530 напишите уравнения катеноида который получается при вращении цепной линии 0 вокруг оси oz

VMath

Инструменты сайта

Основное

Навигация

Информация

Действия

Содержание

Линейчатые поверхности. Поверхности вращения

Краткие теоретические сведения

Поверхность, допускающая параметризацию вида: \begin \vec=\vec<\rho>(u)+v\vec<\mu>(u), \end где $\vec<\rho>$, $\vec<\mu>$ — гладкие вектор-функции, называется линейчатой. $u=\mbox$ называется образующей (образующая имеет направляющий вектор $\vec<\mu>(u)$), $\vec<\rho>=\vec<\rho>(u)$ называется направляющей.

Линейчатая поверхность — поверхность, описанная движением прямой, называемой образующей, пересекающей при движении некоторую кривую, называемую направляющей поверхности.

Рассмотрим два вида линейчатой поверхности — цилиндрическая и коническая.

Цилиндрическая поверхность:
Направляющая: $\vec<\rho>=\vec<\rho>(u)$,
Образующая: постоянный единичный вектор $\vec<\mu>=\vec$. \begin \vec=\vec<\rho>(u)+v\vec. \end

Коническая поверхность:
Вершина в точке $M(\vec<\rho>_0)$,
Направляющая: $\vec<\rho>=\vec<\rho>(u)$,
Образующая: $\vec<\mu>=\vec<\rho>(u)-\vec<\rho>_0$. \begin \vec=\vec<\rho>_0+v(\vec<\rho>(u)-\vec<\rho>_0). \end

Описанные линейчатые поверхности являются развертывающимися, то есть их касательные плоскости остаются неизменными вдоль прямолинейной образующей.

Еще один пример развертывающейся поверхности — поверхность, образованная касательными к некоторой кривой.

Из сказанного выше следует, что совокупность всех касательных плоскостей развертывающейся линейчатой поверхности представляет собой однопараметрическое семейство, то есть развертывающаяся линейчатая поверхность является огибающей однопараметрического семейства плоскостей.

Поверхность вращения — поверхность, образованная при вращении некоторой кривой около оси. Линии пересечения поверхности с плоскостями, проходящими через ось вращения, называются \emph<меридианами>, а линии пересечения с плоскостями, перпендикулярными оси, называются \emph<параллелями>.

Уравнение поверхности вращения, которая образуется при вращении кривой \begin x=x(u), \,\, z=z(u), \,\, x\geqslant0 \end расположенной в плоскости $(xz)$, вокруг оси $Oz$: \begin x=x(u)\,\mbox\,v, \,\, y= x(u)\,\mbox\,v, \,\, z=z(u). \end

Решение задач

Задание 1 (Феденко 535)

Написать уравнение цилиндрической поверхности, для которой линия $\vec<\rho>=\vec<\rho>(u)$ является направляющей, а образующие параллельны вектору $\vec$. \begin \vec=\vec<\rho>(u)+v\vec. \end

Задание 2 (Феденко 536)

Напишите параметрические уравнения цилиндрической поверхности, образующие которой параллельны вектору $\vec=\<1,2,3\>$, а направляющая задана уравнениями: $x=u$, $y=u^2$, $z=u^3$.

Задание 3 (Феденко 534)

Напишите параметрические уравнения гиперболического и параболического цилиндров.

Для параболического цилиндра — самостоятельно.

Задание 4 (Феденко 541)

Задана точка $M(a,b,c)$ и линия $L$: \begin x=f(u), \,\, y=\varphi(u), \,\, z=\psi(u). \end Напишите в параметрическом и неявном виде уравнения конуса с вершиной в точке $M$ и с направляющей линией $L$.

Задание 5

Составьте параметрическое и неявное уравнения конуса, образуемого прямыми, проходящими через точку $M(1,1,1)$ и пересекающими эллипс: \begin x=a\,\mbox\,u, \,\, y=b\,\mbox\,u, \,\, z=0. \end

Задание 6 (Феденко 529)

Напишите уравнение тора, который получается при вращении окружности \begin x=a+b\,\mbox\,u, \,\, y=0 , \,\, z=b\,\mbox\,u \,\, (b

Катеноид

Катеноид — поверхность, полученная вращением цепной линии вокруг ее оси.

Рассмотрим катеноид, полученный вращением вокруг оси Oz цепной линии, заданной параметрическими уравнениями

Эта линия расположена в плоскости Oxz. В соответствии с параметрическим уравнением поверхности вращения находят параметрическое уравнение катеноида

Исключая из этих уравнений параметры u, v, получаем

Катеноид является единственной минимальной поверхностью среди поверхностей вращения. Минимальные поверхности возникли при решении следующей задачи: среди всех поверхностей, проходящих через данную замкнутую пространственную линию, найти ту, которая имеет минимальную площадь поверхности, ограниченной данной линией. Отсюда происходит и название такой поверхности. Бельгийский физик Плато предложил простой экспериментальный способ получения минимальных поверхностей посредством мыльных пленок, натянутых на проволочный каркас.

Катеноид обладает следующим свойством. Рассмотрим две окружности, полученные пересечением катеноида соответственно плоскостями z = — с, z = с. Любая поверхность, края которой совпадают с этими окружностями, имеет площадь большую, чем часть катеноида, расположенная между указанными окружностями. Мыльная пленка, соединяющая данные окружности под действием сил внутреннего натяжения, принимает ферму катеноида.

О других поверхностях второго порядка смотрите здесь.

4.4. Объемы и поверхности тел вращения

I. Объемы тел вращения. Предварительно изучите по учебнику Г. М. Фихтенгольца главу XII, п°п° 197, 198* Разберите подробно примеры, приведенные в п° 198.

508. Вычислить объем тела, образуемого вращением эллипса Вокруг оси Ох.

Решение. При вращении эллипса вокруг оси Ox образуется тело, называемое эллипсоидом вращении. Как известно, объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой у = f

Из уравнения эллипса видно, что большая его полуось равна 2, следовательно, . Разрешив уравнение

эллипса относительно , получим Объем

эллипсоида вращения равен:

509. Найти объем тора, образованного вращением круга

Вокруг оси Ox (рис. 18). Решение. Искомый объем тора равен разности объемов, полученных от вращения верхнего и нижнего полукругов. Так как для верхнего полукруга

, а для нижнего , то

Б10. Вычислить объем прямого конуса, высота которого h и радиус основания г, рассматривая конус как тело вращения прямоугольного треугольника около одного из катетов.

Решение. Выберем систему координат так, чтобы ось Ox совпала с высотой h (рис. 19), а вершину конуса

примем за начало координат. Тогда уравнение прямой OA

Следовательно, объем конуса

запишется так: будет равен:

511. Вычислить объемы тел, образованных вращением около осей Ox и Oy сегмента AOB параболы , от

секаемого хордой AFB, проходящей через фокус параболы перпендикулярно к оси Ox (рис. 20, а, б).

Решение I. Вычислим объем тела, получаемого при вращении сегмента AOB вокруг оси Ох, пользуясь формулой:

Найдем пределы интегрирования. Прямая AB параллельна оси Oy. Ее уравнение . Для того чтобы

найти точки пересечения этой прямой с параболой, решим совместно систему уравнений:

мя я AB проходит через фокус параболы, то координаты точки F будут Следовательно,

Получим точки . Так Kaw пря

2. Вычислим объем тела, получаемого при вращении сегмента AOB вокруг оси Oy. Учитывая симметрию сегмента относительно оси Oxi найдем сначала половину искомого объема. Она равна разности объемов тел, получаемых от вращения вокруг оси Oy прямоугольника OFBD и криволинейного тоеугольника OBD. Так как объем цилиндра равен , а объем Тела, полученного от вращения криволинейного треугольника OBD вокруг оси Oy, будет:

512. Фигура, ограниченная гиперболой И

то половина искомого объема равна:

Следовательно, весь искомый объем

прямыми , вращается вокруг оси

Ох. Найти объем тела вращения.

Решение. В результате вращения данной фигуры вокруг оси Ox образуются два тела вращения, имеющие равные объемы Тогда

Найдем объем V1 тела (рис. 21), сбразованного вращением площади, ограниченной правей ветвью гиперболы И прямей Пределы интегрирова

ния найдем из геометрических соображений:

513. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox одной полуволны синусоиды у = sin х.

514. Найти объем конуса, производимого вращением вокруг оси Ox части прямой _ , содержащейся между осями координат.

515. Криволинейная трапеция, ограниченная срерху параболой ,с боков—ординатами х = — I и х—\, снизу — осью Ох, вращается вокруг оси Ох. Найти объем полученного тела вращения.

516. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox площади, ограниченной цепной линией

, ординатами X = — а, х = а и осью Ох.

517. Прямой параболический сегмент, основание которого а, а высота R, вращается вокруг основания. Определить объем полученного тела вращения.

518. Найти объем цирка, осевое сечение которого — парабола. Высота цирка 30 м. Диаметр основания 50 м.

519. Найти объем тела, образованного вращением кривой Вокруг оси абсцисс.

520. Вычислить объем тела, полученного вращением

астроиды Вокруг оси Oy.

521. На кривой Взяты две точки А и В, абсциссы которых соответственно а = I и Ь = 2. Найти объем тела, полученного вращением криволинейной трапеции аАВЬ вокруг оси Ох.

522. Найти объем тела, производимого вращением площади, ограниченной дугой циклоиды ,

И осью Ox вокруг ее основания.

523. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси ординат дуги OM циклоиды ,

, ограниченной точками О (0, 0) и M (та*, 2а).

524. Найти объем тела, ограниченного поверхностью, полученной при вращении линии

вокруг оси абсцисс.

2. Площадь поверхности тела вращения. Предварительно изучите по учебнику Г. М. Фихтенгольца главу XII, п° 205. В теоретическом курсе показано, что площадь поверхности тела вращения определяется по формуле:

52$. Определить площадь поверхности параболоида, образованного вращением дуги параболы у2 = 2х вокруг оси Ox от х = 0 до х = 2.

Решение. В нашем случае . Поэтому

526. Найти площадь поверхности шара радиуса R. Решение. Поместим начало координат в центре шара. Будем рассматривать поверхность шара как поверхность, полученную в результате вращения полуокружности Вокруг оси Ох. Тогда площадь поверхности шара найдется по формуле:

527. Найти площадь поверхности эллипсоида, образованного вращением эллипса Вокруг оси Ох.

Решение. Из уравнения эллипса имеем:

Тогда . Так как полуось эллипса

Если кривая задана параметрически, то, заменяя переменную под знаком определенного интеграла, получим для площади поверхности следующую формулу:

528 Вычислить площадь поверхности, сбразованной вращением одной арки циклоиды

Вокруг оси Ox (см. рис. 13).

Тогда . Искомая по

Решение. Построим данную кривую. Найдем точки пересечения ее с осями координат.

нием петли кривой х = /2, у

(/2— 3) вокруг оси Ох.

При у — 0 находим t = 0 и t = ±>/ 3 . Следовательно, X1 = 0 и X2 -= 3* т. е. кривая пересекает ось Ox в двух точках О (0, 0) и А (3, 0).

При х = 0 находим / = 0, следовательно, у = 0. Мы получили ту же точку О (0, 0).

При люб dx вещественных значениях параметра / будут вещественны х и у Так как х — четная функция параметра /, у — нечетная функция параметра /, то график расположен симметрично относительно оси Ох.

Исследуем данную функцию на экстремум. Находим производную:

Легко видеть, что у = 0 при / = + I и, следовательно^

у — + —; когда X= I; у’-* оо, когда / —> 0, следовательно,

когда х -> 0, то и у 0. Это значит, что в начале координат касательная к данной кривой вертикальна. В точке

А (3; 0) будет у’ = — J=, это значит, что касательная У з

к данной кривой в этой точке образует с положительным направлением оси Ox угол в 30°.

Полученных данных достаточно для построения графика данной функции (рис. 22).

Найдем площадь данной поверхности. Имеем: х’ = 21, y’ = f — I; х’% -(-y’z = (I +12 )а.

Р=2* Jyj/T^T |±( —sin ф), у = а (I — cos ф) вокруг оси Oy, равна 16 и2 о2.

539. Найти поверхность, полученную вращением кардиоиды Вокруг полярной оси.

540. Найти площадь поверхности, образованной вращением лемнискаты Вокруг полярной оси.

Дополнительные задачи к главе IV

Площади плоских фигур

541. Найтивсю площадь области, ограниченной кривой И осью Ох.

542. Найти площадь области, ограниченной кривой

543. Найти часть площади области, расположенной в первом квадранте и ограниченной кривой

л осями координат.

544. Найти площадь области, содержащейся внутри

545. Найти площадь области, ограниченной одной петлей кривой:

546. Найти площадь области, содержащейся внутри петли:

547. Найти площадь области, ограниченной кривой

548. Найти площадь области, ограниченной кривой

549. Найти площадь области, ограниченной осью Oxr

прямой И кривой

550. Найти площадь области, ограниченной кривыми.

Вычисление длины дуги

551. Найти длину дуги кривой От точки А(0: до точки В (I: 6).

552. Найти длину дуги CD кривой , где

Дать геометрическую иллюстрацию.

553. Найти длину дуги OA кривой Где

554. Найти длину дуги AB кривой у = еху где А (0; I), В (I; 2)

555. Нгйти длину дуги AB кривой , где

556. Нгйти длину дуги кривой , отсеченной прямей X = — I.

557. Нгйти длину дуги кривой От

Объем тела вращения

558. Нгйти объем тела, полученного вращением вокруг юси Ox п/ощоди, сграниченной крквой

559. Нййти объем тела, полученного от вращения рокруг сси Ox площади, ограниченной кривой

560. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Oy площади, ограниченной кривой

561. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Oy площади, ограниченней эллипсом

562. Нгйти объем тела, полученного вращением вокруг оси Oy плещади, ограниченной кривой

И отрезком оси Oy.

563. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ox площади, ограниченной кривой

564. Круг радиуса 2 с центром в точке (7; 0) вращается вокруг оси Oy. Определить объем полученного тела вращения.

565. Нлйти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ox площади, расположенной в первом квадранте и

ограниченной кривой (эволюта

Площадь поверхности вращения

566. Найти площадь поверхности, образованной вращением дуги кривой , отсеченной прямой

567. Найти площадь поверхности шаоовой чаши, полученной при вращении круга Вокруг оси Ox в пределах от 0 до h.

568. Найти площадь поверхности катеноида, образованного вращением вокруг оси абсцисс цепной линии

От точки До точки

569. Найти площадь поверхности эллипсоида, образованного вращением эллипса Вокруг оси Oy.

570. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ox петли кривой

571. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ox кривой

572. Найти площадь поверхности, образованной вращением Вокруг полярной оси.


источники:

http://univer-nn.ru/matematika/katenoid/

http://matica.org.ua/metodichki-i-knigi-po-matematike/a-z-ryvkin-i-e-s-kunitckaia-zadachnik-praktikum-po-matematicheskomu-analizu/4-4-obemy-i-poverkhnosti-tel-vrashcheniia