20 задание огэ по математике система уравнений как решать

Задание №20 ОГЭ по математике

В данном задании необходимо решить уравнение степени больше двух — это может быть биквадратное или кубическое уравнение. Ниже мы приводим алгоритмы решения типовых заданий.

Алгоритм решения:
  1. Определить тип уравнения.
  2. Перенести правую часть уравнения в левую.
  3. Привести уравнение к виду, при котором можно его многочлен слева разложить на множители.
  4. Разложить на множители.
  5. Приравнять каждый множитель к нулю
  6. Решить полученные уравнения.
  7. Записать ответ.
Решение:

1. Уравнение четвертой степени.

2. Перенесем правую часть уравнения в левую:

x 4 – (4x – 5) 2 = 0

3. Уравнение уже приведено к виду, при котором можно его левую часть разложить на множители.

4. Данное уравнение разложим на множители по формуле разности квадратов. Получим:

(х 2 – (4х-5))( х 2 + (4х-5)) = 0, или (х 2 – 4х+5)(х 2 + 4х-5) = 0.

5. Приравняем каждый множитель к нулю:

х 2 – 4х+5 = 0 и х 2 + 4х-5 = 0

6. Решим каждое из уравнений по формулам дискриминанта и корней:

Для первого уравнения:

D = b 2 -4ac = 16-20 = – 4, это означает, что первое уравнение х 2 – 4х+5 = 0 не имеет корней.

Для второго уравнения:

Определим корни второго уравнения:

Получили два

Корень — осевой, обычно подземный вегетативный орган высших сосудистых растений, обладающий неограниченным ростом в длину и положительным геотропизмом. Корень осуществляет закрепление растения в почве и обеспечивает поглощение и проведение воды с растворёнными минеральными веществами к стеблю и листьям.

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Алгоритм решения:
  1. Определить тип уравнения.
  2. Найти делители свободного члена уравнения.
  3. Определить среди делителей один из корней.
  4. Выполнить деление кубического многочлена на выражение х-а, где а – найденный

Корень — осевой, обычно подземный вегетативный орган высших сосудистых растений, обладающий неограниченным ростом в длину и положительным геотропизмом. Корень осуществляет закрепление растения в почве и обеспечивает поглощение и проведение воды с растворёнными минеральными веществами к стеблю и листьям.

Решение:

1. Перед нами уравнение третьей степени общего типа.

2. Найдем делители свободного члена данного уравнения. Это числа: 1; -1; 2; -2; 3; -3; 4; -4; 6; -6; 12; -12;.18; -18; 36; -36.

3. Рассмотрим числа 1; -1; 2; -2; 3; -3. Это наименьшие среди найденных делителей. Подставим их по очереди в уравнение вместо х:

  • для x=1: – не подходит;
  • для x=-1: – не подходит;
  • для х=2: 2 3 +4∙2 2 -9∙2=8=16-18-36=-38≠0 – не подходит;
  • для х=-2: (-2) 3 +4∙(-2) 2 -9∙(-2)-36=-8+16+18-36=-10≠0 – не подходит;
  • для x=3: – подходит.

Мы нашли один корень.

4. Теперь выполним деление кубического многочлена на x-3, воспользовавшись схемой Горнера, имеем:

14-9-36
317120

Искать квадратный трехчлен можно другим способом, выполнив деление многочлена столбиком:

5. После деления получаем квадратный трехчлен:

Составим квадратное уравнение для вычисления оставшихся двух корней:

6. Решим его с помощью формул корней и дискриминанта

Корень — осевой, обычно подземный вегетативный орган высших сосудистых растений, обладающий неограниченным ростом в длину и положительным геотропизмом. Корень осуществляет закрепление растения в почве и обеспечивает поглощение и проведение воды с растворёнными минеральными веществами к стеблю и листьям.

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Алгоритм решения:
  1. Определить тип уравнения.
  2. Найти делители свободного члена уравнения.
  3. Определить среди делителей один из корней.
  4. Выполнить деление кубического многочлена на выражение х-а, где а – найденный корень.
  5. Записать получившийся в результате деления квадратный трехчлен и составим уравнение.
  6. Решить уравнение.
  7. Записать ответ.

1. Перед нами кубическое уравнение общего вида.

2. Найдем делители свободного члена уравнения. Это числа: 1; -1 и 2; -2.

3. Определим один из корней кубического уравнения среди делителей свободного члена .Для этого подставим каждый из этих делителей вместо x и проверим, какой их них является корнем:

– для x=1: – подходит это и есть один из корней.

4. Теперь выполним деление кубического многочлена на x-1, воспользовавшись схемой Горнера, имеем:

12-1-2
11320

Искать квадратный трехчлен можно другим способом, выполнив деление многочлена столбиком:

5. Получаем квадратный трехчлен

6. Составим и решим квадратное уравнение для вычисления оставшихся двух корней. Для этого воспользуемся формулами корней квадратного уравнения и дискриминантом.

7. Получили три корня -2; -1; 1.

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Алгоритм решения:
  1. Выполняем замену выражения с х на альтернативную переменную. Это позволит упростить уравнение и привести его к форме обычного квадратного.
  2. Решаем полученное квадратное уравнения.
  3. Переходим обратно к выражению с х, для которого была выполнена замена.
  4. Находим искомые корни уравнения.
Решение:

Это уравнение можно решить с помощью т.Виета. Согласно теореме, имеем:

Возвращаемся к переменной х. Поскольку (х–2) 2 =а, то получим:

это уравнение корней не имеет, т.к. нельзя извлечь

Корень — осевой, обычно подземный вегетативный орган высших сосудистых растений, обладающий неограниченным ростом в длину и положительным геотропизмом. Корень осуществляет закрепление растения в почве и обеспечивает поглощение и проведение воды с растворёнными минеральными веществами к стеблю и листьям.

Корни уравнения:

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Алгоритм решения:
  1. Используя формулу сокращенного умножения для квадрата разности, раскрываем скобки в левой и правой части неравенства.
  2. Группируем элементы (слагаемые) неравенства: слагаемые с «х» должны оказаться в левой части, свободные члены – в правой. Приводим подобные.
  3. Решаем полученное неравенство.
Решение:

х≤|1| → –1≤x≤1 → xϵ[–1; 1]

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Алгоритм решения:
  1. Из 2-го уравнения выражаем у через х.
  2. Подставляем полученное выражение для у в 1-е уравнение.
  3. В полученном уравнении с одной переменной (х) выполняем тождественные преобразования. Приводим его к квадратичному виду.
  4. Выполняем замену х 2 на а. Решаем полученное квадратное уравнение.
  5. Возвращаемся от а к х. Находим все значения (корни) для х.
  6. Определяем соответствующие им значения для у.
  7. Фиксируем в ответе пары соответствующих корней.
Решение:

Теперь возвращаемся к уравнению, в котором у выражено через х. И вычисляем соответствующие значения для у: Корни системы: (–1; –6), (1; 6), (–6; –1), (6; 1)Ответ: 16

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Нам дано уравнение третьей степени: х 3 + 6х 2 =4х + 24

В данном уравнении перенесем все слагаемые в одну сторону ( в левую), изменяя при этом знаки: х 3 + 6х 2 – 4х – 24=0

Теперь сгруппируем слагаемые: (х 3 + 6х 2 ) – (4х + 24)=0

Вынесем общий множитель за скобки из каждой группы: х 2 (х + 6) – 4(х + 6)=0

Вынесем за скобки выражение (х + 6): (х + 6)(х 2 – 4)=0

Приравняем каждый множитель к нулю и решим полученные уравнения:

х + 6=0 и х 2 – 4=0

х=6 х 2 =4, отсюда х1,2= ± 2

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Для начала преобразуем нашу дробь, которая дана по условию. Применим правило пропорции, умножив на 5 знаменатель данной дроби:

4 a − 9 b + 3 9 a − 4 b + 3 . . = 5

5(9а – 4b + 3)=4a – 9b+3

Раскроем скобки и перенесем слагаемые с буквами а и b влево, а свободные члены вправо (не забывая изменять при переносе знаки на противоположные): 45a – 20b +15 =4a – 9b+3 45a – 20b – 4a + 9b=3 – 15 Приведем подобные слагаемые: 41a – 11b = – 12 Выпишем выражение, значение которого надо найти: 41a – 11b + 15 и заменим в нем 41a – 11b на число -12, полученное при упрощении нашей дроби: 41 a – 11 b + 15= – 12 + 15=3. Видим, что значение нашего выражения получилось равным 3.Ответ: 3

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Данное уравнение является квадратным. Но в его условии присутствует квадратный корень, что усложняет нам задачу для нахождения его корней, в том плане, что необходимо увидеть, какие же ограничения на переменную х здесь будут.

Записываем обязательно в начале решения, что подкоренное выражение может быть только равным нулю или положительным числом (правило извлечения квадратного корня): ограничение на х: 5 − х ≥ 0

Решаем полученное неравенство: − х ≥ − 5 , отсюда х ≤ 5 . Следовательно, для ответа мы будем выбирать значения, которые меньше или равны 5.

Решаем наше квадратное уравнение, перенося все слагаемые из правой части в левую, изменяя при этом знаки на противоположные и приводя подобные слагаемые (выражения с квадратным корнем взаимоуничтожаются):

х 2 − 2 х + √ 5 − х − √ 5 − х − 24 = 0

Получим приведенное квадратное уравнение, корни которого можно найти подбором по теореме Виета:

х 2 − 2 х − 24 = 0

Итак, корнями уравнения х 2 − 2 х − 24 = 0 будут числа -4 и 6.

Теперь выбираем корень, обращая внимание на наше ограничение на х, т.е. корень должен быть меньше или равен 5. Таким образом, запишем, что 6 – это посторонний корень, так как 6 н е ≤ 5 , а число минус 4 записываем в ответ нашего уравнения, так как − 4 ≤ 5 .

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Имеем дробное неравенство, где решать надо будет только знаменатель. Но для этого посмотрим, что решением неравенства являются числа, которые больше или равны нулю. Для этого наш знаменатель должен быть отрицательным числом, так как числитель – число тоже отрицательное, а при делении двух отрицательных чисел получим число положительное. Далее, знаменатель не должен быть равен нулю, так как на нуль делить нельзя. Следовательно, начнем решение с того, что выпишем знаменатель, который должен быть отрицательным числом:

У нас получилось квадратное неравенство, которое мы и должны решать. Начнем с раскрытия скобок по формуле сокращенного умножения и приведения подобных слагаемых:

Получим квадратное неравенство, для которого надо найти интервал отрицательных чисел ( 0 )

Для этого найдем нули функции, решая с помощью дискриминанта:

Д=(-4) 2 – 4 ∙ 1 ∙ 1 =16-4=12

х 1 = 4 − √ 12 2 . . = 2 ( 2 − √ 3 ) 2 . . = 2 − √ 3

Знаем, что х2 будет отличаться только знаком, получим, что х 2 = 2 + √ 3 Теперь отмечаем числа на числовом луче и показываем интервалы справа налево путем чередования знаков. Видим, что наш интервал отрицательных чисел – от точки ( 2 − √ 3 ) до точки ( 2 + √ 3 ) . Ответ: ( 2 − √ 3 ; 2 + √ 3 )

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Чтобы решить данное задание, необходимо понимать, что выполнять действия умножение и деление степеней мы можем в том случае, если они имеют одинаковые основания. Поэтому разложим на множители основание 36 нашего числителя так, чтобы вместо 36 были числа 4 и 3, которые есть в знаменателе.

( 3 ∙ 3 ∙ 4 ) n 4 n − 2 ∙ 3 2 n − 1 . .

Теперь представим каждый множитель в виде степени:

3 n ∙ 3 n ∙ 4 n 4 n − 2 ∙ 3 2 n − 1 . .

Разложим знаменатель дроби на множители по свойству степеней

3 n ∙ 3 n ∙ 4 n 4 n ∙ 4 − 2 ∙ 3 2 n ∙ 3 − 1 . .

Теперь можно сократить числитель и знаменатель на 3 n и в 4 n степени

Получим дробь, которую преобразуем по свойству степеней:

. . 1 4 − 2 ∙ 3 − 1 . . = 4 2 ∙ 3 1 1 . . = 16 ∙ 3 = 48

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Для того чтобы начать решать неравенство, мы должны понимать, интервал каких чисел будем находить – положительных или отрицательных. Для этого перенесем выражение из правой части в левую, изменяя знак на противоположный, и справа от знака «меньше» образуется нуль:

( х − 5 ) 2 − √ 7 ( х − 5 ) 0 Теперь вынесем за скобки общий множитель (х-5), получим: ( х − 5 ) ( х − 5 − √ 7 ) 0 Найдем нули функции, приравнивая каждый множитель к нулю: х − 5 = 0 , откуда х=5 х − 5 − √ 7 = 0 , откуда: х = 5 + √ 7 Отметим эти числа на числовом луче и найдем интервал отрицательных чисел: Итак, видно, что необходимый интервал от 5 до ( 5 + √ 7 ) Ответ: ( 5 ; 5 + √ 7 ) Ответ: см. решение

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Алгебра. Урок 4. Уравнения, системы уравнений

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно по теме “Уравнения”.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

  • Линейные уравнения

Линейные уравнения

Линейное уравнение – уравнение вида a x = b , где x – переменная, a и b некоторые числа, причем a ≠ 0 .

Примеры линейных уравнений:

  1. 3 x = 2
  1. 2 7 x = − 5

Линейными уравнениями называют не только уравнения вида a x = b , но и любые уравнения, которые при помощи преобразований и упрощений сводятся к этому виду.

Как же решать уравнения, которые приведены к виду a x = b ? Достаточно поделить левую и правую часть уравнения на величину a . В результате получим ответ: x = b a .

Как распознать, является ли произвольное уравнение линейным или нет? Надо обратить внимание на переменную, которая присутствует в нем. Если старшая степень, в которой стоит переменная, равна единице, то такое уравнение является линейным уравнением.

Для того, чтобы решить линейное уравнение , необходимо раскрыть скобки (если они есть), перенести «иксы» в левую часть, числа – в правую, привести подобные слагаемые. Получится уравнение вида a x = b . Решение данного линейного уравнения: x = b a .

Примеры решения линейных уравнений:

  1. 2 x + 1 = 2 ( x − 3 ) + 8

Это линейное уравнение, так как переменная стоит в первое степени.

Попробуем преобразовать его к виду a x = b :

Для начала раскроем скобки:

2 x + 1 = 4 x − 6 + 8

В левую часть переносятся все слагаемые с x , в правую – числа:

Теперь поделим левую и правую часть на число ( -2 ) :

− 2 x − 2 = 1 − 2 = − 1 2 = − 0,5

Это уравнение не является линейным уравнением, так как старшая степень, в которой стоит переменная x равна двум.

Это уравнение выглядит линейным на первый взгляд, но после раскрытия скобок старшая степень становится равна двум:

x 2 + 3 x − 8 = x − 1

Это уравнение не является линейным уравнением.

Особые случаи (в 4 задании ОГЭ они не встречались, но знать их полезно)

  1. 2 x − 4 = 2 ( x − 2 )

Это линейное уравнение. Раскроем скобки, перенесем иксы влево, числа вправо:

2 x − 2 x = − 4 + 4

И как же здесь искать x , если его нет? После выполнения преобразований мы получили верное равенство (тождество), которое не зависит от значения переменной x . Какое бы значение x мы ни подставляли бы в исходное уравнение, в результате всегда получается верное равенство (тождество). Значит x может быть любым числом. Запишем ответ к данном линейному уравнению.

Это линейное уравнение. Раскроем скобки, перенесем иксы влево, числа вправо:

2 x − 4 = 2 x − 16

2 x − 2 x = − 16 + 4

В результате преобразований x сократился, но в итоге получилось неверное равенство, так как . Какое бы значение x мы ни подставляли бы в исходное уравнение, в результате всегда будет неверное равенство. А это означает, что нет таких значений x , при которых равенство становилось бы верным. Запишем ответ к данному линейному уравнению.

Квадратные уравнения

Квадратное уравнение – уравнение вида a x 2 + b x + c = 0, где x – переменная, a , b и c – некоторые числа, причем a ≠ 0 .

Алгоритм решения квадратного уравнения:

  1. Раскрыть скобки, перенести все слагаемые в левую часть, чтобы уравнение приобрело вид: a x 2 + b x + c = 0
  2. Выписать, чему равны в числах коэффициенты: a = … b = … c = …
  3. Вычислить дискриминант по формуле: D = b 2 − 4 a c
  4. Если D > 0 , будет два различных корня, которые находятся по формуле: x 1,2 = − b ± D 2 a
  5. Если D = 0, будет один корень, который находится по формуле: x = − b 2 a
  6. Если D 0, решений нет: x ∈ ∅

Примеры решения квадратного уравнения:

  1. − x 2 + 6 x + 7 = 0

a = − 1, b = 6, c = 7

D = b 2 − 4 a c = 6 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 7 = 36 + 28 = 64

D > 0 – будет два различных корня:

x 1,2 = − b ± D 2 a = − 6 ± 64 2 ⋅ ( − 1 ) = − 6 ± 8 − 2 = [ − 6 + 8 − 2 = 2 − 2 = − 1 − 6 − 8 − 2 = − 14 − 2 = 7

Ответ: x 1 = − 1, x 2 = 7

a = − 1, b = 4, c = − 4

D = b 2 − 4 a c = 4 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ ( − 4 ) = 16 − 16 = 0

D = 0 – будет один корень:

x = − b 2 a = − 4 2 ⋅ ( − 1 ) = − 4 − 2 = 2

a = 2, b = − 7, c = 10

D = b 2 − 4 a c = ( − 7 ) 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 10 = 49 − 80 = − 31

D 0 – решений нет.

Также существуют неполные квадратные уравнения (это квадратные уравнения, у которых либо b = 0, либо с = 0, либо b = с = 0 ). Смотрите видео, как решать такие квадратные уравнения!

Разложение квадратного трехчлена на множители

Квадратный трехчлен можно разложить на множители следующим образом:

a x 2 + b x + c = a ⋅ ( x − x 1 ) ⋅ ( x − x 2 )

где a – число, коэффициент перед старшим коэффициентом,

x – переменная (то есть буква),

x 1 и x 2 – числа, корни квадратного уравнения a x 2 + b x + c = 0 , которые найдены через дискриминант.

Если квадратное уравнение имеет только один корень , то разложение выглядит так:

a x 2 + b x + c = a ⋅ ( x − x 0 ) 2

Примеры разложения квадратного трехчлена на множители:

  1. − x 2 + 6 x + 7 = 0 ⇒ x 1 = − 1, x 2 = 7

− x 2 + 6 x + 7 = ( − 1 ) ⋅ ( x − ( − 1 ) ) ( x − 7 ) = − ( x + 1 ) ( x − 7 ) = ( x + 1 ) ( 7 − x )

  1. − x 2 + 4 x − 4 = 0 ; ⇒ x 0 = 2

− x 2 + 4 x − 4 = ( − 1 ) ⋅ ( x − 2 ) 2 = − ( x − 2 ) 2

Если квадратный трехчлен является неполным, ( ( b = 0 или c = 0 ) то его можно разложить на множители следующими способами:

  • c = 0 ⇒ a x 2 + b x = x ( a x + b )
  • b = 0 ⇒ применить формулу сокращенного умножения для разности квадратов.

Дробно рациональные уравнения

Пусть f ( x ) и g ( x ) – некоторые функции, зависящие от переменной x .

Дробно рациональное уравнение – это уравнение вида f ( x ) g ( x ) = 0 .

Для того, чтобы решить дробно рациональное уравнение, надо вспомнить, что такое ОДЗ и когда оно возникает.

ОДЗ – область допустимых значений переменной.

В выражении вида f ( x ) g ( x ) = 0

ОДЗ: g ( x ) ≠ 0 (знаменатель дроби не может быть равен нулю).

Алгоритм решения дробно рационального уравнения:

  1. Привести выражение к виду f ( x ) g ( x ) = 0 .
  2. Выписать ОДЗ: g ( x ) ≠ 0.
  3. Приравнять числитель дроби к нулю f ( x ) = 0 и найти корни.
  4. Указать в ответе корни из числителя, исключив те корни, которые попали в ОДЗ.

Пример решения дробного рационального уравнения:

Решить дробно рациональное уравнение x 2 − 4 2 − x = 1.

Решение:

Будем действовать в соответствии с алгоритмом.

  1. Привести выражение к виду f ( x ) g ( x ) = 0 .

Переносим единичку в левую часть, записываем к ней дополнительный множитель, чтобы привести оба слагаемых к одному общему знаменателю:

x 2 − 4 2 − x − 1 \ 2 − x = 0

x 2 − 4 2 − x − 2 − x 2 − x = 0

x 2 − 4 − ( 2 − x ) 2 − x = 0

x 2 − 4 − 2 + x 2 − x = 0

x 2 + x − 6 2 − x = 0

Первый шаг алгоритма выполнен успешно.

Обводим в рамочку ОДЗ, не забываем про него: x ≠ 2

  1. Приравнять числитель дроби к нулю f ( x ) = 0 и найти корни:

x 2 + x − 6 = 0 – Квадратное уравнение. Решаем через дискриминант.

a = 1, b = 1, c = − 6

D = b 2 − 4 a c = 1 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 6 ) = 1 + 24 = 25

D > 0 – будет два различных корня.

x 1,2 = − b ± D 2 a = − 1 ± 25 2 ⋅ 1 = − 1 ± 5 2 = [ − 1 + 5 2 = 4 2 = 2 − 1 − 5 2 = − 6 2 = − 3

  1. Указать в ответе корни из числителя, исключив те корни, которые попали в ОДЗ.

Корни, полученные на предыдущем шаге:

Значит, в ответ идет только один корень, x = − 3.

Системы уравнений

Системой уравнений называют два уравнения с двумя неизвестными (как правило, неизвестные обозначаются x и y ) , которые объединены в общую систему фигурной скобкой.

Пример системы уравнений

Решить систему уравнений – найти пару чисел x и y , которые при подстановке в систему уравнений образуют верное равенство в обоих уравнениях системы.

Существует два метода решений систем линейных уравнений:

  1. Метод подстановки.
  2. Метод сложения.

Алгоритм решения системы уравнений методом подстановки:

  1. Выразить из любого уравнения одну переменную через другую.
  2. Подставить в другое уравнение вместо выраженной переменной полученное значение.
  3. Решить уравнение с одной неизвестной.
  4. Найти оставшуюся неизвестную.

Решить систему уравнений методом подстановки

Решение:

  1. Выразить из любого уравнения одну переменную через другую.
  1. Подставить в другое уравнение вместо выраженной переменной полученное значение.
  1. Решить уравнение с одной неизвестной.

3 ( 8 − 2 y ) − y = − 4

y = − 28 − 7 = 28 7 = 4

  1. Найти оставшуюся неизвестную.

x = 8 − 2 y = 8 − 2 ⋅ 4 = 8 − 8 = 0

Ответ можно записать одним из трех способов:

Решение системы уравнений методом сложения.

Метод сложения основывается на следующем свойстве:

Идея метода сложения состоит в том, чтобы избавиться от одной из переменных, сложив уравнения.

Решить систему уравнений методом сложения

Давайте избавимся в данном примере от переменной x . Суть метода состоит в том, чтобы в первом и во втором уравнении перед переменной x стояли противоположные коэффициенты. Во втором уравнении перед x стоит коэффициент 3 . Для того, чтобы метод сложения сработал, надо чтобы перед переменной x оказался коэффициент ( − 3 ) . Для этого домножим левую и правую часть первого уравнения на ( − 3 ) .

Теперь, когда перед переменной в обоих уравнениях стоят противоположные коэффициенты, при сложении левых частей уравнений переменная x исчезнет.

( − 3 x − 6 y ) + ( 3 x − y ) = ( − 24 ) + ( − 4 )

− 3 x − 6 y + 3 x − y = − 24 − 4

y = − 28 − 7 = 28 7 = 4

Осталось найти переменную x . Для этого подставим y = 4 в любое из двух уравнений системы. Например, в первое.

Ответ можно записать одним из трех способов:

Задание №9 из ОГЭ 2020. Типовые задачи и принцип их решения.

Как решать систему уравнений

О чем эта статья:

8 класс, 9 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Основные понятия

Алгебра в 8 и 9 классе становится сложнее. Но если изучать темы последовательно и регулярно практиковаться в тетрадке и онлайн — ходить на уроки математики будет не так страшно.

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в исходное уравнение получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем 3 + 4 = 7. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 7 = 7.

Уравнением можно назвать, например, равенство 3 + x = 7 с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Система уравнений — это несколько уравнений, для которых надо найти значения неизвестных, каждое из которых соответствует данным уравнениям.

Так как существует множество уравнений, составленных с их использованием систем уравнений также много. Поэтому для удобства изучения существуют отдельные группы по схожим характеристикам. Рассмотрим способы решения систем уравнений.

Линейное уравнение с двумя переменными

Уравнение вида ax + by + c = 0 называется линейным уравнением с двумя переменными x и y, где a, b, c — числа.

Решением этого уравнения называют любую пару чисел (x; y), которая соответствует этому уравнению и обращает его в верное числовое равенство.

Теорема, которую нужно запомнить: если в линейном уравнение есть хотя бы один не нулевой коэффициент при переменной — его графиком будет прямая линия.

Вот алгоритм построения графика ax + by + c = 0, где a ≠ 0, b ≠ 0:

Дать переменной 𝑥 конкретное значение x = x₁, и найти значение y = y₁ при ax₁ + by + c = 0.

Дать x другое значение x = x₂, и найти соответствующее значение y = y₂ при ax₂ + by + c = 0.

Построить на координатной плоскости xy точки: (x₁; y₁); (x₂; y₂).

Провести прямую через эти две точки и вуаля — график готов.

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Система двух линейных уравнений с двумя переменными

Для ax + by + c = 0 можно сколько угодно раз брать произвольные значение для x и находить значения для y. Решений в таком случае может быть бесчисленное множество.

Система линейных уравнений (ЛУ) с двумя переменными образуется в случае, когда x и y связаны не одним, а двумя уравнениями. Такая система может иметь одно решение или не иметь решений совсем. Выглядит это вот так:

Из первого линейного уравнения a₁x + b₁y + c₁ = 0 можно получить линейную функцию, при условии если b₁ ≠ 0: y = k₁x + m₁. График — прямая линия.

Из второго ЛУ a₂x + b₂y + c₂ = 0 можно получить линейную функцию, если b₂ ≠ 0: y = k₂x + m₂. Графиком снова будет прямая линия.

Можно записать систему иначе:

Множеством решений первого ЛУ является множество точек, лежащих на определенной прямой, аналогично и для второго ЛУ. Если эти прямые пересекаются — у системы есть единственное решение. Это возможно при условии, если k₁ ≠ k₂.

Две прямые могут быть параллельны, а значит, они никогда не пересекутся и система не будет иметь решений. Это возможно при следующих условиях: k₁ = k₂ и m₁ ≠ m₂.

Две прямые могут совпасть, и тогда каждая точка будет решением, а у системы будет бесчисленное множество решений. Это возможно при следующих условиях: k₁ = k₂ и m₁ = m₂.

Метод подстановки

Разберем решение систем уравнений методом подстановки. Вот алгоритм при переменных x и y:

Выразить одну переменную через другую из более простого уравнения системы.

Подставить то, что получилось на место этой переменной в другое уравнение системы.

Решить полученное уравнение, найти одну из переменных.

Подставить поочередно каждый из найденных корней в уравнение, которое получили на первом шаге, и найти второе неизвестное значение.

Записать ответ. Ответ принято записывать в виде пар значений (x; y).

Решим систему уравнений методом подстановки

Потренируемся решать системы линейных уравнений методом подстановки.

Пример 1

Решите систему уравнений:

x − y = 4
x + 2y = 10

Выразим x из первого уравнения:

x − y = 4
x = 4 + y

Подставим получившееся выражение во второе уравнение вместо x:

x + 2y = 10
4 + y + 2y = 10

Решим второе уравнение относительно переменной y:

4 + y + 2y = 10
4 + 3y = 10
3y = 10 − 4
3y = 6
y = 6 : 3
y = 2

Полученное значение подставим в первое уравнение вместо y и решим уравнение:

x − y = 4
x − 2 = 4
x = 4 + 2
x = 6

Ответ: (6; 2).

Пример 2

Решите систему линейных уравнений:

x + 5y = 7
3x = 4 + 2y

Сначала выразим переменную x из первого уравнения:

x + 5y = 7
x = 7 − 5y

Выражение 7 − 5y подставим вместо переменной x во второе уравнение:

3x = 4 + 2y
3 (7 − 5y) = 4 + 2y

Решим второе линейное уравнение в системе:

3 (7 − 5y) = 4 + 2y
21 − 15y = 4 + 2y
21 − 15y − 2y = 4
21 − 17y = 4
17y = 21 − 4
17y = 17
y = 17 : 17
y = 1

Подставим значение y в первое уравнение и найдем значение x:

x + 5y = 7
x + 5 = 7
x = 7 − 5
x = 2

Ответ: (2; 1).

Пример 3

Решите систему линейных уравнений:

x − 2y = 3
5x + y = 4

Из первого уравнения выразим x:

x − 2y = 3
x = 3 + 2y

Подставим 3 + 2y во второе уравнение системы и решим его:

5x + y = 4
5 (3 + 2y) + y = 4
15 + 10y + y = 4
15 + 11y = 4
11y = 4 − 15
11y = −11
y = −11 : 11
y = −1

Подставим получившееся значение в первое уравнение и решим его:

x − 2y = 3
x − 2 (−1) = 3
x + 2 = 3
x = 3 − 2
x = 1

Ответ: (1; −1).

Метод сложения

Теперь решим систему уравнений способом сложения. Алгоритм с переменными x и y:

При необходимости умножаем почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами.

Складываем почленно левые и правые части уравнений системы.

Решаем получившееся уравнение с одной переменной.

Находим соответствующие значения второй переменной.

Запишем ответ в в виде пар значений (x; y).

Пример.

Домножим первое уравнение системы на -2, второе оставим без изменений. Система примет вид:

Сложим уравнения, получим

Отсюда y = -3, а, значит, x = 2

Ответ: (2; -3).

Система линейных уравнений с тремя переменными

Системы ЛУ с тремя переменными решают так же, как и с двумя. В них присутствуют три неизвестных с коэффициентами и свободный член. Выглядит так:

Решений в таком случае может быть бесчисленное множество. Придавая двум переменным различные значения, можно найти третье значение. Ответ принято записывать в виде тройки значений (x; y; z).

Если x, y, z связаны между собой тремя уравнениями, то образуется система трех ЛУ с тремя переменными. Для решения такой системы можно применять метод подстановки и метод сложения.

Решение задач

Разберем примеры решения систем уравнений.

Задание 1. Как привести уравнение к стандартному виду ах + by + c = 0?

5x − 8y = 4x − 9y + 3

5x − 8y = 4x − 9y + 3

5x − 8y − 4x + 9y = 3

Задание 2. Как решать систему уравнений способом подстановки

Выразить у из первого уравнения:

Подставить полученное выражение во второе уравнение:

Найти соответствующие значения у:

Задание 3. Как решать систему уравнений методом сложения

  1. Решение систем линейных уравнений начинается с внимательного просмотра задачи. Заметим, что можно исключить у. Для этого умножим первое уравнение на минус два и сложим со вторым:
  1. Решаем полученное квадратное уравнение любым способом. Находим его корни:
  1. Найти у, подставив найденное значение в любое уравнение:
  1. Ответ: (1; 1), (1; -1).

Задание 4. Решить систему уравнений

Решим второе уравнение и найдем х = 2, х = 5. Подставим значение переменной х в первое уравнение и найдем соответствующее значение у.

Задание 5. Как решить систему уравнений с двумя неизвестными

При у = -2 первое уравнение не имеет решений, при у = 2 получается:


источники:

http://epmat.ru/modul-algebra/urok-4-uravneniya-sistemy-uravnenij/

http://skysmart.ru/articles/mathematic/reshenie-sistem-uravnenij