2 волновые свойства электрона уравнения де бройля планка эйнштейна шредингера

СТРУКТУРА АТОМА

ДВОЙСТВЕННАЯ ПРИРОДА ЭЛЕКТРОНА

Предположение де Бройля

В 1905 г. А. Эйнштейн предсказал, что любое излучение представляет собой поток квантов энергии, называемых фотонами. Из теории Эйнштейна следует, что свет имеет двойственную (корпускулярно-волновую) природу.

Изучение природы и распространения света показало, что он обладает как корпускулярными, так и волновыми свойствами. На первые указывает явление фотоэффекта, на вторые — явления интерференции и дифракции света. Корпускулярные свойства фотона выражаются уравнением Планка:

Из этих уравнений получаем соотношение, связывающее корпускулярную характеристику фотона Е с его волновой характеристикой λ:

Но фотон с энергией Е обладает и некоторой массой m в соответствии с уравнением Эйнштейна:

Из двух последних уравнений следует, что:

Откуда находим, что длина волны и масса фотона связаны выражением:

Полученное выражение описывает соответствие друг другу волновых (λ) и корпускулярных (m) свойств фотона.

Произведение массы тела на его скорость называется , или его . Обозначая импульс фотона через p, окончательно получаем:

В 1924 г. Луи де Бройль распространил идею о двойственности природы света на вещество, предположив, что поток материальных частиц должен обладать и волновыми свойствами, однозначно связанными с массой и энергией. Иными словами, движение частицы было сопоставлено с распространением волны. При этом:

А электрон имеет определенную длину волны, которая укладывается на орбите целое число раз:

Предположение де Бройля в 1927 году получило экспериментальное подтверждение. Американские физики Девисон и Джермер наблюдали дифракцию электронов на кристаллах хлорида натрия.

Так, пучки электронов и нейтронов и даже легких атомов могут давать интерференционные и дифракционные эффекты при пропускании (или отражении) их через кристаллическую решетку некоторых соединений.

Волны частиц материи де Бройль назвал материальными волнами. Они свойственны всем частицам или телам. Однако, так как в уравнении де Бройля масса тела входит в знаменатель, для микротел длина волны настолько мала, что в настоящее время не может быть обнаружена. Так, для тела с массой 1000 кг, двигающегося со скоростью 108 км/ч (30 м/с) λ = 2,21·10 –38 м. Но такое расстояние значительно меньше размеров атома (10 -8 см) и даже атомного ядра (10 -13 ÷10 -12 см), так что при взаимодействии с реальными объектами волновые свойства макротела никак не смогут проявиться. Между тем, электрону с массой около 9·10 -28 г, движущемуся со скоростью 1000 км/с, соответствует длина волны 7,3·10 -8 см; дифракция такой волны может наблюдаться при взаимодействии электронов с атомами в кристаллах.

Корпускулярные свойства электрона выражаются в его способности проявлять свое действие только как целого. Волновые свойства электрона проявляются в особенностях его движения, в дифракции и интерференции электронов. Когда говорят, что электрон, помимо корпускулярных, обладает и волновыми свойствами, то подразумевается, что движение электронов описывается как процесс корпускулярный и волновой.

Понятие о квантовой механике

В 1927 г. В. Гейзенберг (Германия) постулировал принцип неопределенности, согласно которому положение и импульс движения субатомной частицы (микрочастицы) принципиально невозможно определить в любой момент времени с абсолютной точностью. В каждый момент времени можно определить только лишь одно из этих свойств. Э. Шредингер (Австрия) в 1926 г. вывел математическое описание поведения электрона в атоме.

Работы Планка, Эйнштейна, Бора, де Бройля, Гейзенберга, а также Шредингера, предложившего волновое уравнение, заложили основу квантовой механики, изучающей движение и взаимодействие микрочастиц.

В квантовой механике для учета размерности различных величин чаще пользуются так называемыми атомными единицами. В атомной системе единиц запись всех уравнений и выражений теории строения атомов и молекул значительно упрощается и легче проследить их физический смысл. В этой системе приняты за единицы массы, заряда электричества, длины, энергии величины:

  • масса электрона;
  • заряд протона;
  • среднее расстояние электрона от ядра в наиболее устойчивом состоянии атома водорода;
  • удвоенная энергия ионизации атома водорода;
  • величина h/(2π), называемая единицей действия.
НаименованиеАтомная системаСистема СИ
Заряд электрона-1-1,602·10 -19 К
Масса электрона19,108·10 -31 кг
Единица длины15,292·10 -11 м
Единица энергии14,360·10 -18 Дж, 2625 кДж/моль
Единица времени12,42·10 -17 с
Единица действия11,054·10 -34 Дж с

В классической механике для любой частицы можно записать следующее выражение закона сохранения энергии:

Если ввести функцию:

Согласно соотношению неопределенностей нельзя одновременно вполне точно измерить импульс и координату электрона в атоме. Если бы удалось измерить координату частицы так точно, что Δx=0, то ошибка в измерении импульса стала бы бесконечно большой. В связи с этим в квантовой механике состояние микрочастицы полностью описывается не ее координатой и скоростью, а некоторой функцией. Эта функция носит вероятностный характер и обозначается греческой буквой «пси» ψ. Функция ψ, описывающая состояние электрона в атоме или молекуле и являющаяся обычной математической функцией, часто называется волновой функцией или орбиталью. Волновая функция, подобно амплитуде любого волнового процесса, может принимать как положительные, так и отрицательные значения. В наиболее простом случае эта функция зависит от трех пространственных координат.

— область пространства, в котором наиболее вероятно нахождение электрона. Необходимо заметить, что понятие орбиталь существенно отличается от понятия орбита, которая в теории Бора означала путь электрона вокруг ядра. Орбиталь характеризует вероятность нахождения электрона в определенном пространстве вокруг ядра атома. Орбиталь ограничена в трехмерном пространстве поверхностями той или иной формы. Величина области пространства, которую занимает орбиталь, обычно такова, чтобы вероятность нахождения электрона внутри ее составляла не менее 95%.

Так как электрон несет отрицательный заряд, то его орбиталь представляет собой определенное распределение заряда, которое получило название электронного облака.

Величина ψ 2 всегда положительна. При этом она обладает важным свойством: чем больше ее значение в данной области пространства, тем выше вероятность того, что электрон проявит здесь свое действие, т.е. что его существование будет обнаружено в каком-либо физическом процессе. Более точным будет следующее утверждение: вероятность обнаружения электрона в некотором малом объеме ΔV выражается произведением ψ 2 ·ΔV. Таким образом, сама величина ψ 2 выражает плотность вероятности нахождения электрона в соответствующей области пространства.

Плотность электронного облака пропорциональна квадрату волновой функции.

Представление о состоянии электрона как о некотором облаке электрического заряда оказывается удобным, хорошо передает основные особенности поведения электрона в атомах и молекулах. При этом, однако, следует иметь в виду, что электронное облако не имеет определенных, резко очерченных границ: даже на большом расстоянии от ядра существует некоторая, хотя и очень малая, вероятность обнаружения электрона. Поэтому под электронным облаком условно будем понимать область пространства вблизи ядра атома, в которой сосредоточена преобладающая часть заряда и массы электрона. Вследствие вероятностного характера волновых процессов квадрат ψ-функции характеризует вероятность нахождения электрона в заданной точке пространства.

Математический аппарат квантовой механики

Подобно тому, как в классической механике имеют место фундаментальные законы Ньютона, описывающие движение макротел, для движения электрона и других микрочастиц сформулированы свои — квантовомеханические законы, в частности, уравнение Шредингера. Если состояние системы (ψ) не изменяется во времени, то говорят, что система находится в стационарном состоянии. Рассмотрим такое стационарное состояние для микрообъекта (электрона, например).

В квантовой механике, так же как и в классической механике, остается справедливым закон сохранения энергии:

Суть математического аппарата квантовой механики такова, что вместо физических величин (импульс, координата, энергия и т. д.) применяются определенные математические правила для вычисления этих величин при помощи ψ-функции. Такие правила называются операторами. Например, чтобы вычислить импульс микрочастиц, необходимо на волновую функцию ψ подействовать оператором «набла» (условно обозначаемым ), умноженным на «-i» (i — мнимая единица, i 2 = -1):

Операторы и волновые функции в квантовой механике могут содержать мнимое число i. Однако, рассчитываемые с их помощью физически наблюдаемые величины, — расстояние, импульс, энергия, электрический заряд и другие, — всегда принимают действительные значения.

Нахождение потенциальной энергии сводится к умножению функции на «классическое» выражение для потенциальной энергии:

Нахождение полной энергии заключается в поиске коэффициента перед ψ-функцией:

Этот коэффициент (полная энергия) таков, что должен удовлетворять закону сохранения энергии. После подстановки квантовых аналогов классических величин получаем (в атомных единицах):

Это уравнение (в атомных единицах mе = 1) записывается с учетом того, что нахождение p 2 сводится к двукратному применению оператора -i∇:

Данное уравнение известно как уравнение Шредингера для стационарных состояний. Первое слагаемое гамильтониана отвечает кинетической энергии электрона, а второе — потенциальной.

Изучение состояния микрочастиц теперь сводится к тому, чтобы описать потенциальную энергию частицы в явном виде и затем решить конкретную форму уравнения Шредингера.

Волны де Бройля и волновая функция. Уравнение Шредингера

Проблему квантово-волнового дуализма обострила смелая и оригинальная идея французского физика Луи де Бройля (1892—1987, Нобелевская премия 1929 г.). Если волны имеют свойства частиц, почему не предположить и обратное: частицы имеют свойства волн? Такие идеи симметрии бывают плодотворными (вспомним уравнения Максвелла). Ту же формулу (9.7) де Бройль представил с новым акцентом:

Эта, казалось бы, элементарная школьная операция с дробью несла в себе революционное физическое содержание: частице с массой т и скоростью v соответствует некая длина волны А. Американцы К. Дэвиссон (1881 — 1958, Нобелевская премия 1937 г.), Л. Джермер (1896—1971) и английский физик Дж. П. Томсон (1892—1975, Нобелевская премия 1937 г.) получили неожиданное подтверждение идеи де Бройля! Дэвиссон и Джермер изучали рассеяние электронов на никеле. В результате аварии он стал монокристал- лическим, т.е. приобрел правильную структуру, и электроны дифрагировали на нем, словно волны. Наука богата подобными открытиями, если пытливый ум не проходит мимо неожиданных результатов.

Для электрона, ускоренного напряжением U, получаем то 2 /2 = eU и

где последнее выражение получено подстановкой значений заряда и массы электрона. Именно такая длина волны и проявилась в экспериментах. Немецкие физики О. Штерн (1888—1969, Нобелевская премия 1943 г.) и И. Эстерман (1900—1973) обнаружили дифракцию и у тяжелых частиц — нейтронов, протонов и даже атомов. В результате пучки частиц стали применять наряду с рентгеновскими лучами для изучения структуры вещества. Преимущество электронного микроскопа перед оптическим — в гораздо меньших длинах волн А, позволяющих видеть даже отдельные атомы. В то же время открытие волновой природы частиц породило кардинальную теоретическую проблему: оно поставило под сомнение динамику Ньютона! Не выдержав испытания большими скоростями, классическая динамика была заменена теорией относительности. Теперь она подверглась испытанию микромиром, где частицы расплываются в волны, и говорить об их положениях и траекториях становится невозможно. Это выглядело крушением основ.

Решение проблемы нашел в 1926 г. австрийский физик Э. Шредингер (1887—1961, Нобелевская премия 1933 г.) в виде уравнения, позволяющего определять эволюцию таких волн в пространстве и времени. Как и уравнения Ньютона или Максвелла, уравнение Шредингера не выводится, а постулируется (на основе логического анализа экспериментальных фактов). В простейшем случае оно имеет вид

где U(x, t) — потенциальная энергия частицы массой т; i — мнимая единица. Уравнение (9.11) определяет волновую функцию vp частицы, зависящую от времени и координаты х. В более общем случае учитывают производные и по другим координатам.

В стационарных условиях V)/ и U от времени не зависят, и поэтому дифференциальное уравнение (9.11) становится однородным:

где Е — полная энергия системы. Значения функции у, удовлетворяющие уравнению Шредингера, называются собственными функциями, а значения энергии Е, при которых существуют решения этого уравнения, называются собственными значениями (см. параграф 7.1).

Для понимания их смысла рассмотрим частицу, которая не взаимодействует с другими. Тогда U = 0, и решение уравнения (9.11) принимает вид

в чем легко убедиться, подставив его в уравнение (9.11). Из сопоставления выражений (9.13) и (7.70) очевидно, что это уравнение плоской волны. Следовательно, коэффициент при t есть ее частота со, откуда Е = ha> = hv, а коэффициент при х — волновое число k = 2п/Х, откуда следует равенство (9.9). Таким образом, уравнение Шредингера привело к двум прежним замечательным достижениям — Планка и де Бройля, которые были постулированы интуитивно, «ниоткуда».

Квантово-механическая модель строения атома. Корпускулярно-волновые свойства электрона: уравнение Де Бройля, принцип неопределенности Гейзенберга (стр. 1 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7

В 1911г. Э. Резерфорд предложил модель атома, согласно которой атом состоит из положительно заряженного ядра, в котором находится почти вся масса атома, и располагающихся вокруг ядра электронов. Ядро состоит из протонов и нейтронов. Число электронов равно числу протонов и, поэтому, атом электронейтрален.

В основе квантово-механической теории строения атомов лежат их корпускулярно-волновые свойства. С движущимся электроном ассоциируется волна, длина которой определяется уравнением Де-Бройля: где λ — длина волны, (м); m — масса электрона; V-скорость движения частицы (≈108 м/с), h — постоянная Планка. Принцип неопределенности Гейзенберга: невозможно описать с высокой степенью точности местонахождение электрона (координаты), и его энергию (импульс) в один и тот же момент времени.

2. Уравнение Шредингера. Квантовые числа, волновая функция, понятие об атомной орбитали.

Уравнение Шрёдингера (1926 г) описывает волновые и корпускулярные свойства электрона в атоме водорода. Решениями уравнения Шредингера являются энергии электрона и волновая функция ψ(пси).

Волновая функция ψ зависит от координат (x, y, z), и энергии E электрона и не имеет определенного физического толкования. Квадрат волновой функции ψ2 определяет плотность вероятности нахождения электрона в точке с координатами (x, y, z). ψ2·ΔV –вероятность нахождения электрона в данном объеме атома ΔV. Чем больше ψ2·ΔV, тем плотнее электронное облако в данном объеме атома.

Область пространства, в которой вероятность нахождения электрона составляет не менее 90%, называют атомной орбиталью. Атомные орбитали различаются по энергии, размерам, форме, ориентации в пространстве и могут быть охарактеризованы тремя квантовыми числами (n, l, ml).

Главное квантовое число характеризует энергию электрона в атоме. принимает только целые положительные значения n = 1, 2, 3…∞. С увеличением n энергия и размер электронного облака (атомной орбитали) возрастает. Совокупность атомных орбиталей с одинаковым значением n называют уровнем или электронным слоем.

Орбитальное квантовое число l принимает значения от 0 до (n-1), например, при n = 3: l = 0, 1, 2. Характеризует форму атомных орбиталей (электронных облаков), для которых в зависимости от l приняты соответствующие обозначения: l 0, 1, 2, 3, 4, 5…

обозначение s, p, d, f, g, h…

Магнитное квантовое число определяет возможные ориентации электронного облака в пространстве. ml – может принимать положительные и отрицательные целочисленные значения от –l до +l через нуль. Так, для s — орбиталей (l = 0, ml = 0), возможна одна ориентация. Для р — орбиталей (l=1, ml = -1, 0, +1), что соответствует трем ориентациям р — орбиталей относительно трех осей. Для d — орбиталей (l=2, ml = -2, -1, 0, +1, +2) число возможных ориентаций – пять, для f – орбиталей — семь.

Спиновое (ms) квантовое число характеризует сложное движение электрона вокруг собственной оси; принимает значения +1/2 и –1/2.

3. Энергетическая диаграмма возможных состояний электрона в атоме водорода.

4. Распределение электронов по АО в многоэлектронных атомах. Принцип Паули, правило Гунда, правила Клечковского.

Распределение электронов в многоэлектронных атомах основано на трех положениях: принципе минимума энергии, принципе В. Паули и правиле Ф. Хунда.

Принцип наименьшей энергии. Электроны занимают в атоме орбитали с наименьшей энергией. Последовательность расположения АО по уровням энергии при заполнении электронами определяется правилом Клечковского: электроны в невозбужденном атоме располагаются в состояниях, где меньше сумма (n+l), так как энергия электронов зависит от n и l и не зависит от ml и ms. При одинаковом значении этой суммы в первую очередь заполняется орбиталь с меньшим значением главного квантового числа (n).

Принцип Паули. В атоме не может быть двух электронов, имеющих четыре одинаковых квантовых числа. Один электрон от другого на атомной орбитали должен отличаться спиновым квантовым числом. Как следует из принципа Паули, на атомной орбитали максимально может быть два электрона, отличающихся спином и это обозначается: ↑↓.

Правило Хунда. При заполнении энергетического подуровня, электроны стремятся заполнить свободные орбитали, сначала по одному с параллельными спинами, а затем по второму с противоположными спинами.

5. Периодический закон. Периодическая система. Электронные конфигурации атомов.

Периодический закон: свойства простых веществ, а также формы и свойства соединений элементов находятся в периодической зависимости от заряда ядра атомов элементов.

Периодическую систему химических элементов в настоящее время рассматривают как классификацию элементов в зависимости от зарядов ядра и от строения электронных оболочек невозбужденных атомов. Распределение электронов по атомным орбиталям называют электронной конфигурацией атома. И представляют в виде а) полной электронной формулы, например: 22Ti 1s22s22p63s23p64s23d2; б) краткой электронной формулы: 22Ti [Ar]4s23d2; в) электроно-графической формулы, в которой атомные орбитали обозначают в виде клеток (энергетических или квантовых ячеек), а электроны – стрелками ↑↓.

6. Периодические свойства атомов (радиусы атомов, энергия ионизации, сродство к электрону, электроотрицательность).

— атомный и ионный радиусы (r), определяемые как средние радиусы атома или иона, находимые из экспериментальных данных по межатомным расстояниям в различных соединениях;

— энергия ионизации, определяемая количеством энергии, необходимой для отрыва электрона от атома ();

— сродство к электрону, определяемое количеством энергии, выделяющейся при присоединении дополнительного электрона к атому ();

Электроотрицательность (χ) — фундаментальное химическое свойство атома, количественная характеристика способности атома в молекуле притягивать к себе общие электронные пары.

7. Характерные степени окисления элементов.

Степень окисления — условный заряд атома в молекуле, вычисленный в предположении, что все связи имеют ионный характер. Понятие степени окисления введено в предположении о пол­ном смещении пар электронов к тому или другому атому (показывая при этом заряд ионов, образующих ионное соедине­ние). Поэтому следует помнить, что в полярных соединениях сте­пень окисления означает число электронов, лишь смещенных от данного атома к атому, связанному с ним.

8. Ковалентная химическая связь: механизмы её образования, разновидности. Длина, энергия, порядок (кратность) ковалентной связи.

Связь, образованную посредством перекрывания электронных облаков, то есть осуществляемую общей парой электронов с противоположными спинами, называют ковалентной связью.

Для объяснения природы ковалентной связи и механизма ее образования используются два метода – метод валентных связей (ВС) и метод молекулярных орбиталей (МО). В основе метода ВС лежит теория Льюиса об образовании ковалентной связи формированием общей пары электронов между взаимодействующими атомами. Основные характеристики ковалентной химической связи – длина связи, энергия связи. С увеличением кратности связи уменьшается длина связи и увеличивается суммарная энергия связи.

9, 10. Насыщаемость ковалентной связи и валентные возможности атомов.

Направленность ковалентной связи и геометрия молекулы.

Ковалентной связи присущи следующие особенности – насыщаемость и направленность. Насыщаемость определяет стехиометрию молекулярных химических соединений (формульный состав, массовые соотношения элементов) и валентные возможности атомов (способность образовать ограниченное число ковалентных связей).

Направленность ковалентной связи определяет геометрическую структуру (форму) молекулы. Атомные орбитали имеют разные формы и размеры, разную ориентированность в пространстве, и перекрываются по определенным, предпочтительным направлениям, в которых достигается максимальная плотность перекрывания. Это приводит к образованию молекулы определенной геометрической формы (линейной, угловой, тетраэдрической и др). Например, атом серы в сероводороде образует связи с атомами водорода за счет p-электронов, ориентированных вдоль осей координат под углом 90о.

11. Полярность и поляризуемость ковалентной связи. Полярность молекулы.

Связь в двухатомных молекулах, образованная из одинаковых атомов (Н2) или атомов близких по электроотрицательности (ЭО), называется неполярной (гомеополярной). Связь, образованная различными атомами, отличающимися ЭО, называется полярной (гетерополярной).

Полярность связи обуславливается различием ЭО и размеров атомов. Полярность связи обуславливает полярность молекулы – то есть несимметричное распределение электронной плотности, при котором «центры тяжести положительных и отрицательных зарядов» в молекуле не будут совпадать в одной точке. Поляризуемостью ковалентной связи и (или) молекулы называют ее способность под действием внешнего электрического поля становиться полярной или более полярной. Поляризуемость π-связи выше, чем поляризуемость σ-связи. Поляризуемость молекулы возрастает с увеличением ее объема и числа π-связей.

12. Металлическая связь. Деление элементов на металлы и неметаллы. Металлические структуры.

Металлическая связь — химическая связь, обусловленная наличием относительно свободных электронов. Металлическая связь возникает в металлах, сплавах, интерметаллических соединениях. Валентные электроны внешних оболочек металла относительно легко удаляются, из атомов образуются катионы металла. Электроны делокализованы и могут свободно перемещаться по всему кристаллу. Оставшиеся катионы металлов притягиваются делокализованным электронным облаком («электронным газом»), заполняющим пространство между ними. Образованную подобным образом химическую связь называют металлической связью. Металлическая связь характеризуется ненаправленностью и ненасыщаемостью. Строение металлических кристаллов наиболее точно описывается «структурами с плотнейшей укладкой шаров».


источники:

http://studme.org/246564/matematika_himiya_fizik/volny_broylya_volnovaya_funktsiya_uravnenie_shredingera

http://pandia.ru/text/80/353/5866.php