25 степенная функция и ее свойства и график иррациональные уравнения

Степенная функция, ее свойства и графики

Формулы со степенной функцией

На области определения степенной функции y = x p имеют место следующие формулы:
; ;
;
; ;
; ;
; .

Свойства степенных функций и их графики

Далее мы рассматриваем степенную функцию
y ( x ) = x p .

Степенная функция с показателем равным нулю, p = 0

Если показатель степенной функции y = x p равен нулю, p = 0 , то степенная функция определена для всех x ≠ 0 и является постоянной, равной единице:
y = x p = x 0 = 1, x ≠ 0 .

Степенная функция с натуральным нечетным показателем, p = n = 1, 3, 5, .

Рассмотрим степенную функцию y = x p = x n с натуральным нечетным показателем степени n = 1, 3, 5, . . Такой показатель также можно записать в виде: n = 2k + 1 , где k = 0, 1, 2, 3, . – целое не отрицательное. Ниже представлены свойства и графики таких функций.

График степенной функции y = x n с натуральным нечетным показателем при различных значениях показателя степени n = 1, 3, 5, . .

Область определения: –∞
Множество значений: –∞
Четность: нечетная, y(–x) = – y(x)
Монотонность: монотонно возрастает
Экстремумы: нет
Выпуклость:
при –∞ выпукла вверх
при 0 выпукла вниз
Точки перегибов: x = 0, y = 0
Точки пересечения с осями координат: x = 0, y = 0
Пределы:
;
Частные значения:
при x = –1,
y(–1) = (–1) n ≡ (–1) 2k+1 = –1
при x = 0, y(0) = 0 n = 0
при x = 1, y(1) = 1 n = 1
Обратная функция:
при n = 1 , функция является обратной к самой себе: x = y
при n ≠ 1 , обратной функцией является корень степени n :

Степенная функция с натуральным четным показателем, p = n = 2, 4, 6, .

Рассмотрим степенную функцию y = x p = x n с натуральным четным показателем степени n = 2, 4, 6, . . Такой показатель также можно записать в виде: n = 2k , где k = 1, 2, 3, . – натуральное. Свойства и графики таких функций даны ниже.

График степенной функции y = x n с натуральным четным показателем при различных значениях показателя степени n = 2, 4, 6, . .

Область определения: –∞
Множество значений: 0 ≤ y
Четность: четная, y(–x) = y(x)
Монотонность:
при x ≤ 0 монотонно убывает
при x ≥ 0 монотонно возрастает
Экстремумы: минимум, x = 0, y = 0
Выпуклость: выпукла вниз
Точки перегибов: нет
Точки пересечения с осями координат: x = 0, y = 0
Пределы:
;
Частные значения:
при x = –1 , y(–1) = (–1) n ≡ (–1) 2k = 1
при x = 0, y(0) = 0 n = 0
при x = 1, y(1) = 1 n = 1
Обратная функция:
при n = 2 , квадратный корень:
при n ≠ 2 , корень степени n :

Степенная функция с целым отрицательным показателем, p = n = -1, -2, -3, .

Рассмотрим степенную функцию y = x p = x n с целым отрицательным показателем степени n = -1, -2, -3, . . Если положить n = –k , где k = 1, 2, 3, . – натуральное, то ее можно представить в виде:

График степенной функции y = x n с целым отрицательным показателем при различных значениях показателя степени n = -1, -2, -3, . .

Нечетный показатель, n = -1, -3, -5, .

Ниже представлены свойства функции y = x n с нечетным отрицательным показателем n = -1, -3, -5, . .

Область определения: x ≠ 0
Множество значений: y ≠ 0
Четность: нечетная, y(–x) = – y(x)
Монотонность: монотонно убывает
Экстремумы: нет
Выпуклость:
при x : выпукла вверх
при x > 0 : выпукла вниз
Точки перегибов: нет
Точки пересечения с осями координат: нет
Знак:
при x
при x > 0, y > 0
Пределы:
; ; ;
Частные значения:
при x = –1, y(–1) = (–1) n = –1
при x = 1, y(1) = 1 n = 1
Обратная функция:
при n = –1 ,
при n ,

Четный показатель, n = -2, -4, -6, .

Ниже представлены свойства функции y = x n с четным отрицательным показателем n = -2, -4, -6, . .

Область определения: x ≠ 0
Множество значений: y > 0
Четность: четная, y(–x) = y(x)
Монотонность:
при x : монотонно возрастает
при x > 0 : монотонно убывает
Экстремумы: нет
Выпуклость: выпукла вниз
Точки перегибов: нет
Точки пересечения с осями координат: нет
Знак: y > 0
Пределы:
; ; ;
Частные значения:
при x = –1, y(–1) = (–1) n = 1
при x = 1, y(1) = 1 n = 1
Обратная функция:
при n = –2 ,
при n ,

Степенная функция с рациональным (дробным) показателем

Рассмотрим степенную функцию y = x p с рациональным (дробным) показателем степени , где n – целое, m > 1 – натуральное. Причем, n, m не имеют общих делителей.

Знаменатель дробного показателя — нечетный

Пусть знаменатель дробного показателя степени нечетный: m = 3, 5, 7, . . В этом случае, степенная функция x p определена как для положительных, так и для отрицательных значений аргумента x . Рассмотрим свойства таких степенных функций, когда показатель p находится в определенных пределах.

Показатель p отрицательный, p m = 3, 5, 7, . ) меньше нуля: .

Графики степенных функций с рациональным отрицательным показателем при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, . — нечетное.

Нечетный числитель, n = -1, -3, -5, .

Приводим свойства степенной функции y = x p с рациональным отрицательным показателем , где n = -1, -3, -5, . — нечетное отрицательное целое, m = 3, 5, 7 . — нечетное натуральное.

Область определения: x ≠ 0
Множество значений: y ≠ 0
Четность: нечетная, y(–x) = – y(x)
Монотонность: монотонно убывает
Экстремумы: нет
Выпуклость:
при x : выпукла вверх
при x > 0 : выпукла вниз
Точки перегибов: нет
Точки пересечения с осями координат: нет
Знак:
при x
при x > 0, y > 0
Пределы:
; ; ;
Частные значения:
при x = –1, y(–1) = (–1) n = –1
при x = 1, y(1) = 1 n = 1
Обратная функция:

Четный числитель, n = -2, -4, -6, .

Свойства степенной функции y = x p с рациональным отрицательным показателем , где n = -2, -4, -6, . — четное отрицательное целое, m = 3, 5, 7 . — нечетное натуральное.

Область определения: x ≠ 0
Множество значений: y > 0
Четность: четная, y(–x) = y(x)
Монотонность:
при x : монотонно возрастает
при x > 0 : монотонно убывает
Экстремумы: нет
Выпуклость: выпукла вниз
Точки перегибов: нет
Точки пересечения с осями координат: нет
Знак: y > 0
Пределы:
; ; ;
Частные значения:
при x = –1, y(–1) = (–1) n = 1
при x = 1, y(1) = 1 n = 1
Обратная функция:

Показатель p положительный, меньше единицы, 0

График степенной функции с рациональным показателем ( 0 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, . — нечетное.

Нечетный числитель, n = 1, 3, 5, .

Представлены свойства степенной функции y = x p с рациональным показателем , находящимся в пределах 0 , где n = 1, 3, 5, . — нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 . — нечетное натуральное.

Область определения: –∞
Множество значений: –∞
Четность: нечетная, y(–x) = – y(x)
Монотонность: монотонно возрастает
Экстремумы: нет
Выпуклость:
при x : выпукла вниз
при x > 0 : выпукла вверх
Точки перегибов: x = 0, y = 0
Точки пересечения с осями координат: x = 0, y = 0
Знак:
при x
при x > 0, y > 0
Пределы:
;
Частные значения:
при x = –1, y(–1) = –1
при x = 0, y(0) = 0
при x = 1, y(1) = 1
Обратная функция:

Четный числитель, n = 2, 4, 6, .

Представлены свойства степенной функции y = x p с рациональным показателем , находящимся в пределах 0 , где n = 2, 4, 6, . – четное натуральное, m = 3, 5, 7 . – нечетное натуральное.

Область определения: –∞
Множество значений: 0 ≤ y
Четность: четная, y(–x) = y(x)
Монотонность:
при x : монотонно убывает
при x > 0 : монотонно возрастает
Экстремумы: минимум при x = 0, y = 0
Выпуклость: выпукла вверх при x ≠ 0
Точки перегибов: нет
Точки пересечения с осями координат: x = 0, y = 0
Знак: при x ≠ 0, y > 0
Пределы:
;
Частные значения:
при x = –1, y(–1) = 1
при x = 0, y(0) = 0
при x = 1, y(1) = 1
Обратная функция:

Показатель p больше единицы, p > 1

График степенной функции с рациональным показателем ( p > 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, . — нечетное.

Нечетный числитель, n = 5, 7, 9, .

Свойства степенной функции y = x p с рациональным показателем, большим единицы: 1″ style=»width:95px;height:36px;vertical-align:-20px;background-position:-346px -53px»> . Где n = 5, 7, 9, . – нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 . – нечетное натуральное.

Область определения: –∞
Множество значений: –∞
Четность: нечетная, y(–x) = – y(x)
Монотонность: монотонно возрастает
Экстремумы: нет
Выпуклость:
при –∞ выпукла вверх
при 0 выпукла вниз
Точки перегибов: x = 0, y = 0
Точки пересечения с осями координат: x = 0, y = 0
Пределы:
;
Частные значения:
при x = –1, y(–1) = –1
при x = 0, y(0) = 0
при x = 1, y(1) = 1
Обратная функция:

Четный числитель, n = 4, 6, 8, .

Свойства степенной функции y = x p с рациональным показателем, большим единицы: 1″ style=»width:95px;height:36px;vertical-align:-20px;background-position:-346px -53px»> . Где n = 4, 6, 8, . – четное натуральное, m = 3, 5, 7 . – нечетное натуральное.

Область определения: –∞
Множество значений: 0 ≤ y
Четность: четная, y(–x) = y(x)
Монотонность:
при x монотонно убывает
при x > 0 монотонно возрастает
Экстремумы: минимум при x = 0, y = 0
Выпуклость: выпукла вниз
Точки перегибов: нет
Точки пересечения с осями координат: x = 0, y = 0
Пределы:
;
Частные значения:
при x = –1, y(–1) = 1
при x = 0, y(0) = 0
при x = 1, y(1) = 1
Обратная функция:

Знаменатель дробного показателя — четный

Пусть знаменатель дробного показателя степени четный: m = 2, 4, 6, . . В этом случае, степенная функция x p не определена для отрицательных значений аргумента. Ее свойства совпадают со свойствами степенной функции с иррациональным показателем (см. следующий раздел).

Степенная функция с иррациональным показателем

Рассмотрим степенную функцию y = x p с иррациональным показателем степени p . Свойства таких функций отличаются от рассмотренных выше тем, что они не определены для отрицательных значений аргумента x . Для положительных значений аргумента, свойства зависят только от величины показателя степени p и не зависят от того, является ли p целым, рациональным или иррациональным.

Графики степенной функции y = x p при различных значениях показателя p .

Степенная функция с отрицательным показателем p x > 0
Множество значений: y > 0
Монотонность: монотонно убывает
Выпуклость: выпукла вниз
Точки перегибов: нет
Точки пересечения с осями координат: нет
Пределы: ;
Частное значение: При x = 1, y(1) = 1 p = 1

Степенная функция с положительным показателем p > 0

Показатель меньше единицы 0 x ≥ 0
Множество значений: y ≥ 0
Монотонность: монотонно возрастает
Выпуклость: выпукла вверх
Точки перегибов: нет
Точки пересечения с осями координат: x = 0, y = 0
Пределы:
Частные значения: При x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
При x = 1, y(1) = 1 p = 1
Показатель больше единицы p > 1

Область определения: x ≥ 0
Множество значений: y ≥ 0
Монотонность: монотонно возрастает
Выпуклость: выпукла вниз
Точки перегибов: нет
Точки пересечения с осями координат: x = 0, y = 0
Пределы:
Частные значения: При x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
При x = 1, y(1) = 1 p = 1

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 12-08-2014 Изменено: 14-12-2018

Изучение темы: «Степенная функция. Иррациональные выражения, уравнения и неравенства.»

Изучение темы: «Степенная функция. Иррациональные выражения, уравнения и неравенства.»

Цель урока: Повторить свойства степенной функции с целым показателем. Ввести понятие степенной функции с рациональным показателем, рассмотреть её свойства и графики.

образовательная: научить распознавать степенную функцию с рациональным показателем среди других функций,

развивающая: формирование умения применять ранее полученные знания,

воспитательная: привитие интереса к предмету.

Материалы и оборудование урока:

Тип урока: урок объяснения нового материала.

1. Организационный момент.

2. Вступительная беседа.

3. Актуализация знаний.

4. Усвоение новых знаний.

5. Закрепление знаний.

6. Подведение итогов урока.

1. Организационный момент.

2. Вступительная беседа.

Учитель: — Мы знаем достаточно много элементарных функций. Вспомним, какие это функции? ( Ответы учащихся)

— Какие основные свойства функций вы знаете? (Ответы учащихся. Итог записать на доске и в тетрадях).

— Какие основные преобразования графиков функций вам известны? (Ответы учащихся)

3. Актуализация знаний.

Учитель: Степенная функция – это функция вида y = хα, где α – постоянное число. Свойства функции и графики зависят от показателя α. Каким числом может быть α?

( Ответы: натуральным, целым, рациональным).

α – натуральное число.

На какие два множества можно разделить множество натуралных чисел? ( Ответы: на чётные и нечётные числа).

Приведите пример известной функции с чётным натуральным показателем.

( Ответы: y = х2 ) Постройте её график, назовите свойства. (Слайд 1).

Приведите пример известной функции с нечётным натуральным показателем

( Ответы: y = х, y = х3 ) Постройте графики, назовите свойства.( Слайд 2)

Задание учащимся. Постройте график функции, y =(х – 1)6 – 2. Проверка по слайду 3.

Учитель: α – целое число.

На какие три множества можно разделить множество целых чисел? ( Ответы: натуральные, целые отрицательные и ноль). Комментарии по слайду 4.

Учитель: α – целое отрицательное число. Целые отрицательные числа можно разделить на чётные и нечётные.

Постройте по точкам график функции , y = х-2, назовите свойства. (Слайд 5).

Постройте по точкам график функции, y = х-3, назовите свойства.(Слайд 6).

Задание учащимся: Постройте график функции y =(х + 1)-3 +2. Проверка по

4. Усвоение новых знаний.

Учитель: : α – дробное число. α = , m Z, n N.

Рассмотрим функцию .

Рассмотрим область определения данной функции. Комментирование по

слайду 8.

α – дробное положительное число. Рассмотрим свойства данной функции.

Построим графики функций y = хα , для двух случаев:

1) 0 1 ( α = 2, α = 3, α = , (Слайд 9).

α – дробное отрицательное число.

По точкам построим график функции: , , назовите свойства. (Слайд 10).

Фронтальная работа с учащимися по слайду 11.( Найти область определения функции).

5. Закрепление знаний. Учащимся предлагается проверочная работа. (Слайд 12, слайд 13)

Проверка ответов по слайду. Работу учащимся предлагается оценить самостоятельно: 6 заданий – «5», 4-5 заданий — «4», 3 задания – «3», меньше 3 заданий – «2».

6. Подведение итогов урока.

Проводится по таблице: «Степенная функция. Виды графиков».

7. Домашнее задание для учащихся демонстрируется на слайде 14 и выдаются карточки.

Итоговое занятие по темам «Корень n-й степени. Степенная функция. Иррациональные уравнения»

Разделы: Математика

Цель: обобщить и систематизировать знания, умения студентов о корне n-й степени, степенной функции, их свойствах, продолжить формирование навыков применения теоретических знаний на практике, проверить уровень усвоения материала, развивать навыки взаимоконтроля и самоконтроля, воспитывать умения работы в группе, ответственность за общее дело.

Тип занятия: обобщения и систематизации знаний.

Методическое обеспечение:

  • компьютерные программы GRAN1W [6], «Актуализация опорных знаний по теме «Степенная функция», «Задача-софизм» Е.И.Скафа [5];
  • карточки групповой работы, таблицы обобщения знаний;
  • карточки для тестовой проверки знаний (задания взяты из книги [4]) и «ключи» ответов.

Ход занятия

1. Организационный момент.

Группа студентов делится на подгруппы по 4 человека, которые сидят за столом с компьютером. Руководит каждой подгруппой консультант, который заносит информацию о работе каждого участника подгруппы в отдельный бланк (приложение 1).

2. Сообщение темы, цели и задач занятия. Мотивация обучения.

Немного изменив слова великого китайского педагога Конфуция (жил более 2400 лет тому назад), можно сформулировать задачу нашего занятия: «То, что я слышу, я забываю. То, что вижу и слышу, я немного помню. Когда я слышу, вижу, обсуждаю и делаю, я запоминаю. Когда я передаю знания другим, я учусь». На этом занятии нам необходимо все знания по теме систематизировать, обобщить, определить их уровень усвоения и при необходимости откорректировать, так как знания этой темы будут применяться на различных предметах специализации бухгалтерского учета. Для того, чтобы стать профессионалом, необходимо уже сейчас заботиться о своих знаниях.

Основной формой проведения нашего занятия является работа в группах. В каждой группе есть консультант, который контролирует выполнение работы группы и помогает в выполнении заданий. Внимательно слушайте критерии оценивания, чтобы правильно оценить выполненную работу. Помощником в нашей работе будет компьютер.

3. Актуализация опорных знаний студентов.

Задание. Выполняя работу теста, представленного на компьютере [5], необходимо выбрать правильный вариант ответа и указать теоретическое обоснование этого варианта. Участники подгруппы обсуждают вопрос, выбирают вариант ответа и поднимают флажок, указывающий, что ответ готов. Группа, которая первой подняла флажок, дает ответ.

Консультанты! Внимание! Вы оцениваете вклад каждого. Правильное решение оценивается в 1 балл.

Вопросы теста:

1. Вычислите : 1) -2; 2; 2) 2; 3) -2; 4) другой ответ.

Ответ: Применяя определение арифметического корня, получаем , число 2 должно быть положительным.

2. Вычислите : 1) 4; 2) 2; 3) -2; 2; 4) .

Ответ: Применяем свойства произведения корней и формулу разности квадратов двух выражений и получаем .

3. Упростите выражение: : 1) ; 2) ;3) ;4)

Ответ: применяем свойство возведения степени в степень и свойство корня о переходе к новому показателю и получаем

4. Решите уравнение х 5 = -50: 1) , — ; 2) — ; 3) ; 4) другой ответ.

Ответ: степенная функция у = х 5 является нечетной, поэтому уравнение имеет один корень

5. Решите уравнение х 6 = 7: 1) — , ; 2) ; 3) — ; 4) другой ответ.

Ответ: степенная функция у = х6 является четной, поэтому уравнение имеет два корня

6. Упростите выражение: : 1) ; 2) ; 3) х 2,2 ; 4) другой ответ.

Ответ: Применяя свойства степени о возведении в степень и умножении степеней с одинаковым основанием, получаем 0,6+1,6=2,2

7. Упростите выражение: : 1) ; 2) ; 3) ; 4) другой ответ.

Ответ: применяем формулу разности квадратов и выполняем сокращение числителя и знаменателя на сомножитель

8. Решите уравнение: : 1) 4; 2) 0; 3) 18; 4) другой ответ.

Ответ: решаем уравнение способом возведения в квадрат обеих частей равенства, проверяем полученный корень подстановкой в заданное уравнение

9. Запишите формулу, которая выражает зависимость между переменными u и v, если , : 1) u + v = u × v; 2) u = v; 3) u × v = 2 + v; 4) другой ответ.

Ответ: применяем правило умножения двух многочленов и свойство обратных сомножителей.

10. График функции у = х 6 имеет вид:

  1. ;
  2. ;
  3. ;
  4. .

Ответ: так как 26 = 64 и функция у = х 6 – четная, то ветки параболы симметричны относительно оси ординат и растянуты больше от оси абсцисс.

Итак, в результате устного тестирования мы приходим к выводу, что при выполнении устного теста мы опирались на следующие знания:

  • Определения корня n–й степени и арифметического корня n–й степени;
  • Свойства арифметических корней;
  • Простейшие преобразования корней;
  • Действия с корнями;
  • Определение степени с рациональным показателем и ее свойства;
  • Определение степенной функции, ее свойства и график.

Какие вопросы темы занятия нами не были рассмотрены?

– Мы не вспомнили понятие иррационального уравнения и способы его решения.

4. Обобщение отдельных фактов (устное решение задачи).

Задание. Приведите способы решения уравнения и выберите самый простой для усного решения [3].

1-й способ: Возведем в квадрат обе стороны уравнения х = 4 – 4х + х 2 . Решим полученное квадратное уравнение х 2 – 5х + 4 = 0, х = 1, х = 4. Проверяем, х = 4 – посторонний корень. Ответ:: х = 1.

2-й способ: Подбором находим, что корень уравняния х = 1, ттак как — возрастающая, а у = 2 – х – убывающая функция, поэтому х = 1 – единственный корень. Ответ:: х = 1.

3-й способ: Применяя замену , у > 0 (1) , тогда х = у 2 . Получим уравнение у 2 +у – 2 =0, у1 = -2, у 2 =1. у1 не удовлетворяет условию (1). у=1, =1, х = 1 . Ответ:: х = 1.

4-й способ: графический. График функции и прямая у = 2 – х пересекаются в единственной точке А (-1; 1). Ответ:: х = 1.

Вывод: иррациональное уравнение может быть решено различными способами, среди которых самый наглядный – графический, для устного решения – решение подбором.

5. Повторение и обобщение понятий и усвоение системы знаний (письменное решение задач) в группе.

І этап. Работа в группе.

1. Упростить выражение:

а0) (1 балл);

б) . Построить с помощью программы GRAN-1W [6] график функції у=

2. Решить уравнение

а0) графически с помощью программы GRAN-1W (1 б);

б) в тетради, используя способ равносильности (2 б.);

в) сформулировать свойства функции у = (1 балл).

3. Найти значение виражения (3 балла)

Замечание. Задания обязательного уровня (со знаком 0) необходимо решить всем. Консультант фиксирует результаты в протоколе. После этого, если необходимо, консультирует и помогает выяснить причины допущенных ошибок. Студенты повторно выполняют задания, но оценка в протоколе сохраняется. Преподаватель помогает консультантам в решении спорных вопросов в процессе выполнения работы.

Ответы выполнения заданий:

1. а) =|2-|=[2 > ]=2 — ;

б)

2. а) графики функций у = и у = х – 1 пересекаются в точке А(3; 2), абсцисса х = 3 является корнем уравнения

б)

х = — 2 – не подходит

в) свойства функции у = :


источники:

http://pandia.ru/text/79/565/16342.php

http://urok.1sept.ru/articles/531306