27 решение уравнений и неравенств содержащих переменную под знаком модуля

Уравнения с модулем

Эта статья посвящена приёмам решения различных уравнений и неравенств, содержащих
переменную под знаком модуля.

Если на экзамене вам попадётся уравнение или неравенство с модулем, его можно решить,
вообще не зная никаких специальных методов и пользуясь только определением модуля. Правда,
занять это может часа полтора драгоценного экзаменационного времени.

Поэтому мы и хотим рассказать вам о приёмах, упрощающих решение таких задач.

Прежде всего вспомним, что

Рассмотрим различные типы уравнений с модулем. (К неравенствам перейдём позже.)

Слева модуль, справа число

Это самый простой случай. Решим уравнение

Есть только два числа, модули которых равны четырём. Это 4 и −4. Следовательно, уравнение
равносильно совокупности двух простых:

Второе уравнение не имеет решений. Решения первого: x = 0 и x = 5.

Переменная как под модулем, так и вне модуля

Здесь приходится раскрывать модуль по определению. . . или соображать!

Уравнение распадается на два случая, в зависимости от знака выражения под модулем.
Другими словами, оно равносильно совокупности двух систем:

Решение первой системы: . У второй системы решений нет.
Ответ: 1.

Первый случай: x ≥ 3. Снимаем модуль:

Число , будучи отрицательным, не удовлетворяет условию x ≥ 3 и потому не является корнем исходного уравнения.

Выясним, удовлетворяет ли данному условию число . Для этого составим разность и определим её знак:

Значит, больше трёх и потому является корнем исходного уравнения

Стало быть, годятся лишь и .

Ответ:

Квадратные уравнения с заменой |x| = t

Поскольку , удобно сделать замену |x| = t. Получаем:

Модуль равен модулю

Речь идёт об уравнениях вида |A| = |B|. Это — подарок судьбы. Никаких раскрытий модуля по определению! Всё просто:

Например, рассмотрим уравнение: . Оно равносильно следующей совокупности:

Остаётся решить каждое из уравнений совокупности и записать ответ.

Два или несколько модулей

Не будем возиться с каждым модулем по отдельности и раскрывать его по определению — слишком много получится вариантов. Существует более рациональный способ — метод интервалов.

Выражения под модулями обращаются в нуль в точках x = 1, x = 2 и x = 3. Эти точки делят числовую прямую на четыре промежутка (интервала). Отметим на числовой прямой эти точки и расставим знаки для каждого из выражений под модулями на полученных интервалах. (Порядок следования знаков совпадает с порядком следования соответствующих модулей в уравнении.)

Таким образом, нам нужно рассмотреть четыре случая — когда x находится в каждом из интервалов.

Случай 1: x ≥ 3. Все модули снимаются «с плюсом»:

Полученное значение x = 5 удовлетворяет условию x ≥ 3 и потому является корнем исходного уравнения.

Случай 2: 2 ≤ x ≤ 3. Последний модуль теперь снимается «с минусом»:

Полученное значение x также годится — оно принадлежит рассматриваемому промежутку.

Случай 3: 1 ≤ x ≤ 2. Второй и третий модули снимаются «с минусом»:

Мы получили верное числовое равенство при любом x из рассматриваемого промежутка [1; 2] служат решениями данного уравнения.

Случай 4: x ≤ 1 ≤ 1. Второй и третий модули снимаются «с минусом»:

Ничего нового. Мы и так знаем, что x = 1 является решением.

Модуль в модуле

Начинаем с раскрытия внутреннего модуля.

1) x ≤ 3. Получаем:

Выражение под модулем обращается в нуль при . Данная точка принадлежит рассматриваемому
промежутку. Поэтому приходится разбирать два подслучая.

1.1) Получаем в этом случае:

Это значение x не годится, так как не принадлежит рассматриваемому промежутку.

1.2) . Тогда:

Это значение x также не годится.

Итак, при x ≤ 3 решений нет. Переходим ко второму случаю.

Здесь нам повезло: выражение x + 2 положительно в рассматриваемом промежутке! Поэтому никаких подслучаев уже не будет: модуль снимается «с плюсом»:

Это значение x находится в рассматриваемом промежутке и потому является корнем исходного уравнения.

Так решаются все задачи данного типа — раскрываем вложенные модули по очереди, начиная с внутреннего.

Читайте также о том, как решать неравенства с модулем.

Е.П. Нелин, В.А. Лазарев

АЛГЕБРА

и начала математического

анализа

10 класс

учреждений. Базовый и

§ 5. Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля

(Оформление и автор интерактивных технологий Морозова Е.)

Объяснение и обоснование

Решать любое уравнение или неравенство, содержащее знак модуля, можно одним из трех основных способов: по определению модуля, исходя из геометрического смысла модуля или по общей схеме. Некоторые уравнения или неравенства с модулем могут быть также решены с использованием специальных соотношений.

В зависимости от выбранного способа решения получаем разные записи решения.

Пример Решите уравнение | 2x – 4 | = 6.

I способ (по определению модуля)

II способ (использование геометрического смысла модуля)

Замечание. При решении уравнения с использованием геометрического смысла модуля знак модуля раскрывается неявно, то есть определение модуля в явном виде не применяется.

Общая схема решения уравнений и неравенств, содержащих знак модуля — это фактически немного измененный метод интервалов. Поясним содержание этой схемы на примере уравнения с двумя модулями вида

|f (x)| + |g (x)| = a (a > 0).

Чтобы решить это уравнение, необходимо раскрыть знаки модулей, а для этого необходимо знать, где функции f (x) и g (x) будут положительными, а где — отрицательными. То есть фактически мы должны решить неравенства

Каждое из этих неравенств мы умеем решать методом интервалов. Перестроим прием решения неравенств методом интервалов таким образом, чтобы он давал возможность одновременно решать каждое из последних неравенств. Как известно, решение неравенства (1) методом интервалов начинается с нахождения его ОДЗ (то есть области определения функции f (x)), а решение неравенства (2) — с нахождения его ОДЗ (то есть области определения функции g (x)). Чтобы начать одновременно решать оба неравенства, необходимо найти общую область определения для функций f (x) и g (x), то есть найти ОДЗ данного уравнения (это и есть первый из ориентиров необходимой схемы).

Чтобы продолжить решение неравенств f (x) ≥или≤0 и g (x) ≥или≤ 0 методом интервалов, необходимо найти нули функций f (x) и g (x), то есть найти нули всех подмодульных функций (это и есть второй ориентир).

Если далее применить схему метода интервалов одновременно для двух неравенств, необходимо на ОДЗ отметить нули подмодульных функций и разбить ОДЗ на промежутки (это третий ориентир).

В каждом из полученных промежутков знаки функций f (x) и g (x) не могут измениться. Тогда мы можем найти знаки подмодульных функций на каждом промежутке (в любой точке этого промежутка), раскрыть знаки модулей и найти решение данного уравнения в каждом из этих промежутков (это и есть четвертый ориентир общей схемы).

Обоснование возможности применения приведенной схемы к решению неравенств с модулями проводится аналогично.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Вопросы для контроля

  1. Объясните, какими способами можно решать уравнения и неравенства, содержащие знак модуля. Проиллюстрируйте эти способы на примерах.
  2. Обоснуйте специальные соотношения. Проиллюстрируйте их применение к решению уравнений и неравенств, содержащих знак модуля.
  3. Обоснуйте обобщения использования геометрического смысла модуля. Проиллюстрируйте их применение к решению уравнений и неравенств, содержащих знак модуля.

Упражнения

Решите уравнения и неравенства, содержащие знак модуля (1–15).

Уравнения и неравенства, содержащие переменные под знаком модуля

Уравнениями с модулем называются уравнения, которые содержат переменную под знаком модуля (абсолютной величины).

При решении уравнений, содержащих выражение с неизвестной под знаком модуля, в соответствии с правилом раскрытия модуля, рассматриваются два случая: выражение под знаком модуля отрицательно и неотрицательно:

\(1)\left| \right| = f(x)\; \Leftrightarrow \;f(x) \ge 0\quad \quad 2) \left| \right| = — f(x)\; \Leftrightarrow \;f(x) \le 0\) .

Простейшие уравнения, содержащие выражение с переменной под знаком модуля:

  • \(1)\;\left| \right| = k\; \Rightarrow \;f(x) = \pm k\;(k > 0);\\ 2)\;\left| \right| = 0\; \Rightarrow \;f(x) = 0;\\ 3)\;\left| \right| = k\; \Rightarrow \;x \in \emptyset \;(k
  • \(\left| \right| + af<>^2(x) = k\; \Rightarrow \;\left| \right| + a\left| \right|^2 = k.\\Замена:\;y = \;\left| \right| \Rightarrow \;y + ay^2 = k.\)
  • \(\left| \right| = \left| \right|\;\; \Rightarrow \;f^2 (x) = g^2 (x).\)
  • \(\left| \right| = \left| \right| \Leftrightarrow \left[ \beginf(x) = g(x); \\ f(x) = — g(x). \\ \end \right.\)
  • \(\left| \right| = g(x) \Leftrightarrow \left[ \beging(x) \ge 0, \\ \left[ \beginf(x) = g(x) \\ f(x) = — g(x). \\ \end \right. \\ \end \right.\)

Для решения уравнений с модулем чаще всего используют и такие методы:

  1. раскрытие модуля по определению;
  2. возведение обеих частей уравнения в квадрат;
  3. метод интервалов.

Пример 1. Решить уравнение: \(|x+1|+|x-5|=20\) .

Решение: Будем решать это уравнение методом интервалов. Найдем значения, которые обнуляют модули: \(|x+1|=0 \Rightarrow x=-1; \ \ x-5=0 \Rightarrow x=5\) . Эти точки делят числовую прямую на три интервала: \((-\infty;-1]; (-1;5];(5;+\infty)\) . Решим уравнение на каждом из этих промежутков.

1. \(x\in(-\infty;-1]\) . На этом промежутке \(|x+1|=-x-1; \ |x-5|=-x+5\) и уравнение примет вид:

\(-x-1-x+5=20 \Rightarrow \ -2x=16 \Rightarrow x=-8\) . Этот корень принадлежит рассматриваемому промежутку, поэтому \(x=-8\) является корнем исходного уравнения.

2. \(x\in(-1;5]\) . На этом промежутке \(|x+1|=x+1; \ |x-5|=-x+5\) и уравнение примет вид:

\(x+1-x+5=20 \Rightarrow 0\cdot x=14 \Rightarrow x\in \varnothing\) . На рассматриваемом промежутке решений нет.

3. \(x\in(5;+\infty)\) . На этом интервале \(|x+1|=x+1; \ |x-5|=x-5\) и уравнение принимает вид:

\(x+1+x-5=20 \Rightarrow 2x=24 \Rightarrow x=12\) .

Этот корень принадлежит рассматриваемому интервалу, поэтому \(x=12\) является корнем исходного уравнения.

Ответ: \(x_1=-8, \ x_2=12\) .

Основные способы решений неравенств с модулем во многом совпадают с методами решения аналогичных уравнений. Единственное отличие, пожалуй, связано с тем, что, решая неравенства с модулем, нужно очень внимательно совершать равносильные переходы и следить не только за тем, чтобы не приобрести новые решения, но и за тем, чтобы не потерять уже имеющиеся.

Решение неравенства, содержащего абсолютную величину, основано на переходе к равносильной системе неравенств, в которых абсолютная величина не содержится:

  • \(\left| \right| \le a \Leftrightarrow \left\< \beginf(x) \le a; \\ f(x) \ge — a. \\ \end \right.\)
  • \(\left| \right| — a. \\ \end \right.\)
  • \(\left| \right| \ge a \Leftrightarrow \left[ \beginf(x) \ge a; \\ f(x) \le — a. \\ \end \right.\)
  • \(\left| \right| > a \Leftrightarrow \left\< \beginf(x) > a; \\ f(x)
  • \(\left| \right| \le g(x) \Leftrightarrow \left\< \beginf(x) \le g(x); \\ f(x) \ge — g(x). \\ \end \right.\)
  • \(\left| \right| \ge g(x) \Leftrightarrow \left[ \beginf(x) \ge g(x), \\ f(x) \le — g(x). \\ \end \right.\)

Пример 2. Решить неравенство: \(|x + 5| + |2x – 3| .

Решение: Корни подмодульных выражений: \(x = -5 \ и \ x = 1,5\) . Расставим знаки этих выражений на полученных интервалах.

Последовательно решим три системы неравенств:

1. \(\begin x -4 \\ \end \) интервалы не пересекаются, решений нет.

2. \( \(\begin -5\le x -2 \\ \end \Rightarrow -2\)

Объединим найденные решения: \(–2; \(8 \over 3\) )


источники:

http://ya-znau.ru/znaniya/zn/277

http://itest.kz/ru/ent/matematika/11-klass/lecture/uravneniya-i-neravenstva-soderzhashie-peremennye-pod-znakom-modulya