3 записать уравнение ньютона какая аналогия с уравнением фурье

3.2.2. Метод Ньютона (касательных)

Дано нелинейное уравнение (3.1) f(x)=0. Корень отделен x* Î [a;b]. Требуется уточнить корень с точностью ε.

Метод основан на стратегии постепенного уточнения корня. Формулу уточнения можно получить из геометрической иллюстрации идеи метода.

Рис. 3.12. Геометрическая иллюстрация метода Ньютона.

На отрезке существования корня выбирается начальное приближение x0. К кривой f(x) в точке А с координатами (x0, f(x0)) проводится касательная. Абсцисса x1 точки пересечения этой касательной с осью ОХ является новым приближением корня.

Из рисунка следует, что x1 = x0 − CB

Из ∆ABC: CD=. Но .

Следовательно,

Аналогично, для i-го приближения можно записать формулу итерационного процесса метода Ньютона:

, где x0 Î [a;b]. (3.13)

Условие окончания расчета: , (3.14)

Где −корректирующее приращение или поправка.

Условие сходимости итерационного процесса:

(3.15)

Если на отрезке существования корня знаки и не изменяются, то начальное приближение, обеспечивающее сходимость, нужно выбрать из условия

, x0Î[a;b]. (3.16)

Т. е. в точке начального приближения знаки функций и ее второй производной должны совпадать.

Рис. 3.13. Геометрическая иллюстрация выбора начального приближения: график f(x) вогнутый, , тогда x0=b, т. к. f(b)>0.

Если же выбрать x0=a, то итерационный процесс будет сходиться медленнее или даже расходиться (см. касательную для x0=a).

Рис. 3.14. Геометрическая иллюстрация выбора начального приближения: график f(x) выпуклый, f ’’(x) 0

Вычислим несколько приближений:

X1 =

X2 =

Закон Фурье | Все это важно с 6 часто задаваемыми вопросами

Content

Закон теплопроводности Фурье

Закон Фурье теплопроводности может иметь следующий вид:

«Скорость теплопередачи от материала или образца прямо пропорциональна площади поперечного сечения (перпендикулярной площади), через которую проходит тепло, и разности температур вдоль торцевых поверхностей материала».

Мы можем записать это утверждение математически как,

q = скорость теплопередачи в ваттах (Вт или Дж / с)

K = теплопроводность материала или образца (Вт / м · K)

A = Площадь поперечного сечения, через которую проходит тепло, в м 2

dT = разница температур между горячей и холодной сторонами в K (Кельвинах)

dx = Толщина материала в м (толщина между горячей и холодной стороной)

Самое важное: здесь в уравнении отрицательный знак означает, что тепло всегда течет в направлении уменьшения температуры.

Уравнение закона Фурье

Уравнение закона теплопроводности получено выше. Он широко используется для решения задач теплопроводности и анализа. Суть уравнения остается прежней, но параметры меняются в зависимости от формы и положения объекта.

Сферические координаты закона Фурье

Закон теплопроводности, примененный к цилиндру и уравнению, приведен ниже:

Здесь, в любом месте

r — радиус рассматриваемого цилиндрического участка,

Цилиндрические координаты закона Фурье

Закон теплопроводности, применяемый к цилиндру и уравнению, приведен ниже:

в любом месте площадь A = 2πrL,

r — радиус рассматриваемого цилиндрического участка,

Эксперимент с законом Фурье

Перенос тепла проводимостью происходит за счет микроскопической диффузии и столкновений молекул или квазичастиц внутри объекта из-за разницы температур. Если мы видим микроскопически, то диффузный и сталкивающийся любой материал включает в себя молекулы, электроны, атомы.

Обычно у металлов есть свободная подвижность электронов внутри объекта. Это причина его хорошей проводимости.

Рассмотрим двухблочный A и B,

Блок А очень горячий

Блок Б холодный

Предположим, мы соединяем эти два блока и изолируем все остальные внешние поверхности. Изоляция предназначена для уменьшения потерь тепла от блока. Вы можете быстро понять, что тепловая энергия будет перетекать от горячего блока к холодному. Передача тепла будет продолжаться до тех пор, пока оба блока не достигнут одинаковой температуры (температурного равновесия).

Это один из способов передачи тепла в обоих блоках. Это кондуктивный режим теплопередачи. Используя уравнение закона теплопроводности, мы можем рассчитать теплопередачу с помощью этого эксперимента. Выполнение в лаборатории теплопередачи (машиностроение и химическая инженерия) очень информативно и важно с практической точки зрения.

История закона Фурье

Фурье начал свою работу по выражению теплопроводности в 1822 году. Он также дал понятие ряда Фурье и интеграла Фурье. Он был математиком. Его закон теплопроводности хорошо известен благодаря его имени «закон теплопроводности Фурье».

Единицы закона Фурье

Для теплопередачи сформулирован закон Фурье теплопроводности. Итак, мы можем рассматривать для него единицу теплоотдачи. Единицей теплоотдачи является ватт (Дж / с) Вт.

Допущения закона Фурье

Есть некоторые предположения о законе теплопроводности Фурье. Закон применяется только при соблюдении и соблюдении следующих условий.

  • Кондуктивная теплопередача будет происходить в стационарных условиях объекта.
  • Поток тепла должен быть однонаправленным.
  • Температурный градиент должен быть постоянным на протяжении всего процесса, а температурный профиль должен быть линейным.
  • Внутреннее тепловыделение должно быть нулевым.
  • Ограничивающие поверхности должны быть должным образом изолированы.
  • Материал должен быть однородным и изотропным.

Пример закона теплопроводности Фурье

Есть много примеров закона теплопроводности в повседневной жизни. Некоторые примеры обсуждаются ниже.

В кружке горячий кофе. Теперь вы знаете, что тепло будет передаваться с горячей стороны на холодную. Здесь передача тепла происходит от внутренней стенки к внешней стенке кружки. Это кондуктивный перенос тепла, основанный на законе теплопроводности Фурье.

В качестве примера можно рассмотреть стену нашего дома.

Если в стержне происходит внутреннее тепловыделение, тепло будет течь во внутренней части к внешним поверхностям.

Можно потрогать любое электрическое и электронное оборудование. Вы получите немного тепла. Все эти устройства могут быть примером закона Фурье.

Число Фурье

Это безразмерное число, полученное с помощью безразмерного уравнения теплопроводности..

Число Фурье обозначается Fo

L — длина пластины (диаметр в случае цилиндра) в м.

K — коэффициент градиентного переноса

Поток закона Фурье

Согласно информации закон теплопроводности,

Тепловой поток можно определить как тепловой поток на единицу площади в единицу времени прямо пропорционален разнице температур между горячей и холодной стороной (температурный градиент).

Тепловой поток

Тепловой поток можно определить как тепловой поток на единицу площади в единицу времени прямо пропорционален разнице температур между горячей и холодной стороной (температурный градиент).

Уравнение теплового потока

Уравнение теплового потока приведено ниже.,

q- тепловой поток в Вт / м 2

K — теплопроводность, Вт / м · K

ΔT / ΔX — температурный градиент,

Агрегаты теплового потока

Единица теплового потока — Вт / м 2

Часто задаваемые вопросы

Что такое закон Фурье

«Скорость теплопередачи через материал или образец прямо пропорциональна площади поперечного сечения, через которую проходит тепло, и разности температур вдоль торцевых поверхностей материала».

Мы можем записать это утверждение математически как,

q = скорость теплопередачи в ваттах (Вт или Дж / с)

K = теплопроводность материала или образца (Вт / м · K)

A = Площадь поперечного сечения, через которую проходит тепло, в м 2

dT = разница температур между горячей и холодной сторонами в K (Кельвинах)

dx = Толщина материала в м (толщина между горячей и холодной стороной)

Самое важное: здесь в уравнении отрицательный знак означает, что тепло всегда течет в направлении уменьшения температуры.

Каковы предположения закона теплопроводности Фурье?

Есть некоторые предположения о законе теплопроводности Фурье. Закон применяется только при соблюдении и соблюдении следующих условий. Закон теплопроводности Фурье можно сравнить с законом охлаждения Ньютона и законом диффузии Фика. Допущения в каждом законе разные.

  1. Кондуктивная теплопередача будет происходить в стационарных условиях объекта.
  2. Поток тепла должен быть однонаправленным.
  1. Температурный градиент не изменится, а температурный профиль должен быть линейным.
  2. Внутреннее тепловыделение должно быть нулевым.
  3. Ограничивающие поверхности должны быть должным образом изолированы.
  4. Материал должен быть однородным и изотропным.

Что является доказательством закона теплопроводности Фурье и отрицательного градиента?

Доказательство закона теплопроводности Фурье уже дано в теме «Закон Фурье».

Отрицательный градиент используется, потому что тепло всегда течет при понижении температуры.

Этот вопрос очень важен для собеседования, потому что интервьюер всегда старается проверить ваши фундаментальные знания.

Чем закон теплопроводности Фурье противоречит теории относительности?

Закон Фурье противоречит теории относительности из-за его мгновенного распространения тепла через диффузию тепла. Если мы рассмотрим зависящую от времени диффузию тепла с помощью уравнения в частных производных, то рост теплового потока будет со временем релаксации. На этот раз порядка 10 -11 . Распространение тепла в природе занимает бесконечное время. Время релаксации незначительно.

Если исключить время релаксации, уравнение станет законом теплопроводности Фурье. Это нарушает популярную теорию Эйнштейна (теория относительности). Скорость света в вакууме составляет 2.998 * 10. 8

Чем физика, лежащая в основе закона Фурье, отличается от физики, лежащей в основе закона охлаждения Ньютона

Как мы уже знаем, закон Фурье используется для теплопроводности, а закон охлаждения Ньютона — для конвективной теплопередачи. Предположим, у вас есть вопрос, почему для анализа скорости теплопередачи требуются два разных закона. Причина в том, что режимы теплопередачи отличаются от индивидуальной физики.

Перенос тепла проводимостью происходит за счет микроскопической диффузии и столкновений молекул или квазичастиц внутри объекта из-за разницы температур. Если мы видим микроскопически, то диффузный и сталкивающийся любой материал включает в себя молекулы, электроны, атомы. Они передают друг другу кинетическую и потенциальную энергию микроскопически. Эта энергия известна как внутренняя энергия объекта. Закон гласит, что теплопроводность является законом Фурье.

Конвекционную теплопередачу в любом объекте можно определить как теплопередачу от одной молекулы к другой за счет перемещения жидкостей или потока жидкости. Закон охлаждения Ньютона определяет конвекционную теплопередачу.

Физика, используемая для отдельного процесса, различна. Следовательно, регулирующий закон для человека отличается.

В чем сходство между законом вязкости Ньютона, законом теплопроводности Фурье и законом диффузии Фика?

Это аналогия между этими уравнениями.

Закон Фурье теплопроводности

В нем говорится о проведении теплопередача процесс. Уравнение можно записать следующим образом:

Уравнение теплового потока приведено ниже.,

q- тепловой поток в Вт / м 2

K — теплопроводность, Вт / м · K

ΔT / ΔX — температурный градиент,

Закон диффузии Фика

Он используется для описания и определения процесса массопереноса. Уравнение массопереноса можно записать следующим образом:

(dC / dx) — градиент концентрации

D — коэффициент диффузии транспортных свойств

Закон вязкости Ньютона

Он используется для передачи импульса и широко используется для изучения вязкости любой жидкости.

Здесь (du / dx) — градиент скорости

μ — вязкость жидкости

Таким образом, вы можете сразу проанализировать три разных закона относительности этих уравнений.

Чтобы прочитать больше статей по соответствующей теме, пожалуйста нажмите сюда

Последнее сообщение о машиностроении

О Дипаккумаре Джани

Я Дипак Кумар Джани, кандидат механических и возобновляемых источников энергии. У меня пять лет преподавательской деятельности и два года исследовательского опыта. Область моих интересов: теплотехника, автомобилестроение, механические измерения, инженерное черчение, механика жидкостей и т. Д. Я зарегистрировал патент на «Гибридизация зеленой энергии для производства электроэнергии». Я опубликовал 17 научных работ и две книги.
Я рад быть частью Lambdageeks и хотел бы в упрощенной форме представить читателям часть своего опыта.
Помимо учебы и исследований, мне нравится бродить на природе, фотографировать природу и повышать осведомленность людей о природе.
Подключимся через LinkedIn — https://www.linkedin.com/in/jani-deepak-b0558748/.
Также обратитесь к моему каналу на YouTube по поводу «Приглашения от природы»

Метод Фурье

Содержание:

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Метод Фурье, или метод разделения переменных, является одним из наиболее распространенных методов решения уравнений с частными производными. Рассмотрим этот метод, обратившись к простейшей задаче о свободных колебаниях однородной струны длины i, закрепленной на концах. §4. Свободные колебания однородной струны, закрепленной на концах Задача о свободных колебаниях однородной струны с закрепленными концами сводится к решению уравнения при граничных условиях и начальных условиях.

Метод Фурье Задачу (1 )-(3) называют смешанной: она содержит и начальные и граничные условия. Решение задачи начнем с поиска частных решений уравнения (1) вида При этом будем предполагать, что каждое из них удовлетворяет граничным условиям (2), но не равно нулю тождественно. Подставляя функцию и<х, t) в форме (4) в уравнение (1), получаем ИЛИ Последнее равенство (его левая часть зависит только от а правая — только от х) возможнолишь втом случае, если обе его части не зависят ни от ty ни от х,т.е. равны одной и той же постоянной.

Обозначим эту постоянную (разделения) через (-А), Из равенства (5) получаем два обыкновенных дифференциальных уравнения Граничные условия (2) дают откуда (T(t) £ 0) следует, что функция Х(х) должна удовлетворять граничным условиям Чтобы получить нетривиальные решения tt(x, t) вида (4), удовлетворяющие граничным условиям (2), необходимо найти нетривиальные решения уравнения удовлетворяющие граничным условиям.

Таким образом, мы приходим к следующей задаче: найти значения параметра А, при которых существуют нетривиальные решения задачи (7)-(8), а также сами эти решения. Такие значения параметра А называются собственными значениями, а соответствующие им нетривиальные решения — собственными функциями задачи (7)-(8). Сформулированную таким образом задачу называют задачей Штурма—Лиувилля. Найдем собственные значения и собственные функции задачи (7)-(8).

Рассмотрим отдельно три случая, когда 1.

При общее решение уравнения (7) имеет вид Потребовав выполнения граничных условий (8), получим (6) (7) Так как определитель системы (9) отличен от нуля, то . Следовательно, Х(х) = 0, т. е. при нетривиальных решений задачи не существует. (9) 2. При А = 0 общее решение уравнения (7) имеет вид Граничные условия (8) дают откуда С, = С2 = 0, и следовательно, при А = 0 нетривиальных решений задачи (7)-(8) также не существует. 3.

При Л > 0 общее решение уравнения (7) имеет вид Потребовав выполнение граничных условий (8), получим Система (10) имеет нетривиальные решениятогда и толькотогда, когда определитель системы равен нулю, Метод Фурье будут собственными функциями задачи. Собственные функции определены с точностью до постоянного множителя, который мы выбрали равным единице. При А = А* общее решение у равнения (6) имеетвид ктга кчга где Аки Bk — произвольные постоянные. Таким образом, функции удовлетворяют уравнению (1) и граничным условиям (2) при любых Ак и Вку В силу линейности и однородности уравнения (1) всякая коневая сумма решений будет также решением уравнения (1).

То же справедливо и для ряда если он сходится равномерно и его можно дважды почленно дифференцировать по х и по t. Поскольку каждое слагаемое в ряде (11) удовлетворяет граничным условиям (2), то этим условиям будет удовлетворять и сумма u(s, t) этого ряда. Остается определить в формуле (11) постоянные .4* и Вк так, чтобы выполнялись и начальные условия (3). Продифференцируем формально ряд (11) по t.

Имеем Полагая в соотношениях (l 1) и (12) t = 0, в силу начальных условий (3) получим Формулы (13) представляют собой разложения заданных функций вряд Фурье по синусам в интервале Коэффициенты разложений (13) вычисляются по известным формулам / I Теорема 2. Если и удоъчетворяет условиям и удовлетворяет условию то сумма tx(x, £) ряда (11), где -А* и В* опредыяются формулами (14), имеет в области непрерывные частные производные до второго порядка включительно по каждому из аргументов, удовлетворяет уравнению (1), граничным условиям (2) и начальным условиям (3), т. е. является решением задачи (1 )-(3).

Пример. Найти закон свободных колебаний однородной струны длины I, закрепленной на концах, если в начальный момент t = 0 струна имеет форму параболы — const), а начальная скорость отсутствует. 4 Задача сводится к решению уравнения при граничных условиях и начальных условиях.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Метод Фурье

Применяя метод Фурье, ищем нетривиальные решения уравнения (1), удовлетворяющие граничным условиям (2), в виде Подставляя «(*,*) в форме (4) в уравнение (1) и разделяя переменные, получим откуда причем в силу (2) Как было установлю но выше, собственные значения задачи (7)-(8) а соответствующие собственные функции Для А = Ащ общее решение уравнения (6) имеет вид пяа ижа Будем иска тъ решение исходной задачи в виде ряда Для определен ия коэффициентов -4Я и Z?„ воспользуемся начальными условия ми (3).

Имеем Из формулы (II) срезу

получаем, что 2?„ = 0 для любог о п, а из (10) Метод Фурье откуда, интегрируя по частям дважды . находи м . Подставляя наеденные значения А, и в ряд (9), получим решение поставленной задачи , Замечание. Если начальные фукхдда не удовлетворяют условиям теоремы 2, то дважды непрерывно дифференцируемого решения смешанной задачи (1)-(3) может и не существовать.

Однако если , то ряд (II) сходетс* равномерно при и любом t и определяет непрерывную функюао u(xtt). В этом случае можно говорить лишь об обобщенная решении задачи. Каждая из функций определяет так называемые собств енные колебания струны, закрепленной на концах. При собственных колебаниях, отвечающих к = 1, струна издает основной, самый низкий тон.

При колебаниях, соответствующих ббльшим Л.она издает более высокие тоны, обертоны. Записав *) в виде заключаем, что собственные колебания струны — стоячие волны, при которых точки струны совершают гармонические колебания с амплитудой Нк sin частотой Метод Фурье Мы рассмотрели случай свободных колебаний однородной струны, закрепленной на концах. Рассмотрим теперьслуч ай других граничных условий.

Пусть, например, левый конец струны закреплен, u(0, t) = 0, а правый конец х — 1 упругосвязан со своим положением равновесия, что соответствует условию . Нетривиальное решение u(x, t) уравнения (1), удовлетворяющее поставленным граничным условиям, будем опять искать в виде В результате подстановки в уравнение (1) приходим к следующей задаче о собственных значениям: найти такие значения параметра Л, для которых дифференциальное уравнение при граничных условиях имеет нетривиальные решения Х(х). Общее решение уравнения (15) имеет вид (А > 0)

Первое из граничных условий

Первое из граничных условий (16) дает С\ = 0, так что функциями Х(х) с точностью до постоянного множителя являются sin у/Хх. Из второго граничного условия Положим А = ir. Тогда Для отыскания и получаем трансцендентное уравнение. Корни этого уравнения можно найти графически, взяв в плоскости (f, z) сечения последовательных ветвей кривой z = tg(i//) прямой линией z = (рис. 7).

Обе части уравнения (18) — нечетные функции относительно р, поэтому каждому положительному корню i/fc соответствует равный ему по абсолютной величине отрицательный корень. Поскольку изменение знака Uk не влечет за собой появления новых собственных функций (они только изменят знак, что несущественно), достаточно ограничиться положительными корнями уравнения (18).

В результате опять получается последовательность собственных значений и отвечающие им последовательности собственных функций и собственных колебаний Кстати, для n-ой собственной частоты ип получается асимптотическое соотношение в частности, для I = т имеем Если правый конец струны х = I свободен, получаем cos vl = 0. Отсюда ul = § + тиг, так что в случае свободного конца собственные значения и собственные функции соответственно равны

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.


источники:

http://ru.lambdageeks.com/fouriers-law-its-all-important/

http://natalibrilenova.ru/metod-fure/