5 два этапа решения нелинейного уравнения какие задачи ставятся на первом и втором этапах

Электронная библиотека

Приближенное решение уравнения состоит из двух этапов:

1) отделения корней, то есть нахождения интервалов из области определения функции f(x), в каждом из которых содержится только один корень уравнения (3.1).

2) уточнения корней до заданной точности.

Отделение корней можно проводить графически и аналитически. Для того чтобы графически отделить корни уравнения (3.1), необходимо построить график функции y = f(x). Абсциссы точек его пересечения с осью Ox являются действительными корнями уравнения (рис. 3.1).

На практике же бывает удобнее заменить уравнение (3.1) равносильным ему уравнением:

где , – более простые функции, чем f(x).

Абсциссы точек пересечения графиков функций и дают корни уравнения (3.2), а значит и исходного уравнения (3.1) (рис. 3.2).

Аналитическое отделение корней основано на следующих теоремах:

Теорема 1. Если непрерывная функция y = f(x) принимает на концах отрезка значения разных знаков, т.е. , то на этом отрезке содержится, по крайней мере, один корень уравнения (3.1) (рис. 3.3).

Теорема 2. Если непрерывная на отрезке функция y = f(x) принимает на концах отрезка значения разных знаков, а производная сохраняет знак внутри отрезка , то внутри отрезка существует единственный корень уравнения (рис. 3.4):

Уточнение корней до заданной точности заключается в сужении интервала изоляции корня и выполняется одним из специальных методов. Наиболее распространенными являются методы: деления отрезка пополам; касательных (Ньютона); секущих (хорд).

Срочно?
Закажи у профессионала, через форму заявки
8 (800) 100-77-13 с 7.00 до 22.00

Этапы приближенного решения нелинейных уравнений.

Численные методы решения нелинейных уравнений.

Постановка задачи.

Пусть имеется уравнение вида

где f (x) — заданная алгебраическая или трансцендентная функция. (Функция называется алгебраической, если для получения её значения нужно выполнить арифметические операции и возведение в степень с рациональным показателем. Примеры трансцендентных функций — показательная, логарифмическая, тригонометрические, обратные тригонометрические.)

Решить уравнение — значит найти все его корни, то есть те значения x, которые обращают уравнение в тождество, или доказать, что корней нет.

Если алгебраическое или трансцендентное уравнение достаточно сложно, то довольно редко удается точно найти его корни. Кроме того, в некоторых случаях уравнение может содержать коэффициенты, известные лишь приблизительно, поэтому сама задача о точном нахождении корней теряет смысл. В таких случаях применяют численные (приближенные) методы решения.

Поставим задачу найти такое приближенное значение корня xпр, которое мало отличается от точного значения корня x*, так что выполняется неравенство │x*xпр

На практике же бывает удобнее заменить уравнение (1) равносильным ему уравнением

, (2)

где и — более простые функции, чем . Абсциссы точек пересечения графиков функций и дают корни уравнения (2), а значит и исходного уравнения (1) (рис.2).

Рис 2. Графическое отделение корней (2-ой способ).

Пример 1. Отделить графически корень уравнения .

Решение. Для решения задачи построим график функции (рис. 3).

Рис. 3. График функции .

Из рисунка видно, что один из корней уравнения принадлежит отрезку , второй – отрезку . Так как рассматриваемое уравнение имеет третью степень, то должен существовать еще один корень на интервале .

Пример 2. Отделить графически корень уравнения .

Решение. Преобразуем уравнение к виду и построим графики функций и (рис. 4).

Рис. 4. Графическое отделение корней.

Из рисунка видно, что абсцисса точки пересечения этих графиков принадлежит отрезку .

Аналитическое отделение корней основано на следующих теоремах.

Теорема 1. Если непрерывная функция принимает на концах отрезка значения разных знаков, т.е. , то на этом отрезке содержится по крайней мере один корень уравнения (1) (рис. 5).

Рис. 5. Существование корня на отрезке.

Теорема 2. Если непрерывная на отрезке функция принимает на концах отрезка значения разных знаков, а производная сохраняет знак внутри отрезка , то внутри отрезка существует единственный корень уравнения f (x) = 0 (рис. 6).

Рис. 6. Существование единственного корня на отрезке.

Пример 3. Подтвердить аналитически правильность нахождения отрезка изоляции корня уравнения .

Решение. Для отрезка имеем: ; Значит, . Следовательно, корень отделён правильно.

Уточнение корней до заданной точности заключается в сужении интервала изоляции корня и выполняется одним из специальных методов. Наиболее распространенными являются метод деления отрезка пополам, метод касательных (Ньютона), метод секущих (хорд).

Последовательность действий

Лабораторная работа №4

Тема. Приближенные методы решения нелинейных уравнений

Задание.

Решить нелинейное уравнение с заданной точностью e ,

двумя приближёнными (итерационными) методами:

1. методом половинного деления (все студенты)

2. методом, выбранным в соответствии с вариантом.

Вид уравнения и метод выбрать в соответствии с вариантом (приложение 1).

Порядок выполнения

1. Первый этап – этап локализация корней

· Определите область допустимых значений (ОДЗ) функции y=f(x).

· Определите количество действительных корней уравнения (1.1) и их расположение. Для этого протабулируйте функцию y=f(x) на достаточно большом отрезке [а, b] из ОДЗ с шагом h=(b-a)/10 и постройте её график (рис.1.1).

· Выделите отрезки, на которых существует единственный корень, используя теорему из математического анализа.

Теорема 1. Уравнения (1.1) имеет единственный корень в интервале x * Î (а, b), если функция у=f(x) удовлетворяет на отрезке xÎ [a, b] следующим условиям:

1. функция непрерывна,

2. f(a) f(b) ’ (x) сохраняет знак на этом отрезке.

· Определите нулевое приближение (нулевую итерацию) х0 для метода хорд и метода касательных.

· Протабулируйте функцию на отрезке, на котором существует единственный корень, и постройте ее график.

2. Второй этап – этап уточнения корня (этап построения итерационного процесса) до заданной точности

Для построения итерационного процесса используйте одну из приведенных ниже расчетных схем в зависимости от метода решения нелинейного уравнения (рис. 1.2, 1.3 и 1.4).

Рис.1.2 Расчетная схема метода половинного деления

Для формирования концов сужающегося отрезка [a, b] в методе половинного деления рекомендуется использовать логическую функцию Excel ЕСЛИ.

Рис.1.3. Расчетная схема метода хорд

Рис.1.4. Расчетная схема метода касательных

3. Условное форматирование

Условное форматированиеэто форматирование выделенных ячеек на основе некоторого критерия, в результате чего произойдет цветовое оформление ячеек, содержимое которых удовлетворяет заданному условию.

Чтобы сделать наглядным окончание итерационного процесса, воспользуйтесь Условным форматированием. Для этого выполните следующие действия:

· выделите ячейки последнего столбца расчетной схемы, где будет задаваться критерий окончания итерационного процесса (рис. 1.2, или 1.3, или 1.4);

· на вкладке Главная выберите панель Стили и нажмите кнопку Условное форматирование;

· в появившемся меню (рис.1.5) выберите пункт Правила выделения ячеек, а в подменю – пункт Меньше;

Рис.1.5. Установка параметров условного форматирования

· в левой части открывшегося диалогового окна Меньше (рис.1.6) задайте значение, которое будет использовано в качестве критерия (в нашем примере это адрес ячейки Е4 для всех трех расчетных схем, где находится значение точности ε).

· в выпадающем списке правой части окна выберите цвет, которым будут окрашены ячейки, отвечающие заданному условию; и нажмите кнопку ОК.

Рис.1.6. Диалоговое окно условного форматирования

В результате условного форматирования наглядно видно (рис.1.2, 1.3 и 1.4)., что решением нелинейного уравнения (1.1) с точностью e=0,01 является:

Приближенное значение корняНомер итерацииМетод
Х * ≈1,763n=3касательных
Х * ≈1,759n=3хорд
Х * ≈1,758n=8половин.деления

4. Исследовательская часть (численный эксперимент)

· Постройте таблицу и диаграмму зависимости количества итераций от заданной точности n=n(e) для e=0.1; 0.01; 0.001; 0.0001.

· Проанализируйте полученные результаты, сделайте соответствующие выводы.

5. Контрольный пример

Решите ваше нелинейное уравнение, используя надстройку Подбор параметра.

Последовательность действий

1. Подготовьте таблицу, как показано на рис.1.7. В ячейку А3 введите некоторое значение х0 из ОДЗ функции y=f(x). Это будет начальным приближением для итерационного метода, реализуемого приложением Подбор параметра. Ячейка В3 является изменяемой ячейкой в процессе работы надстройки. Введите в нее это же значение х0, а в ячейке С3 вычислите значение f(xn) для этого приближения.

2. Выберите вкладку Данные, на панели Работа с данными нажмите кнопку Анализ «что-если» и в открывшемся подменю выберите пункт Подбор параметра.

Рис.1.8. Окно «Подбор параметра»

3. В появившемся окне «Подбор параметра»сделайте установки, как показано на рис.1.8 и нажмите кнопку ОК.

Если все было проделано правильно, то в ячейке В3 (рис.1.7) будет получено приближенное значение корня нашего уравнения.

Проделайте все эти операции ещё раз с другим значением начального приближения х0., для определения других корней уравнения (если они имеются).

1. Какое уравнение называется нелинейным. Пример нелинейного уравнения.

2. Что является решением нелинейного уравнения.

3. Геометрическая интерпретация решения нелинейного уравнения.

4. Методы решения нелинейного уравнения (прямые и итерационные), в чем разница.

5. Два этапа решения нелинейного уравнения. Какие задачи ставятся на первом и втором этапах.

6. Табулирование функции, сеточная функция, шаг табулирования.

7. Построение итерационной последовательности. Понятие сходимости итерационной последовательности. Нахождение приближенного значения корня нелинейного уравнения с заданной точностью ε.

8. Критерии окончания итерационного процесса. Геометрический смысл критериев.

9. Метод половинного деления. Суть метода (см. вопросы 6,7).

10. Метод Ньютона (касательных). Как выбирается нулевое приближение (нулевая итерация). Суть метода (см. вопросы 6, 7).

11. Метод хорд. Как выбирается нулевое приближение (нулевая итерация). Суть метода (см. вопросы 6, 7).


источники:

http://lektsii.org/12-21402.html

http://poisk-ru.ru/s57056t18.html