6 какие силы учитываются при выводе дифференциального уравнения равновесия жидкости

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ ЖИДКОСТИ. УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА

Рассмотрим некоторый объем покоящейся жидкости (рис. 1.4). Выделим в ней вокруг рассматриваемой точки А бесконечно малый параллелепипед с ребрами dx, dy, dz. Отбросим мысленно окружающую его жидкость, а ее воздействие на грани заменим силами, действующими со стороны жидкости, — Рх и Р’х, Ру и F, Рг и Р Кроме того, в точке А как в центре массы выделенного элемента приложим равнодействующую массовых сил Q.

Рис. 1.4. Схема к выводу уравнения Эйлера

Запишем условие равновесия на осьх:

Давление рх и р’х можно выразить через давления в точке А:

Тогда уравнение равновесия перепишется

Отсюда +рХ = 0, или — = рХ.

Аналогичные уравнения можно получить, рассматривая проекцию на другие оси.

В результате будем иметь

Это и есть общие уравнения равновесия жидкости, полученные Эйлером.

ВЫВОД ФОРМУЛЫ ПРИРАЩЕНИЯ ДАВЛЕНИЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ РАВНЫХ ДАВЛЕНИЙ

Основной задачей гидростатики является получение:

• зависимости гидростатического давления в точке от ее координат

• уравнения поверхности равных давлений

Для получения уравнения изменения давления при смещении от данной точки А на бесконечно малое расстояние dl, проекции которого на оси координат соответственно будут dx, dy, dz, преобразуем уравнения Эйлера. Умножим соответственно каждое уравнение на приращения координатах, dy, dzn, суммировав левые и правые части, получим

Но левая часть этого уравнения есть полный дифференциал dp, выражающий изменение давления р при смещении точки на бесконечно малое расстояние, тогда имеем

То есть получили дифференциальное уравнение изменения давления в функции координат точки. Решение этого уравнения в виде (1.13) может быть выполнено путем интегрирования для данной конкретной задачи.

Перейдем к рассмотрению уравнения поверхности равного давления, определяемого условием р = const.

Из условия постоянства давления следует dp = 0. Подставляя это выражение в (1.15) и учитывая, что р ф 0, получим

Уравнение (1.16) связывает координаты точек равных давлений, т.е. оно является дифференциальным уравнением поверхности равных давлений.

Решение этого уравнения в виде (1.14) должно также проводиться путем интегрирования для конкретных задач. К рассмотрению одной из таких задач и перейдем.

Дифференциальные уравнения равновесия жидкости

Выделим в жидкости, находящейся в равновесии, элементарный параллелепипед с ребрами dx, dy, dz, параллельными осям координат х, у, z (рис. 3.6). Выберем в центре параллелепипеда точку А. Давление в этой точке будет р = f(х, у, z). Так как это давление является непрерывной функцией координат, то, разлагая функцию f(х, у, z) в ряд Тэйлора в окрестности точки А с точностью до бесконечно малых первого порядка, получим следующие соотношения для давлений р1 и р2 в точках 1 и 2 на гранях параллелепипеда, перпендикулярных оси х:

Давления на гранях параллелепипеда можно также записать в виде отношения силы к площади:

(3.9)

Запишем условие равновесия сил, действующих на элементарный параллелепипед, в проекции на ось х:

(3.10)

где Fm массовая сила, определяемая по формуле

(3.11)

где dm – масса элементарного параллелепипеда.

Рис. 3.6. Схема сил, действующих на элементарный параллелепипед

Подставляя формулы (3.9), (3.11) в соотношение (3.10), получаем

Подставляя формулы для р1 и р2, найдем

Аналогичные уравнения можно получить, если спроецировать действующие на параллелепипед силы на оси у и z. В итоге будем иметь систему трех дифференциальных уравнений вида

(3.12)

где X, Y, Z – проекции ускорений массовых сил, приходящихся на единицу массы.

Эти уравнения впервые были выведены Эйлером в 1755 г. и называются уравнениями равновесия Эйлера. Они показывают, что при равновесии жидкости массовые силы уравновешиваются соответствующими поверхностными силами.

В векторной форме эти уравнения имеют вид

где ; (i, j, k – орты координатных осей, имеющие координаты (1; 0; 0), (0; 1; 0), (0; 0; 1) соответственно).

Потенциал массовых сил

Умножая уравнения Эйлера (3.12) соответственно на dx, dy, dz и почленно складывая, получаем

(3.13)

Так как р = f (x, y, z), полный дифференциал этой функции будет

Следовательно, правая часть уравнения (3.13) есть полный дифференциал:

(3.14)

Равенство (3.14) имеет смысл лишь в том случае, если левая его часть есть также полный дифференциал какой-то функции. Обозначим эту функцию через и = и(х, у, z). Тогда полный дифференциал ее будет

(3.15)

Из сопоставления уравнений (3.14), (3.15) получим

Функцию и = и(х, у, z) называют потенциальной функцией, а силы, для которых эта функция существует, – силами, имеющими потенциал.

Отсюда вывод: жидкость может находиться в равновесии только под действием массовых сил, имеющих потенциал, так как только такие силы удовлетворяют уравнениям равновесия Эйлера.

Интеграл уравнений Эйлера для несжимаемой жидкости

Проинтегрируем уравнение (3.15) при р = const:

(3.16)

где с – постоянная интегрирования. Полагая, что при р = р0 потенциальная функция и = u0, будем иметь

(3.17)

Подставляя выражение (3.17) в соотношение (3.16), получаем

Последнее соотношение является интегралом уравнений Эйлера для несжимаемой капельной жидкости.

Так как величина ρ(u-u0) не зависит от давления р0 и определяется лишь системой массовых (но не поверхностных) сил, следовательно, на сколько изменится давление p0, на столько же изменится и давление р в любой точке жидкости. Отсюда можно сформулировать закон Паскаля: давление в жидкости, находящейся в равновесии, передается всем ее частицам без изменения сто величины.

Введем понятие поверхности равного давления и выведем ее уравнение.

Поверхностью равного давления называется такая выделенная в жидкости поверхность, гидростатическое давление во всех точках которой одно и то же. Для такой поверхности, очевидно, dp = 0. Так как р = f(x, у, z), уравнение поверхности равного давления р = const будет

Придавая С различные значения, будем переходить от одной поверхности равного давления к другой. Это уравнение является уравнением семейства поверхностей равного давления. Поверхности равного давления и равного потенциала совпадают. Так как —ρdu = dp, при dp = 0 du = 0 и и = const.

Определение поверхности равного давления по заданным массовым силам производится по уравнению

(3.18)

Ввиду отсутствия массовых сил по осям х, у и с учетом того, что массовая сила по оси z Z = -g, уравнение (3.18) примет вид —ρgdz = 0, или dz = 0. Отсюда z = const.

Следовательно, поверхности равного давления, в том числе и свободная поверхность, – горизонтальные плоскости.

Дифференциальные уравнения равновесия жидкости

(уравнения Эйлера)

Выделим в покоящейся жидкости элементарный объ­ем в форме прямоугольного параллелепипеда с ребра­ми, параллельными осям координат и равными соответ­ственно dx, dy, dz (рис. 2.4, стр. 61).

Со стороны окружающей жидкости на выделенный параллелепипед действуют поверхностные силы, определяемые гидростатическим давлением, а также массовые силы, пропорциональные его массе.

Составим уравнение равновесия для этой системы сил в проекциях на координатную ось Ох. При этом бу­дем предполагать, что гидростатическое давление есть непрерывная функция координат пространства и что его значение в центре тяжести параллелепипеда (точка М) равно р. Тогда первое уравнение равновесия в проекци­ях на ось Ох запишется следующим образом:

(2.2)

где dP ’ x=P ’ xdydz – сила гидростатического давления на грань 1-2-3-4; dP ” x =P ” x то же, на грань 5-6-7-8; проекция элементарной массовой си­лы на ось Ох;P’x, и P”— среднее гидростатическое давление соот­ветственно на грани 1-2-3-4 и 5-6-7-8.

Рис. 2.4. Расчетная схема для составления уравнений равновесия жидкости

Так как гидростатическое давление является функ­цией координат, значения давлений P’x и P ” x будут:

Тогда уравнение (1.1) примет вид:

(2.3)

(2.3)

Разделив уравнение (1.16) на массу параллелепипеда, получим:

Проделав аналогичные операции с проекциями внеш­них сил на оси Оy и Оz, получим систему дифференци­альных уравнений равновесия жидкости:

(2.4)

Эта система уравнений была впервые получена в 1755 г. Эйлером.

Умножим каждое уравнение (2.4) соответственно на dx, dy и dz и сложим их:

(2.5)

Давление является функцией только трех независи­мых переменных координат х, у и z, поэтому левая частьуравнения (2.5) представляет собой полный диф­ференциал функции р=f(х, у, г).

Уравнение (2.6) называется основным дифференци­альным уравнением равновесия жидкости. Отметим, что при выводе этого уравнения мы не вводили никаких до­полнительных ограничений на массовые силы и на плот­ность жидкости р, поэтому оно имеет общий характер к может быть использовано и для сжимаемой жидкости.

Левая часть уравнения (2.6) представляет собой полный дифференциал, следовательно, и правая его часть также должна быть полным дифференциалом. Если же принять плотность жидкости или газа постоян­ной или независимой от х, у и z, то выражение в скоб­ках также будет полным дифференциалом некоторой функции U = f(x,y,z),частные производные которой, взятые по х, у, z,равны проекциям ускорений массовых сил на соответствующие оси:

(2.7)

Величины X, У и Z можно рассматривать как проек­ции массовых сил, отнесенных к единице массы данной жидкости поэтому функцию U=f( х, у,z) называют потенциальной или силовой функцией, а силы, удовлет­воряющие условию (2.7), — силами, имеющими потен­циал. Таким образом, при рассмотрении уравнения (2.6) с учетом выражения (2.7) можно сделать важ­ный вывод: равновесие жидкости возможно только в том случае, когда массовые силы имеют потенциал.

Заметим далее, что в основном уравнении равновесия жидкости неизвестны только две величины ρ и р (значе­ния же проекций единичных массовых сил X, Y и Z, а также координаты точки предполагаются заданными). Следовательно, для получения однозначного решения уравнения (2.7) нужно воспользоваться так называе­мым характеристическим уравнением, которое определяло бы связь между физическими свойствами и состояни­ем рассматриваемой жидкости, например связь между плотностью жидкости, ее температурой и давлением.

Поверхность, в каждой точке которой значение дан­ной функции постоянно, называется поверхностью уров­ня. Физический смысл функции и ее значения могут быть различными (например, поверхность равной тем­пературы, равного давления и т. п.). В ме­ханике жидкости наибольший интерес представляет по­верхность равного давления, т. е. такая поверхность, в каждой точке которой давление имеет постоянное значе­ние.

Уравнение поверхности равного давления следует из основного уравнения равновесия жидкости. Так как для поверхности уровня р = const в любой ее точке, dр=0 и, следовательно, правая часть уравнения также равна нулю. Плотность жидкости отлична от нуля, поэтому выражение в скобках должно быть равным нулю, тогда уравнение поверхности уровня:

Поверхность уровня (поверхность равного давления) обладает двумя основными свойства­ми:

1. Поверхности уровня не пересекаются между собой. Действительно, предположив обратное, мы получим в точках линии пересечения этих поверхностей давление, равное одновременно р1 и р2, что физически невозможно. Следовательно, невозможно и пересечение поверхностей уровня.

2. Внешние массовые силы направлены по внутрен­ней нормали к поверхности уровня.


источники:

http://studme.org/33910/tovarovedenie/differentsialnye_uravneniya_ravnovesiya_zhidkosti

http://helpiks.org/2-32037.html