4 каким образом можно найти коэффициенты эмпирического уравнения логарифмической функции

Логарифмическое уравнение регрессии

Логарифмическое уравнение регрессии имеет вид y = b ln(x) + a

Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу:

Параметры уравнения регрессии:

S 2 (x) = 2 = — 3,633 2 = 0,098

S 2 (y) = 2 = — 39,06 2 = 145,1164

Формально критерий МНК можно записать так:

Система нормальных уравнений.

Для наших данных система уравнений имеет вид:

100a + 363.31 b = 3906 363.31 a + 1329.68 b = 14437.69

Из первого уравнения выражаем а и подставим во второе уравнение: Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 25.3925, a = -53.1941 Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):

y = 25.3925 ln(x) — 53.1941

Рис.2 Значение Y

Эмпирические коэффициенты регрессии a и b являются лишь оценками теоретических коэффициентов вi, а само уравнение отражает лишь общую тенденцию в поведении рассматриваемых переменных.

Эмпирическое корреляционное отношение.

Эмпирическое корреляционное отношение вычисляется для всех форм связи и служит для измерение тесноты зависимости. Изменяется в пределах [0;1]. Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:

0,1 tкрит — нулевую гипотезу отвергают.

По таблице Стьюдента с уровнем значимости б=0.05 и степенями свободы k=98 находим tкрит:

tкрит (n-m-1;б/2) = (98;0.025) = 1.984

где m = 1 — количество объясняющих переменных.

Если tнабл > tкритич, то полученное значение коэффициента корреляции признается значимым (нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю коэффициента корреляции, отвергается).

Поскольку tнабл > tкрит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически — значим.

В парной линейной регрессии t 2 r = t 2 b и тогда проверка гипотез о значимости коэффициентов регрессии и корреляции равносильна проверке гипотезы о существенности линейного уравнения регрессии. Интервальная оценка для коэффициента корреляции (доверительный интервал).

Доверительный интервал для коэффициента корреляции:

Логарифмическое уравнение регрессии

В общем случае уравнение логарифмической функции имеет вид у = aln(x) + b. Применение логарифмической функции в качестве уравнения регрессии возможно только в том случае, если в спектре значений аргумента х (диапазон ячеек А7:А18) отсутствуют нулевые и отрицательные значения.

Пусть исходная заданная функция у = /(х) имеет вид, показанный в таблице (рис. 4.5.1) в диапазоне ячеек А7:В18.

Построим точечный график функции Логарифмическая регрессия у = f(x).

В строке 21 создадим шапку таблицы, как показано нарис. 4.5.1.

В ячейку В26 запишем произвольную константу 1, а в ячейку С26 — произвольную константу 2.

В ячейку А26 запишем оператор присваивания для сцепленных символьных констант:

Нейти HOUityuuttf уровнем* рггркси бля fynxiaju, мдоямэй табгіляо

І/ІОТҐ^Л U ? 14 АА OU L-111U V L/Q 3 fl 3THD

ІУІеТОД НаИМеНЬШИХ КВаДраТОВ

  • 5.67016295
  • 5 83449844
  • 7.758639135
  • 8 355064306
  • 5.726677404
  • 5 846164529
  • 3.609437912
  • 3 791759469

>-0 16 Группировать

Из других Существующие

l3 Из текста источников ’ подключения

Получение внешни» данных

Я| Сортировка Фильтр ICKCIHV доїть д-»

* • V Дополнительно столбцам дубликаты ІП? Анализ ’что если

__________ Сортировка и фильтр

fje Консолидация Текст по Удалить

| Промежуточный итог Структура

  • ?фПои iPgDatt
  • нзйти м?дл)чц,ее урсв-еиие регистр Олв «но

    vO Э2х*3-0 Пк»2-1.21х-0 53

    V0 02x*3*0 Пх’2-1 21×4)68

    Метод наименьших квадратов

    Линейная регрессия ) ? VO16 • И уФ32к*1-197»-1.?0 —nowQWKi.nn»

    УаЦж) ? у-0 02»*3«0.11x*2-1.21i-038 —Гюли

    В появившемся окне выберем раздел Добавить линию тренда (рис. 4.5.6).

    В о сста н о вить стил ь

    ftjj Изменить тип диаграммы для ряда.

    L0 Поворот объемной фигуры.

    Добавить подписи данных Добавить линию тренда.

    _2Ґ Формат ряда данных.

    В появившемся окне Формат линии тренда выберем параметры Логарифмическая, показывать уравнение на диаграмме и поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации (R A 2) и нажмем кнопку Закрыть (рис. 4.5.7).

    Появившаяся на графике Логарифмическая регрессия линия тренда полностью совпадает с графиком построенного уравнения регрессии^ = 1,591п(х) + 3,28, совпадает и уравнение линии тренда у = 1,58521п(х) + 3,2763, что является доказательством правильности решения (рис. 4.5.8).

    Следует отметить, что значение коэффициента детерминации R 2 = 0,2227 свидетельствует о том, что выбранная в качестве уравнения регрессии логарифмическая функция не вполне отвечает исходному заданию, так как максимальное значение коэффициента детерминации R 2 = 1.

    На рис. 4.5.9 показан результирующий график использования в качестве уравнения регрессии логарифмической функции у = 1,591п(х) + 3,28 и построения линии тренда у = 1,58521п(х) + + 3,2763 для исходной заданной функции у =f(x).

    Логарифмические уравнения и системы

    п.1. Методы решения логарифмических уравнений

    При решении логарифмических уравнений используются следующие основные методы:
    1) переход от логарифмического уравнения к равносильному уравнению \(f(x)=g(x)\) с системой неравенств, описывающих ОДЗ;
    2) графический метод;
    3) замена переменной.

    п.2. Решение уравнений вида \(\log_a f(x)=\log_a g(x)\)

    Неравенства \( \begin f(x)\gt 0\\ g(x)\gt 0 \end \) в системе соответствуют ограничению ОДЗ для аргумента логарифмической функции.

    Решать логарифмическое уравнение принято в таком порядке:
    1) решить систему неравенств и получить промежутки допустимых значений для \(x\) в явном виде;
    2) решить уравнение \(f(x)=g(x)\);
    3) из полученных корней выбрать те, что входят в промежутки допустимых значений. Записать ответ.

    Однако, если выражения \(f(x)\) и \(g(x)\) слишком сложны для явного решения, возможен другой порядок действий:
    1) решить уравнение \(f(x)=g(x)\);
    2) провести подстановку: полученные корни подставить в выражения для \(f(x)\) и \(g(x)\), и проверить, получатся ли положительные значения для этих функций;
    3) из корней выбрать те, для которых подстановка оказалась успешной. Записать ответ.

    Например:
    Решим уравнение \(\lg(2x+3)+\lg(x+4)=\lg(1-2x)\)
    Найдем ОДЗ в явном виде:
    \( \begin 2x+3\gt 0\\ x+4\gt 0\\ 1-2x\gt 0 \end \Rightarrow \begin x\gt-\frac32\\ x\gt-4\\ x\lt\frac12 \end \Rightarrow -\frac32\lt x\lt\frac12\Rightarrow x\in\left(-\frac32;\frac12\right) \)
    Решаем уравнение:
    \(\lg\left((2x+3)(x+4)\right)=\lg(1-2x)\)
    \((2x+3)(x+4)=1-2x\)
    \(2x^2+11x+12-1+2x=0\)
    \(2x^2+13x+11=0\)
    \((2x+11)(x+1)=0\)
    \( \left[ \begin x_1=-5,5\\ x_2=-1 \end \right. \)
    Корень \(x_1=-5,5\notin \left(-\frac32;\frac12\right),\) т.е. не подходит.
    Корень \(x_2=-1\in \left(-\frac32;\frac12\right)\) — искомое решение.
    Ответ: -1

    п.3. Решение уравнений вида \(\log_ f(x)=\log_ g(x)\)

    Как и в предыдущем случае, можно сначала найти ОДЗ, а потом решать уравнение.
    Или же, можно решить уравнение, а потом проверить требования ОДЗ прямой подстановкой полученных корней.

    Например:
    Решим уравнение \(\log_(x^2-4)=\log_(2-x)\)
    Найдем ОДЗ в явном виде:
    \( \begin x^2-4\gt 0\\ 2-x\gt 0\\ x+5\gt 0\\ x+5\ne 1 \end \Rightarrow \begin x\lt -2\cup x\gt 2\\ x\lt 2\\ x\gt -5\\ x\ne -4 \end \Rightarrow \begin -5\lt x\lt -2\\ x\ne -4 \end \Rightarrow x\in (-5;-4)\cup(-4;-2) \)
    Решаем уравнение:
    \(x^2-4=2-x\)
    \(x^2+x-6=0\)
    \((x+3)(x-2)=0\)
    \( \left[ \begin x_1=-3\\ x_2=2 — \ \text <не подходит>\end \right. \)
    Ответ: -3

    В логарифмическом уравнении перед отбрасыванием логарифмов основания обязательно должны быть равны. Не забывайте это проверять!

    Например:
    Решим уравнение \(\log_<2>(x+1)=\log_<4>(x+3)\)
    Основания \(2\ne 4\), и нельзя сразу написать \(x+1=x+3\).
    Нужно привести к одному основанию, преобразовав левую часть:
    \(\log_2(x+1)=\log_<2^2>(x+1)^2=\log_4(x+1)^2\)
    Тогда исходное уравнение примет вид: \(\log_4(x+1)^2=\log_4(x+3)\)
    И теперь: \((x+1)^2=x+3\)
    \(x^2+x-2=0\)
    \((x+2)(x-1)=0\)
    \( \left[ \begin x_1=-2\\ x_2=1 \end \right. \)
    Что касается ОДЗ, то её нужно искать для исходного уравнения:
    \( \begin x+1\gt 0\\ x+3\gt 0 \end \Rightarrow \begin x\gt -1\\ x\gt -3 \end \Rightarrow x\gt -1 \)
    Корень \(x_1=-2\lt -1\) — не подходит.
    Ответ: 1

    Преобразования могут расширить первоначальную область допустимых значений (например, при возведении в квадрат), и вы включите в решение лишние корни.
    Преобразования также могут сузить ОДЗ (например, при взятии корня), и некоторые решения окажутся потеряны.
    Поэтому ОДЗ определяется для исходного уравнения (выражения, неравенства), а не того, которое получено после преобразований.

    п.4. Примеры

    Пример 1. Решите уравнения:
    a) \( \log_2(x+1)-\log_2(x-1)=1 \)
    ОДЗ: \( \begin x+1\gt 0\\ x-1\gt 0 \end \Rightarrow \begin x\gt -1\\ x\gt 1 \end \Rightarrow x\gt 1 \)
    \(\log_2\left((x+1)(x-1)\right)=\log_22\)
    \(x^2-1=2\Rightarrow x^2 =3\)
    \( \left[ \begin x_1=-\sqrt<3>\lt 2 — \text<не подходит>\\ x_2=\sqrt <3>\end \right. \)
    Ответ: \(\sqrt<3>\)

    б) \( 2\log_5(x-1)=\log_5(1,5x+1) \)
    ОДЗ: \( \begin x-1\gt 0\\ 1,5x+1\gt 0 \end \Rightarrow \begin x\gt 1\\ x\gt-\frac23 \end \Rightarrow x\gt 1 \)
    Преобразуем: \(2\log_5(x-1)=\log_5(x-1)^2\)
    Получаем: \(\log_5(x-1)^2=\log_5(1,5x+1)\)
    \((x-1)^2=1,5x+1\)
    \(x^2-2x+1-1,5x-1=0\Rightarrow x^2-3,5x=0\Rightarrow x(x-3,5)=0\)
    \( \left[ \begin x_1=0\lt 1 — \text<не подходит>\\ x_2=3,5 \end \right. \)
    Ответ: 3,5

    в) \( \log_3(3-x)+\log_3(4-x)=1+2\log_3 2 \)
    ОДЗ: \( \begin 3-x\gt 0\\ 4-x\gt 0 \end \Rightarrow \begin x\lt 3\\ x\lt 4 \end \Rightarrow x\lt 3 \)
    Преобразуем: \(1+2\log_3 2=\log_3 3+\log_3 2^2=\log_3(3\cdot 4)=\log_3 12\)
    Получаем: \(\log_3\left((3-x)(4-x)\right)=\log_3 12\)
    \((3-x)(4-x)=12\Rightarrow 12-7x+x^2=12\Rightarrow x(x-7)=0\)
    \( \left[ \begin x_1=0\\ x_2=7\gt 3 — \text <не подходит>\end \right. \)
    Ответ: 0

    г) \( \log_2^2x+\log_2 x^2+1=0 \)
    ОДЗ: \(x\gt 0\)
    \(\log_2x^2=2\log_2x\)
    Получаем: \(\log_2^2x+2\log_2x+1=0\)
    Замена: \(t=\log_2 x\)
    \(t^2+2t+1=0\Rightarrow(t+1)^2=0\Rightarrow t=-1\)
    Возвращаемся к исходной переменной: \(\log_2x=-1\)
    \(x=2^<-1>=\frac12\)
    Ответ: \(\frac12\)

    д) \( x^<\lg x>=10 \)
    ОДЗ: \(x\gt 0\)
    Замена: \(t=\lg ⁡x\). Тогда \(x=10^t\)
    Подставляем:
    \((10^t)^t=10\Rightarrow 10^=10^1\Rightarrow t^2=1\Rightarrow t=\pm 1\)
    Возвращаемся к исходной переменной:
    \( \left[ \begin \lg x=-1\\ \lg x=1 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=10^<-1>\\ x=10 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x_1=0,1\\ x_2=10 \end \right. \)
    Оба корня подходят.
    Ответ:

    e) \( \sqrt\cdot \log_5(x+3)=0 \)
    ОДЗ: \( \begin x\geq 0\\ x+3\gt 0 \end \Rightarrow \begin x\geq 0\\ x\gt -3 \end \Rightarrow x\geq 0 \)
    \( \left[ \begin \sqrt=0\\ \log_5(x+3)=0 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=0\\ x+3=5^0=1 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x_1=0\\ x_2=-2\lt 0 — \text <не подходит>\end \right. \)
    Ответ: 0

    ж) \( \log_<5x-2>2+2\log_<5x-2>x=\log_<5x-2>(x+1) \)
    ОДЗ: \( \begin x\gt 0\\ x+1\gt 0\\ 5x-2\gt 0\\ 5x-2\ne 1 \end \Rightarrow \begin x\gt 0\\ x\gt -1\\ x\gt\frac25\\ x\ne\frac35 \end \Rightarrow \begin x\gt\frac25\\ x\ne\frac35 \end \)
    Преобразуем: \(\log_<5x-2>2+2\log_<5x-2>x=\log_<5x-2>(2x^2)\)
    Подставляем: \(\log_<5x-2>(2x^2)=\log_<5x-2>(x+1)\)
    \( 2x^2=x+1\Rightarrow 2x^2-x-1=0\Rightarrow (2x+1)(x-1)=0 \Rightarrow \left[ \begin x_1=-\frac12 — \text<не подходит>\\ x_2=1 \end \right. \)
    Ответ: 1

    Пример 2*. Решите уравнения:
    a) \( \log_4\log_2\log_3(2x-1)=\frac12 \)
    ОДЗ: \( \begin 2x-1\gt 0\\ \log_3(2x-1)\gt 0\\ \log_2\log_3(2x-1)\gt 0 \end \Rightarrow \begin x\gt\frac12\\ 2x-1\gt 3^0\\ \log_3(2x-1)\gt 2^0 \end \Rightarrow \begin x\gt\frac12\\ x\gt 1\\ 2x-1\gt 3^1 \end \Rightarrow \)
    \( \Rightarrow \begin x\gt\frac12\\ x\gt 1\\ x\gt 2 \end \Rightarrow x\gt 2 \)
    Решаем:
    \(\log_2\log_3(2x-1)=4^<1/2>=2\)
    \(\log_3(2x-1)=2^2=4\)
    \(2x-1=3^4=81\)
    \(2x=82\)
    \(x=41\)
    Ответ: 41

    б) \( \log_2(9-2^x)=25^<\log_5\sqrt<3-x>> \)
    ОДЗ: \( \begin 9-2x\gt 0\\ 3-x\gt 0 \end \Rightarrow \begin 2^x\lt 9\\ x\lt 3 \end \Rightarrow \begin x\lt\log_2 9\\ x\lt 3 \end \Rightarrow x\lt 3 \)
    Преобразуем: \(25^<\log_5\sqrt<3-x>>=25^<\log_<5^2>(\sqrt<3-x>)^2>=25^<\log_<25>(3-x)>=3-x\)
    Подставляем: \(\log_2(9-2^x)=3-x\)
    \(9-2^x=2^<3-x>\)
    \(9-2^x-\frac<8><2^x>=0\)
    Замена: \(t=2^x\gt 0\)
    \( 9-t-\frac8t=0\Rightarrow \frac<-t^2+9t-8>=0\Rightarrow \begin t^2-9t+8\gt 0\\ t\ne 0 \end \Rightarrow \begin (t-1)(t-8)=0\\ t\ne 0 \end \Rightarrow \left[ \begin t_1=1\\ t_2=8 \end \right. \)
    Возвращаемся к исходной переменной:
    \( \left[ \begin 2^x=1\\ 2^x=8 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin 2^x=2^0\\ 2^x=2^3 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x_1=0\\ x_2=3 \end \right. \)
    По ОДЗ \(x\lt 3\), второй корень не подходит.
    Ответ: 0

    в) \( \lg\sqrt+\lg\sqrt<2x-3>+1=\lg 30 \)
    ОДЗ: \( \begin x-5\gt 0\\ 2x-3\gt 0 \end \Rightarrow \begin x\gt 5\\ x\gt\frac32 \end \Rightarrow x\gt 5 \)
    Преобразуем: \(\lg 30-1=\lg 30-\lg 10=\lg\frac<30><10>=\lg 3\)
    Подставляем: \(\lg\sqrt+\lg\sqrt<2x-3>=\lg 3\)
    \(\frac12\lg(x-5)+\frac12\lg(2x-3)=\lg 3\ |\cdot 2\)
    \(\lg(x-4)+\lg(2x-3)=2\lg 3\)
    \(\lg\left((x-5)(2x-3)\right)=\lg 3^2\)
    \((x-5)(2x-3)=9\Rightarrow 2x^2-13x+15-9=0 \Rightarrow 2x^2-13x+6=0\)
    \( (2x-1)(x-6)=0\Rightarrow \left[ \begin x_1=\frac12\lt 5 — \ \text<не подходит>\\ x_2=6 \end \right. \)
    Ответ: 6

    г) \( \frac<1><\lg x>+\frac<1><\lg 10x>+\frac<3><\lg 100x>=0 \)
    ОДЗ: \( \begin x\gt 0\\ \lg x\ne 0\\ \lg 10x\ne 0\\ \lg 100x\ne 0 \end \Rightarrow \begin x\gt 0\\ x\ne 1\\ 10x\ne 1\\ 100x\ne 1 \end \Rightarrow \begin x\gt 0\\ x\ne\left\<\frac<1><100>;\frac<1><10>;1\right\> \end \)
    Преобразуем: \(\lg 10x=\lg 10+\lg x=1+\lg 10\)
    \(\lg 100x=\lg 100+\lg x=2+\lg x\)
    Подставляем: \(\frac<1><\lg x>+\frac<1><1+\lg x>+\frac<3><2+\lg x>=0\)
    Замена: \(t=\lg x\)
    \begin \frac1t+\frac<1><1+t>+\frac<3><2+t>=0\Rightarrow \frac1t+\frac<1><1+t>=-\frac<3><2+t>\Rightarrow \frac<1+t+t>=-\frac<3><2+t>\Rightarrow (1+2t)(2+t)=(1+t)\\ 2_5t+2t^2=-3t-3t^2\Rightarrow 5t^2+8t+2=0\\ D=8^2-4\cdot 5\cdot 2=24,\ \ t=\frac<-8\pm 2\sqrt<6>><10>=\frac<-4\pm \sqrt<6>> <5>\end Возвращаемся к исходной переменной:
    $$ \left[ \begin \lg x=\frac<-4- \sqrt<6>><5>\\ \lg x=\frac<-4+ \sqrt<6>> <5>\end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=10\frac<-4- \sqrt<6>><5>\\ x=10\frac<-4+ \sqrt<6>> <5>\end \right. $$ Оба корня подходят.
    Ответ: \(\left\<10\frac<-4\pm\sqrt<6>><5>\right\>\)

    e) \( x^<\frac<\lg x+7><4>>=10^ <\lg x+1>\)
    ОДЗ: \(x\gt 0\)
    Замена: \(t=\lg x.\) Тогда \(x=10^t\)
    Подставляем: \begin (10^t)^<\frac<4>>=10^\\ \frac<4>=t+1\Rightarrow t(t+7)=4(t+1)\Rightarrow t^2+7t-4t-4=0\\ t^2+3t-4=0\Rightarrow (t+4)(t-1)=0\Rightarrow \left[ \begin t_1=-4\\ t_2=1 \end \right. \end Возвращаемся к исходной переменной:
    $$ \left[ \begin \lg x=-4\\ \lg x=1 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=10^<-4>\\ x=10 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x_1=0,0001\\ x_2=10 \end \right. $$ Оба корня подходят.
    Ответ: \(\left\<0,0001;\ 10\right\>\)

    ж) \( 4^<\log_3(1-x)>=(2x^2+2x+5)^ <\log_3 2>\)
    ОДЗ: \( \begin 1-x\gt 0\\ 2x^2+2x+5\gt 0 \end \Rightarrow \begin x\lt 1\\ D\lt 0,\ x\in\mathbb \end \Rightarrow x\lt 1 \)
    По условию: \begin \log_3(1-x)=\log_4\left((2x^2+2x+5)^<\log_32>\right)\\ \log_3(1-x)=\log_32\cdot\log_4(2x^2+2x+5) \end Перейдем к другому основанию: $$ \frac<\lg(1-x)><\lg 3>=\frac<\lg 2><\lg 3>\cdot\frac<\lg(2x^2+2x+5)><\lg 4>\ |\cdot\ \lg 3 $$ \(\frac<\lg 2><\lg 4>=\frac<\lg 2><\lg 2^2>=\frac<\lg 2><2\lg 2>=\frac12\) \begin \lg(1-x)=\frac12\cdot\lg(2x^2+2x+5)\ |\cdot 2\\ 2\lg(1-x)=\lg(2x^2+2x+5)\\ \lg(1-x)^2=\lg(2x^2+2x+5)\\ (1-x)^2=2x^2+2x+5\\ 1-2x+x^2=2x^2+2x+5\\ x^2+4x+4=0\\ (x+2)^2=0\\ x=-2 \end Ответ: -2

    Пример 3. Решите систему уравнений:
    a) \( \begin \lg x+\lg y=\lg 2\\ x^2+y^2=5 \end \)
    ОДЗ: \( \begin x\gt 0\\ y\gt 0 \end \)
    Из первого уравнения: \(\lg(xy)=\lg 2\Rightarrow xy=2\)
    Получаем: \( \begin xy=2\\ x^2+y^2=5 \end \Rightarrow \begin y=\frac2x\\ x^2+\left(\frac2x\right)^2-5=0 \end \)
    Решаем биквадратное уравнение: \begin x^2+\frac<4>-5=0\Rightarrow\frac=0\Rightarrow \begin x^4-5x^2+4=0\\ x\ne 0 \end \\ (x^2-4)(x^2-1)=0\Rightarrow \left[ \begin x^2=4\\ x^2=1 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=\pm 2\\ x=\pm 1 \end \right. \end Согласно ОДЗ, оставляем только положительные корни.
    Получаем две пары решений: \( \left[ \begin \begin x=1\\ y=\frac2x=2 \end \\ \begin x=2\\ y=\frac22=1 \end \end \right. \)
    Ответ: \(\left\<(1;2),(2,1)\right\>\)

    б) \( \begin x^=27\\ x^<2y-5>=\frac13 \end \)
    ОДЗ: \(x\gt 0,\ x\ne 1\)
    Логарифмируем: \( \begin y+1=\log_x27=\log_x3^3=3\log_x3\\ 2y-5=\log_x\frac13=\log_x3^<-1>=-\log_x3 \end \)
    Замена: \(z=\log_x3\) \begin \begin y+1=3z\\ 2y-5=-z\ |\cdot 3 \end \Rightarrow \begin y+1=3z\\ 6y-15=-3z \end \Rightarrow \begin 7y-14=0\\ z=5-2y \end \Rightarrow \begin y=2\\ z=1 \end \end Возвращаемся к исходной переменной: $$ \begin y=2\\ \log_x3=1 \end \Rightarrow \begin x^1=3\\ y=2 \end \Rightarrow \begin x=3\\ y=2 \end $$
    Ответ: (3;2)

    в*) \( \begin 3(\log_y x-\log_x y)=8\\ xy=16 \end \)
    ОДЗ: \( \begin x\gt 0,\ x\ne 1\\ y\gt 0,\ y\ne 1 \end \)
    Сделаем замену \(t=\log_x y\). Тогда \(\log_y x=\frac<1><\log_x y>=\frac1t\)
    Подставим в первое уравнение и решим его: \begin 3\left(\frac1t-t\right)=8\Rightarrow\frac<1-t^2>=\frac83\Rightarrow \begin 3(1-t^2)=8t\\ t\ne 0 \end\\ 3t^2+8t-3=0\Rightarrow (3t-1)(t+3)=0\Rightarrow \left[ \begin t_1=\frac13\\ t_2=-3 \end \right. \end Прологарифмируем второе уравнение по \(x\): $$ \log_x(xy)=\log_x16\Rightarrow 1+\log_x y=\log_x16\Rightarrow 1+t=\log_x 16 $$ Получаем: \begin \left[ \begin \begin t=\frac13\\ \log_x16=1+t=\frac43 \end \\ \begin t=-3\\ \log_x16=1+t=-2 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin t=\frac13\\ x^<\frac43>=16 \end \\ \begin t=-3\\ x^<-2>=16 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin t=\frac13\\ x=(2^4)^<\frac34>=2^3=8 \end \\ \begin t=-3\\ x=(16)^<-\frac12>=\frac14 \end \end \right. \end Возвращаемся к исходной переменной: \begin \left[ \begin \begin x=8\\ \log_x y=\frac13 \end \\ \begin x=\frac14\\ \log_x y=-3 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin x=8\\ y=8^<\frac13>=2 \end \\ \begin x=\frac14\\ y=\left(\frac14\right)^<-3>=64 \end \end \right. \end
    Ответ: \(\left\<(8;2),\left(\frac14; 64\right)\right\>\)

    г*) \( \begin (x+y)\cdot 3^=\frac<5><27>\\ 3\log_5(x+y)=x-y \end \)
    ОДЗ: \(x+y\gt 0\)
    Прологарифмируем первое уравнение по 3: \begin \log_3\left((x+y)\cdot 3^\right)=\log_3\frac<5><27>\\ \log_3(x+y)+(y-x)=\log_3\frac<5><27>\\ \log_3(x+y)-\log_3\frac<5><27>=x-y \end Получаем:\(x-y=3\log_5(x+y)=\log_3(x+y)-\log_3\frac<5><27>\)
    Решим последнее уравнение относительно \(t=x+y\) \begin 3\log_5 t=\log_3 t-\log_3\frac<5><27>\\ 3\cdot\frac<\log_3t><\log_35>-\log_3t=-\log_3\frac<5><27>\\ \log_3t\cdot\left(\frac<3><\log_35>-1\right)=-\log_3\frac<5><27>\\ \log_3t=-\frac<\log_3\frac<5><27>><\frac<3><\log_35>-1>=-\frac<(\log_35-3)\log_35><3-\log_35>=\log_35\\ t=5 \end Тогда: \(x-y=3\log_5t=3\log_55=3\)
    Получаем систему линейных уравнений: \begin \begin x+y=5\\ x-y=3 \end \Rightarrow \begin 2x=5+3\\ 2y=5-3 \end \Rightarrow \begin x=4\\ y=1 \end \end Требование ОДЗ \(x+y=4+1\gt 0\) выполняется.
    Ответ: (4;1)


    источники:

    http://bstudy.net/902537/tehnika/logarifmicheskoe_uravnenie_regressii

    http://reshator.com/sprav/algebra/10-11-klass/logarifmicheskie-uravneniya-i-sistemy/