15 логарифмическое уравнение сводимое к квадратному основание натуральное число

Логарифмическое уравнение: решение на примерах

Как решить логарифмическое уравнение? Этим вопросом задаются многие школьники, особенно в преддверии сдачи ЕГЭ по математике. Ведь в задании С1 профильного ЕГЭ могут встретиться именно логарифмические уравнения.

Уравнение, в котором неизвестное находится внутри логарифмов, называется логарифмическим. Причем неизвестное может находится как в аргументе логарифма, так и в его основании.

Способов решения таких уравнений существует несколько. В этой статье мы разберем способ, который легко понять и запомнить.

Как решать уравнения с логарифмами: 2 способа с примерами

Решить логарифмическое уравнение можно разными способами. Чаще всего в школе учат решать логарифмическое уравнение с помощью определения логарифма. То есть мы имеем уравнение вида:Вспоминаем определение логарифма и получаем следующее:Таким образом мы получаем простое уравнение, которое сможем легко решить.

При решении логарифмических уравнений важно помнить об области определения логарифма, т.к. аргумент f(x) должен быть больше ноля. Поэтому после решения логарифмического уравнения мы всегда делаем проверку!

Давайте посмотрим, как это работает на примере:

Воспользуемся определением логарифма и получим:

Теперь перед нами простейшее уравнение, решить которое не составит труда:

Сделаем проверку. Подставим найденный Х в исходное уравнение:Так как 3 2 = 9, то последнее выражение верно. Следовательно, х = 3 является корнем уравнения.

Основной минус данного метода решения логарифмических уравнений в том, что многие ребята путают, что именно нужно возводить в степень. То есть при преобразовании logaf(x) = b, многие возводят не a в степень b, а наоборот b в степень a. Такая досадная ошибка может лишить вас драгоценных баллов на ЕГЭ.

Поэтому мы покажем еще один способ решения логарифмических уравнений.

Чтобы решить логарифмическое уравнение, нам нужно привести его к такому виду, когда и в правой, и в левой части уравнения будут стоять логарифмы с одинаковыми основаниями. Это выглядит вот так:

Когда уравнение приведено к такому виду, то мы можем «зачеркнуть» логарифмы и решить простое уравнение. Давайте разбираться на примере.

Решим еще раз то же самое уравнение, но теперь этим способом:В левой части у нас логарифм с основанием 2. Следовательно, правую часть логарифма нам нужно преобразовать так, чтобы она тоже содержала логарифм с основанием 2.

Для этого вспоминаем свойства логарифмов. Первое свойство, которое нам здесь понадобится – это логарифмическая единица. Напомним его:То есть в нашем случае:Возьмем правую часть нашего уравнения и начнем ее преобразовывать:Теперь нам нужно 2 тоже внести в логарифмическое выражение. Для этого вспоминаем еще одно свойство логарифма:

Воспользуемся этим свойством в нашем случае, получим:Мы преобразовали правую часть нашего уравнения в тот вид, который нам был нужен и получили:Теперь в левой и в правой частях уравнения у нас стоят логарифмы с одинаковыми основаниями, поэтому мы можем их зачеркнуть. В результате, получим такое уравнение:

Да, действий в этом способе больше, чем при решении с помощью определения логарифма. Но все действия логичны и последовательны, в результате чего шансов ошибиться меньше. К тому же данный способ дает больше возможностей для решения более сложных логарифмических уравнений.

Разберем другой пример:Итак, как и в предыдущем примере применяем свойства логарифмов и преобразовываем правую часть уравнения следующим образом:После преобразования правой части наше уравнение принимает следующий вид:Теперь можно зачеркнуть логарифмы и тогда получим:Вспоминаем свойства степеней:

Теперь делаем проверку:то последнее выражение верно. Следовательно, х = 3 является корнем уравнения.

Еще один пример решения логарифмического уравнения:Преобразуем сначала левую часть нашего уравнения. Здесь мы видим сумму логарифмов с одинаковыми основаниями. Воспользуемся свойством суммы логарифмов и получим:Теперь преобразуем правую часть уравнения:Выполнив преобразования правой и левой частей уравнения, мы получили:Теперь мы можем зачеркнуть логарифмы:

Решим данное квадратное уравнение, найдем дискриминант:

Сделаем проверку, подставим х1 = 1 в исходное уравнение:Верно, следовательно, х1 = 1 является корнем уравнения.

Теперь подставим х2 = -5 в исходное уравнение:Так как аргумент логарифма должен быть положительным, выражение не является верным. Следовательно, х2 = -5 – посторонний корень.

Пример решения логарифмического уравнения с разными основаниями

Выше мы решали логарифмические уравнения, в которых участвовали логарифмы с одинаковыми основаниями. А что же делать, если основания у логарифмов разные? Например,

Правильно, нужно привести логарифмы в правой и левой части к одному основанию!

Итак, разберем наш пример:Преобразуем правую часть нашего уравнения:

Мы знаем, что 1/3 = 3 -1 . Еще мы знаем свойство логарифма, а именно вынесение показателя степени из логарифма:Применяем эти знания и получаем:Но пока у нас есть знак «-» перед логарифмом в правой части уравнения, зачеркивать мы их не имеем права. Необходимо внести знак «-» в логарифмическое выражение. Для этого воспользуемся еще одним свойством логарифма:

Тогда получим:Вот теперь в правой и левой части уравнения у нас стоят логарифмы с одинаковыми основаниями и мы можем их зачеркнуть:Делаем проверку:Если мы преобразуем правую часть, воспользовавшись свойствами логарифма, то получим:Верно, следовательно, х = 4 является корнем уравнения.

Пример решения логарифмического уравнения с переменными основаниями

Выше мы разобрали примеры решения логарифмических уравнений, основания которых были постоянными, т.е. определенным значением – 2, 3, ½ … Но в основании логарифма может содержаться Х, тогда такое основание будет называться переменным. Например, logx+1(х 2 +5х-5) = 2. Мы видим, что основание логарифма в данном уравнении – х+1. Как же решать уравнение такого вида? Решать мы его будем по тому же принципу, что и предыдущие. Т.е. мы будем преобразовывать наше уравнение таким образом, чтобы слева и справа были логарифмы с одинаковым основанием.Преобразуем правую часть уравнения:Теперь логарифм в правой части уравнения имеет такое же основание, как и логарифм в левой части:Теперь мы можем зачеркнуть логарифмы:Но данное уравнение неравносильно исходному уравнению, так как не учтена область определения. Запишем все требования, относящиеся к логарифму:

1. Аргумент логарифма должен быть больше ноля, следовательно:

2. Основание логарифма должно быть больше 0 и не должно равняться единице, следовательно:

Сведем все требования в систему:

Данную систему требований мы можем упростить. Смотрите х 2 +5х-5 больше ноля, при этом оно приравнивается к (х + 1) 2 , которую в свою очередь так же больше ноля. Следовательно, требование х 2 +5х-5 > 0 выполняется автоматически и мы можем его не решать. Тогда наша система будет сведена к следующему:Перепишем нашу систему:Следовательно, наша система примет следующий вид:Теперь решаем наше уравнение:Справа у нас квадрат суммы:Данный корень удовлетворяет наши требования, так как 2 больше -1 и не равно 0. Следовательно, х = 2 – корень нашего уравнения.

Для полной уверенности можем выполнить проверку, подставим х = 2 в исходное уравнение:

Т.к. 3 2 =9, то последнее выражение верно.

Как сделать проверку

Еще раз обращаем ваше внимание, что при решении логарифмических уравнений необходимо учитывать область допустимых значений. Так, основание логарифма должно быть больше ноля и не должно равняться единице. А его аргумент должен быть положительным, т.е. больше ноля.

Если наше уравнение имеет вид loga (f(x)) = loga (g(x)), то должны выполняться следующие ограничения:

После решения логарифмического уравнения нужно обязательно сделать проверку. Для этого вам необходимо подставить получившееся значения в исходное уравнение и посчитать его. Времени это займет немного, зато позволит не записать в ответ посторонние корни. Ведь так обидно правильно решить уравнение и при этом неправильно записать ответ!

Итак, теперь вы знаете, как решить логарифмическое уравнение с помощью определения логарифма и с помощью преобразования уравнения, когда в обеих его частях стоят логарифмы с одинаковыми основаниями, которые мы можем «зачеркнуть». Отличное знание свойств логарифма, учет области определения, выполнение проверки – залог успеха при решении логарифмических уравнений.

Технологическая карта» Решение логарифмических уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 300 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

§5.1. Решение логарифмических уравнений

2 вид — интерпретация

Решение логарифмического уравнения с помощью определения

1 вид — рецептивный

Решение логарифмического уравнения, применяя свойство «логарифм произведения»

1 вид — рецептивный

Решение логарифмического уравнения, применяя свойство «логарифм частного»

2 вид — интерпретация

Решение логарифмического уравнения, сводимого к линейному

1 вид — рецептивный

Логарифмирование показательного уравнения, применение логарифма степени

2 вид — интерпретация

Решение логарифмического уравнения, используя правило «сумма логарифмов»

2 вид — интерпретация

В решении используется определение логарифма.

1 вид — рецептивный

В решении используется определение логарифма.

2 вид — интерпретация

Использование свойств логарифмов.

2 вид — интерпретация

Решение логарифмического уравнения, логарифм в квадрате.

2 вид — интерпретация

Разложение на множители.

2 вид — интерпретация

Решение логарифмического уравнения, сводимого к дробно-рациональному (разность логарифмов)

2 вид — интерпретация

Логарифмирование показательного уравнения, применение основного логарифмического тождества

2 вид — интерпретация

Решение логарифмического уравнения, сводимого к линейному

2 вид — интерпретация

Решение логарифмического уравнения, сводимого к квадратному (теорема Виета)

2 вид — интерпретация

Решение логарифмического уравнения, сводимого к квадратному (теорема Виета)

2 вид — интерпретация

Решение логарифмического уравнения, сводимого к квадратному (сумма логарифмов)

2 вид — интерпретация

Решение логарифмического уравнения методом введения новой переменной, применяя свойство «логарифм частного»

2 вид — интерпретация

Решение логарифмического уравнения, сводимого к алгебраическому

2 вид — интерпретация

Решение логарифмического уравнения, сводимого к алгебраическому

2 вид — интерпретация

Использование свойств логарифмов.

2 вид — интерпретация

Преобразование в алгебраическое уравнение.

2 вид — интерпретация

В решении используется определение логарифма, неизвестное в основании логарифма.

2 вид — интерпретация

Равенство произведения нулю.

2 вид — интерпретация

Определения количества корней логарифмического уравнения графическим методом.

2 вид — интерпретация

Преобразование в алгебраическое уравнение с использованием свойств логарифмов.

2 вид — интерпретация

Решение логарифмического уравнения

2 вид — интерпретация

Решение логарифмического уравнения

2 вид — интерпретация

Решение логарифмического уравнения

2 вид — интерпретация

Решение логарифмического уравнения методом введения новой переменной.

2 вид — интерпретация

В ходе решения логарифмического уравнения, получается квадратное уравнение. Решая и проверяя корни, делается вывод о их принадлежности к решению уравнения.

Предлагается решить логарифмическое уравнение с неизвестным как под знаком логарифма, так и с неизвестным в основании. Выбрать затем корень, который подходит по ОДЗ.

2 вид — интерпретация

Решение логарифмического уравнения, сводимого к дробно-рациональному ( новая переменная)

Решение логарифмического уравнения

2 вид — интерпретация

Произведение равно нулю, с тригонометрией (сложное).

Решение логарифмического уравнения, сводимого к дробно-рациональному ( новая переменная)

Решение показательного уравнения (логарифмические корни)

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

  • Сейчас обучается 692 человека из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

  • Сейчас обучается 862 человека из 78 регионов

Курс повышения квалификации

Педагогическая деятельность в контексте профессионального стандарта педагога и ФГОС

  • Сейчас обучается 48 человек из 20 регионов

«Мотивация здорового образа жизни. Организация секций»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

  • Для всех учеников 1-11 классов
    и дошкольников
  • Интересные задания
    по 16 предметам

«Как закрыть гештальт: практики и упражнения»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Дистанционные курсы для педагогов

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 843 526 материалов в базе

Материал подходит для УМК

«Математика (базовый уровень) », Мордкович А.Г., Смирнова И.М.

§ 12. Логарифмические уравнения

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Другие материалы

  • 27.03.2021
  • 127
  • 1

  • 27.03.2021
  • 167
  • 4

  • 26.03.2021
  • 88
  • 1

  • 26.03.2021
  • 104
  • 3

  • 26.03.2021
  • 112
  • 4

  • 26.03.2021
  • 384
  • 13

  • 26.03.2021
  • 88
  • 1

  • 26.03.2021
  • 191
  • 4

«Учись, играя: эффективное обучение иностранным языкам дошкольников»

Свидетельство и скидка на обучение
каждому участнику

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

  • 27.03.2021 164
  • DOCX 18.7 кбайт
  • 1 скачивание
  • Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Балаева Гюлейбат Вейсовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

  • На сайте: 1 год
  • Подписчики: 2
  • Всего просмотров: 4019
  • Всего материалов: 23

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Минобрнауки отменило плановые и внеплановые проверки вузов в 2022 году

Время чтения: 1 минута

Онлайн-конференция о профессиональном имидже педагога

Время чтения: 2 минуты

Российские школьники начнут изучать историю с первого класса

Время чтения: 1 минута

Инфофорум о буллинге в школе: итоги и ключевые идеи

Время чтения: 6 минут

С 1 сентября в российских школах будут исполнять гимн России

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения рекомендует школьникам сдавать телефоны перед входом в школу

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Логарифмические уравнения

Прежде чем решать логарифмические уравнения, повторим еще раз определение логарифма и основные формулы.

Логарифм положительного числа b по основанию a — это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b.

При этом 0,\;a> 0,\;a\neq 1′ alt=’b> 0,\;a> 0,\;a\neq 1′ />.

Обратим внимание на область допустимых значений логарифма:

Основное логарифмическое тождество:

Основные формулы для логарифмов:

(Логарифм произведения равен сумме логарифмов)

(Логарифм частного равен разности логарифмов)
(Формула для логарифма степени)

Формула перехода к новому основанию:

Мы знаем, как выглядит график логарифмической функции. Эта функция монотонна. Если основание логарифма больше единицы, логарифмическая функция монотонно возрастает. Если основание больше нуля и меньше единицы, логарифмическая функция монотонно убывает. И в любом случае каждое свое значение она принимает только один раз. Это значит, что если логарифмы двух чисел по какому-либо основанию равны, то равны и сами числа.

Все это пригодится нам в решении логарифмических уравнений.

Простейшие логарифмические уравнения

Основания логарифмов равны, сами логарифмы тоже равны – значит, равны и числа, от которых они берутся.
Обычно ученики запоминают это правило в краткой жаргонной формулировке: «Отбросим логарифмы!» Конечно, мы «отбрасываем» их не просто так, а пользуясь свойством монотонности логарифмической функции.

Решая логарифмические уравнения, не забываем про область допустимых значений логарифма. Помним, что выражение определено при 0,\;a> 0,\;a\neq 1′ alt=’b> 0,\;a> 0,\;a\neq 1′ />.

Очень хорошо, если вы, найдя корень уравнения, просто подставите его в уравнение. Если после такой подстановки левая или правая часть уравнения не имеют смысла – значит, найденное число не является корнем уравнения и не может быть ответом задачи. Это хороший способ проверки на ЕГЭ.

2. Решите уравнение:

В левой части уравнения – логарифм, в правой – число 7. Применив основное логарифмическое тождество, представим число 7 в виде . Дальше все просто.

3. Решите уравнение:

Видите число 2 перед логарифмом в правой части уравнения? Сейчас оно мешает вам «отбросить логарифмы». Что с ним сделать, чтобы в левой и правой частях были просто логарифмы по основанию 5? Конечно же, поможет формула для логарифма степени.

4. Решите уравнение:

Область допустимых значений: 0.’ alt=’4+x> 0.’ /> Значит, -4.’ alt=’x> -4.’ />

Представим 2 в правой части уравнения как — чтобы слева и справа в уравнении были логарифмы по основанию 5.

Функция монотонно возрастает и каждое свое значение принимает ровно один раз. Логарифмы равны, их основания равны. «Отбросим» логарифмы! Конечно, при этом -4′ alt=’x> -4′ />.

5. Решите уравнение:

Запишем решение как цепочку равносильных переходов. Записываем ОДЗ и «убираем» логарифмы:

0\\ x^<2>-4> 0\\ x^<2>+x=x^<2>-4 \end\right.\Leftrightarrow \left\ <\beginx^<2>+x> 0\\ x^<2>-4> 0\\ x=-4 \end\right.\Leftrightarrow x=-4′ alt=’\log _<8>\left ( x^<2>+x \right )=\log _<8>\left ( x^<2>-4 \right )\Leftrightarrow \left\ <\beginx^<2>+x> 0\\ x^<2>-4> 0\\ x^<2>+x=x^<2>-4 \end\right.\Leftrightarrow \left\ <\beginx^<2>+x> 0\\ x^<2>-4> 0\\ x=-4 \end\right.\Leftrightarrow x=-4′ />
Ответ: –4.

Заметим, что решения логарифмических уравнений лучше всего записывать в виде цепочки равносильных переходов. Это поможет нам не забыть про область допустимых значений.

Перейдем от логарифма по основанию 4 (в показателе) к логарифму по основанию 2. Мы делаем это по формуле перехода к другому основанию:

Запишем решение как цепочку равносильных переходов.

0 \end\right.\Leftrightarrow \left\ <\begin\left (2^<\log _<2>\left ( 4x+5 \right )> \right )^<\frac<1><2>>=9\\ x> -1\frac<1> <4>\end\right.\Leftrightarrow \left\ <\begin\left ( 4x+5 \right )^<\frac<1><2>>=9\\ x> -1\frac<1> <4>\end\right.\Leftrightarrow \left\ <\begin\sqrt<4x+5>=9\\ x> -1\frac<1> <4>\end\right.\Leftrightarrow \left\ <\begin4x+5=81\\ x> -1\frac<1> <4>\end\right.\Leftrightarrow \left\ <\beginx=19\\ x> -1\frac<1> <4>\end\right.’ alt=’2^<\log _<4>\left ( 4x+5 \right )>=9\Leftrightarrow \left\ <\begin2^\frac<<\log _<2>\left ( 4x+5 \right )>><2>=9\\ 4x+5> 0 \end\right.\Leftrightarrow \left\ <\begin\left (2^<\log _<2>\left ( 4x+5 \right )> \right )^<\frac<1><2>>=9\\ x> -1\frac<1> <4>\end\right.\Leftrightarrow \left\ <\begin\left ( 4x+5 \right )^<\frac<1><2>>=9\\ x> -1\frac<1> <4>\end\right.\Leftrightarrow \left\ <\begin\sqrt<4x+5>=9\\ x> -1\frac<1> <4>\end\right.\Leftrightarrow \left\ <\begin4x+5=81\\ x> -1\frac<1> <4>\end\right.\Leftrightarrow \left\ <\beginx=19\\ x> -1\frac<1> <4>\end\right.’ />

Обратите внимание: переменная х и под логарифмом, и в основании логарифма. Мы помним, что основание логарифма должно быть положительно и не равно 1.

ОДЗ:
0\\ x> 0\\ x\neq 1 \end\right.’ alt=’\left\ <\begin12-x> 0\\ x> 0\\ x\neq 1 \end\right.’ />

Теперь можно «убрать» логарифмы.

— посторонний корень, поскольку должно выполняться условие 0′ alt=’x> 0′ />.

8. Решите уравнение .

ОДЗ уравнения: 0′ alt=’x> 0′ />

Сделаем замену . Как и в алгебраических уравнениях, мы делаем замену переменной всегда, когда только возможно.

Вернемся к переменной х:

Выражение под логарифмом всегда положительно – поскольку к неотрицательной величине прибавляем 25. Выражение под корнем в правой части также положительно. Значит, х может быть любым действительным числом.

Представим сумму логарифмов в левой части как логарифм произведения. В правой части – перейдем к логарифму по основанию 3. И используем формулу логарифма степени.

Такое уравнение называется биквадратным. В него входят выражения и . Сделаем замену

Вернемся к переменной х. Получим:

. Мы нашли все корни исходного уравнения.

Логарифмические уравнения могут встретиться вам и в задании №1 Профильного ЕГЭ по математике, и в задании №12. И если в задании №1 нужно решить простейшее уравнение, то в задаче 12 решение состоит из двух пунктов. Второй пункт – отбор корней на заданном отрезке или интервале.


источники:

http://infourok.ru/tehnologicheskaya-karta-reshenie-logarifmicheskih-uravnenij-5118839.html

http://ege-study.ru/logarifmicheskie-uravneniya/