3 основное уравнение гидростатики следствия из основного уравнения гидростатики

Основы гидравлики

Гидростатика и ее законы

Гидростатика – раздел гидравлики, в котором изучаются законы равновесия жидкостей, находящихся в покое.

Понятие покоя или равновесного состояния по отношению к жидкости можно отождествлять с аналогичным понятием в одном из разделов технической механики — статике. Любое тело, материальная точка или обособленный объем вещества (в т. ч. жидкости) считается покоящимся, если все силы (внешние и реактивные), действующие на этот материально существующий субъект (т. е. имеющий массу), уравновешивают друг друга.

Тем не менее, жидкость по своим свойствам и «способностям» уникальна, поэтому гидростатика призвана пояснить некоторые особенности поведения жидкого вещества в тех или иных условиях.

Гидростатическое давление

На жидкость, находящуюся в покое действуют массовые и поверхностные силы. Массовыми являются силы, действующие на все частицы рассматриваемого объема жидкости. Это силы тяжести и силы инерции (силы инерции проявляются в движущейся жидкости, поэтому их учитывает раздел гидродинамика) .
Массовые силы пропорциональны массе жидкости, а для однородной жидкости, плотность которой одинакова во всех точках, — объему. Поэтому массовые силы называют еще объемными.

К поверхностным относятся силы, действующие на поверхности жидкости. Это, например, атмосферное давление, действующее на жидкость в открытом сосуде, или силы трения, возникающие в движущейся жидкости между отдельными слоями и стенками сосуда (в покоящейся жидкости силы трения отсутствуют) .

Жидкость, находящаяся в состоянии покоя, может находиться только под действием силы тяжести и поверхностных сил, вызванных внешним давлением (например, атмосферным) . Внешние силы давления являются нормальными сжимающими поверхностными силами (считается, что жидкость не сопротивляется растяжению) . Все эти силы создают в неподвижной жидкости некоторую равнодействующую (результирующую) силу, которая называется гидростатической силой .

Покоящаяся жидкость под воздействием гидростатической силы находится в напряженном состоянии, характеризуемом гидростатическим давлением.

Выделим в покоящейся жидкости произвольный объем (см. рис. 1) . Мысленно разделим этот объем произвольной плоскостью П . Выделим на полученном сечении точку А и некоторую площадку ΔS вокруг этой точки.
Через поверхность П давление передается со стороны отсеченной части I на часть II . Сила ΔP , действующая на рассматриваемую площадку ΔS и есть гидростатическая сила.

Отношение гидростатической силы к площади поверхности (выделенного сечения) жидкости называют средним гидростатическим давлением. Истинное гидростатическое давление в данной точке жидкости может быть определено, как предел, к которому стремится среднее гидростатическое давление при бесконечном уменьшении рассматриваемой площадки ΔS :

p = lim ΔP/ΔS при ΔS стремящемся к нулю.

Гидростатическое давление всегда направлено по внутренней нормали к площадке, на которую оно действует, и величина его в произвольной точке не зависит от ориентации этой площадки в пространстве.

Это утверждение вытекает из условий:
— неподвижности жидкости, поскольку при любом перемещении жидкости неизбежно возникают касательные напряжения;
— равновесия рассматриваемого элементарного (бесконечно малого) объема, поскольку равновесие может быть достигнуто лишь при равенстве всех действующих на рассматриваемый элементарный объем внешних сил (предполагается, что весом бесконечно малого объема жидкости можно пренебречь) .
При этом выделенный объем может иметь любую произвольную форму – куба, правильной пирамиды и т. д. – в любом случае легко доказать, что силы, действующие на грани этого объема будут одинаковы во всех направлениях.

Основное уравнение гидростатики. Закон Паскаля.

Выделим в однородной жидкости, находящейся в покое, элементарный объем ΔV в виде прямоугольного параллелепипеда с площадью горизонтального основания ΔS и высотой H (см. рис. 2) .
Рассмотри условия равновесия выделенного элементарного объема.

Пусть давление на плоскость верхнего основания равно р1 , а на плоскость нижнего основания – р .
Силы давления действующие на вертикальные грани выделенного параллелепипеда взаимно уравновешиваются как равные по величине и противоположно направленные.
На горизонтальные грани действуют силы давления, направленные вертикально: на верхнюю грань эта сила будет равна р1ΔS (направлена вниз) , на нижнюю – pΔS (направлена вверх) .

На верхнюю и нижнюю грани рассматриваемого параллелепипеда действуют силы, обусловленные давлением на жидкость со стороны внешней среды (например, атмосферного давления) и вес (сила тяжести) элементарного столбика жидкости над каждой из горизонтальных граней параллелепипеда.
Очевидно, что разность сил тяжести, действующих на верхнюю и нижнюю площадку, будет равна весу жидкости, заключенной в объеме рассматриваемого параллелепипеда, который равен ρgΔV ,
где ρ – плотность жидкости, g – ускорение свободного падения, ΔV – объем параллелепипеда: ΔV = HΔS .

Исходя из условия равновесия выделенного элементарного параллелепипеда объемом ΔV , можно утверждать, что сумма всех внешних сил, действующих на параллелепипед равна нулю, т. е.:

pΔS – p1ΔS – ρgΔV = pΔS – p1ΔS – ρgΔSH = 0 .

Преобразовав эту формулу, получим величину гидростатического давления на нижнюю горизонтальную площадку:

Если верхняя грань параллелепипеда граничит с внешней средой (например, атмосферой) , оказывающей давление р0 на жидкость, то формула может быть переписана в виде:

Это выражение является основным уравнением гидростатики .

Итак, гидростатическое давление в любой точке внутри покоящейся жидкости равно сумме давления на свободную поверхность со стороны внешней среды и давления столба жидкости высотой, равной глубине погружения точки (т. е. ее расстоянию от свободной поверхности жидкости) .

На основании основного уравнения гидростатики может быть сформулирован закон Паскаля: внешнее давление, производимое на свободную поверхность покоящейся жидкости, передается одинаково всем ее точкам по всем направлениям.

Блез Паскаль (Blaise Pascal, 1623 — 1662) — выдающийся французский ученый — математик, механик, физик, литератор и философ. Классик французской литературы, один из основателей математического анализа, теории вероятностей и проективной геометрии, создатель первых образцов счётной техники, автор основного закона гидростатики.

Любопытны цитаты из популярного сборника высказываний Паскаля, не потерявшие актуальность и в наши дни.
Вот некоторые из них:

  • Искание истины совершается не с весельем, а с волнением и беспокойством; но все таки надо искать ее потому, что, не найдя истины и не полюбив ее, ты погибнешь.
  • Прошлое и настоящее — наши средства, только будущее — наша цель.
  • Нас утешает любой пустяк, потому что любой пустяк приводит нас в уныние.
  • Когда человек пытается довести свои добродетели до крайних пределов, его начинают обступать пороки.
  • Справедливость должна быть сильной, а сила должна быть справедливой.
  • Истина так нежна, что чуть только отступил от нее, впадаешь в заблуждение, но и заблуждение это так тонко, что стоит только немного отклониться от него, и оказываешься в истине.
  • Величие не в том, чтобы впадать в крайность, но в том, чтобы касаться одновременно двух крайностей и заполнять промежуток между ними.
  • Изучая истину, можно иметь троякую цель: открыть истину, когда ищем ее; доказать ее, когда нашли; наконец, отличить от лжи, когда ее рассматриваем.
  • Сила добродетели человека должна измеряться не его усилиями, а его повседневной жизнью.
  • Лишь в конце работы мы обычно узнаём, с чего нужно было её начать.
  • Существует достаточно света для тех, кто хочет видеть, и достаточно мрака для тех, кто не хочет.
  • Человек — это приговорённый к смерти, казнь которого откладывается на время его жизни.

Умер Паскаль после тяжелой и продолжительной болезни в возрасте 39 лет, оставив после себя яркий след в науке.
Имя этого ученого увековечено в названиях одной из единиц международной системы СИ, языка программирования Paskal и лунного кратера.

Пример решения задачи с использованием закона Паскаля

Водолазы при подъеме затонувшего судна работали на глубине 50 м. Определить давление p воды на этой глубине и силу P давления на скафандр водолаза, если площадь его поверхности S равна 1 м 2 .
Атмосферное давление считать равным 1013 МПа (0,1013×106 Па), плотность воды – 1000 кг/м 3 .

Решение:

Определим давление, оказываемое столбом воды на глубине 50 м (в Па) :

ρgH = 1000×9,81×50 = 4,9×105 Па.

Применив основное уравнение гидростатики, с учетом атмосферного давления, найдем давление на глубине 50 м:

p = p0 + ρgH = 1,013×105 + 4,9×105 = 5,91×105 Па ≈ 0,59 МПа.

Силу давления столба воды на скафандр водолаза определим по формуле:

P = pS = 5,91×105×1 = 591000 Н = 591 кН.

Основное уравнение гидростатики и закон Паскаля широко применяются при решении многих инженерных задач. Свойства жидкости передавать производимое на нее давление без изменения используется при конструировании гидравлических прессов, домкратов, гидроаккумуляторов, гидроприводов и других механизмов. Основной принцип работы этих устройств основа на пропорциональной разности сил, приложенных к поршням гидроцилиндров, имеющих разный диаметр: P1S2 = P2S1 .

Гидростатика. Дифференциальные уравнения равновесия и абсолютного покоя

Гидростатика — это раздел гидравлики, изучающий закономерности покоя и равновесия жидкостей. Гидростатику можно рассматривать как частный случай гидродинамики при условии, что скорость движения жидкости становится равной нулю. Различают абсолютный и относительный покой жидкости. При абсолютном покое жидкость неподвижна относительно поверхности Земли, при относительном покое (равновесии) — относительно какого-то другого движущегося тела (например, стенок вращающегося резервуара).

Покоящаяся капельная жидкость по своим свойствам идентична идеальной (практически несжимаема, свойство вязкости в покое не проявляется). Поэтому за основу вывода дифференциальных уравнений гидростатики (покоя) используем дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости (уравнения Эйлера):

Скорость и, соответственно, ее проекции их, оу, uz при покое равны нулю. Отсюда и все левые стороны уравнений становятся равными нулю, а компоненты ускорения массовых сил X, Y, Z могут быть приравнены соответствующим компонентам силы давления.

Умножим обе части уравнений на dx, dy, и dz, сложим их левые и правые стороны и получим:

X ? dx + Y • dy + Z • dz = — — • dx + — • dy + — • dz pdx dy dz ?

Для покоящейся жидкости p = p(x,y,z), поэтому выражение в скобках — полный дифференциал давления. Таким образом, решая относительно dp, получаем следующее дифференциальное уравнение относительного покоя (равновесия):

dp = p(X-dx + Y dy + Z dz)

Неподвижность относительно поверхности Земли считается абсолютным покоем. В этом случае из массовых сил на жидкость действует только сила тяжести, поэтому Х = 0; Y = 0; Z = -g и дифференциальное уравнение абсолютного покоя приобретает следующий вид:

Основное уравнение гидростатики и его следствия. Примеры использования закона Паскаля в технике

После интегрирования дифференциального уравнения абсолютного покоя получаем:

Используем полученное уравнение для определения давления в точке А, находящейся внутри покоящейся жидкости (рис. 16). Для этого рассмотрим два сечения покоящейся жидкости — одно на уровне точки А, второе — на уровне свободной поверхности жидкости в резервуаре. Пусть давление на свободную поверхность равно р0, а Н — глубина погружения точки А. Тогда:

Поскольку zA =0, z2 = Н, то после соответствующих

преобразований получаем основное уравнение гидростатики:

PA=Po + PgH

где z — высота расположения сечения относительно какой-то горизонтальной поверхности (плоскости сравнения 0 — 0). Второе слагаемое правой части уравнения часто называют весовым давлением или давлением столба жидкости.

Рис. 16. Иллюстрация к выводу основного уравнения гидростатики

Следствия из основного уравнения гидростатики:

  • 1. Давление на свободную поверхность жидкости (внешнее давление) передается в любую точку покоящейся жидкости без изменения (закон Паскаля).
  • 2. На одинаковой глубине давления одинаковы (горизонтальная поверхность является плоскостью равного давления).
  • 3. В открытых и закрытых сообщающихся сосудах, заполненных однородной жидкостью и находящихся под одинаковым внешним давлением, уровни жидкости находятся в одной горизонтальной плоскости.

Покажем их справедливость на примере последнего следствия.

Рис. 17. Иллюстрация к обоснованию третьего следствия из основного закона гидростатики

Пусть точки А и В лежат в одной горизонтальной плоскости (рис.

Ра = Ро + pg hi Рв = Ро+Pg h2

Так как рА = рв, то hi = h2, т.е. уровни жидкости также лежат в одной горизонтальной плоскости.

Гидравлический домкрат. Гидравлический домкрат — это

гидростатическое устройство, которое служит для получения значительной силы, необходимой, например, для подъема кузова тяжелого грузового автомобиля с использованием относительно небольшого усилия руки обслуживающего персонала.

Рис. 18. Принципиальная схема действия гидравлического домкрата

Устройство (рис. 18) состоит из цилиндра 1 с малой площадью сечения Si, поршня 2, цилиндра 3 с большой площадью сечения S2, поршня 4 и платформы 5, которая подводится под кузов автомобиля. Усилием Pi (например, от руки или ноги) создается давление р на свободную поверхность жидкости под поршнем 2:

По закону Паскаля давление р должно передаваться в любую точку объема жидкости, в том числе и в точки, расположенные на нижней поверхности поршня 4. Сила Р2, с которой жидкость давит на поршень 4, определяется как:

Поскольку S2 » Si, то и сила Р2 » Р^ Таким образом удается получить существенно большую силу Р2, которая передается на платформу 5 и через нее на кузов автомобиля. При этом не нарушается закон сохранения энергии, поскольку при передаче из одного цилиндра в другой одинакового объема несжимаемой жидкости (т.е. при Ah2-S2 = Ahi Si, где Ahb Ah2 — смещение поршня с соответствующей площадью Si и S2) работа, совершаемая с участием жидкости (т.е. произведение силы на смещение поршня) в обоих цилиндрах одинакова (Рг А1Ц = Р2 • Ah2). Соответственно та же работа совершается над объектом, контактирующим с принимающим поршнем 4. При этом смещение принимающего поршня 4 во столько же раз меньше смещения передающего поршня 2, во сколько раз Р2> Pi.

Гидравлический грузовой аккумулятор. Назначение гидравлического

грузового аккумулятора состоит в постоянного давления в гидросистеме.

Рис. 19. Принципиальная схема гидравлического грузового аккумулятора

Гидравлический грузовой аккумулятор (рис. 19) состоит из цилиндра 1, поршня 2, платформы 3, грузов 4.

С помощью набора грузов G создается требуемое давление на свободной поверхности жидкости в цилиндре 1:

По закону Паскаля данное давление будет передаваться в любую точку гидросистемы.

в гидросистеме в данный

Если потребление жидкости момент времени меньше, чем

производительность насоса, избыток поступает в цилиндр 1, поднимая поршень 2. Если же расход жидкости увеличивается, поршень будет опускаться, вытесняя жидкость из цилиндра. При этом давление в цилиндре, а значит и во всей гидросистеме, будет оставаться постоянным. При необходимости изменения давления в гидросистеме необходимо изменить вес грузов G.

3 основное уравнение гидростатики следствия из основного уравнения гидростатики

Гидравлика делится на два раздела: гидростатика и гидродинамика. Гидродинамика является более обширным разделом и будет рассмотрена в последующих лекциях. В этой лекции будет рассмотрена гидростатика.

Гидростатикой называется раздел гидравлики, в котором рассматриваются законы равновесия жидкости и их практическое применение.

В покоящейся жидкости всегда присутствует сила давления, которая называется гидростатическим давлением. Жидкость оказывает силовое воздействие на дно и стенки сосуда. Частицы жидкости, расположенные в верхних слоях водоема, испытывают меньшие силы сжатия, чем частицы жидкости, находящиеся у дна.

Рассмотрим резервуар с плоскими вертикальными стенками, наполненный жидкостью (рис.2.1, а). На дно резервуара действует сила P равная весу налитой жидкости G = γ V, т.е. P = G.

Если эту силу P разделить на площадь дна Sabcd, то мы получим среднее гидростатическое давление, действующее на дно резервуара.

Гидростатическое давление обладает свойствами.

Свойство 1. В любой точке жидкости гидростатическое давление перпендикулярно площадке касательной к выделенному объему и действует внутрь рассматриваемого объема жидкости.

Для доказательства этого утверждения вернемся к рис.2.1, а. Выделим на боковой стенке резервуара площадку Sбок (заштриховано). Гидростатическое давление действует на эту площадку в виде распределенной силы, которую можно заменить одной равнодействующей, которую обозначим P. Предположим, что равнодействующая гидростатического давления P, действующая на эту площадку, приложена в точке А и направлена к ней под углом φ (на рис. 2.1 обозначена штриховым отрезком со стрелкой). Тогда сила реакции стенки R на жидкость будет иметь ту же самую величину, но противоположное направление (сплошной отрезок со стрелкой). Указанный вектор R можно разложить на два составляющих вектора: нормальный Rn (перпендикулярный к заштрихованной площадке) и касательный Rτ к стенке.

Сила нормального давления Rn вызывает в жидкости напряжения сжатия. Этим напряжениям жидкость легко противостоит. Сила Rτ действующая на жидкость вдоль стенки, должна была бы вызвать в жидкости касательные напряжения вдоль стенки и частицы должны были бы перемещаться вниз. Но так как жидкость в резервуаре находится в состоянии покоя, то составляющая Rτ отсутствует. Отсюда можно сделать вывод первого свойства гидростатического давления.

Свойство 2. Гидростатическое давление неизменно во всех направлениях.

В жидкости, заполняющей какой-то резервуар, выделим элементарный кубик с очень малыми сторонами Δx, Δy, Δz (рис.2.1, б). На каждую из боковых поверхностей будет давить сила гидростатического давления, равная произведению соответствующего давления Px, Py , Pz на элементарные площади. Обозначим вектора давлений, действующие в положительном направлении (согласно указанным координатам) как P’x, P’y, P’z, а вектора давлений, действующие в обратном направлении соответственно x, y, z. Поскольку кубик находится в равновесии, то можно записать равенства

где γ — удельный вес жидкости;
Δx, Δy, Δz — объем кубика.

Сократив полученные равенства, найдем, что

Членом третьего уравнения γΔz, как бесконечно малым по сравнению с P’z и z, можно пренебречь и тогда окончательно

Вследствие того, что кубик не деформируется (не вытягивается вдоль одной из осей), надо полагать, что давления по различным осям одинаковы, т.е.

Это доказывает второй свойство гидростатического давления.

Свойство 3. Гидростатическое давление в точке зависит от ее координат в пространстве.

Это положение не требует специального доказательства, так как ясно, что по мере увеличения погружения точки давление в ней будет возрастать, а по мере уменьшения погружения уменьшаться. Третье свойство гидростатического давления может быть записано в виде

Рассмотрим распространенный случай равновесия жидкости, когда на нее действует только одна массовая сила — сила тяжести, и получим уравнение, позволяющее находить гидростатическое давление в любой точке рассматриваемого объема жидкости. Это уравнение называется основным уравнением гидростатики.

Пусть жидкость содержится в сосуде (рис.2.2) и на ее свободную поверхность действует давление P0 . Найдем гидростатическое давление P в произвольно взятой точке М, расположенной на глубине h. Выделим около точки М элементарную горизонтальную площадку dS и построим на ней вертикальный цилиндрический объем жидкости высотой h. Рассмотрим условие равновесия указанного объема жидкости, выделенного из общей массы жидкости. Давление жидкости на нижнее основание цилиндра теперь будет внешним и направлено по нормали внутрь объема, т.е. вверх.

Запишем сумму сил, действующих на рассматриваемый объем в проекции на вертикальную ось:

Последний член уравнения представляет собой вес жидкости, заключенный в рассматриваемом вертикальном цилиндре объемом hdS. Силы давления по боковой поверхности цилиндра в уравнение не входят, т.к. они перпендикулярны к этой поверхности и их проекции на вертикальную ось равны нулю. Сократив выражение на dS и перегруппировав члены, найдем

Полученное уравнение называют основным уравнением гидростатики. По нему можно посчитать давление в любой точке покоящейся жидкости. Это давление, как видно из уравнения, складывается из двух величин: давления P0 на внешней поверхности жидкости и давления, обусловленного весом вышележащих слоев жидкости.

Из основного уравнения гидростатики видно, что какую бы точку в объеме всего сосуда мы не взяли, на нее всегда будет действовать давление, приложенное к внешней поверхности P0. Другими словами давление, приложенное к внешней поверхности жидкости, передается всем точкам этой жидкости по всем направлениям одинаково. Это положение известно под названием закона Паскаля.

Поверхность, во всех точках которой давление одинаково, называется поверхностью уровня (подробно рассмотрим в п.2.6). В обычных условиях поверхности уровня представляют собой горизонтальные плоскости.

Пусть мы имеем резервуар с наклонной правой стенкой, заполненный жидкостью с удельным весом γ. Ширина стенки в направлении, перпендикулярном плоскости чертежа (от читателя), равна b (рис.2.3). Стенка условно показана развернутой относительно оси АВ и заштрихована на рисунке. Построим график изменения избыточного гидростатического давления на стенку АВ.

Так как избыточное гидростатическое давление изменяется по линейному закон P=γgh, то для построения графика, называемого эпюрой давления, достаточно найти давление в двух точках, например А и B.

Избыточное гидростатическое давление в точке А будет равно

Соответственно давление в точке В:

где H — глубина жидкости в резервуаре.

Согласно первому свойству гидростатического давления, оно всегда направлено по нормали к ограждающей поверхности. Следовательно, гидростатическое давление в точке В, величина которого равна γH, надо направлять перпендикулярно к стенке АВ. Соединив точку А с концом отрезка γH, получим треугольную эпюру распределения давления АВС с прямым углом в точке В. Среднее значение давления будет равно

Если площадь наклонной стенки S=bL, то равнодействующая гидростатического давления равна

где hc = Н/2 — глубина погружения центра тяжести плоской поверхности под уровень жидкости.

Однако точка приложения равнодействующей гидростатического давления ц.д. не всегда будет совпадать с центром тяжести плоской поверхности. Эта точка находится на расстоянии l от центра тяжести и равна отношению момента инерции площадки относительно центральной оси к статическому моменту этой же площадки.

где JАx — момент инерции площади S относительно центральной оси, параллельной Аx.

В частном случае, когда стенка имеет форму прямоугольника размерами bL и одна из его сторон лежит на свободной поверхности с атмосферным давлением, центр давления ц.д. находится на расстоянии b/3 от нижней стороны.

Пусть жидкость заполняет резервуар, правая стенка которого представляет собой цилиндрическую криволинейную поверхность АВС (рис.2.4), простирающуюся в направлении читателя на ширину b. Восстановим из точки А перпендикуляр АО к свободной поверхности жидкости. Объем жидкости в отсеке АОСВ находится в равновесии. Это значит, что силы, действующие на поверхности выделенного объема V, и силы веса взаимно уравновешиваются.

Представим, что выделенный объем V представляет собой твердое тело того же удельного веса, что и жидкость (этот объем на рис.2.4 заштрихован). Левая поверхность этого объема (на чертеже вертикальная стенка АО) имеет площадь Sx = bH, являющуюся проекцией криволинейной поверхности АВС на плоскость yOz.

С правой стороны на отсек будет действовать реакция R цилиндрической поверхности. Пусть точка приложения и направление этой реакции будут таковы, как показано на рис.2.4. Реакцию R разложим на две составляющие Rx и Rz.

Из действующих поверхностных сил осталось учесть только давление на свободной поверхности Р0. Если резервуар открыт, то естественно, что давление Р0 одинаково со всех сторон и поэтому взаимно уравновешивается.

На отсек АВСО будет действовать сила собственного веса G = γV, направленная вниз.

Спроецируем все силы на ось Ох:

Теперь спроецируем все силы на ось Оz:

Составляющая силы гидростатического давления по оси Oy обращается в нуль, значит Ry = Fy = 0.

Таким образом, реакция цилиндрической поверхности в общем случае равна

а поскольку реакция цилиндрической поверхности равна равнодействующей гидростатического давления R=F, то делаем вывод, что

Тело, погруженное (полностью или частично) в жидкость, испытывает со стороны жидкости суммарное давление, направленное снизу вверх и равное весу жидкости в объеме погруженной части тела.

Для однородного тела плавающего на поверхности справедливо соотношение

где: V — объем плавающего тела;
ρm — плотность тела.

Существующая теория плавающего тела довольно обширна, поэтому мы ограничимся рассмотрением лишь гидравлической сущности этой теории.

Способность плавающего тела, выведенного из состояния равновесия, вновь возвращаться в это состояние называется устойчивостью. Вес жидкости, взятой в объеме погруженной части судна называют водоизмещением, а точку приложения равнодействующей давления (т.е. центр давления) — центром водоизмещения. При нормальном положении судна центр тяжести С и центр водоизмещения d лежат на одной вертикальной прямой O’-O», представляющей ось симметрии судна и называемой осью плавания (рис.2.5).

Пусть под влиянием внешних сил судно наклонилось на некоторый угол α, часть судна KLM вышла из жидкости, а часть K’L’M’, наоборот, погрузилось в нее. При этом получили новое положении центра водоизмещения d’. Приложим к точке d’ подъемную силу R и линию ее действия продолжим до пересечения с осью симметрии O’-O». Полученная точка m называется метацентром, а отрезок mC = h называется метацентрической высотой. Будем считать h положительным, если точка m лежит выше точки C, и отрицательным — в противном случае.

Теперь рассмотрим условия равновесия судна:

1) если h > 0, то судно возвращается в первоначальное положение;
2) если h = 0, то это случай безразличного равновесия;
3) если h&lt0, то это случай неостойчивого равновесия, при котором продолжается дальнейшее опрокидывание судна.

Следовательно, чем ниже расположен центр тяжести и, чем больше метацентрическая высота, тем больше будет остойчивость судна.

Как уже отмечалось выше, поверхность, во всех точках которой давление одинаково, называется поверхностью уровня или поверхностью равного давления. При неравномерном или непрямолинейном движении на частицы жидкости кроме силы тяжести действуют еще и силы инерции, причем если они постоянны по времени, то жидкость принимает новое положение равновесия. Такое равновесие жидкости называется относительным покоем.

Рассмотрим два примера такого относительного покоя.

В первом примере определим поверхности уровня в жидкости, находящейся в цистерне, в то время как цистерна движется по горизонтальному пути с постоянным ускорением a (рис.2.6).

К каждой частице жидкости массы m должны быть в этом случае приложены ее вес G = mg и сила инерции Pu, равная по величине ma. Равнодействующая этих сил направлена к вертикали под углом α, тангенс которого равен

Так как свободная поверхность, как поверхность равного давления, должна быть нормальна к указанной равнодействующей, то она в данном случае представит собой уже не горизонтальную плоскость, а наклонную, составляющую угол α с горизонтом. Учитывая, что величина этого угла зависит только от ускорений, приходим к выводу, что положение свободной поверхности не будет зависеть от рода находящейся в цистерне жидкости. Любая другая поверхность уровня в жидкости также будет плоскостью, наклоненной к горизонту под углом α. Если бы движение цистерны было не равноускоренным, а равнозамедленным, направление ускорения изменилось бы на обратное, и наклон свободной поверхности обратился бы в другую сторону (см. рис.2.6, пунктир).

В качестве второго примера рассмотрим часто встречающийся в практике случай относительного покоя жидкости во вращающихся сосудах (например, в сепараторах и центрифугах, применяемых для разделения жидкостей). В этом случае (рис.2.7) на любую частицу жидкости при ее относительном равновесии действуют массовые силы: сила тяжести G = mg и центробежная сила Pu = mω 2 r, где r — расстояние частицы от оси вращения, а ω — угловая скорость вращения сосуда.

Поверхность жидкости также должна быть нормальна в каждой точке к равнодействующей этих сил R и представит собой параболоид вращения. Из чертежа находим

С другой стороны:

где z — координата рассматриваемой точки. Таким образом, получаем:


источники:

http://ozlib.com/1071821/tehnika/gidrostatika_differentsialnye_uravneniya_ravnovesiya_absolyutnogo_pokoya

http://gidravl.narod.ru/osnovstat.html