7 класс алгебра решение задач с помощью систем линейных уравнений

Решение задач с помощью систем линейных уравнений

Алгоритм решения задачи с помощью системы линейных уравнений

  1. Обозначить неизвестные величины переменными («от смысла к буквам»).
  2. По условию задачи записать уравнения, связывающие обозначенные переменные.
  3. Решить полученную систему уравнений.
  4. Истолковать результат в соответствии с условием задачи («от букв к смыслу»).

Задуманы два числа. Если от первого отнять второе, то получается 10. Если к первому прибавить удвоенное второе, то получается 91. Найдите задуманные числа.

«От смысла к буквам»:

Пусть x и y — задуманные числа.

Уравнения по условию задачи::

Решение системы уравнений:

«От букв к смыслу»:

Задуманы числа 37 и 27.

Примеры

Пример 1. Периметр прямоугольника равен 48 см. Его длина больше ширины в 3 раза.

Найдите стороны прямоугольника.

Пусть a и b — длина и ширина прямоугольника.

$$ <\left\< \begin P = 2(a+b) = 48 \\ a = 3b \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin a+b = 24 \\ a = 3b \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 3b+b = 24 \\ a = 3b \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 4b = 24 \\ a = 3b \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin a = 18 \\ b = 6 \end \right.> $$

Ответ: длина прямоугольника 18 см, ширина 6 см.

Пример 2. Два программиста из Бомбея, работающие в одном проекте, написали 100500 строк кода. Первый работал 70 дней, второй – 100 дней. Сколько строк писал каждый программист ежедневно, если за первые 30 дней первый написал на 5550 строк больше, чем второй?

Пусть x — ежедневное количество строк для 1-го программиста, y- для 2-го.

$$ <\left\< \begin 70x+100y = 100500 |:10 \\ 30x-30y = 5550 |:30 \end \right.> (-) \Rightarrow <\left\< \begin 7x+10y = 10050 \\ x-y=185 | \times 10 \end \right.>$$

$$ \Rightarrow (+) <\left\< \begin 7x+10y = 10050 \\ 10x-10y = 1850 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 17x = 11900 \\ y = x-185 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin x = 700 \\ y = 515 \end \right.> $$

Ответ: 700 строк и 515 строк

Пример 3. За 2 кг конфет и 3 кг печенья заплатили 1540 руб. Сколько стоит 1 кг конфет и 1 кг печенья, если 2 кг печенья дороже 1 кг конфет на 210 руб.?

Пусть x — цена за 1 кг конфет, y — за 1 кг печенья.

$$ <\left\< \begin 2x+3y = 1540 \\ 2y-x = 210 | \times 2 \end \right.> \Rightarrow (+) <\left\< \begin 2x+3y = 1540 \\ -2x+4y = 420 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 7y = 1960 \\ x = 2y-210 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin x = 350 \\ y = 280 \end \right.> $$

Ответ: 1 кг конфет — 350 руб. и 1 кг печенья — 280 руб.

Пример 4. Катер за 3 ч движения против течения реки и 2 часа по течению проходит 73 км. Найдите собственную скорость катера и скорость течения, если за 4 ч движения по течению катер проходит на 29 км больше, чем за 3 ч движения против течения.

Пусть v — скорость катера (км/ч), u — скорость течения (км/ч).

$$ \Rightarrow <\left\< \begin 5v-u = 73 \\ v+7u = 29 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 5(29-7u)-u = 73 \\ v = 29-7u \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 145-35u-u = 73 \\ v = 29-7u \end \right.> \Rightarrow$$

Ответ: скорость катера 15 км/ч и скорость течения 2 км/ч

Пример 5. 5 карандашей и 3 тетрадки вместе стоили 170 руб. После того, как карандаши подешевели на 20%, а тетрадки подорожали на 30%, за 3 карандаша и 5 тетрадок заплатили 284 руб. Найдите первоначальную цену карандаша и тетрадки.

Пусть x – первоначальная цена карандаша, y — тетрадки.

$$ <\left\< \begin 5x+3y = 170 \\ 3\cdot0,8x+5\cdot1,3y = 284 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 5x+3y = 170 |\times \frac<2,4> <5>\\ 2,4x+6,5y = 284 \end \right.> \Rightarrow (-) <\left\< \begin 2,4x+1,44y = 81,6 \\ 2,4x+6,5y = 284 \end \right.> $$

Ответ: карандаш сначала стоил 10 руб., тетрадка — 40 руб.

Пример 6*. Велосипедист планирует добраться из пункта А в пункт В. Если он будет ехать на 3 км/ч быстрее, чем обычно, он доберётся на 1 час раньше. А если он будет ехать на 2 км/ч медленней, чем обычно, то – на 1 час позже. Найдите обычную скорость велосипедиста и время поездки при этой скорости.

Пусть v – обычная скорость велосипедиста (км/ч), t — обычное время (ч).

Расстояние между А и В неизменно, и по условию равно:

Ответ: обычная скорость 12 км/ч, время 5 ч

Пример 7*. В одной бочке налито 12 л, во второй – 32 л. Если первую бочку доверху наполнить водой из второй, то вторая бочка будет наполнена ровно наполовину своего объёма. Если вторую бочку доверху наполнить водой из первой, то первая бочка будет наполнена на 1/6 своего объёма. Найдите объём каждой бочки.

Пусть x — объём первой бочки (л), y – объём второй (л).

Пусть a л перелито из второй бочки, и первая наполнилась до краёв, а во второй воды осталось наполовину:

Теперь пусть b л перелито из первой бочки, и вторая наполнилась до краёв, а в первой воды осталось на 1/6:

$$ <\left\< \begin x+ \frac<1> <2>y = 44 | \times 2 \\ \frac<1> <6>x+y = 44 \end \right.> \Rightarrow (-) <\left\< \begin 2x+y = 88 \\ \frac<1> <6>x+y = 44 \end \right.> \Rightarrow (+) <\left\< \begin 1\frac<5> <6>x = 44 \\ y = 88-2x \end \right.> \Rightarrow $$

Ответ: первая бочка 24 л, вторая – 40 л

Пример 8*. Если школьник едет в школу на автобусе, а возвращается домой пешком, то он тратит на всю дорогу полтора часа. Если он едет туда и обратно на автобусе, то он тратит полчаса. Сколько времени потратит школьник, если он пойдёт туда и обратно пешком?

Пусть s — расстояние между домом и школой, v — скорость автобуса, u — скорость школьника, t — искомое время, потраченное на дорогу туда и обратно пешком.

По условию задачи:

Из второго уравнения $ \frac = \frac<0,5> <2>= 0,25 $. Подставляем в первое уравнение:

И тогда искомое время:

$$ t = \frac<2s> = 2\cdot1,25 = 2,5 (ч) $$

Решение задач с помощью систем линейных уравнений. Урок 1
презентация к уроку по алгебре (7 класс)

Решение задач с помощью систем линейных уравнений. Урок 1. Объяснение новой темы. Решение №1078,1080,1082 (Мерзляк А.Г.)

Скачать:

ВложениеРазмер
разбор новой темы, примеры, решение задач506.59 КБ

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Решение задач с помощью систем линейных уравнений

Способы решения систем линейных уравнений: графический способ; с пособ подстановки; с пособ сложения.

Задача. В корзине лежат бананы и яблоки. Известно, что бананов на 5 больше, чем яблок. Сколько бананов и сколько яблок в корзине, если всего в ней 17 фруктов? Решение. Пусть х – количество бананов в корзине, у – количество яблок. ( х + х) + (– у + у) = 5 + 17, х + х – у + у = 5 + 17, 11 + у = 17, у = 17 – 11, у = 6. Ответ: 11 бананов и 6 яблок. 2х = 22, х = 11.

Чтобы решить задачу с помощью системы уравнений, надо: выделить две неизвестные величины и обозначить их буквами; и спользуя условие задачи, составить систему уравнений; р ешить систему уравнений удобным способом; и столковать результат в соответствии с условием задачи.

Задача. Первый ученик за 3 тетради и 2 карандаша заплатил 66 рублей. Второй ученик за такие же 2 тетради и 3 карандаша заплатил 49 рублей. Сколько стоит тетрадь и сколько стоит карандаш? Решение. Пусть х рублей стоит тетрадь, у рублей стоит карандаш. тетради карандаши Всего Первый ученик 3х 2у 66 Второй ученик 2х 3у 49 ∙3 ∙ (– 2) 9х – 4х = 198 – 98, 5х = 100, х = 100 : 5, х = 20. 3∙20 + 2у = 66, 60 + 2у = 66, 2у = 66 – 60, 2у = 6, у = 6 : 2, у = 3. Ответ: 20 рублей стоит тетрадь, 3 рубля стоит карандаш.

Задача. 8 лошадей и 15 коров ежедневно съедают 162 килограмма травы. Сколько травы ежедневно съедает каждая лошадь и каждая корова, если известно, что 5 лошадей съедают травы на 3 килограмма больше, чем 7 коров? Решение. Пусть х кг травы съедает за день каждая лошадь, у кг съедает за день каждая корова. Лошади Коровы Всего/ разница I 8х 15у 162 II 5х 7у 3 ∙ 5 ∙ (– 8) 75у + 56у = 810 – 24, 131у = 786, у = 786 : 131, у = 6. 5х – 7 ∙ 6 = 3, 5х – 42 = 3, 5х = 3 + 42, 5х = 45, х = 45 : 5, х = 9. Ответ: 9 кг съедает лошадь, 6 кг съедает корова.

№ 1078 Решение. Пусть х –первое число, у – второе число. х + х + у – у = 63 + 19, 2х = 82, х = 82 : 2, х = 41. 41 + у = 63, у = 63 – 41, у = 22. Ответ: числа 41 и 22.

№1080. Купец купил 138 аршин черного и синего сукна за 540 р. Спрашивается, сколько аршин он купил того и другого, если синее стоило 5 р. за аршин, а черное 3р.? Решение. Пусть х аршин черного сукна, у аршин синего сукна купил купец. черное синее Всего Количество х у 138 Стоимость 3х 5у 540 ∙ (– 3) – 3у + 5у = – 414 + 540, 2у = 126, у = 126 : 2, у = 63. х + 63 = 138, х = 138 – 63, х = 75. Ответ: 75 аршин черного сукна, 63 аршин синего.

№1082. Чтобы накормить 4 лошадей и 12 коров, надо 120 кг сена в день, а чтобы накормить 3 лошадей и 20 коров – 167 кг сена. Найдите дневную норму сена для лошади и для коровы. Решение. Пусть х кг травы съедает за день каждая лошадь, у кг съедает за день каждая корова. Лошади Коровы Всего/ разница I 4х 12у 120 II 3х 20у 167 ∙ 3 ∙ (– 4) 36у – 80у = 360 – 668, – 44у = –308, у = –308 : (–44), у = 7. 3 х + 20 ∙ 7 = 167, 3 х +140 = 167, 3 х = 167 – 140, 3х = 27, х = 27 : 3, х = 9. Ответ: 9 кг съедает лошадь, 7 кг съедает корова.

Чтобы решить задачу с помощью системы уравнений, надо: выделить две неизвестные величины и обозначить их буквами; и спользуя условие задачи, составить систему уравнений; р ешить систему уравнений удобным способом; и столковать результат в соответствии с условием задачи. Итог урока

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Урок алгебры в 7 классе «Решение задач с помощью систем линейных уравнений»

Рекомендации к уроку: учителю математики совместно с классным руководителем необходимо провести заранее анкету о типе личности учащихся по объектам труда (методика Е.А. Климова). На начало урока класс.

Технологическая карта урока алгебры 7 класс по теме «Решение задач с помощью систем линейных уравнений»

Технологическая карта урока алгебры 7 класс по теме » Решение задач с помощью систем линейных уравнений&quot.

Решение задач при помощи систем линейных уравнений

Различные задачи к учебнику А.Г. Мерзляка.

Урок по теме «Решение задач с помощью систем линейых уравнений»

На уроке используется инструмент коучинга — шкалирование.

Технологическая карта урока в 7 классе по теме «Решение задач с помощью систем линейных уравнений»

Тема урока: «Решение задач с помощью систем линейных уравнений» (1-й урок их 4-х по данной теме)Тип урока: урок новых знанийЦель: учить решать задачи с помощью систем линейных уравненийЗад.

Решение задач с помощью систем линейных уравнений. Урок 2

Решение задач с помощью систем линейных уравнений. Урок 2. Решение № 1094,1098,1100 (Мерзляк А.Г.).

Решение задач с помощью систем линейных уравнений. Урок 3

Решение задач с помощью систем линейных уравнений. Урок 3. Решение №1102,1104,1108,1110 (Мерзляк А.Г.).

Решение задач с помощью систем линейных уравнений. 7-й класс

Разделы: Математика

Класс: 7

Аннотация: Урок объяснения нового материала. На уроке рассматриваются три разных способа решения одной задачи. Тем самым школьники приучаются анализировать условие задачи и выбирать более простой способ решения. Первый опыт применения уравнений для решения текстовых задач у учащихся уже имеется. Различные способы решения систем линейных уравнений уже изучены. И одна из целей урока — показать использование системы уравнений как математической модели реальной ситуации. Использование на уроке технических средств позволяет сделать урок ярким, насыщенным, полным и дает возможность мгновенно осуществить проверку решаемых на уроке заданий. Это очень важно, так как экономится время, а учащиеся, работающие самостоятельно, получают возможность проверить себя и вернуться назад, чтобы устранить свои ошибки. Тем самым осуществляется самоконтроль, внутренняя обратная связь — важнейший фактор самоуправления процесса обучения.

Цели

  • Показать использование системы линейных уравнений как математической модели реальной ситуации
  • Применение знаний по теме «Системы линейных уравнений» для решения текстовых задач.
  • Учить анализировать условие задачи и выбирать более простой способ решения.
  • Решите задачу, составив числовое выражение:

    Купили 7 тетрадей по 2р. и 2 ручки по 4р. Сколько денег заплатили?

    Турист ехал 2ч на поезде со скоростью 60км/ч и 3ч шел пешком со скоростью 5км/ч. Какое расстояние он преодолел?

    Решите задачу, составив буквенное выражение:

    Купили 10 тетрадей по Х р и 3 ручки по У р. Сколько заплатили за всю покупку?

    Турист ехал 3ч на автобусе со скоростью Х км/ч и 2ч шел пешком со скоростью 4км/ч

    Перейдите от словесной модели к математической:

    Числа В и С равны

    Число А на 18 больше числа В

    Число Х в 6 раз меньше числа У

    Разность Р и Н на 17 больше их частного

    Создайте реальную ситуацию по модели:

    I Этап. Объяснение нового материала.

    Задача На турбазе имеются палатки и домики. Всего их 25. В каждом домике размещается по 4 человека, в каждой палатке — по 2 человека. Сколько палаток и сколько домиков на турбазе, если на ней отдыхает всего 70 человек?

    Решим задачу арифметически.

    25*2=50(чел) разместилось бы, если селить по 2

    70-50=20(чел) не расселили

    20:2=10(домиков), т.к. подселяют еще по 2

    Ответ: 10 домиков, 15 палаток.

    Решим эту задачу с помощью уравнения.

    (Вспомним этапы математического моделирования)

    II этап. Составление математической модели.

    Пусть на турбазе Х палаток, тогда домиков 25-Х. Т. к. в каждой палатке по 2 человека, то 2Х чел живут в палатках. Т. к. в каждом домике по 4 человека, то 4(25-Х) чел. живут в домиках. Зная, что всего на турбазе 70 чел, составим уравнение:

    III этап. Работа с моделью.

    IV. этап. Ответ на вопрос задачи: 15 палаток и 10 домиков.

    Самый трудный этап в решении задач — составление математической модели. Ученик всегда затрудняется, что удобнее обозначить за Х. Всегда возникает желание обозначить за Х то, о чем спрашивается в задаче. Но в данной задаче два вопроса. Две искомые величины. Можно ли решить эту задачу, введя два неизвестных? Попробуем.

    Пусть Х — палаток, а У — домиков. Т. к их всего 25, то Х+У=25. 2Х чел живут в палатках, а 4У чел — в домиках. 2Х+4У=70 Получили два уравнения и оба с двумя незвестными.

    Как же их решить? Составить систему двух уравнений с двумя неизвестными и решить ее.

    Вспоминаем способы решения систем линейных уравнений.

    Решив систему, получаем тот же ответ: 10 домиков, 15 палаток.

    Делаем вывод: Система линейных уравнений тоже может быть использована как математическая модель реальной ситуации. Чтобы решить задачу с помощью системы надо ввести два неизвестных и составить два уравнения с ними. Способ решения системы надо выбирать тот, который представляется более уместным, или тот, который больше нравиться. Этапы математического моделирования те же, что и при решении задач с помощью уравнения.

    Закрепление изученного материала.

    Решите с помощью системы уравнений:

    1. У причала находилось 6 лодок, часть из которых была двухместными, а часть — трехместными. Всего в эти лодки может поместиться 14 человек. Сколько двухместных и сколько трехместных лодок было у причала?

    2. В хозяйстве имеются куры и овцы. Сколько тех и других, если у них вместе 19 голов и 46 ног?

    Подведение итогов урока.

    Домашнее задание: параграф 14 , №14.7, 14.14.


    источники:

    http://nsportal.ru/shkola/algebra/library/2020/05/15/reshenie-zadach-s-pomoshchyu-sistem-lineynyh-uravneniy-urok-1

    http://urok.1sept.ru/articles/593317