20 как определить ускорение точки плоской фигуры по уравнениям ее движения

Скорости точек плоской фигуры

Скорость любой точки плоской фигуры можно найти, если известна скорость одной точки и угловая скорость фигуры. Пусть задана скорость точки А, УА и угловая скорость фигуры со. Движение фигуры рассматриваем как составное, состоящее из поступательного вместе с полюсом и вращательного вокруг полюса. За полюс примем точку Л, скорость которой известна.

Абсолютная скорость точки В равна геометрической сумме переносной (вместе с полюсом) и относительной (вокруг полюса) скоростей (рис. 1.64). Скорость VBA направлена перпендикулярно к АВ в сторону угловой скорости, VBA =(оАВ.

Скорость любой точки плоской фигуры равна геометрической сумме двух скоростей: скорости полюса и вращательной скорости этой точки вокруг полюса.

Следствие. Проекции скоростей двух точек плоской фигуры на прямую, соединяющую эти точки, равны между собой (рис. 1.65):

Ускорение точек плоской фигуры

Ускорение точек плоской фигуры можно найти так же, как и скорости, рассматривая движение фигуры как составное из переносного поступательного вместе с полюсом и относительного вращательного вокруг полюса.

Пусть заданы в момент времени / ускорение точки А аА, угловая скорость со и угловое ускорение фигуры с (рис. 1.66).

Ускорение любой точки плоской фигуры равно геометрической сумме переносного ускорения, равного ускорению полюса, и относительного ускорения во вращательном движении с фигурой вокруг полюса.

Через аВА обозначено относительное ускорение точки В во вращательном движении, которое можно разложить на два ускорения: нормальное аВА и касательное аВА . На рис. 1.67 а»ВА направлено по ВА к полюсу; аВА направлено перпендикулярно ВА в зависимости от ускоренного или замедленного вращения. Тогда можно записать

Определение ускорений точек плоской фигуры

Ускорение любой точки М плоской фигуры равно сумме векторов ускорения какой-нибудь точки Л, принятой за полюс, и ускорения, которое точка М получает при вращении фигуры вокруг этого полюса, т. е.

где численно в соответствии с формулой (7.12)

где со, с — угловая скорость и угловое ускорение фигуры.

При решении задач удобнее векторы в правой части равенства (8.8) представить как суммы касательных и нормальных составляющих. Тогда

Модули векторов а х ш и а п МА определяются как ускорения точки М при вращении тела вокруг «неподвижной» точки А по формулам (7.11):

Вектор а Х МА направлен из точки М перпендикулярно отрезку МЛ в соответствии с направлением дуговой стрелки с, вектор а п МА направлен от точки М к полюсу А.

Если точка М движется по криволинейной траектории, то ам в левой части равенства (8.10) можно заменить суммой а х м +а п м либо суммой составляющих по направлениям двух координатных осей

Дальнейшие особенности расчета рассмотрим при решении задач.

Задача 8.5. Механизм (рис. 8.13) состоит из стержней 7, 2 и ползуна /?, соединенных друг с другом и с неподвижной опорой О шарнирами. Стер- жень 7 вращается по закону ф = 0,5(3/— / ) рад, где угол ф измеряется против хода часовой стрелки. В момент времени /, = 1 с механизм занимает положение, изображенное на рис. 8.13, и углы а = (3 = 30°, a ZOAB — 120°.

Определить для этого положения механизма скорость и ускорение ползуна В(увв), а также угловую скорость и угловое ускорение стержня 2

Решение. 1. Находим угловую скорость и угловое ускорение стержня 7 как функции времени /: coj =ф = 0,5(3 — 2/), 8j =tp = — 1. Тогда для

момента времени /, = 1 с получим со,=0,5с , gj = — 1 с .В соответствии со знаками этих величин изображаем их на рис. 8.13 дуговыми стрелками: со, против хода часовой стрелки, е, — по ходу часовой стрелки.

2. Определим VB и со2. Рассматривая вращательное движение стержня /, находим

Теперь для стержня 2 находим положение мгновенного центра скоростей — точку С2 (из чертежа видно, что АЛВС2 равносторонний, т. е. С2А — С2 В — А В — 4 м) и определяем

3. Определяем ускорение ползуна В. Точка В принадлежит ползуну и стержню АВ, который движется плоскопараллельно. Чтобы найти ав, надо сначала узнать ускорение какой-нибудь другой точки этого стержня и выбрать ее в качестве полюса. По данным задачи можем определить ускорение точки А, принадлежащей одновременно стержням / и 2.

Ускорение точки А, как принадлежащей стержню /, совершающему вращение вокруг точки О, можем представить суммой двух векторов:

где числовые значения

Вектор ад направлен вдоль АО, а а перпендикулярно АО в направлении дуговой стрелки е, (см. рис. 8.13).

Теперь рассмотрим плоскопараллельное движение стержня 2. Так как точка В этого стержня одновременно принадлежит и ползуну, движущемуся прямолинейно, то вектор ав параллелен направляющим ползуна. Изображаем вектор ав на чертеже, предполагая, что он направлен в ту же сторону, что и VB. При решении задач условимся на чертеже не заштриховывать стрелку того вектора ускорения, числовое значение которого еще не определено.

Для определения ав примем точку А стержня 2 за полюс и воспользуемся равенством

В правой части этого равенства первое и второе слагаемые известны, а два последних определяются так, как будто звено АВ вращается вокруг «неподвижной» точки А.

Изображаем на чертеже вектор аВА (вдоль отрезка ВА от В к А) и находим его числовое значение:

Числовое значение аВА в соответствии с (8.11) могло бы быть определено аВА = е2/2, однако в данном случае угловое ускорение е2 неизвестно. Для вектора аВА можем указать на чертеже направление (предположив, что е2 направлено против хода часовой стрелки, изображаем этот вектор перпендикулярно АВ в соответствующую сторону (см. рис. 8.13) и стрелку вектора не заштриховываем).

Таким образом, из величин, входящих в равенство (г), неизвестны только числовые значения двух величин ав и аВА; их можно найти, спроецировав равенство (г) на какие-нибудь две оси (все векторы этого равенства расположены в плоскости чертежа).

Чтобы определить ав, спроецируем равенство (г) на направление ВА (ось х), перпендикулярное численно неизвестному вектору аВА. Тогда получим

Подставив в равенство (е) числовые значения всех величин из (в) и (д), найдем ав = —1,42 м/с 2 . Так как получилось ав х ВА. Для этого равенство (г) спроецируем на направление ВС2 (ось Е,):

Подставив в равенство (ж) числовые значения всех величин, найдем а х ВА = 2,14 м/с 2 . Так как получили а х ВА > 0, то действительное направление вектора аВА совпадает с тем, которое предполагалось в начале расчета.

Теперь из равенства аВА е2/2 получим е2 — а х ВА/12 0,53 с 2 . Направление е2 — против хода часовой стрелки.

О т в е т: VB = 1 м/с, со2 = 0,25 с , ав = —1,42 м/с (знак указывает, что

действительное направление ав противоположно показанному на рис. 8.13), е2 = 0,53 с -2 .

Задача 8.6. Механизм (рис. 8.14, а) состоит из стержней 1, 2, 3, соединенных друг с другом и с неподвижными опорами О, и 02 шарнирами. Длины стержней 1Х 2 м, /2 = 4 м, /3 = 1,25 м. В момент времени, когда а = В = 30° и ZOAB= 120°, для стержня / известны модули и направления угловой скорости и углового ускорения: со, = 0,5 с , е, = 1 с . Для данного положения механизма определить скорость и ускорение точки В, угловые скорости и угловые ускорения стержней 2 и 3.

Решение. 1. Определим скоростные характеристики VB, оо2, со3. Определение VB и со2 полностью совпадает с тем, что выполнено в п. 2 решения задачи 8.5 и получено

Так как стержень 3 совершает вращательное движение вокруг оси 03, то

2. Определяем ускорение точки В. Так как точка В движется по окружности радиусом 02В, то направление ав заранее неизвестно.

В этом случае вектор ав следует представить как сумму двух его составляющих ав и ав. Приняв для стержня 2 точку А за полюс, запишем для ускорения точки В векторное равенство:

Для векторов, указанных в правой части этого равенства, остается справедливым то, что о них сказано в п. 3 решения задачи 8.5, и получены числовые значения

направления этих векторов показаны на рис. 8.14, а.

Векторы левой части равенства (в) определяются для точки В, как принадлежащей стержню 3, совершающему вращательное движение вокруг оси Оъ. Вектор ав будет направлен вдоль В02 и численно равен

Неизвестный по величине вектор ав направим перпендикулярно 02В предположительно в ту сторону, какую он имел бы при направлении углового ускорения е3 по ходу часовой стрелки.

Таким образом, из величин, входящих в равенство (в), неизвестны только числовые значения а х в и а т ВА (см. рис. 8.14, а), которые можно найти, спроецировав векторное равенство (в) на две оси.

Спроецировав равенство (в) на направление ВЛ (ось х), получим

Подставив в равенство (е) числовые значения всех величин из (г) и (д), найдем ав =-1,88 м/с 2 . Знак минус указывает, что действительное направление а противоположно показанному на рис. 8.14, а.

На рис. 8.14, 6 для стержня ОъВ механизма показаны фактические направления векторов скорости и ускорения точки В, определенные расчетом механизма.

3. Определяем угловое ускорение стержня 2. Спроецировав равенство (в) на направление ВС2 (ось %) на рис. 8.14, а, получим

Подставив числовые значения величин, найдем а х ВА = 2,78 м/с 2 . Так как а х ВА > 0, то фактически вектор аВА направлен так, как показано на рис.

направление е2 — против хода часовой стрелки.

  • 4. Определяем угловое ускорение стержня 3. Стержень 3 (см. рис.
  • 8.14, б) совершает вращательное движение вокруг оси 03. Из равенства

а в = е з(? получим е3 = ав/13 = 1,5 с -1 , направление е3 — против хода часовой стрелки.

Ответ: VB = 1 м/с, со2 = 0>25 с -1 , со3 = 0,8 с -1 , ав= 2,05 м/с 2 , s2 = = 0,69 с -2 , е3 = 1,5 с -2 .

Мгновенный центр ускорений

При плоскопараллельном движении плоской фигуры у нее в каждый момент времени имеется точка Q, ускорение которой равно нулю. Эту точку называют мгновенным центром ускорений (МЦУ).

Если точку Q выбрать за полюс, то ускорение любой точки М тела, согласно общей формуле (8.8), будет ам =aQ +aMQ.

При этом из (8.9) следует, что численно

Таким образом, ускорения точек плоской фигуры определяются в данный момент времени так, как если бы движение фигуры было вращением вокруг мгновенного центра ускорений Q. Из (8.13) следует, что ускорения точек плоской фигуры пропорциональны их расстояниям от МЦУ.

Если известны ускорение ам какой-нибудь точки М фигуры и величины со и е, то положение центра Q (МЦУ) определяется следующим путем: 1) находим значение угла ц из формулы (7.13) tg ц = е/со 2 ; 2) из точки М (рис. 8.15, а) проводим прямую — луч MD, направление которого получим, отложив от вектора ам угол ц

по направлению углового ускорения е; 3) откладываем вдоль луча MD отрезок MQ, равный

Картина распределения ускорений точек плоской фигуры в данный момент времени (при в ф 0, со ф 0) показана на рис. 8.15, б. В частных случаях: 1) если 8 = 0, со ф 0, то tg ц = 0, ц = 0 и ускорения всех точек направлены к МЦУ; 2) если е * 0, со = 0, мгновенно поступательное движение, то tg ц = оо, ц = 90° и ускорения всех то-

чек направлены перпендикулярно отрезкам, соединяющим эти точки с МЦУ.

Следует иметь в виду, что в общем случае при плоскопараллельном движении тела (плоской фигуры) мгновенный центр скоростей Р и мгновенный центр ускорений Q в данный момент времени не совпадают; скорости всех точек тела таковы, как будто оно вращается вокруг точки Р, а ускорения всех точек тела такие, как будто оно вращается вокруг точки Q.

Ускорение ам, равное aMQ, при решении задач может быть представлено суммой ускорений:

Вектор a x MQ направлен перпендикулярно отрезку MQ в соответствии с направлением дуговой стрелки е, а вектор a n MQ — от точки М к точке Q (см. рис. 8.15, б) численно

Задача 8.7. Колесо катится без скольжения по_прямолинейному рельсу так, что его центр С имеет постоянную скорость Vc. Определить ускорение точки М обода колеса (рис. 8.16). Радиус колеса R.

Решение. Так как Vc = const, то ас =0 и точка С является мгновенным центром ускорений (Q — Q. Мгновенный центр скоростей находится в точке Р — точке касания колеса с рельсом. Следовательно, со — Vc/PC — Vc/R — const. Отсюда следует, что 8 = со = 0, tg р = е/со — 0, р = 0. Значит, векторы ускорений всех точек колеса (в том числе и точки Р) будут направлены к центру колеса (МЦУ).

Численно ускорение точки обода определим по формуле (8.13):

Заметим, что ускорение ам не будет для точки М являться нормальным ускорением. В самом деле, касательная Л/т к траектории точки М будет направлена по ее скорости, которая перпендикулярна отрезку РМ (см. рис. 8.16), а главная нормаль Мп направлена вдоль МР. Поэтому, проецируя вектор ам на направления Л/т и Л/л, получим а х мм sin а, а п мм cosa.

Задача 8.8. Механизм (рис. 8.17, а) состоит из стержней /, 2, колеса и ползуна В. Кривошип 1 длиной ОА — 20 см вращается в плоскости чертежа равномерно с угловой скоростью со, = 1,2 с -1 вокруг оси О и приводит в движение колесо, соединенное с ним в точке А шарнирно. Колесо радиусом R= 12 см катится без скольжения по неподвижной круговой цилиндрической поверхности радиусом г — 8 см. Шатун 2 длиной ЛВ = 25 см соединен шарнирно в точке А с колесом, а в точке В с ползуном. Положение ползуна определяется размерами, указанными на рис. 8.17, а.

В положении механизма, изображенном на рис. 8.17, а, определить ускорения точек А, Р, Е, D колеса и точек Я, К, Н шатуна (ВК= 9 см, АН= 10 см).

Решение. 1. Определим угловые скорости колеса и шатуна.

Скорость точки А, принадлежащей звену 1, VA = сохОА — 24 см/с. Изображаем на чертеже VA перпендикулярно ОА в соответствии с направлением угловой скорости со,.

Поскольку колесо катится без скольжения по неподвижной поверхности, то в точке Р будет его мгновенный центр скоростей. Следовательно, угловая скорость колеса

Дуговую стрелку со колеса показываем вокруг его мгновенного центра скоростей Р в соответствии с направлением скорости VA.

В рассматриваемом положении механизма скорости VA и VB точек шатуна параллельны и перпендикуляры к ним «пересекаются» в бесконечности. Следовательно, шатун находится в состоянии мгновенно поступательного движения, его угловая скорость со2 = 0 и все точки шатуна имеют одинаковые скорости, равные VA.

2. Определение ускорений точек колеса.

Точка А оси колеса принадлежит одновременно и кривошипу I. Так как он вращается равномерно, то ej = cbj = 0. Тогда находим аА = аА = = coj ОА — 28,8 см/с . Вектор аА направлен вдоль АО (см. рис. 8.17, а).

При движении колеса его угловая скорость со остается постоянной, так как остаются неизменными значения числителя и знаменателя дроби (а). Следовательно, угловое ускорение колеса е = со = 0.

Для определения положения мгновенного центра ускорений колеса находим tg р = е/со = 0, ц = 0. Значит, точка Q (мгновенный центр ускорений колеса) находится на луче, проведенном из точки А под углом ц = 0 к вектору аА; на рис. 8.17, б это будет прямая АР. На ходим расстояние от точки А до мгновенного центра ускорений AQ = aA/yle^+со 2 =28,8/4=7,2. Отложив этот размер от точки А на луче АР, получим точку Q (см. рис. 8.17, б).

Для вычисления ускорений точек Р, Е, D колеса необходимо предварительно определить их расстояния до мгновенного центра ускорений:

Теперь находим числовые значения ускорений точек колеса:

3. Определение ускорений точек шатуна. Ускорение точки А шатуна уже известно. Точка В принадлежит и шатуну, и ползуну. Так как ползун движется прямолинейно, то вектор ав может быть направлен только вдоль движения ползуна. В рассматриваемом положении механизма угловая ско- рость шатуна со2 = 0, значит, при е2 0 tg р2 = ?2/0)2 = оо и р2 = п/2. Следовательно, лучи AQ2 и BQ2 должны быть перпендикулярны аА и ав. Проводим из точек Ли В эти перпендикуляры, в точке их пересечения находим положение точки Q-, (см. рис. 8.17, б).

Теперь определяем угловое ускорение шатуна е2 = aA/AQ2 28,8/20 = = 1,44 с -2 , направление е2 показываем на рис. 8.17, Удуговой стрелкой вокруг точки Q2 в соответствии с направлением ускорения аА.

Наконец (предварительно определив KQ-, = 12 см, HQ-, = 13,42 см), находим:

Векторы ускорений точек шатуна будут перпендикулярны прямым, соединяющим эти точки с мгновенным центром ускорений Q2.

Отметим, что в рассматриваемый момент времени скорости всех точек шатуна равны (состояние мгновенно поступательного движения), а ускорения его точек различны.

Ускорения точек плоской фигуры.

Движение плоской фигуры в своей плоскости можно разложить на поступательное движение вместе с произвольно выбранной точкой, принимаемой за полюс, и вращательное движение вокруг этого полюса.

Следовательно, ускорение любой точки при плоском движении равно геометрической сумме двух ускорений: ускорения выбранного полюса, и ускорения, полученного данной точкой при ее вращательном движении вокруг полюса.

Пусть известно ускорение точки А плоской фигуры, тогда ускорение другой точки этой фигуры будет равно

,

где ускорение вращательного движения точки А вокруг точки В раскладывается на нормальное и касательное ускорения:

Касательное ускорение вращательного движения точки вокруг полюса направлено перпендикулярно отрезку АВ, соединяющему точку В с полюсом А, и равно

Нормальное ускорение направлено по отрезку ВА к полюсу А и равно

Окончательно, полное ускорение точки В равно геометрической сумме трех ускорений: ускорения выбранного полюса А, нормального и касательного ускорений вращательного движения точки В вокруг этого полюса:

.

Мгновенным центром ускорений называется точка, принадлежащая связанной с плоской фигурой плоскости, ускорение которой в данный момент равно нулю. Если за полюс выбрать мгновенный центр ускорений, то ускорение произвольной точки плоской фигуры определяется как ускорение вращательного движения вокруг мгновенного центра ускорений.

,

где L –мгновенный центр ускорений, — нормальное ускорение, — касательное ускорение точки А вращательного движения плоской фигуры вокруг мгновенного центра ускорений.

Ускорение — направлено по AL , ускорение — перпендикулярно AL. Ускорение точки А образует угол α с отрезком AL соединяющим точку А с мгновенным центром ускорений и равно (рис.12)

,

Таким образом, если известно ускорение точки А плоской фигуры, то, чтобы найти положение мгновенного центра ускорений, следует это ускорение повернуть вокруг точки А на угол α в сторону вращения фигуры и на полученной прямой отложить расстояние

.

Если известны направления ускорений двух точек плоской фигуры, то мгновенный центр ускорений определяется как точка пересечения полученных поворотом этих ускорений на один и тот же угол в сторону вращения.

Пример. Центр колеса, катящегося без скольжения по горизонтальной плоскости, в данный момент имеет скорость VC = 2 м/c и ускорение аC = 1,6 м/c. Радиус колеса R = 0,4 м. Определить ускорение точек В и Р (рис. 40).

Так как скорость и ускорение точки С известны, то принимаем точку С за полюс.

Тогда

,

где

Мгновенный центр скоростей колеса находится в точке Р – точке касания колеса с неподвижной плоскостью, поэтому

откуда , при t = 1c, ω =

Угловое ускорение колеса

при t =1 c,

Тогда .

Ускорение точки Р будет направлено к центру колеса точке С и равно

.

Для определения ускорения в точке В спроектируем векторное равенство на горизонтальную ось x и вертикальную ось у:

Лекция №8

Дата добавления: 2014-12-03 ; просмотров: 13 ; Нарушение авторских прав


источники:

http://studref.com/496055/matematika_himiya_fizik/opredelenie_uskoreniy_tochek_ploskoy_figury

http://lektsii.com/1-34215.html

Читайте также:
  1. В центре плоской земли
  2. Взаимное расположение прямых. Нахождение общих точек.
  3. Влияние наклона рельефа местности на положение его точек на снимке.
  4. Вопрос 17. Режимы работы источника напряжения. Определение потенциалов точек цепи и их расчёт. Построение потенциальной диаграммы.
  5. Гигиена труда на этапе ускорения научно-технического прогресса
  6. Дайте определение оборотных средств организации. Охарактеризуйте экономическое значение и пути ускорения оборачиваемости оборотных средств.
  7. Измерение ускорения свободного падения с помощью математического маятника.
  8. Импульс материальной точки, системы материальных точек, абсолютно твердого тела. Закон сохранения импульса.
  9. ИСТОКИ УСКОРЕНИЯ РАЗВИТИЯ НАУКИ И РЕВОЛЮЦИЯ В ЕСТЕСТВОЗНАНИИ
  10. Классификация точек разрыва разрывных функций