3 решение простейших тригонометрических уравнений неравенств с помощью числовой окружности

Решение простейших тригонометрических неравенств с помощью формул решения простейших тригонометрических уравнений

Разделы: Математика

В предлагаемом материале для возможной в дальнейшем публикации хотелось бы поделиться практическим опытом решения тригонометрических неравенств с помощью формул решения простейших тригонометрических уравнений. Для решения тригонометрических неравенств чаще используется метод с использованием единичной окружности и графический метод с использованием графиков тригонометрических функций. Оба метода имеют свои недостатки. Графический метод достаточно громоздкий, занимает много времени на решение, так как для каждого неравенства требуется построение графика тригонометрической функции. В методе с применением единичной окружности вызывает затруднение учащихся определение и запись чисел в радианах, соответствующих точкам окружности, особенно если точки находятся не в первой координационной четверти.

Метод с использованием формул решения простейших тригонометрических уравнений даёт возможность избежать этих трудностей, кроме того, позволяет получить достаточно простой алгоритм решения неравенства.

С данной методикой решения познакомился в 1995 году на страницах журнала «Математика в школе» и с тех пор использую её в своей работе. Считаю её удобной и эффективной, а возможность знакомства с этой методикой и её использованием на уроке может быть практически полезной учителю, а содержание представленного урока послужит примером практической популяризации изложенной на страницах предметного журнала «Методики решения простейших тригонометрических неравенств».

2. Конспект урока (90 минут).

Цель: Научить решать простейшие тригонометрические неравенства с функциями sin x, cos x, используя формулы решения простейших тригонометрических уравнений.

1. Объявить цель урока. Провести повторение по схеме:

а) Вспомнить, как определяются в таблице arcsin a, arcos a.

б) Формулы решения простейших тригонометрических уравнений sin x = a, cos x = a, при ׀а׀1.

в) Графическое толкование этих формул.

г) Как определяются корни уравнений по этим формулам.

Определить, работая по таблице (заранее подготовлено на доске)

arcsin /2 =

arcsin(-/2) =

Решение тригонометрических неравенств с помощью единичной окружности

ГБОУ СОШ № 000 с углубленным изучением английского языка Адмиралтейского района Санкт-Петербурга

Решение тригонометрических неравенств с помощью единичной окружности

Тригонометрические неравенства одна из самых сложных тем в школьном курсе математики. При решении простейших тригонометрических неравенств удобно использовать тригонометрическую окружность для того, чтобы наиболее наглядно представить решения неравенства и верно записать множества решений данного неравенства.

Цель данной разработки — сформировать у школьников умения использовать тригонометрический круг при решении простейших неравенств вида sin x > a, sin x a, cosx , называются тригонометрическими неравенствами.

Решить тригонометрическое неравенство — это значит, найти множество значений неизвестных, входящих в неравенство, при которых неравенство выполняется.

Тригонометрические неравенства можно решать с помощью графиков функций y = sin x, y = cos x, y = tg x, y= ctg x или с помощью единичной окружности.

Решение тригонометрических неравенств, сводится, как правило, к решению простейших неравенств вида: sin x>a, sin xa, sin xa, sin x

Алгоритм решения тригонометрических неравенств

с помощью единичной окружности.

1) На оси ординат (абсцисс) отметить точку a и провести прямую y = a (x = a), перпендикулярную соответствующей оси.

2) Отметить на окружности дугу, состоящую из точек окружности, удовлетворяющих данному неравенству (эти точки расположены по одну сторону от построенной прямой).

3) Записать числовой промежуток, точки которого заполняют отмеченную дугу, и к обеим частям неравенства прибавить период функции ( для y = sin x и y = cos x ).

Решение простейших неравенств вида sin x>a, sin xa, sin xa, sin x

На единичной окружности проводим прямую y = , которая пересекает окружность в точках A и B.

Все значения y на промежутке NM больше , все точки дуги AMB удовлетворяют данному неравенству. При всех углах поворота, больших , но меньших , sin x будет принимать значения больше (но не больше единицы).

Таким образом, решением неравенства будут все значения на интервале , т. е. a, cos xa, cos xa, cos x

Простейшие тригонометрические неравенства

п.1. Решение неравенств с синусом

Алгоритм решения неравенства \(sinx\gt a\)

Шаг 1. В числовой окружности на оси синусов отметить точку с ординатой \(a\). Провести горизонталь \(y=a\), отметить точки её пересечения с окружностью.

Шаг 2. Решить уравнение \(sin⁡x=a\). Про решение простейших тригонометрических уравнений – см. §19 данного справочника. Полученные базовые решения являются значениями точек пересечения, подписать их.

Шаг 3. Дуга числовой окружности над проведенной горизонталью – искомое решение. Записать ответ, обходя дугу против часовой стрелки. Добавить к концам полученного интервала полный период.
Решение имеет вид: \((arcsina+2\pi k;\ \pi-arcsin a+2\pi k)\)

$$ sin x\gt \frac12 $$ 1. Проводим горизонталь \(y=\frac12\), отмечаем точки пересечения (незакрашенные, т.к. неравенство строгое).
2. Решаем уравнение \(sinx=\frac12\) \begin x=(-1)^k\frac\pi6+\pi k= \left[ \begin \frac\pi6+2\pi k\\ \frac<5\pi><6>+2\pi k \end \right. \end Подписываем точку справа \(\frac\pi6\) и точку слева \(\frac<5\pi><6>\).
3. При обходе полученной дуги против часовой стрелки получаем интервал: \((\frac\pi6;\ \frac<5\pi><6>)\). Добавляем к концам интервала полный период.
Ответ: \(\left(\frac\pi6;+2\pi k;\ \frac<5\pi><6>+2\pi k\right)\)

Алгоритм решения неравенства \(sinx\geq a\) будет таким же, только точки на числовой окружности будут закрашенными, и в ответе будет отрезок (с квадратными скобками).

Алгоритм решения неравенства \(sin⁡x\lt a\) будет отличаться тем, что в ответе нужно записывать дугу под горизонталью \(y=a\). При этом не забываем, что дугу нужно обходить в сторону возрастания. Поэтому угол слева пишут отрицательным (отсчитывая период назад).

Наконец, в неравенстве \(sin⁡x\leq a\) всё будет то же, что и в \(sin⁡x\lt a\). Только точки на концах будут закрашенными и войдут в ответ (с квадратными скобками).

$$ sin x\leq -\frac<\sqrt<2>> <2>$$ 1. Проводим горизонталь \(y=-\frac<\sqrt<2>><2>\), отмечаем точки пересечения (закрашенные, т.к. неравенство нестрогое).
2. Решаем уравнение \(sinx=-\frac<\sqrt<2>><2>\) \begin x=(-1)^k\left(-\frac\pi4\right)+\pi k= \left[ \begin -\frac<3\pi><4>+2\pi k\\ -\frac<\pi><4>+2\pi k \end \right. \end Подписываем точку справа \(-\frac<3\pi><4>\) и точку слева \(-\frac<\pi><4>\).
3. При обходе полученной дуги против часовой стрелки получаем отрезок: \(\left[-\frac<3\pi><4>;-\frac<\pi><4>\right]\). Добавляем к концам отрезка полный период.
Ответ: \(\left[-\frac<3\pi><4>+2\pi k;-\frac<\pi><4>+2\pi k\right]\)

п.2. Решение неравенств с косинусом

Алгоритм решения неравенства \(cosx\gt a\)

Шаг 1. В числовой окружности на оси косинусов отметить точку с абсциссой \(a\). Провести вертикаль \(x=a\), отметить точки её пересечения с окружностью.

Шаг 2. Решить уравнение \(cos⁡x=a\). Полученные базовые решения являются значениями точек пересечения, подписать их.

Шаг 3. Дуга числовой окружности справа от проведенной вертикали – искомое решение. Записать ответ, обходя дугу против часовой стрелки. Добавить к концам полученного интервала полный период.
Решение имеет вид: \((-arccos⁡a+2\pi k;\ arccos⁡a+2\pi k)\)

$$ cosx\gt \frac<\sqrt<3>> <2>$$ 1. Проводим вертикаль \(x=\frac<\sqrt<3>><2>\), отмечаем точки пересечения (незакрашенные, т.к. неравенство строгое).
2. Решаем уравнение \(cosx=\frac<\sqrt<3>><2>\) \begin x=\pm\frac\pi6+2\pi k \end Подписываем точку снизу \(-\frac\pi6\) и точку сверху \(\frac<\pi><6>\).
3. При обходе полученной дуги против часовой стрелки получаем интервал: \(\left(-\frac\pi6;\frac\pi6\right)\). Добавляем к концам интервала полный период.
Ответ: \(\left(-\frac\pi6;+2\pi k;\ \frac<\pi><6>+2\pi k\right)\)

Алгоритм решения неравенства \(cosx\geq a\) будет таким же, только точки на числовой окружности будут закрашенными, и в ответе будет отрезок (с квадратными скобками).

Алгоритм решения неравенства \(cosx\lt a\) будет отличаться тем, что в ответе нужно записывать дугу слева от вертикали \(x=a\). При этом не забываем, что дугу нужно обходить в сторону возрастания, сверху вниз. Значение угла снизу должно быть больше, чем угла сверху.

Наконец, в неравенстве \(cos⁡x\leq a\) всё будет то же, что и в \(cosx\lt a\). Только точки на концах будут закрашенными и войдут в ответ (с квадратными скобками).

п.3. Решение неравенств с тангенсом

Алгоритм решения неравенства \(tgx\gt a\)

Шаг 1. На оси тангенсов (касательной к числовой окружности в точке (1,0)) отметить точку с ординатой \(a\). Провести луч из начала координат через отмеченную точку, отметить точку её пересечения с окружностью.

Шаг 2. Решить уравнение \(tg⁡x=a\). Полученное базовое решение является значением точки пересечения.

Шаг 3. Дуга числовой окружности от отмеченной точки до \(\frac\pi2\) (в которой \(tgx\rightarrow +\infty\)) – искомое решение. Записать ответ, обходя дугу против часовой стрелки. Добавить к концам полученного интервала полный период.
Решение имеет вид: \(\left(arctga+\pi k;\ \frac\pi2+\pi k\right)\)

$$ tg x\gt -\frac<1><\sqrt<3>> $$ 1. На оси тангенсов отмечаем точку \(-\frac<1><\sqrt<3>>\). Проводим луч из начала координат через эту точку.
2. Решаем уравнение \(tgx=-\frac<1><\sqrt<3>>\) \begin x=-\frac\pi6+\pi k \end Подписываем точку снизу \(-\frac\pi6.\) Верхней границей интервала будет \(\frac\pi2\), угол, в котором \(tgx\rightarrow +\infty .\)
3. При обходе полученной дуги против часовой стрелки получаем интервал: \(\left(-\frac\pi6;\frac\pi2\right)\). Добавляем к концам интервала период для тангенса.
Строго говоря, на числовой окружности длиной \(2\pi\) получим две дуги для тангенса с периодом \(\pi\). Ответ: \(\left(-\frac\pi6;+\pi k;\ \frac<\pi><2>+\pi k\right)\)

Алгоритм решения неравенства \(tg⁡x\lt a\) будет отличаться тем, что в ответе нужно записывать дугу от точки \(-\frac\pi2\) (в которой \(tgx\rightarrow -\infty\)) до найденного арктангенса.

Для нестрогих неравенств будут получаться полуинтервалы, в которых точки \(\pm\frac\pi2\) (\(tgx\rightarrow \pm\infty\)) будут ограничены круглой скобкой, а найденные арктангенсы – квадратной.

п.4. Решение неравенств с котангенсом

Решение неравенств с котангенсом аналогично решению с тангенсом. Для решения используется ось котангенсов (касательная к числовой окружности в точке (0;1)).

В неравенствах вида \(ctgx\gt a\) пределу \(ctgx\rightarrow +\infty\) соответствует угол 0.

В неравенствах вида \(ctgx\lt a\) пределу \(ctgx\rightarrow -\infty\) соответствует угол \(\pi\).

п.5. Примеры

Пример 1. Решите неравенства:

a) \(sinx\leq \frac<\sqrt<2>><2>\)

$$ x\in\left[-\frac<5\pi><4>+2\pi k;\ \frac<\pi><4>+2\pi k\right] $$
б) \(cosx\lt -\frac<1><2>\)

$$ x\in\left(\frac<2\pi><3>+2\pi k;\ \frac<4\pi><3>+2\pi k\right) $$
в) \(sinx\gt -\frac<\sqrt<3>><2>\)

$$ x\in\left(-\frac<\pi><3>+2\pi k;\ \frac<4\pi><3>+2\pi k\right] $$
г) \(tgx\geq 1\)

$$ x\in\left.\left(-\frac<\pi><2>+\pi k;\ \frac<\pi><4>+\pi k\right.\right] $$

Пример 2*. Решите неравенства:

a) \(cosx\gt -1\)
Справа от вертикали \(x=-1\) расположена вся числовая окружность, кроме точки \(\pi\).

Ответ: \(x\ne \pi+2\pi k\)б) \(4cos^2\frac x2-3\leq 0\)
\(4\cdot \frac<1+cosx><2>\leq 3\)
\(2+2cosx\leq 3\)
\(cosx\leq\frac12\)

Ответ: \(\left[\frac\pi3+2\pi k;\ \frac<5\pi><3>+2\pi k\right]\)

в) \(-\sqrt<3>\lt tgx\leq 5\)
\(-arctg\sqrt<3>+\pi k\lt x\leq arctg5+\pi k\)
\(-\frac\pi3+\pi k\lt x\leq arctg5+\pi k\)
Ответ: \(\left.\left(-\frac<\pi><3>+\pi k;\ arctg5+\pi k\right.\right]\)

г) \(tg\left(x-\frac\pi4\right)\gt\sqrt<3>\)
\(arctg\sqrt<3>+\pi k\lt x-\frac\pi4\lt\frac\pi2+\pi k\)
\(\frac\pi4+\frac\pi3+\pi k\lt x\lt\frac\pi4+\frac\pi2+\pi k\)
\(\frac<7\pi><12>+\pi k\lt x\lt\frac<3\pi><4>+\pi k\)
Ответ: \(\left(\frac<7\pi><12>+\pi k;\ \frac<3\pi><4>+\pi k\right)\)


источники:

http://pandia.ru/text/78/235/67290.php

http://reshator.com/sprav/algebra/10-11-klass/prostejshie-trigonometricheskie-neravenstva/