5 какой вид имеют векторные уравнения напряжений и токов нагруженного трансформатора и почему

Уравнения напряжений трансформатора

Рабочий процесс трансформатора можно исследовать на основе уравнений напряжений его обмоток.

Уравнения напряжения в дифференциальной форме

Емкостные токи между элементами обмоток (витки и катушки) и между обмотками и магнитопроводом трансформатора в обычных условиях работы трансформаторов (f 0 и положительные токи i1 и i2 создают в магнитопроводе потоки одинакового направления.

Отметим, что в правой части второго уравнения (1) можно было бы изменить знаки на обратные. Тогда u2 следовало бы трактовать как напряжение, приложенное к вторичной обмотке со стороны вторичной сети. Некоторые, в особенности иностранные, авторы применяют также и эту последнюю форму записи.

Уравнения напряжения для синусоидально изменяющихся токов и напряжений в комплексной форме

Обычно силовые трансформаторы, а также ряд видов специальных трансформаторов работают с синусоидально изменяющимися токами и напряжениями. В этом случае вместо дифференциальных уравнений (1) удобнее пользоваться комплексными уравнениями для действующих значений токов и напряжений. Для получения этих уравнений в уравнения (1) следует подставить

и после дифференцирования сократить уравнения на множитель √2 × e jωt . Тогда будем иметь

U1 = r1 × I1 + jx11 × I1 + jx12 × I2 ;
U2 = r2 × I2 + jx22 × I2 + jx12 × I1 ,
(2)
x11 = ω × L11; x22 = ω × L22; x12 = ω × M(3)

представляют собой полные собственные и взаимные индуктивные сопротивления обмоток.

При симметричной нагрузке трехфазных трансформаторов электромагнитные процессы протекают во всех фазах одинаково и соответствующие электромагнитные величины в каждой фазе также одинаковы и лишь сдвинуты по фазе на 120°. Некоторая несимметрия магнитной цепи трехстержневого трансформатора, а также появление в ряде случаев третьих гармоник потока (смотрите статью «Явления, возникающие при намагничивании магнитопроводов трансформаторов») обычно не оказывают заметного влияния на работу трансформатора под нагрузкой. К тому же эти явления при необходимости можно учесть отдельно. По этим причинам уравнения (2) с большой точностью применимы также для фазных величин трехфазного трансформатора при симметричной его нагрузке. Система уравнений (2) не учитывает лишь потерь в стали магнитопровода трансформатора. Учет этих потерь рассмотрен в отдельных статьях.

Для трехфазного трансформатора в соответствии со сказанным выше U1, U2, I1 и I2 представляют собой фазные значения напряжений и токов.

Уравнения (1) и (2) полностью определяют процессы, происходящие в трансформаторе при указанных выше допущениях, и позволяют решать задачи, связанные с работой трансформатора. Например, если определить из первого уравнения (2) I1 и подставить его значение во второе уравнение (2), то получим зависимость вторичного напряжения U2 от тока нагрузки I2:

(4)

Первый член правой части выражения (4) определяет величину U2 = U20 при холостом ходе, то есть при I2 = 0:

(5)

а второй член – падение напряжения на вторичных зажимах при нагрузке.

Из уравнения (4) можно найти также значение вторичного тока короткого замыкания I2 = I, когда вторичная обмотка замкнута накоротко и U2 = 0:

(6)

Соображения о точности результатов вычислений на основе представленных уравнений напряжения

Однако на практике расчеты по формулам, получаемым непосредственно из уравнений (1) и (2), и в частности по формулам (4) и (6), не могут быть выполнены с необходимой точностью. Причина этого заключается в том, что входящий в (4) и (6) множитель

представляет собой разность двух весьма близких величин. В этом можно убедиться, если пренебречь весьма малыми по сравнению с x11 и x22 величинами r1 и r2. Тогда вместо приведенной выше формы этого множителя получим

(7)

то есть значение коэффициента рассеяния согласно равенству (12), в статье «Индуктивности обмоток трансформатора и электромагнитное рассеяние». Но как уже указывалось выше, определение σ по расчетным или опытным значениям M, L11 и L22 связано с большой погрешностью.

Таким образом, если положить r1 = r2 = 0, то вместо (4) и (6) получим соответственно

Из этих соотношений видно, что такие важные с эксплуатационной точки зрения величины, как падение напряжения и ток короткого замыкания, определяются небольшой долей σ полного индуктивного сопротивления x22, обусловленной электромагнитным рассеянием. Это же можно сказать и о ряде других величин, характеризующих эксплуатационные свойства трансформаторов и вращающихся электрических машин. Поэтому определение величин, характеризующих электромагнитное рассеяние, составляет важную задачу теории электрических машин.

В связи с изложенным теорию электрических машин в отношении рассматриваемых вопросов целесообразно развивать в следующих тесно связанных друг с другом направлениях:
1. Индуктивно связанные обмотки приводятся путем соответствующих пересчетов к одинаковому числу витков, в результате чего порядки напряжений, токов и параметров этих обмоток становятся соответственно одинаковыми.
2. Из полных собственных индуктивностей L11, L22 и индуктивных сопротивлений самоиндукции x11 и x22 выделяются составляющие – индуктивности рассеяния S1, S2 и индуктивные сопротивления рассеяния x1 и x2, обусловленные явлением электромагнитного рассеяния, причем это выделение производится с таким расчетом, что остающиеся части полных индуктивностей (L11S1, L22S2) и индуктивных сопротивлений (x11x1, x22x2) соответствуют индуктивно связанным цепям с полной связью (c = 1).
3. Разрабатываются непосредственные методы расчета малых параметров – индуктивностей и индуктивных сопротивлений рассеяния – независимо от расчета полных индуктивностей и индуктивных сопротивлений, чем достигается необходимая точность в определении этих малых параметров.
4. От электрических цепей с индуктивной связью делается переход к схемам замещения с электрической связью цепей, что приводит к упрощению расчетов и большей наглядности теории.
5. Индуктивности и индуктивные сопротивления рассеяния вводятся в явном виде в расчетные соотношения и схемы замещения, что позволяет с необходимой точностью рассчитывать величины, зависящие от электромагнитного рассеяния.

Эти вопросы применительно к трансформаторам рассматриваются в следующих статьях.

Источник: Вольдек А. И., «Электрические машины. Учебник для технических учебных заведений» – 3-е издание, переработанное – Ленинград: Энергия, 1978 – 832с.

Основные уравнения трансформатора

Можно предположить, что результирующий переменный магнитный поток Ф в магнитопроводе трансформатора является синусоидальной функцией времени.

Тогда мгновенное значение ЭДС, наводимой им в первичной обмотке, равно:

По аналогии для вторичной обмотки

Таким образом, ЭДС е и е2 отстают по фазе от результирующего потока Ф на угол .

Действующие значения ЭДС

Отношение ЭДС обмоток ВН и НН называют коэффициентом трансформации:

Токи /, и /2 в обмотках трансформатора кроме результирующего магнитного потока Ф создают магнитные потоки рассеяния Ф^, и Фа2 (рис. 1.4). Каждый из этих потоков сцеплен с витками лишь собственной обмотки и индуктирует в ней ЭДС рассеяния.

Действующие значения ЭДС рассеяния пропорциональны токам в соответствующих обмотках

где ха1а2 индуктивные сопротивления рассеяния первичной и вторичной обмоток соответственно. Знак минус в этих выражениях свидетельствует о реактивности ЭДС рассеяния.

Для первичной обмотки трансформатора, включенной в сеть на напряжение С/,, с учетом падения напряжения в ее активном сопротивлении 1, уравнение напряжения имеет следующий вид:

В силовом трансформаторе индуктивное и активное падения напряжения невелики, поэтому можно считать, что

Для вторичной обмотки трансформатора падение напряжения на нагрузке равно напряжению на клеммах вторичной обмотки, и уравнение напряжения имеет следующий вид:

где г2 активное сопротивление вторичной обмотки.

Если трансформатор работает при первичной обмотке, включенной на напряжение (/,, и разомкнутой вторичной обмотке, то режим работы называется холостым ходом. Ток в первичной обмотке при этих условиях называют током холостого хода.

Магнитодвижущая сила (МДС) /0 • , созданная этим током, наводит в магнитопроводе трансформатора магнитный поток с амплитудой

где /?м — магнитное сопротивление магнитопровода.

При замкнутой вторичной обмотке на нагрузку Zн в ней возникает ток /2, а в первичной обмотке ток увеличивается до значения /,. Теперь магнитный поток в магнитопроводе создастся действиями двух МДС /, • и /2 • н>2.

Таким образом, можно считать, что значение результирующего магнитного потока при неизменном напряжении ?/, практически не зависит от нагрузки трансформатора, если ее величина не превышает номинальную. Принятое положение позволяет получить уравнение МДС трансформатора

и уравнение токов трансформатора

где — ток вторичной обмотки, приведенный к числу витков

Уравнения и векторная диаграмма приведенного трансформатора

По схеме реального приведенного трансформатора (см. рис. 20.5) можно составить систему уравнений по законам Кирхгофа. Однако для упрощения уравнений потокообразующую ветвь заменяют источником ЭДС, наводимой в первичной обмотке и равной приведенной ЭДС вторичной обмотки х = Е2). В этом случае схема приведенного нагруженного трансформатора приобретает вид, показанный на рис. 20.8.

Для схемы на рис. 20.8 можно составить следующую систему уравнений:

Рис. 20.8. Схема приведенного нагруженного трансформатора

По этим уравнениям можно построить векторную диаграмму. Порядок составления векторной диаграммы (рис. 20.9) следующий:

  • 1) отложить вектор магнитного потока Ф по действительной оси. То есть магнитный поток принимается за опорный сигнал, относительно которого будут определяться фазовые сдвиги напряжений и токов;
  • 2) ток /о в потокообразующей ветви должен совпадать по фазе с вектором Ф, но из-за потерь энергии в магнитопроводе (Rq и15() рис. 20.8) возникает фазовый сдвиг 8, который называют углом

стальных потерь, 8 = arctg—

3) вектор ЭДС Е< сдвинут по фазе относительно вектора Ф

d Rq’,Xs «с Xs . Схема приведенного трансформатора в режиме холостого хода имеет вид, показанный на рис. 20.10, а.

Рис. 20.10. Схема приведенного трансформатора: а — в режиме холостого хода; б в режиме короткого замыкания

Активная мощность, рассеиваемая в трансформаторе в режиме холостого хода, определяется по формуле -^lxx “ Лхх Rq, следоватльно,

_ /J2CX _ = 500 Ом.

Определим модуль входного сопротивления цепи (см. рис. 20.10, а):

откудаXSo = y]zln — Ло [2] = VllOO [2] -500 [2] = 979,8.

В режиме короткого замыкания (рис. 20.10, б) ZH = 0, напряжение на вторичной обмотке равно нулю, а потерями в стали можно пренебречь. Активная мощность, рассеиваемая в трансформаторе в режиме холостого хода: Р1кз = I[l3(Ra^ + R’a2), следовательно, Ra] + R’ai =

= —= — = 1,67 Ом. Так как у приведенного трансформатора число Л кз 3

витков первичной обмотки равно приведенному числу витков вто-

В режиме холостого хода напряжение на первичной обмотке трансформатора равно приведенному напряжению на вторичной:

где п — коэффициент трансформации, при этом п = —Определим

коэффициент трансформации п = —— =-= 10 и число витков


источники:

http://studme.org/296415/tehnika/osnovnye_uravneniya_transformatora

http://studref.com/657685/prochie/uravneniya_vektornaya_diagramma_privedennogo_transformatora