3 тензорное суммирование уравнения равновесия записанные с помощью тензорного суммирования

Свойства тензоров и операции с тензорами

Сложение тензоров.

Операция сложения тензоров определяется так же, как операция сложения квадратных матриц:

Можно показать, что сумма двух тензоров также будет тензором (эго следует из линейности). Предлагается доказать этот факт самостоятельно.

Единичный тензор. Тензор, матрица которого является единичной, называется единичным тензором

Компоненты единичного тензора могут быть представлены с помощью дельта-символа Кронекера:

Отметим, что дельту Кронекера можно представить через скалярное произведение базисных векторов: ег; • ej = Sij.

Можно легко показать, что при переходе к новой СК тензор останется единичным. Для этого нужно к формулам преобразования компонентов единичного тензора применить установленные ранее свойства компонентов матрицы преобразования координат (1.9) и (1.10).

Сопряженный тензор. Рассмотрим объект Q, компоненты которого определяются соотношениями

Такой тензор называется тензором, сопряженным к исходному. Матрица сопряженного тензора представляет собой транспонированную матрицу исходного тензора 5 . Можно показать, что если компоненты pij определяют тензор, то и компоненты сопряженного объекта (jij = pji также будут представлять тензор. Это следует из цепочки равенств

5 Это справедливо для тензоров с действительными компонентами. Если элементы матрицы тензора представляют собой комплексные величины, то, кроме транспонирования матрицы, необходимо выполнить операцию сопряжения ее комплексных элементов. Объекты с комплексными компонентами выходят за пределы наших интересов, поэтому под сопряжением мы будем понимать операцию транспонирования.

Покажем, как доказать это свойство, используя матричное представление тензоров и матричные операции над ними. Итак, если V является тензором, то переход к новой системе координат будет даваться соотношением V’ = WVW T . Применив к этому соотношению операцию сопряжения, получим (V’) T = (WVW T ) r .

Из алгебры матриц известно, что операция транспонирования произведения удовлетворяет условию (АВ) Т = В т А т . Используя ассоциативность матричного произведения, легко установить правило транспонирования тройного произведения: (А В С) т = С т В т А т . Применяя это свойство, получим соотношение

которое устанавливает, что при переходе в новую систему координат компоненты объекта, сопряженного с исходным тензором, преобразуются по правилам тензорного преобразования. Это доказывает то, что операция сопряжения нс изменяет тензорный характер объекта.

Произведение тензоров. Для двух тензоров А = <а^>и В = = <М можно определить их произведение V = АВ, как произведение соответствующих матриц:

Весьма важно, что получающийся таким образом объект также является тензором. Это легко устанавливается с помощью следующих матричных преобразований, которые мы подробно проведем. Запишем результат произведения тензоров в новой системе координат: С’ = (А В)’ = W (А В) W T . Пользуясь тем, что преобразование координат осуществляется ортогональной матрицей, обладающей свойством W T W = ?, где ? — единичная матрица, введем этот сомножитель внутрь произведения матриц А В. Это позволит записать следующую цепочку преобразований, в которой используется свойство ассоциативности матричного произведения 0 : С = W (А В) W T = W(A = = А’В’.

Практически это означает, что мы можем преобразовать результат произведения тензоров в новую систему координат или сначала [1]

преобразовать в нее компоненты тензоров и там произвести умножение — результат будет идентичным.

Возможность складывать и перемножать тензоры и при этом также получать тензоры говорит о том, что они образуют класс математических объектов, замкнутый относительно операций сложения и умножения. В этом классе имеется единичный объект — единичный тензор, при умножении на который объекты остаются неизменными. Можно ввести нулевой тензор — тензор с нулевыми компонентами. При сложении с этим объектом также не будут меняться произвольные тензоры. В математике класс объектов, обладающих таким свойством, называется полем.

След тензора. Сумма диагональных элементов квадратной матрицы называется ее следом, а для операции вычисления следа используют обозначения Sp или trace. Применение этой операции к тензору позволяет вычислить его скалярную характеристику след:

Ниже будет показано, что след тензора остается неизменным при переходе в другую координатную систему и является скалярным инвариантом тензора при его отображении в различных СК. Операция взятия следа обладает свойствами: Sp/l T = Sp>4, Sp(AB) = = Sp <ВЛ).Последняя операция является важным случаем свертывания двух тензоров. Для операции взятия следа произведения двух тензоров используется специальное обозначение Sp АВ = АВ.

Используя свойство перестановочности матриц в свертке, можно легко показать, что ее значение не изменяется при переходе тензоров в новую координатную систему. Это следует из приводимой ниже цепочки равенств: Sp А’В’ = Sp(W T AW)(W T BW) = Sp W T ABW = = Sp W T (ABW) = Sp (ABW)W T = Sp AB.

С помощью операции свертывания строится модуль тензора:

Методические указания «Элементы тензорного анализа в курсе физики твердого тела» (стр. 1 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4

Федеральное агентство по образованию

Федеральное государственное образовательное учреждение

«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

«Элементы тензорного анализа в курсе

физики твердого тела»

Методические указания разработаны доктором физико-математических наук, профессором кафедры физики полупроводников и аспирантом кафедры физики полупроводников

Компьютерный набор и верстка аспиранта кафедры физики полупроводников

Печатается в соответствии с решением кафедры физики полупроводников физического факультета ЮФУ (протокол N 41 от 01.01.01 г.)

В последние десятилетия методы векторного и тензорного анализа активно используются при изложении курса физики твердого тела, при анализе особенностей физических свойств твердых тел, а также при описании анизотропии их физических свойств. Известно, что физические свойства твердых тел описываются скалярными, векторными или тензорными величинами. В кристалле, например, векторы воздействия и явления в общем случае не совпадают по направлению, а связь между этими векторами тесно связана с симметрией кристалла и анизотропией физического свойства. C вязь между явлением (эффектом), воздействием и физическим свойством определяется символической формулой

Явление = Физическое свойство ´ Воздействие.

При количественном описании физического свойства важную роль играет выбор ориентации осей системы координат. Переход от одной системы координат к другой приводит к изменениям количественных характеристик кристалла, и эти изменения описываются с помощью тензоров. В настоящих методических указаниях приводятся основные сведения о тензорах, рассматриваются свойства тензоров второго ранга, примеры тензорных физических величин, а также примеры решения задач по тензорной тематике. Навыки, приобретенные студентами при изучении и использовании представленных методических указаний, должны способствовать эффективному применению элементов тензорного анализа в курсе физики твердого тела, при решении ряда задач и при изложении других спецкурсов для студентов, обучающихся по специальности «Микроэлектроника и твердотельная электроника».

1 ПОНЯТИЕ ТЕНЗОРА. ЗАКОН ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Как известно из курса физики, скаляр имеет одну компоненту, а вектор – три. В любой системе координат для полного описания скаляра достаточно использовать одно число, а для описания вектора – три числа. Однако многие физические величины не удается описать введением одного или трех чисел. Экспериментально установлено, что для описания деформации упругих тел в некоторой точке P ( x 1 , x 2 , x 3 ) необходимо ввести 32 = 9 чисел, а для описания упругих свойств анизотропных тел – 34 = 81 число. В связи с этим возникла потребность введения новых математических объектов, представляющих собой совокупности 3n компонент (n = 0; 1; 2;. ) и преобразующихся по определенным правилам при переходе от одной системы координат к другой. Все эти компоненты характеризуются одинаковой размерностью и «участвуют» в однотипных соотношениях, связывающих различные физические величины. Такие объекты называются т е н з о р а м и, а р а н г т е н з о р а n определяет общее число компонент (3 n ).

Отметим, что компоненты тензора могут иметь различные значения в разных системах координат. Однако в связи с тем, что каждый раз эти компоненты в совокупности определяют одну и ту же физическую величину, закон преобразования компонент при изменении системы координат должен быть тесно связан с природой рассматриваемой физической величины. Произвольность выбора системы координат является экспериментально установленным фактом и отражает однородность пространства. Равноправность любой ориентации осей координат также подтверждена многочисленными экспериментами и отражает изотропность пространства. Законы преобразования компонент тензоров ранга от нулевого по четвертый включительно при преобразовании осей прямоугольной декартовой системы координат (X1X2X3) → (X1′X2′X3′) представлены в таблице 1.

Обобщая вышеизложенное, можно дать следующее определение тензора n-го ранга. Тензор n-го ранга – это величина, определяемая в декартовой системе координат (X1X2X3) совокупностью 3n чисел или функций Aik. r (число нижних индексов равно n), которые при изменении системы координат (X1X2X3) → (X1′X2′X3′) преобразуются по закону

Aik. r ¢ = l is l kt . lrw Ast. w ,

где lis = cos ( OXi ¢ , ^ OXs ) – косинус угла между i -й осью системы координат ( X 1 ′ X 2 ′ X 3 ′) и s -й осью осью системы координат ( X 1 X 2 X 3 ).

Таблица 1 – Преобразование компонент тензора n -го ранга ( n = 0; 1: 2; 3; 4)

1 Тензорные пространства

1.1 Определения: тензоры, ковариантные и контравариантные векторы и индексы тензоров. Производные

Далее для изучения физических явлений природы мы в основном будем пользоваться векторным, матричным и тензорным исчислениями и понятиями «скаляр» или число, «вектор», «матрица», «тензор», «тензорная плотность» для их объектов. В тензорном исчислении простейшими объектами являются скаляры, векторы и матрицы (не путать с понятиями «вектор» и «матрица» матричного и векторного исчислений, хотя очень похоже!), а также тензорные плотности от них. Все эти объекты в математике являются элементами линейных пространств. Определения, приведенные ниже, не претендуют на строгость и последовательность изложения, но дают представление об этих математических объектах.

Скаляр – это тензор ранга 0, объект, который не меняется при преобразованиях координат. Аналогом скаляра является любое вещественное число. Несмотря на то, что скаляр не изменяется при преобразованиях, но она все–таки зависит от принятой в физическом пространстве системы единиц измерения, или эталонов.

Похожим на скаляр будет также определение константы. Константа вообще ни от чего не зависит, в т.ч. и от эталонов. Таким объектом является, например, число «пи». Отношение двух скаляров может быть константой, но это верно не всегда и зависит от «степеней» или «размерности» скаляров: длина, площадь, объем, …

Тензор – абстрактный математический объект, подчиняющийся определенным групповым правилам. Множество тензоров определенной структуры составляет линейную группу. Основными параметрами тензоров являются ее размерность и валентность (ранг). Для тензоров определяется понятие «контравариантность» и «ковариантность» индекса. Если имеются и верхние, и нижние индексы, то тензор называется смешанным. Ранг смешанного тензора определяется двумя числами – количеством верхних и нижних индексов. Тензор более высокой валентности можно определить индуктивно через тензоры меньшей валентности через внешнее произведение тензоров.

Под понятием » тензор » обычно понимаются объекты типа «вектор», «матрица», другие многоиндексные объекты произвольного ранга с размерностью, равной размерности n рассматриваемого пространства. Ранг – это количество индексов при элементах тензора:

где i .. j , k .. l Î <1 .. n >. Причем имеет значение порядок расположения только верхних и только нижних индексов. Порядок расположения последовательности верний-нижний индексы не имеет значения и даже они могут записываться друг под другом (см. выше).

Замечание: При записи тензоров в матричной форме и матриц в тензорной форме имеет значение порядок в расположении верхних-нижних индексов.

T i .. j k .. l при конкретных значениях индекса называются компонентами или элементами тензора.

Тензор полностью определяется значениями своих элементов. Их количество равно n k , где k – валентность тензора. Часто валентность тензоров также ограничивается размерностью пространства.

Вектор – это тензор валентностью 1, элементы которой изменяются при преобразованиях координат подобно координате (контравариантно) или градиенту функции от координат (ковариантно). Вектор является базовым понятием для определения тензоров. Векторы составляют группу относительно операции сложения векторов и умножения на число. На практике ко нтравариантный вектор можно представить как направленный отрезок прямой в линейном пространстве с определенными в ней координатными осями, проекции которой на эти оси будут определять значение соответствующего элемента вектора A :

Здесь A – наш вектор ,

A n – проекция вектора A на ось с индексом n ,

en – базовые векторы координатной оси с индексом n .

Значения координат вектора определяются в единицах некоторого выделенного направленного отрезка соответствующей координатной оси, называемого базовым вектором. Поэтому значения элементов вектора определены с точностью до выбранной системы базовых векторов ek , где k – номер базового вектора.

Матрица – это обычно тензор валентности 2, состоящий, как и двумерная матрица, из строк и столбцов. Обычно матрица записывается в виде таблицы. Но это не всегда удобно, и для обозначения матрицы можно применить тензорную форму обозначения. Но в этом случае для матриц будет иметь значение порядок расположения индексов: первый индекс обозначения матрицы – это всегда номер строки.

С другой стороны, тензоры валентности 2 можно записать как матрицу. Тогда номер строки элемента будет соответствовать первому индексу, номер столбца – второму.

Антисимметричная матрица в некоторой литературе называется бивектором.

Основным свойством тензоров и тензорных плотностей является то, что если они в одной системе координат равны нулю, то и в любой другой системе координат будут равны нулю. Это свойство не зависит от системы координат и сохраняется после преобразований.

Среди тензоров любой валентности имеются по одной единственной совершенно симметричной и совершенно антисимметричной представителя (с точностью до множителя). Вопрос об их инвариантности требует уточнения.

Для тензоров и плотностей определены операции:

1) сложения и вычитания – для тензоров одинаковой структуры поэлементно;

Для любых двух тензоров с одинаковой структурой определена операция сложения тензоров :

Здесь индекс [ i ] указывает на обобщенный индекс определенной структуры с определенной последовательностью верхних и нижних индексов и размерностью соответствующих индексов. Нельзя складывать тензоры и плотности! (см. далее).

2) умножение тензора на число (скаляр) – структура тензора не меняется, но каждый элемент умножается на значение скаляра.

Для любых тензоров определена операция умножения на число α:

3) свертка тензора – это получение нового тензора путем суммирования элементов тензора по одному верхнему и нижнему индексам с одинаковым обозначением индексов: B i = A ij j . При этом валентность тензора уменьшается на 2. Через свертку вектора на себя определяется понятие длины (точнее, квадрата длины ) вектора : A 2 = A i A i . Для определения длины вектора A i необходимо иметь возможность определения связанного с ним вектора с другим расположением индекса A i (см. поднятие и опускание индексов). При этом валентность получившегося объекта будет равен 0, а это скаляр – не изменяющийся при преобразованиях тензор. Следовательно, длина вектора не изменяется при преобразованиях координат;

4) внешнее перемножение тензоров и тензоров на плотности – при этом валентность результирующего тензора получается сложением валентностей исходных тензоров, а значения элементов нового тензора – это всевозможные комбинации произведений элементов исходных тензоров. При этом индекс элемента получается простым перечислением сначала индексов множимого, а затем – множителя произведения. Пример:

В этом произведении результирующий тензор C [ k ] состоит из элементов, полученных умножением каждого элемента тензора A [ i ] на каждый элемент тензора B [ j ] , а последовательность индексов полученных результирующих элементов составлены как последовательности индексов этих тензоров в последовательности написания в произведении для верхних и нижних индексов соответственно. При этом общий валентность получившегося тензора будет равна сумме валентностей участвующих в произведении тензоров.

При перемножении двух матриц производится свертка второго индекса первой матрицы с первым индексом второй матрицы. Поэтому при записи произведения матриц необходимо соблюдать одинаковое написание второго индекса первой матрицы и первого индекса второй матрицы, во избежание недоразумений.

5) операция поднятия и опускания индексов.

Операция поднятия и опускания индексов тесно связана с наличием или отсутствием метрического тензора gij . Метрический тензор – это тензор, с помощью которой определяется связность точек пространства через понятие «расстояние» dl или интервал ds между близкими точками. Конкретный вид тензора gij зависит от метрических свойств пространства, но она должна быть определена однозначно для одной из систем координат раз и навсегда и далее преобразовываться на общих основаниях. В линейном пространстве этот тензор имеет одно и то же значение в любой точке пространства.

С учетом операции поднятия и опускания индексов свойства свертки вектора на себя будут выглядеть следующим образом:

Здесь g ih и g ih – обратные друг другу тензоры (матрицы).

Эта операция может быть определена не всегда. Например, в 4–мерной классической и галилеевой механике она не определена – нет 4–мерной метрики.

Еще надо определиться, где будет стоять поднятый (опущенный) индекс. Если эту операцию мы применим к вектору, то не имеет значения порядок перемножения вектора и метрического тензора. Но для тензоров большей валентности это имеет значение, потому что имеет значение порядок сомножителей прямого произведения тензоров. Если будем ставить метрический тензор слева, то поднятый (опущенный) индекс будет стоять слева, иначе – справа.

6) Перестановка индексов – получение нового тензора путем перестановки индексов исходного тензора. Допустима перестановка индексов одинакового положения – оба верхние или оба нижние. Перестановка индексов матрицы по паре индексов i и j называется сопряжением.

Операция перестановки индексов матрицы A * = A ji называется сопряжением по паре индексов к исходной матрице A = A ij , полученному из исходного перестановкой пары индексов. При перестановке любых двух определенных индексов тензоров выполняется соотношение:

7) Преобразования тензоров при преобразованиях координат или базовых векторов. Эта операция в тензорном анализе занимает ведущее место. Операция преобразования для контравариантного вектора A i определена с помощью уравнений:

Это уравнение является линейным выражением новых координат вектора Ai в новой системе базовых векторов, g i j – тензор или матрица линейного преобразования. Для произвольного контравариантного тензора Aij .. k эти преобразования необходимо применить к каждому индексу исходного тензора:

1 ) Свертываемые индексы можно заменить на любой другой индекс;

.

3 ) При рассмотрении ортонормированного евклидова пространства нет необходимости различать верхние и нижние индексы, потому что gij = d ij , и операция опускания или поднятия индекса не меняет значений элементов тензора. Этот вывод будет использоваться при рассмотрении тензоров в 3–мерном пространстве (в классической и галилеевой механике), причем часто вообще не будем писать индексы при тензорных объекта (см. Введение).

8) Если в пространстве определена некоторая функция , то для нее определена операция взятия частной производной по координатам разметки пространства

В отношении произвольных тензоров эта операция определена к каждому отдельно взятому ее элементу. Но полезное практическое значение эти производные имеют только в случае тензоров, определенных в линейном пространстве, а не в произвольном. В случае использования их в произвольном пространстве необходимо учитывать так называемый тензор аффинной связности , учитывающий криволинейность пространства.

Далее будут определены еще инвариантные производные тензорных параметров по координатам.

9) Дадим определения тензоров по виду симметрии значений ее элементов.

Большое значение в тензорном анализе имеют симметричные и антисимметричные тензоры. Любой тензор можно разложить на симметричную A ( – ) .. i .. j .. и антисимметричную A () .. i .. j .. по паре индексов i и j одного сорта (верхним или нижним). Тип симметричности тензора является инвариантным свойством тензора. Тензор A .. i .. j .. называется симметричным тензором по паре индексов i и j одного сорта, если при перестановке этих индексов тензор не изменяется. Процесс получения симметричной части тензора называется симметрированием тензора. Симметричную часть тензора по двум индексам можно получить следующим образом:

Соответственно, тензор A .. i .. j .. называется полностью симметричным , если значение элемента тензора не зависит от порядка индексов.

Среди симметричных матриц выделяются диагональные. Матрица диагональна , если у нее все элементы , кроме диагональных , равны нулю .

Тензор A .. i .. j .. называется антисимметричным тензором по паре индексов i и j одного сорта, если при перестановке этих индексов тензор изменяет свой знак. Антисимметричную часть тензора по двум индексам можно получить следующим образом:

A ().. i .. j .. = A .. i .. j .. A .. j .. i ..

Соответственно, тензор A .. i .. j .. называется полностью антисимметричным тензором , если значение элемента тензора изменяет знак при перестановке любых двух индексов. Процесс получения антисимметричной части тензора называется альтернированием тензора

A () = Σ (–1) ! [ ij .. k ] A [ ij .. k ]

где в правой части формулы записана операция суммирования исходного тензора во всех возможных перестановках [12.. n ] индексов, а знак «!» показывает знак четности этой перестановки.

Иногда бывает нужно определить тип симметричности тензора по паре смешанных индексов. Симметричность: ; антисимметричность: . Такая ситуация возникает при изучении тензоров малых преобразований координат.

Дадим определение контравариантного вектора .

Примерами контравариантных векторов являются координата, скорость и ускорение, а также их приращения. При преобразованиях координат они преобразуются следующим образом:

Поэтому мы определим понятие контравариантного вектора как набор четырех величин A i , которые в «приказном порядке» преобразуются так же, как и dri :

Если величину обозначить как тензор g i j , то это же можно записать следующим образом:

dri = g i jdr j

Здесь в принципе важен порядок следования индексов, с тем, чтобы мы могли отличить тензор прямого преобразования координат от обратного, который обозначим как : первый индекс принадлежит штрихованной координате. Индексы тензора прямого преобразования координат можно писать и друг под другом, т.к. порядок чтения символов обычно соответствует схеме слева–направо–сверху–вниз.

Выпишем законы преобразования для контравариантных векторов в явном виде на примере координаты, скорости, ускорения и обобщенного контравариантного вектора A i для случая чисто галилеевых преобразований (равномерно движущаяся со скоростью v i 0 система отсчета с общим центром, см. далее), принимая во внимание, что: = – v i 0 , = v 0 0 = 1, = v 0 j = 0, = v i j = E :


источники:

http://pandia.ru/text/79/358/52510.php

http://lowsofphisics.ru/matyematika/index.php?name=tenzornoye_prostranstvo.htm