7 класс алгебра системы двух уравнений с двумя переменными

Системы линейных уравнений (7 класс)

Если несколько линейных уравнений с одними теми же неизвестными рассматривают совместно, то говорят, что это система линейных уравнений с несколькими неизвестными.

Решить систему с двумя неизвестными – это значит найти все пары значений переменных, которые удовлетворяют каждому из заданных уравнений. Каждая такая пара называется решением системы.

Пример:
Пара значений \(x=3\);\(y=-1\) является решением первой системы, потому что при подстановке этих тройки и минус единицы в вместо \(x\) и \(y\), оба уравнения превратятся в верные равенства \(\begin3-2\cdot (-1)=5 \\3 \cdot 3+2 \cdot (-1)=7 \end\)

А вот \(x=1\); \(y=-2\) — не является решением первой системы, потому что после подстановки второе уравнение «не сходится» \(\begin1-2\cdot(-2)=5 \\3\cdot1+2\cdot(-2)≠7 \end\)

Отметим, что такие пары часто записывают короче: вместо «\(x=3\); \(y=-1\)» пишут так: \((3;-1)\).

Как решить систему линейных уравнений?

Есть три основных способа решения систем линейных уравнений:

Возьмите любое из уравнений системы и выразите из него любую переменную.

Полученное выражение подставьте вместо этой переменной в другое линейное уравнение системы.

Ответ запишите парой чисел \((x_0;y_0)\)

Замечание к шагу 1: нет никакой разницы какую переменную и из какого уравнения выражать. Обычно более удобно выражать ту переменную, перед которой нет коэффициента или, говоря точнее, коэффициент которой равен единице (в примере выше это был икс в первом уравнении).

Почему так? Потому что во всех остальных случаях у нас при выражении переменной получилась бы дробное выражение . Попробуем, например, выразить икс из второго уравнения системы:

И сейчас нам нужно будет эту дробь подставлять в первое уравнение и решать то, что получиться. До верного ответа мы бы всё равно дошли, но идти было бы неудобнее

Способ алгебраического сложения.

    Равносильно преобразовывая каждое уравнение в отдельности, запишите систему в виде:\(\begina_1 x+b_1 y=c_1\\a_2 x+b_2 y=c_2\end\).

    Теперь нужно сделать так, чтоб коэффициенты при одном из неизвестных стали одинаковы (например, (\(3\) и \(3\)) или противоположны по значению (например, \(5\) и \(-5\)). В нашем примере уравняем коэффициенты при игреках. Для этого первое уравнение домножим на \(2\), а второе — на \(3\).

    \(\begin2x+3y=13 |\cdot 2\\ 5x+2y=5 |\cdot 3\end\)\(\Leftrightarrow\)\(\begin4x+6y=26\\15x+6y=15\end\)\(\Leftrightarrow\)

    Сложите (или вычтите) почленно обе части уравнения так, чтобы получилось уравнение с одним неизвестным.

    Найдите неизвестное из полученного уравнения.

    Подставьте найденное значение неизвестного в любое из исходных уравнений и найдите второе неизвестное.

    Ответ запишите парой чисел \((x_0;y_0)\).

    Замечание к шагу 3: В каком случае уравнения складывают, а в каком вычитают? Ответ прост – делайте так, чтоб пропала переменная: если «уравненные» коэффициенты имеют один и тот же знак – вычитайте, а если разные – складывайте.

    Пример. Решите систему уравнений: \(\begin12x-7y=2\\5y=4x-6\end\)

    Приводим систему к виду \(\begina_1 x+b_1 y=c_1\\a_2 x+b_2 y=c_2\end\) преобразовывая второе уравнение.

    «Уравняем» коэффициенты при иксах. Для этого домножим второе уравнение на \(3\).

    Знаки при иксах разные, поэтому чтоб иксы пропали, уравнения надо сложить.

    Делим уравнение на \(8\), чтобы найти \(y\).

    Игрек нашли. Теперь найдем \(x\), подставив вместо игрека \(-2\) в любое из уравнений системы.

    Икс тоже найден. Пишем ответ.

    Приведите каждое уравнение к виду линейной функции \(y=kx+b\).

    Постройте графики этих функций. Как? Можете прочитать здесь .

  1. Найдите координаты \((x;y)\) точки пересечения графиков и запишите их в ответ в виде \((x_0;y_0 )\).
    Ответ: \((4;2)\)
  2. Матхак. Если сомневаетесь в правильности ответа (неважно каким способом вы решали), проверьте подстановкой значений \(x_0\) и \(y_0\) в каждое уравнение. Если оба уравнения превратятся в верные равенства, то ответ правильный.
    Пример: решая систему \(\begin3x-8=2y\\x+y=6\end\), мы получили ответ \((4;2)\). Проверим его, подставив вместо икса \(4\), а вместо игрека \(2\).

    Оба уравнения сошлись, решение системы найдено верно.

    Пример. Решите систему уравнений: \(\begin3(5x+3y)-6=2x+11\\4x-15=11-2(4x-y)\end\)

    Перенесем все выражения с буквами в одну сторону, а числа в другую.

    Во втором уравнении каждое слагаемое — четное, поэтому упрощаем уравнение, деля его на \(2\).

    Эту систему линейных уравнений можно решить любым из способов, но мне кажется, что способ подстановки здесь удобнее всего. Выразим y из второго уравнения.

    Подставим \(6x-13\) вместо \(y\) в первое уравнение.

    Первое уравнение превратилась в обычное линейное . Решаем его.

    Сначала раскроем скобки.

    Перенесем \(117\) вправо и приведем подобные слагаемые.

    Поделим обе части первого уравнения на \(67\).

    Ура, мы нашли \(x\)! Подставим его значение во второе уравнение и найдем \(y\).

    Презентация урока алгебры 7 класса «Системы двух линейных уравнений с двумя переменными»

    Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

    Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

    Более 2 500 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

    Описание презентации по отдельным слайдам:

    Системы двух линейных уравнений
    с двумя переменными
    7 класс
    алгебра
    Урок № 32
    Основные понятия.
    1
    21.04.2022

    Цели:
    21.04.2022
    Сформировать представление о математической модели система уравнений.
    Познакомиться с понятием системы двух линейных уравнений и ее решении.
    Изучить графический способ решения систем двух уравнений.
    Решить вопрос о количестве решений системы двух линейных уравнений с двумя переменными.
    Решение более сложных систем двух уравнений с двумя неизвестными.
    2

    21.04.2022
    3
    Вспомним!
    Что называется линейным уравнением с двумя неизвестными?
    Что значит решить уравнение с двумя неизвестными?
    Сколько может быть решений у линейного уравнения?
    Что называется графиком линейного уравнения с двумя переменными?
    Сколько точек определяет прямую?
    Когда две прямые на плоскости пересекаются?
    Когда две прямые на плоскости параллельны?
    Когда две прямые на плоскости совпадают?

    ах + by + c = 0
    Линейное уравнение с двумя переменными
    21.04.2022
    4
    Решением уравнения с двумя неизвестными называется пара переменных, при подстановке которых уравнение становится верным числовым равенством.
    Уравнение вида:
    называется линейным уравнением с
    двумя переменными (где х, у — переменные,
    а, b и с — некоторые числа).
    (х;y)
    Вспомним!

    21.04.2022
    5
    Решить линейное уравнение –
    это значит найти те значения
    переменной, при каждом из которых
    уравнение обращается в верное
    числовое равенство.

    Таких решений бесконечно много.

    21.04.2022
    6
    Уравнение вида:
    kх + m = 0
    называется линейным уравнением
    с одной переменной (где х – переменная,
    k и m некоторые числа).

    21.04.2022
    7
    Внимание!
    х – переменная входит в уравнение
    обязательно в первой степени.
    5 x — 8 = 0
    линейное уравнением с одной переменной
    2х² + 3х + 7 = 0
    не линейное уравнением
    с одной переменной

    21.04.2022
    8
    Теорема:
    Графиком любого линейного уравнения ах + by + c = 0 есть прямая.
    Для построения графика достаточно найти координаты двух точек.
    х + у – 8 = 0
    Вспомним!

    21.04.2022
    9
    Алгоритм построения графика
    уравнения ах + bу + c = 0
    Придать переменной х конкретное значение х₁; найти
    из уравнения

    ах + bу + c = 0 соответствующее значение у₁. Получим (х₁;у₁).
    2. Придать переменной х конкретное значение х₂; найти
    из уравнения

    ах + bу + c = 0 соответствующее значение у₂.
    Получим (х₂;у₂).
    3. Построим на координатной плоскости точки (х₁; у₁),
    (х₂; у₂) и соединим прямой.
    4. Прямая – есть график уравнения.
    Вспомним!

    21.04.2022
    10
    Количество болезнетворных микробов в организме описывается по формуле y-50000=5000t. Человек начинает принимать лекарство. Количество микробов, уничтожаемых лекарством, y=15000t (t – время в сутках). Какое время человек должен принимать лекарство?

    21.04.2022
    11
    Часто приходится рассматривать математическую модель
    состоящую из двух линейных уравнений с двумя переменными.
    (х;y)
    Решение системы уравнений с двумя неизвестными называется пара переменных, при подстановке которых уравнения становятся верными числовыми равенствами.
    Решить систему — это значит найти все ее решения
    или доказать, что их нет.

    Как определить сколько решений имеет система уравнений
    без построения графиков?
    у = 3х +1
    у = 3х + 1

    K1 ≠ K2, значит прямые пересекаются.
    Система имеет одно решение!
    K1 = K2, значит прямые параллельны.
    Система не имеет решения(она несовместимая)!
    прямые совпадают.
    Система имеет бесконечно много решений (она неопределённая)!
    x
    y
    x
    y
    x
    y
    21.04.2022
    12

    21.04.2022
    13
    Пример 1
    O
    x
    y
    1
    Пример 1
    Решить систему уравнений:
    1. Построим график уравнения
    2х – у – 3 = 0 , у = 2х – 3.
    Получим точки:
    (1; -1), (2; 1)
    -1
    (1; -1)
    2
    (2; 1)
    1
    у = 2х — 3
    -3
    2. Построим график уравнения
    х + 2у – 4 = 0 , 2у = -х + 4,
    у = (-х + 4) : 2.
    Получим точки:
    (0; 2), (2; 1)
    2
    (0; 2)
    у = (-х +4):2
    3. Прямые пересекаются в
    единственной точке А(2;1)
    Ответ: (2; 1)
    А
    Графический способ
    решения систем

    21.04.2022
    14
    Устно:
    Совместное задание для двоих (в парах): составить алгоритм решения системы линейных уравнений с двумя переменными графическим способом
    № 11.1,
    11.2,
    11.4,
    11.5,
    11.6,
    11.7

    Алгоритм решения системы уравнений графическим способом
    1. Приводим оба уравнения к виду линейной функции y = k x + m.
    2. Составляем расчётные таблицы для каждой функции.
    3. Строим графики функций в одной координатной плоскости.
    4. Определяем число решений:
    Если прямые пересекаются, то одно решение пара чисел (х ; у) – координаты точки пересечения;
    Если прямые параллельны, то нет решений;
    Если прямые совпадают, то бесконечно много решений.
    5. Записываем ответ.

    21.04.2022
    18
    Количество решений двух линейных уравнений с
    двумя переменными.
    то прямые пересекаются и система
    имеет единственное решение.
    то прямые параллельны и система не
    имеет решений. Система называется
    несовместной.
    то прямые совпадают и система
    имеет бесконечно много решений.
    Система называется
    неопределенной.

    21.04.2022
    19
    Пример 1
    O
    x
    y
    1
    Пример 2
    Решить систему уравнений:
    1. Построим график уравнения
    х + 2у – 5 = 0 , у = (5 — х):2.
    Получим точки:
    (1; 2), (3; 1)
    1
    (1; 2)
    3
    (3; 1)
    2
    у = (5 – х):2
    -2
    2. Построим график уравнения
    2 х + 4у + 3 = 0 , 4у = -2х — 3,
    у = -(2х + 3) : 4.
    Получим точки:
    (-1,5; 0), (2,5; -2)
    -1,5
    (-1,5; 0)
    у = — (2х + 3):4
    3. Прямые параллельны.
    Ответ:
    система не имеет решений
    Графический способ
    решения систем
    (2,5; -2)

    21.04.2022
    20
    Пример 3
    При каких значениях а система уравнений имеет единственное решение:
    Решение
    Условие при которых система уравнений имеет единственное решение:
    Используем свойство пропорции:
    Ответ: при всех значениях а, кроме а = 8, данная система имеет единственное решение.

    21.04.2022
    21
    Пример 4
    При каких значениях а система уравнений несовместна
    (т.е. не имеет решений):
    Решение
    Условие при которых система уравнений несовместна (не имеет решений):
    1) Сначала рассмотрим равенство
    Используем свойство пропорции:

    21.04.2022
    22
    Ответ: при а = 2, данная система несовместна.
    2) Теперь проверим неравенство:
    При подстановке значения а = 2 имеем:
    — верное неравенство

    21.04.2022
    23
    Пример 5
    При каких значениях а система уравнений неопределенна:
    Решение
    Условие при которых система уравнений неопределенна:
    1) Сначала рассмотрим равенство
    Используем свойство пропорции:
    Укажите решения системы.

    21.04.2022
    24
    Итак при а = 1, данная система неопределенна.
    2) Теперь проверим равенство:
    При подстановке значения а = 1 имеем:
    — верное равенство
    При подстановке значения а = 1 в данную систему имеем:
    Поделим второе уравнение на 2, имеем:
    Ответ: решением системы будет любая пара чисел х и у, в которой х = 8 – 3у, а у – произвольное число.

    21.04.2022
    25
    Ответить на вопросы
    Что собой представляют графики обоих уравнений системы?
    В каком случае система имеет единственное решение?
    Какая система является несовместимой?
    О какой системе говорят, что она неопределенна?
    Что называется решением системы уравнений с двумя переменными?
    Что значит решить систему уравнений?

    21.04.2022
    26
    Урок привлек меня тем…
    Для меня было открытие то, что…

    21.04.2022
    27
    Спасибо за внимание!
    Учебник: прочитать § 11, с. 65‒70;
    Задачник:
    № 11.3, 11.10‒11.13 (б)

    Курс профессиональной переподготовки

    Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

    • Сейчас обучается 700 человек из 76 регионов

    Курс повышения квалификации

    Дистанционное обучение как современный формат преподавания

    • Сейчас обучается 860 человек из 78 регионов

    Курс повышения квалификации

    Педагогическая деятельность в контексте профессионального стандарта педагога и ФГОС

    • Сейчас обучается 47 человек из 21 региона

    «Мотивация здорового образа жизни. Организация секций»

    Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

    • Для всех учеников 1-11 классов
      и дошкольников
    • Интересные задания
      по 16 предметам

    «Как закрыть гештальт: практики и упражнения»

    Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

    Дистанционные курсы для педагогов

    Самые массовые международные дистанционные

    Школьные Инфоконкурсы 2022

    33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

    Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

    5 846 297 материалов в базе

    Материал подходит для УМК

    «Алгебра», Мордкович А.Г.

    § 4. Линейное уравнение с одной переменной

    Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

    Другие материалы

    • 03.06.2017
    • 651
    • 2
    • 03.06.2017
    • 429
    • 0
    • 03.06.2017
    • 1214
    • 2
    • 03.06.2017
    • 493
    • 0
    • 03.06.2017
    • 278
    • 0
    • 03.06.2017
    • 290
    • 1
    • 03.06.2017
    • 292
    • 0

    «Учись, играя: эффективное обучение иностранным языкам дошкольников»

    Свидетельство и скидка на обучение
    каждому участнику

    Вам будут интересны эти курсы:

    Оставьте свой комментарий

    Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

    Добавить в избранное

    • 03.06.2017 7781
    • PPTX 3.6 мбайт
    • 804 скачивания
    • Рейтинг: 4 из 5
    • Оцените материал:

    Настоящий материал опубликован пользователем Садовская Надежда Павловна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Автор материала

    • На сайте: 5 лет и 7 месяцев
    • Подписчики: 3
    • Всего просмотров: 84045
    • Всего материалов: 25

    Московский институт профессиональной
    переподготовки и повышения
    квалификации педагогов

    Дистанционные курсы
    для педагогов

    663 курса от 690 рублей

    Выбрать курс со скидкой

    Выдаём документы
    установленного образца!

    Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

    Время чтения: 11 минут

    Минобрнауки отменило плановые и внеплановые проверки вузов в 2022 году

    Время чтения: 1 минута

    Эвакуированные в Россию из ДНР и ЛНР дети смогут поступить в вузы по квоте

    Время чтения: 1 минута

    Путин объявил 2022-2031 годы Десятилетием науки и технологий

    Время чтения: 1 минута

    В России выросло число детей с ОВЗ, поступающих в колледжи

    Время чтения: 1 минута

    Минпросвещения рекомендует школьникам сдавать телефоны перед входом в школу

    Время чтения: 1 минута

    Роспотребнадзор сообщил об опасности размещения вышек сотовой связи на территории школ

    Время чтения: 1 минута

    Подарочные сертификаты

    Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

    Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

    Системы линейных уравнений с двумя переменными (Г.Г.Гаицгори)

    Этот видеоурок доступен по абонементу

    У вас уже есть абонемент? Войти

    Мы научились составлять математическую модель для решения различных прикладных задач. В результате задача сводится к технике – решению уравнения или системы уравнений. На этом уроке мы научимся решать системы уравнений, а именно системы линейных уравнений с двумя переменными.


    источники:

    http://infourok.ru/prezentaciya-uroka-algebri-klassa-sistemi-dvuh-lineynih-uravneniy-s-dvumya-peremennimi-1949249.html

    http://interneturok.ru/lesson/algebra/7-klass/glava-3-sistema-dvuh-lineynyh-uravneniy-s-dvumya-peremennymi/sistemy-lineynyh-uravneniy-s-dvumya-peremennymi-g-g-gaitsgori