7 класс задачи на системы линейных уравнений с двумя переменными

Конспект урока алгебры в 7 классе по теме : «Решение систем линейных уравнений с двумя переменными.»

Тип урока: закрепления знаний и отработки умений

Цель урока: сформировать у учащихся практические умения решения систем линейных уравнений. Применять систем линейных уравнений к решению задач.

Задачи урока:

  • создать условия для обобщения, углубления и закрепления основных знаний, приобретенных за время изучения темы;
  • использование их при решении текстовых задач;
  • совершенствование практических умений учащихся.
  • развитие познавательных процессов учащихся таких как: внимание, память, речь, мышление, восприятие;
  • развитие интеллектуальных и творческих способностей обучающихся
  • совершенствование у обучающихся логических операций анализа, синтеза, сравнения, систематизации и обобщения;
  • развитие воли, эмоций, интересов, способностей и личностных качеств учащихся.
  • воспитать у учащихся культуру поведения, чувство ответственности;
  • Побуждать учеников к самоконтролю, вызывать у них потребность в обосновании своих высказываний.
  • воспитывать коммуникативные компетентности обучающихся, толерантное отношение к окружающим, чувство доброты, сострадания, желание прийти на помощь, аккуратность, дисциплинированность.
  • привить интерес к предмету.

Просмотр содержимого документа
«Конспект урока алгебры в 7 классе по теме : «Решение систем линейных уравнений с двумя переменными.»»

МОУ «Степано – Крынская школа»

Донецкой Народной Республики

Конспект урока алгебры в 7 классе

по теме : «Решение систем линейных уравнений с двумя переменными.»

Подготовила и провела

Тип урока: закрепления знаний и отработки умений

Цель урока: сформировать у учащихся практические умения решения систем линейных уравнений. Применять систем линейных уравнений к решению задач.

создать условия для обобщения, углубления и закрепления основных знаний, приобретенных за время изучения темы;

использование их при решении текстовых задач;

совершенствование практических умений учащихся.

развитие познавательных процессов учащихся таких как: внимание, память, речь, мышление, восприятие;

развитие интеллектуальных и творческих способностей обучающихся

совершенствование у обучающихся логических операций анализа, синтеза, сравнения, систематизации и обобщения;

развитие воли, эмоций, интересов, способностей и личностных качеств учащихся.

воспитать у учащихся культуру поведения, чувство ответственности;

Побуждать учеников к самоконтролю, вызывать у них потребность в обосновании своих высказываний.

воспитывать коммуникативные компетентности обучающихся, толерантное отношение к окружающим, чувство доброты, сострадания, желание прийти на помощь, аккуратность, дисциплинированность.

привить интерес к предмету.

Основные методы: устный опрос, взаимопроверка, беседа, письменные упражнения, групповая, коллективная работа.

Оборудование : мультимедийный проектор, ноутбук, экран, карточки.

1. Организационный момент. – 1 мин

2.Проверка домашнего задания. – 1 мин

3. Мотивация урока. – 1 мин

4. Сообщение темы и цели урока. — 1 мин

5. Мотивация учебной деятельности. – 1 мин

6.Актуализация опорных знаний. – 10 мин

7. Закрепление изученного материала. — 24

8.Домашнее задание. – 1 мин

9.Итог урока. – 5 мин

Добрый день, добрый час!
Как я рада видеть вас.
Друг на друга посмотрели
И тихонечко все сели.

Мы сюда пришли учиться,
Не лениться, а трудиться.
Работаем старательно,
Слушаем внимательно!

(Психологический настрой учащихся на продуктивную творческую работу.

2.Проверка домашнего задания. (Учитель сбирает тетради)

Эта история произошла давным – давно. В древнем городе жил добрый мудрец и злой человек, который завидовал славе мудреца. И решил он придумать такой вопрос, чтобы мудрец не смог на него ответить. Пошёл он на луг, поймал бабочку, сжал между сомкнутыми ладонями и подумал: « Спрошу – ка я: о, мудрейший, какая у меня бабочка – живая или мертвая? Если он скажет, что мертвая, я раскрою ладони – бабочка улетит, а если скажет, что живая, я сомкну ладони, и бабочка умрёт». Так завистник и сделал. Поймал бабочку, посадил между ладоней, отправился к мудрецу и спросил его: «Какая у меня бабочка живая или мертвая»? Мудрец ответил: «Всё в твоих руках!»

Как часто, ребята, нам кажется, что ничего не понимаю, ничего не знаю, ничего не решу! Но я хочу повторить слова мудреца «все в твоих руках». Пусть эти слова будут девизом нашего урока.

4. Сообщение темы и цели урока

— Дорогие ребята! Однажды польский писатель Станислав Лем сказал, что, для того, чтобы что-то узнать, нужно уже что-то знать. (слайд 2) Скажите, пожалуйста, какие темы мы изучали на предыдущих уроках? (Ответы обучающихся)

— Какой будет тема нашего сегодняшнего урока? (Ответы обучающихся)(слайд3)

-Вы правы, тема этого урока «Решение систем линейных уравнений с двумя переменными «. — урок закрепления изученного материала.

— Запишите в тетрадях «Двенадцатое марта. Классная работа. Тема: « …..»

— Какой будет цель нашего урока? (Ответы обучающихся)

— Молодцы! Сегодня наша цель – усовершенствовать умение использовать графический способ, способ подстановки, способ сложения к решению систем линейных уравнений, проверить свое умение применять приобретенные знания к решению задач. (слайд 4)

— И поможет нам работать совет Конфуция (слайд 5)

«Чем бы Вы ни занимались в жизни, делайте это всем своим сердцем», Чтобы добиться успеха в жизни, что бы вы ни делали, делайте это с полной отдачей или не делайте вовсе.

— Скажите, сможем ли мы достичь цели урока? (Ответы обучающихся)

— Я также надеюсь, что нам всем вместе удастся добиться успеха.

5. Мотивация учебной деятельности (слайд 6)

Проанализируем логическую взаимосвязь между содержательными линиями

Алгебра

Числа; действия над числами

Выражения; преобразование выражений

Уравнения и системы уравнений

— Для чего мы знакомимся с системами уравнений, рассматриваем алгоритмы решения разными способами? (Ответы обучающихся)

— Да, эти знания нам необходимы для того, чтобы получить определенное «орудие» для самого важного – решения текстовых задач, прикладных задач, моделирования реальных процессов и явлений.

6.Актуализация опорных знаний.

Повторение базовых понятий данной темы:

Что называется системой двух линейных уравнений с двумя переменными? (Линейной системой двух уравнений с двумя переменными называется система вида

где — некоторые числа (одновременно не равны нулю),

Дать определение решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными.

(Решением системы называются пара значений (х;у), которая обращает каждое уравнение системы в верное равенство)

Что представляет собой график линейного уравнения?

(Если хотя бы один из коэффициентов a, b линейного уравнения ax+by+c=0 отличен от нуля, то графиком уравнения служит прямая линия.)

Как графически изображается решение системы двух линейных уравнений?

(Координаты точки пересечения графиков линейных уравнений являются решением системы двух линейных уравнений.)

5. Сколько общих точек могут иметь две прямые, которые лежат в одной плоскости?

1.Ни одной. 2. Одну. 3. Бесконечное множество.

6. Какова взаимосвязь между предыдущим вопросом и количеством решений системы двух линейных уравнений с двумя переменными?

Количество решений системы равно числу общих точек прямых, являющихся графиками уравнений системы.

Устный счет: «Одним взглядом» (слайд 8-12)

— Сколько решений имеет система?

Через какую из точек проходит график уравнения ?

Через какую из точек проходит график уравнения ?

Через какую из точек проходит график уравнения?

— Вспомним, какие существуют способы решения систем линейных уравнений с двумя переменными? (слайд 13)

— Сформулируйте алгоритм решения системы линейных уравнений графическим способом.

— Сформулируйте алгоритм решения системы линейных уравнений способом подстановки.

— Сформулируйте алгоритм решения системы линейных уравнений способом сложения.

— У вас на партах лежат карточки, определите каким способом удобно решить систему, и подпишите рядом с системой способ.

7. Закрепление изученного материала

Собраться вместе – это начало, держаться вместе – это прогресс, работать вместе – это успех.

(Генри Форд, американский предприниматель) (слайд14)

Решить систему уравнений с двумя переменными

1 команда- методом подстановок

2 команда- методом сложения

3 команда- графическим методом

Решить систему уравнений повышенного уровня сложности:

Ответ х=5, =8. (слайд 17 )

Фильтр от сигареты разлагается на 10 лет дольше, чем консервная банка. С созданием материалов, разлагающихся под воздействием света можно уменьшить период разложения фильтра в 2 раза, а консервной банки в 5 раз, тогда разница между периодами разложения будет 32 года. Найти период разложения каждого предмета.

Итог (теоритический материал) (слайд 21)

— Творческое задание. Составить три системы уравнений и решить разными способами», кроссворд по теме: «Уравнения с одной переменной и методы их решения»

Совет Конфуция по выполнению домашнего задания (слайд 23)

Когда вам покажется, что цель недостижима, не изменяйте цель —изменяйте свой план действий.

Анализ проделанной работы, выставление оценок.

Учитель: Какую цель ставили в начале урока? Достигли?

— Я предлагаю вам самим оценить свою работу на уроке отвечая на вопросы.

Чему мы будем учиться на следующих уроках? (Решать задачи с помощью систем линейных уравнений с двумя переменными)

Решение задач с помощью систем линейных уравнений

Алгоритм решения задачи с помощью системы линейных уравнений

  1. Обозначить неизвестные величины переменными («от смысла к буквам»).
  2. По условию задачи записать уравнения, связывающие обозначенные переменные.
  3. Решить полученную систему уравнений.
  4. Истолковать результат в соответствии с условием задачи («от букв к смыслу»).

Задуманы два числа. Если от первого отнять второе, то получается 10. Если к первому прибавить удвоенное второе, то получается 91. Найдите задуманные числа.

«От смысла к буквам»:

Пусть x и y — задуманные числа.

Уравнения по условию задачи::

Решение системы уравнений:

«От букв к смыслу»:

Задуманы числа 37 и 27.

Примеры

Пример 1. Периметр прямоугольника равен 48 см. Его длина больше ширины в 3 раза.

Найдите стороны прямоугольника.

Пусть a и b — длина и ширина прямоугольника.

$$ <\left\< \begin P = 2(a+b) = 48 \\ a = 3b \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin a+b = 24 \\ a = 3b \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 3b+b = 24 \\ a = 3b \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 4b = 24 \\ a = 3b \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin a = 18 \\ b = 6 \end \right.> $$

Ответ: длина прямоугольника 18 см, ширина 6 см.

Пример 2. Два программиста из Бомбея, работающие в одном проекте, написали 100500 строк кода. Первый работал 70 дней, второй – 100 дней. Сколько строк писал каждый программист ежедневно, если за первые 30 дней первый написал на 5550 строк больше, чем второй?

Пусть x — ежедневное количество строк для 1-го программиста, y- для 2-го.

$$ <\left\< \begin 70x+100y = 100500 |:10 \\ 30x-30y = 5550 |:30 \end \right.> (-) \Rightarrow <\left\< \begin 7x+10y = 10050 \\ x-y=185 | \times 10 \end \right.>$$

$$ \Rightarrow (+) <\left\< \begin 7x+10y = 10050 \\ 10x-10y = 1850 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 17x = 11900 \\ y = x-185 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin x = 700 \\ y = 515 \end \right.> $$

Ответ: 700 строк и 515 строк

Пример 3. За 2 кг конфет и 3 кг печенья заплатили 1540 руб. Сколько стоит 1 кг конфет и 1 кг печенья, если 2 кг печенья дороже 1 кг конфет на 210 руб.?

Пусть x — цена за 1 кг конфет, y — за 1 кг печенья.

$$ <\left\< \begin 2x+3y = 1540 \\ 2y-x = 210 | \times 2 \end \right.> \Rightarrow (+) <\left\< \begin 2x+3y = 1540 \\ -2x+4y = 420 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 7y = 1960 \\ x = 2y-210 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin x = 350 \\ y = 280 \end \right.> $$

Ответ: 1 кг конфет — 350 руб. и 1 кг печенья — 280 руб.

Пример 4. Катер за 3 ч движения против течения реки и 2 часа по течению проходит 73 км. Найдите собственную скорость катера и скорость течения, если за 4 ч движения по течению катер проходит на 29 км больше, чем за 3 ч движения против течения.

Пусть v — скорость катера (км/ч), u — скорость течения (км/ч).

$$ \Rightarrow <\left\< \begin 5v-u = 73 \\ v+7u = 29 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 5(29-7u)-u = 73 \\ v = 29-7u \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 145-35u-u = 73 \\ v = 29-7u \end \right.> \Rightarrow$$

Ответ: скорость катера 15 км/ч и скорость течения 2 км/ч

Пример 5. 5 карандашей и 3 тетрадки вместе стоили 170 руб. После того, как карандаши подешевели на 20%, а тетрадки подорожали на 30%, за 3 карандаша и 5 тетрадок заплатили 284 руб. Найдите первоначальную цену карандаша и тетрадки.

Пусть x – первоначальная цена карандаша, y — тетрадки.

$$ <\left\< \begin 5x+3y = 170 \\ 3\cdot0,8x+5\cdot1,3y = 284 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 5x+3y = 170 |\times \frac<2,4> <5>\\ 2,4x+6,5y = 284 \end \right.> \Rightarrow (-) <\left\< \begin 2,4x+1,44y = 81,6 \\ 2,4x+6,5y = 284 \end \right.> $$

Ответ: карандаш сначала стоил 10 руб., тетрадка — 40 руб.

Пример 6*. Велосипедист планирует добраться из пункта А в пункт В. Если он будет ехать на 3 км/ч быстрее, чем обычно, он доберётся на 1 час раньше. А если он будет ехать на 2 км/ч медленней, чем обычно, то – на 1 час позже. Найдите обычную скорость велосипедиста и время поездки при этой скорости.

Пусть v – обычная скорость велосипедиста (км/ч), t — обычное время (ч).

Расстояние между А и В неизменно, и по условию равно:

Ответ: обычная скорость 12 км/ч, время 5 ч

Пример 7*. В одной бочке налито 12 л, во второй – 32 л. Если первую бочку доверху наполнить водой из второй, то вторая бочка будет наполнена ровно наполовину своего объёма. Если вторую бочку доверху наполнить водой из первой, то первая бочка будет наполнена на 1/6 своего объёма. Найдите объём каждой бочки.

Пусть x — объём первой бочки (л), y – объём второй (л).

Пусть a л перелито из второй бочки, и первая наполнилась до краёв, а во второй воды осталось наполовину:

Теперь пусть b л перелито из первой бочки, и вторая наполнилась до краёв, а в первой воды осталось на 1/6:

$$ <\left\< \begin x+ \frac<1> <2>y = 44 | \times 2 \\ \frac<1> <6>x+y = 44 \end \right.> \Rightarrow (-) <\left\< \begin 2x+y = 88 \\ \frac<1> <6>x+y = 44 \end \right.> \Rightarrow (+) <\left\< \begin 1\frac<5> <6>x = 44 \\ y = 88-2x \end \right.> \Rightarrow $$

Ответ: первая бочка 24 л, вторая – 40 л

Пример 8*. Если школьник едет в школу на автобусе, а возвращается домой пешком, то он тратит на всю дорогу полтора часа. Если он едет туда и обратно на автобусе, то он тратит полчаса. Сколько времени потратит школьник, если он пойдёт туда и обратно пешком?

Пусть s — расстояние между домом и школой, v — скорость автобуса, u — скорость школьника, t — искомое время, потраченное на дорогу туда и обратно пешком.

По условию задачи:

Из второго уравнения $ \frac = \frac<0,5> <2>= 0,25 $. Подставляем в первое уравнение:

И тогда искомое время:

$$ t = \frac<2s> = 2\cdot1,25 = 2,5 (ч) $$

Тренажеры по алгебре на тему «Задачи на составление систем уравнений» (7 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 2 500 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

Тренажер Задачи на составление с/у.

1.Сумма двух чисел равна 131, а их разность -41. Найдите эти числа.

2. У Ивана 25 монет по 25 копеек и по 10 копеек, всего на сумму 1 руб. 50 коп.(1руб=100коп). Сколько 5-копеечных и сколько 10-копеечных монет у Ивана?

3. Брат и сестра, работая летом на почте, заработали 230 руб.Брат заработал на 40 руб больше сестры. Сколько заработал каждый?

4. Николай на выполнение домашней работы по математике затратил на 30 мин больше, чем по географии. Всего на эти два предмета у него ушло 1ч.40мин. Сколько времени потребовалось на каждый предмет?

5. Андрей старше Олега на 4 года, а Олег старше Бориса в 1,5 раза. Вместе им 36 лет. Сколько лет каждому из них?

6. У причала находилось 6 лодок, часть из которых была двухместными, а часть трехместными. Всего в эти лодки может поместиться 14 человек. Сколько двухместных и сколько трехместных лодок было у причала?

7. На одно платье и 3 сарафана пошло 9м ткани, а на 3 таких же платья и 5 таких же сарафанов -19м ткани. Сколько ткани потребуется на одно платье и сколько на один сарафан?

8. Для одной лошади и двух коров выдают ежедневно 34 кг сена, а для двух лошадей и одной коровы – 35 кг сена. Сколько сена выдают ежедневно одной лошади и сколько одной корове?

9. Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу из двух поселков и встретились через 3 часа. Расстояние между поселками 30 км. Найдите скорость каждого пешехода, если у одного она на 2 км/ч меньше, чем у другого.

10.В городской думе заседало 60 депутатов, представляющие две партии. После выборов число депутатов от первой партии увеличилось на 12%, а от второй партии – уменьшилось на 20%. Сколько депутатов от каждой партии оказалось в городской думе после выборов, если всего было выбрано 56 депутатов?

11, Школьная баскетбольная команда в двух играх заработала 95 очков. Если удвоить количество очков, полученных в первой игре, то это на 5 меньше, чем количество очков, полученных во второй игре. Сколько очков заработала каждая команда в каждой игре?

12. Мотоциклист ехал 3 ч. По проселочной дороге и 0,5ч. По шоссе, всего он проехал 110км. Скорость мотоциклиста по шоссе была на 10 км/ч больше, чем по проселочной дороге. С какой скоростью ехал мотоциклист по шоссе, а с какой – по проселочной дороге?

13. В зале расставили одинаковыми рядами 48 стульев. Рядов оказалось на 8 больше, чем стульев в каждом ряду. Сколько стульев в каждом ряду и сколько рядов в зале?

14. Все имеющиеся яблоки можно разложить в 6 пакетов или в 4 коробки. Сколько кг яблок имеется, если в пакет помещается на 1 кг яблок меньше, чем в коробку?

15. Двое рабочих изготовили по одинаковому количеству деталей. Первый выполнил эту работу за 5ч, а второй за 4ч, так как изготовлял в час на 12 деталей больше первого. Сколько деталей изготовил каждый рабочий?

16. Во время путешествия Николай проделал путь в 1100 км на самолете и на автобусе. На автобусе он пролетел расстояние в 4,5 раза большее, чем проехал на автобусе. Какое расстояние Николай пролетел на самолете?


источники:

http://reshator.com/sprav/algebra/7-klass/resheniya-zadachi-s-pomoshchyu-sistemy-linejnyh-uravnenij/

http://infourok.ru/trenazheri-po-algebre-na-temu-zadachi-na-sostavlenie-sistem-uravneniy-klass-397377.html