-мое) энергий и удельной работы сил давления (третье слагае-мое) для безвихревого потока — величина постоянная.

Как известно, при адиабатическом процессе


36. Уравнение Бернулли в условиях действия на идеальную жидкость сил тяжести центробежных сил.

Рассматриваемый случай описывает движение идеальных жидкостей в различных обогатительных устройствах (гидроциклонах, классификаторах и др.), где имеет место вра-щение жидкости вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью u и поступательное движение вдоль той же оси со скоростью u0.

Выберем прямоугольную систему координат, вертикальная ось Z которой совпадает с осью вращения (рис. 3.1). Очевидно, что отнесенные к единице массы проекции сил инерции на координатные оси будут иметь следующий вид:

Потенциал этих массовых сил:

Тогда интеграл Бернулли для рассматриваемого случая будет иметь такой вид:

или, поделив на величину ускорения силы тяжести g и приведя тем самым выражение к размерности длины, получим зависимость

37. Истечение идеальной жидкости из отверстий. Вывод формулы Торричелли.

Пусть в сосуде поддерживается постоянный уровень жидкости Н. Предположим, что давление окружающей среды в сосуде р1, а в атмосфере р2. Запишем интеграл Бернулли для сечений I-I (поверхность воды в сосуде) и II-II (струя жидкости на выходе из сосуда в так называемом сжатом сечении, имеющем минимальную площадь):

В силу малости поперечного сечения отверстия в сравнении с площадью сосуда можно считать, что скорость движения жидкости в сосуде равна нулю. Тогда скорость истечения жидкости из малого отверстия:

Если давление в сосуде равно атмосферному, то равенство превращается в известную формулу Торричелли:

38. Адиабатическое истечение газа из отверстия в сосуде.

Будем пренебрегать скоростью газа внутри сосуда в сравнении со скоростью газа в выходном сечении. Таким образом, можно считать, что внутри сосуда газ находится в состоянии покоя при адиабатическом процессе без потерь энергии. Такое состояние газа принято называть заторможенным, а его параметры — параметрами заторможенного газа (обычно они обозначаются нулевым индексом).

Для определения скорости истечения газа из сосуда воспользуемся интегралом Бернулли в виде:

Из полученной формулы видно, что максимальная ско-рость истечения газа достигается при р = 0, т. е. при истече-нии в абсолютный вакуум:

Для случая истечения воздуха, находящегося в резервуаре под атмосферным давлением при температуре 288 К, в абсолютный вакуум максимальная скорость истечения составит

Если переписать интеграл Бернулли через скорость звука в газе

то нетрудно получить такую взаимосвязь скоростей звука и течения газа:

Из уравнения (3.63) следует, что с увеличением скорости истечения скорость звука должна уменьшаться. Теоретически при достаточно большом перепаде давлений в сосуде и вне его (и, как показывает практика, сужающемся насадке) скорость истечения может достигнуть скорости звука. Скорость потока, равная местной скорости звука, называется критической скоростью потока.

При достижении критической скорости дальнейшее увеличение разности давлений в сосуде и вне его не приводит к увеличению скорости истечения; говорят, что сосуд заперт потоком со звуковой скоростью. Очевидно, критическая ско-рость определится из равенства:

Если подставить критическое значение скорости в инте-грал Бернулли, то можно для адиабатического процесса по-лучить выражения для определения критических параметров газа (приведем их здесь без детального вывода):

39. Вывод формулы клепсидры

Клепсидрой называется форма сосуда, употребляемого для водяных часов, в которых уровень жидкости должен уменьшаться равномерно с постоянной скоростью V <рис. 3.3). Найдем уравнение образующей клепсидры

.

Обозначим площадь переменного уровня жидкости через w, площадь отверстия в нижней части сосуда оэо и скорость истечения жидкости из отверстия Vо. Согласно уравнению нераз-рывности

По формуле Торричелли:

а площадь сечения в верхней части сосуда

Подставляя эти выражения в (3.67), получим

отсюда уравнение клепсидры имеет вид параболы четвертой степени:

40. Модели движения вязкой жидкости: гипотеза Кулона, гипотеза Жирара и Прони, гипотеза Навье.

Физической причиной вязкости являются молекулярные взаимодействия между частицами жидкости или между моле-кулами разных жидкостей и твердых тел. Условия на границе вязкой жидкости с твердым телом отличаются от подобных же условий в идеальной жидкости.

Гипотезы распределения скоростей на Гранине потока с твердым телом

Как известно, в идеальной жидкости предполагается сво-бодное ее скольжение без трения, и эпюра распределения скоро-стей потока вблизи твердой поверхности представлена прямой линией при постоянстве величины самой скорости (рис. 4.1, а).

Для вязкой жидкости было выдвинуто несколько гипотез распределения скоростей движения по сечению потока. Так, по предположению Кулона, при отсутствии скольжения эпюра распределения скоростей потока представлена квадратичной параболой (рис. 4.1,

б); по гипотезе Жирара и Прони (имеется связанный со стенкой неподвижный слой жидкости) усеченной квадратичной параболой с началом на границе неподвижного слоя (рис. 4.1, в), а по гипотезе Навье, которая в настоящее время рассматривается как основополагающая, — усеченной квадратичной параболой с началом на границе твердого тела (рис. 4.1, г).

41. Уравнение Навье-Стокса

Уравне́ния Навье́ — Сто́кса — система дифференциальных уравнений в частных производных, описывающая движение вязкой ньютоновской жидкости. Уравнения Навье — Стокса являются одними из важнейших в гидродинамике и применяются в математическом моделировании многих природных явлений и технических задач. Названы по имени французского физика Анри Навье и британского математика Джорджа Стокса.

Система состоит из двух уравнений:

Часто уравнениями Навье — Стокса называют только одно векторное уравнение движения [1] .

В векторном виде для несжимаемой жидкости они записываются следующим образом:

где — оператор набла, — векторный оператор Лапласа, — время, — коэффициент кинематической вязкости, — плотность, — давление,

— векторное поле скоростей, — векторное поле массовых сил. Неизвестные и являются функциями времени и координаты , где , — плоская или трёхмерная область, в которой движется жидкость. Обычно в систему уравнений Навье — Стокса добавляют краевые и начальные условия, например:

Иногда в систему уравнений Навье — Стокса дополнительно включают уравнение теплопроводности и уравнение состояния.

При учёте сжимаемости уравнения Навье — Стокса принимают следующий вид:

где — коэффициент динамической вязкости (сдвиговая вязкость), — «вторая вязкость», или объёмная вязкость, — дельта Кронекера.

Будучи дополненной уравнениями переноса тепла и переноса массы, а также соответствующих массовых сил, система уравнений Навье — Стокса может описывать конвекцию, термодиффузию в жидкостях, поведение многокомпонентных смесей различных жидкостей .


источники:

http://forkettle.ru/vidioteka/estestvoznanie/47-fizika/gidravlika/109-uravnenie-bernulli

http://zdamsam.ru/b66671.html