2sin2x 4cosx sinx 1 укажите корни уравнения принадлежащие отрезку п 2 3п 2

Задание 13. Математика ЕГЭ. Решите уравнение 2sin2x — 4cosx + 3 sinx — 3 = 0.

Задание:

а) Решите уравнение 2sin2x — 4cosx + 3 sinx — 3 = 0.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π; 5π/2].

Решение:

а) Решите уравнение

2sin2x — 4cosx + 3 sinx — 3 = 0.

ОДЗ уравнения – все числа.

Преобразуем данное уравнения, воспользуемся формулой двойного аргумента: sin2x = 2sinx·cosx.

4sinx·cosx — 4cosx + 3 sinx — 3 = 0.

Сгруппируем 1 и 2 слагаемые, вынесем за скобки общий множитель 4cosx. Сгруппируем 3 и 4 слагаемые, вынесем за скобки общий множитель 3, получим:

4cosx(sinx — 1) + 3(sinx — 1) = 0

Вынесем за скобки общий множитель (sinx — 1), получим:

(sinx — 1)·(4cosx + 3) = 0

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысла. Тогда получаем два уравнения:

sinx — 1 = 0 (1) или 4cosx + 3 = 0 (2)

Решим 1 уравнение:

Решим 2 уравнение:

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π; 5π/2].

С помощью единичной окружности отберем корни на отрезке [π; 5π/2].

cos=-3/4 в конечном ответе при раскрытии скобки получается: x=arccos3/4-pi+2pin x=pi-arccos3/4+2pin

Решение тригонометрических уравнений

Данный калькулятор предназначен для решения тригонометрических уравнений.
Тригонометрические уравнения – это уравнения, которые содержат в себе тригонометрические функции неизвестного аргумента. Под тригонометрическими функциями понимают математические функции от величины угла. Как правило, тригонометрические функции определяются как отношения сторон прямоугольного треугольника или длины определенных отрезков в единичной окружности.

К основным видам тригонометрических уравнений относят простейшие уравнения, содержащие модуль, с параметрами, с целой и дробной частью, со сложными аргументами, с обратными тригонометрическими функциями.

С помощью калькулятора можно вычислить корни тригонометрического уравнения.
Для получения полного хода решения нажимаем в ответе Step-by-step.

Решите уравнение 2sin2x−7cos(x+π2)−4=0

а) Решите уравнение $2 sin^2 x — 7 cos(x + <π>/<2>)- 4 = 0$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[-2π;-<π>/<2>]$.

а) Преобразуем уравнение, согласно формуле приведения:

$2sin^2x + 7sinx -4 = 0$

Обозначим $sin x = t, −1 ≤ t ≤ 1$, получим

$t_1 = <−7 − 9>/ <2·2>= −4$ — не удовлетворяет условию $−1 ≤ t ≤ 1. $

Вернёмся к исходной переменной:

б) Корни, принадлежащие отрезку $[-2π; —<π>/<2>]$, найдём с помощью единичной окружности. Получим: $<π>/<6>-2π=-<11π>/<6>; <5π>/<6>-2π=-<7π>/<6>$.

Ответ: а) $ <π>/ <6>+ 2πn, n ∈ Z$; $ <5π>/ <6>+ 2πk, k ∈ Z$ б) $-<11π>/<6>;-<7π>/<6>$


источники:

http://allcalc.ru/node/669

http://ege-today.ru/ege/matematika-profil/412/