17 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

Приложения операционного исчисления

ГЛАВА 15. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.

Преобразование Лапласа.

Пусть — функция (которая, вообще говоря, может принимать и комплексные значения) действительного аргумента , такая, что:

1) она кусочно-непрерывна на , т.е. непрерывна на данном промежутке, за исключением конечного числа точек, где она имеет разрывы первого рода; 2) существуют положительные числа и такие, что для всех справедливо неравенство .

Преобразованием Лапласа функции называется функция комплексного переменного , , определяемая равенством :

При этом функция называется оригиналом, а функция — его изображением. Соответствие между оригиналом и его изображением символически записывается в виде или .

Если функция задана на всей числовой прямой ( ), то вместо неё всюду в дальнейшем, без специальных оговорок, будем рассматривать функцию , где единичная функция Хевисайда, т.е. будем считать при , причём .

При нахождении изображений и оригиналов широко применяются таблица изображений преобразования Лапласа и его свойства, а также формулы: ; ; ; .

В задачах 15.1-15.4пользуясь определением преобразования Лапласа, найти изображения следующих функций:

15.1 15.2

15.3 15.4

Таблица изображений преобразования Лапласа

1.1/p
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.

Cвойства преобразования Лапласа.

1.Аддитивность:

2.Однородность:

3.Теорема смещения:

4.Теорема запаздывания:

5.Теорема о свертке: где

6.Теорема о дифференцировании изображения:

7.Теорема о дифференцировании оригинала:

8.Теорема об интегрировании оригинала:

9.Теорема об интегрировании изображения:

В задачах 15.5-15.22используя таблицу изображений преобразования Лапласа, найти изображения следующих функций:

15.5 15.6

15.7 15.8

15.9 15.10

15.11 15.12

15.13 15.14

15.15 15.16

15.17 15.18

15.19 15.20

15.21 15.22

В задачах 15.23-15.28используя теорему смещения, найти изображения следующих функций:

15.23 15.24 15.25

15.26 15.27 15.28

В задачах 15.29-15.34используя теорему о дифференцировании изображения, найти изображения следующих функций:

15.29 15.30 15.31

15.32 15.33 15.34

В задачах 15.35-15.40используя теорему об интегрировании изображения, найти изображения следующих функций:

15.35 15.36 15.37

15.38 15.39 15.40

В задачах 15.41-15.46используя теорему об интегрировании оригинала, найти изображения следующих функций:

15.41 15.42 15.43

15.44 15.45 15.46

В задачах 15.47-15.52используя теорему о свёртке, найти изображения следующих функций:

15.47 15.48

15.49 15.50

15.51 15.52

В задачах 15.53-15.62используя теорему запаздывания, найти изображения следующих функций:

15.53 15.54

15.55 15.56

15.57 15.58

15.59 15.60

15.61 15.62

В задачах 15.63-15.74используя таблицу изображений преобразования Лапласа, найти оригиналы для изображений:

15.63 15.64 15.65

15.66 15.67 15.68

15.69 15.70 15.71

15.72 15.73 15.74

В задачах 15.75-15.80используя теорему запаздывания, найти оригиналы для следующих изображений:

15.75 15.76

15.77 15.78

15.79 15.80

Приложения операционного исчисления.

Для нахождения решения линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами , удовлетворяющего начальным условиям , , , , к обеим частям уравнения следует применить преобразование Лапласа и перейти к операторному уравнению , где — изображение искомого решения , — изображение функции , — некоторый многочлен, коэффициенты которого зависят от начальных данных , , , ( , если ). Решив операторное уравнение относительно : и найдя оригинал для , получим искомое решение . Если начальные данные , , , считать произвольными постоянными , то найденное решение будет являться общим решением данного дифференциального уравнения.

Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами решаются аналогично. Отличие состоит лишь в том, что вместо одного операторного уравнения получится система операторных уравнений, линейных относительно изображений искомых функций.

В задачах 15.81-15.86найти общие решения следующих дифференциальных уравнений:

15.81 15.82

15.83 15.84

15.85 15.86

В задачах 15.87-15.100найти частные решения дифференциальных уравнений при указанных начальных условиях:

15.87 , . 15.88 , .

15.89 .

15.90 .

15.91 .

15.92 .

15.93 .

15.94 .

15.95 .

15.96 .

15.97 , ,где

15.98 , ,где

15.99 , ,где

15.100 , ,где

В задачах 15.101-15.112найти частные решения систем дифференциальных уравнений для указанных начальных условий:

15.101

15.102

15.103

15.104

15.105

15.106

15.107 , .

15.108 , .

15.109 , .

15.110

15.111 ,

где и

15.112

где

Для нахождения решений линейных интегральных и интегро-дифференциальных уравнений, используя теорему о свёртке, находят сначала изображения искомых решений этих уравнений, а затем и само решение.

В задачах 15.113-15.120найти решения следующих интегральных уравнений:

15.113 15.114

15.115 15.116

15.117 15.118

15.119 15.120

В задачах 15.121-15.125найти решения интегро-дифференциальных уравнений для указанных начальных условий:

15.121 , .

15.122 , .

15.123 , .

15.124 ,

Статья на тему: «Операционный метод решения линейных дифференциальных уравнений и их систем»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 300 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

Операционный метод решения линейных дифференциальных уравнений и их систем

Операционный метод приобрел большое значение при решении линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Эффективность применения операционного исчисления при решении линейных обыкновенных дифференциальных уравнений состоит в удобстве и простоте вычислений. Прежде всего это относится к решению систем таких уравнений [4, с. 131].

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами

(1)

где коэффициенты -постоянные величины, при начальных условиях

x(0)= , (0) , . , (0)= (2)

где — заданные числа [3, с. 126].

Операционный метод решения состоит в том, что мы считаем как искомую функцию x(t), так и правую часть f(t) оригиналами и переходим от уравнения (1) , связывающего оригиналы, к уравнению, связывающему их изображения X(p) и F(p), тогда x(t) X(p) , а f(t) F(p) . Воспользуемся теоремой о дифференцировании оригинала:

,

,

Применяя свойство линейности получаем вместо уравнения (1) алгебраическое соотношение, которое назовем изображением, или операторным уравнением:

+ +. + ( )+ [2, с. 127—128]

В результате мы получили уже не дифференциальное, а алгебраическое уравнение относительно неизвестного изображения X(p).

где ,

-алгебраические многочлены от p степени n и n-1 соответственно [1, с. 264].

Из последнего уравнения находим

(3)

Полученное равенство называют операторным решением дифференциального уравнения (1). Остается по полученному изображению X(p) найти оригинал x(t) , применяя для этого соответствующие правила операционного исчисления. Найденный оригинал x(t) будет являться частным решением дифференциального уравнения (1) [3, с. 128].

Пример: найдем решение дифференциального уравнения операционным методом при условиях

=

Подставим эти выражения в дифференциальное уравнение, получим операторное уравнение: . Отсюда X(p)=

Для нахождения оригинала разложим дробь на простейшие

A(p+1)+B(p-3)(p+1)+C =1

Ap+A+B -2Bp-3B+C -6Cp+9 С =1

Составим систему уравнений:

Решив ее, получаем

Итак X(p)= , откуда

x(t)= — решение данного дифференциального уравнения.

Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами можно решать операционными методами совершенно так же, как и отдельные уравнения; все отличие заключается лишь в том, что вместо одного изображающего уравнения приходим к системе таких уравнений, причем система эта в отношении изображений искомых функций будет линейно алгебраической. При этом никаких предварительных преобразований исходной системы дифференциальных уравнений производить не требуется [3, с. 134].

Метод решения таких систем покажем на примере.

Пример: решить систему дифференциальных уравнений

при начальных условиях x(0)=2 , y(0)=0.

Подставим эти выражения в систему дифференциальных уравнений, система операторных уравнений принимает вид:

Решая эту систему уже алгебраических уравнений , находим:

X(p)= ,

Y(p)=

Раскладывая найденные изображения на простые дроби находим:

X(p)= ,

Y(p)= .

Переходя от изображений к оригиналам, получаем искомые решения:

x(t)=

y(t)= .

Таким образом операционный метод позволяет в ряде случаев значительно упростить процедуру нахождения решения линейных дифференциальных уравнений и их систем.

1.Араманович И.Г., Лунц Г.Л., Эльсгольц Л.Э. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. -М., Главная редакция физико-математической литературы, 1968 г., — стр. 416. — Избранные главы высшей математики для инженеров и студентов втузов. — 263—268 с.

2.Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М.: Физматгиз, 1961. — 127—132 с.

3.Шостак Р.Я. Операционное исчисление. Краткий курс. Изд. второе, доп.Учебное пособие для вузов М. «Высшая школа», 1972 — 126—139 с.

4.Штокало И.3. Операционное исчисление (обобщения и приложения) Киев, Издательство «Наукова Думка», 1972 —131—144 с.

Примеры решений задач по операционному исчислению (преобразованию Лапласа)

Операционное (символическое) исчисление – это один из методов математического анализа, позволяющий в некоторых случаях свести исследование и решение дифференциальных, псевдодифференциальных, интегральных уравнений, к более простым алгебраическим задачам.

Изучая преобразование Лапласа, мы вводим оригинал функции $f(t)$ и ее изображение $F(p)$, находимое по формуле:

$$F(p) = \int_0^\infty f(t) e^<-pt>dt$$

Для быстроты и удобства решения задач составлена таблица изображений и оригиналов, которая, наряду с теоремами (линейности, подобия, смещения, запаздывания), свойствами и правилами дифференцирования и интегрирования изображения/оригинала, постоянно используется в решении примеров.

В этом разделе вы найдете готовые задания разного типа: восстановление оригинала или изображения функции, нахождение свертки функций, решение ДУ, систем ДУ или интегральных уравнений с помощью преобразования Лапласа и т.д.

Как найти изображение функции

Задача 1. Найти изображение данного оригинала, или оригинала, удовлетворяющего данному уравнению

Задача 2. Пользуясь определением, найти изображение функции $f(t)=3^t$.

Задача 3. Найти изображение функции: $\int_0^t \cos \tau \cdot e^<-3\tau>d\tau. $

Задача 4. Найти изображение оригинала $f(x)$ двумя способами:
1) Вычислив интеграл $F(p) = \int_0^\infty f(x) e^<-px>dx$;
2) Воспользовавшись таблице изображений и свойствами преобразования Лапласа.
Оригинал задается формулой (курсочно-линейная функция, см. файл).

Как найти оригинал функции

Задача 5. Найти оригинал изображения $F(p)$, где

Задача 6. Найти оригинал изображения

Задача 7. Найти оригинал для функции с помощью вычетов

Как решить ДУ (систему ДУ) операционным методом

Задача 8. Найти частное решение дифференциального уравнения с заданными начальными условиями операторным методом

Задача 9. Найти решение задачи Коши методами операционного исчисления

Задача 10. Методом операционного исчисления найти частное решение системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Задача 11. Методом операционного исчисления найти решение задачи Коши для ДУ 3-го порядка

Задача 12. Решите задачу Коши для системы дифференциальных уравнений с помощью преобразования Лапласа.

Задача 13. C помощью формулы Дюамеля найти решение уравнения

Задача 14. Решить систему ДУ с помощью преобразования Лапласа

Как решить интегральное уравнение

Задача 15. Методом операционного исчисления найти решение интегрального уравнения

$$ y(t)=\cos t +\int_0^t (t-\tau)^2 y(\tau)d \tau. $$

Задача 16. Решить интегральное уравнение

$$ \int_0^t ch (\tau) x(t-\tau)d \tau = t. $$

Как найти свертку функций

Задача 17. Найти свертку функций $f(t)=1$ и $\phi(t)=\sin 5t$.

Помощь с решением заданий

Если вам нужна помощь с решением задач и контрольных по этой и другим темам математического анализа, обращайтесь в МатБюро. Стоимость подробной консультации от 100 рублей , оформление производится в Word, срок от 1 дня.


источники:

http://infourok.ru/statya-na-temu-operacionnyj-metod-resheniya-linejnyh-differencialnyh-uravnenij-i-ih-sistem-5471532.html

http://www.matburo.ru/ex_ma.php?p1=maoper