8 класс модуль 2 3 тема методы решения квадратных уравнений

Методы решений квадратных уравнений 8 класс
план-конспект урока по алгебре (8 класс) на тему

Презентация к уроку «Методы решений квадратных уравнений» 8 класс

Скачать:

ВложениеРазмер
metody_resheniy_kvadratnyh_uravneniy_8_klass.pptx605.03 КБ

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Методы решения квадратных уравнений Уравнение – это золотой ключ, открывающий все математические сезамы. С.Коваль

1 . Теоретическая разминка. 2. Тест. 3. Практикум. 4. Историческая справка. 5. Презентация специальных методов решения квадратных уравнений. 6. Общие методы решения квадратных уравнений 6. Домашнее задание. План урока

Термин «квадратное уравнение» впервые ввёл Кристиан Вольф Кристиан Вольф — знаменитый немецкий философ. Родился в 1679 г. в Бреславле, в семье простого ремесленника. Изучал в Йене сначала богословие, потом математику и философию.

Английский математик, который ввёл термин «дискриминант». Сильвестр Джеймс Джозеф

В 13 – 16 веках даются отдельные методы решения различных видов квадратных уравнений. Слияние этих методов произвел в 1544 году немецкий математик Михаэль Штифель. Михаэль Штифель

Уравнение какого вида называют квадратным? Как по названиям различают коэффициенты а, в и с? Объясните, в чём заключается смысл ограничения в определении квадратного уравнения (а ≠ 0). Перечислите виды квадратных уравнений. Какое квадратное уравнение называется приведённым,а какое неприведённым? Приведите примеры. Какое квадратное уравнение называется полным, а какое неполным? Приведите примеры. Что называют корнем квадратного уравнения? Что значит решить квадратное уравнение? Сколько корней имеет квадратное уравнение? Способы решения неполных квадратных уравнений. Что называют дискриминантом квадратного уравнения? Как с помощью дискриминанта различают квадратные уравнения по числу корней? Правило решения полного квадратного уравнения. ВОПРОСЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ РАЗМИНКИ

Неполные квадратные уравнения Если 0, то

РЕШЕНИЕ НЕПОЛНЫХ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ в=0 ах 2 +с=0 с=0 ах 2 +вх=0 в,с=0 ах 2 =0 подробнее подробнее подробнее

Алгоритм решения 1.Переносим с в правую часть уравнения. ах 2 = -с. 2. Делим обе части уравнения на а ≠ 0. х 2 = 3.Если > 0 — два решения: х 1 = и х 2 = — Если 0

b = 2k ( четное число)

Специальные методы Метод выделения квадрата двучлена Метод «переброски» старшего коэффициента На основании теорем

Цель: привести квадратное уравнение общего вида к неполному квадратному уравнению. Пример: Метод выделения квадрата двучлена Х 2 – 6х+5=0

Метод выделения квадрата двучлена (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 , (a — b) 2 = a 2 — 2ab + b 2 . Решим уравнение х 2 — 6х + 5 = 0. х 2 — 6х + 5 = 0, (х 2 — 2∙3х +9)+ 5-9 = 0, (х -3) 2 – 4 = 0. (х -3) 2 = 4. х – 3 = 2; х – 3 = -2. х = 5, х =1. Ответ: 5; 1.

Корни квадратных уравнений и связаны соотношениями и В некоторых случаях бывает удобно решать сначала не данное квадратное уравнение, а приведенное, полученное «переброской» коэффициента а . Пример: Метод «переброски» старшего коэффициента

Метод “переброски” старшего коэффициента ax 2 + bx + c = 0 и y 2 + by + ac = 0 связаны соотношениями: Решите уравнение 2х 2 — 9х – 5 = 0. у 2 — 9у — 10 = 0. D=81+40=121, получаем корни: у=-1;у= 10, далее возвращаемся к корням исходного уравнения: х = — 0,5; х = 5. Ответ : -0,5; 5.

На основании теорем: 1. Если в квадратном уравнении a+b+c=0 , то один из корней равен 1, а второй 2. Если в квадратном уравнении a+c=b , то один из корней равен -1, а второй Примеры :

Теорема 1. Если в квадратном уравнении a + b + c = 0 , то один из корней равен 1 , а второй равен Решите уравнение 137х 2 + 20х – 157 = 0. 137 х 2 + 20 х – 157 = 0. a = 137, b = 20, c = -157. a + b+ c = 137 + 20 – 157 =0. x 1 = 1, х = Ответ: 1; . .

Теорема 2. Если в квадратном уравнении a + c = b , то один из корней равен -1, а второй равен Решите уравнение 200х 2 + 210х + 10 = 0. 200х 2 + 210х + 10 = 0. a = 200, b = 210, c = 10. a + c = 200 + 10 = 210 = b. х 1 = -1, х 2 = — Ответ: -1; -0,05

Общие методы Разложение на множители; Введение новой переменной; Графический метод .

Метод разложения на множители привести квадратное уравнение общего вида к виду А(х) · В(х)=0, где А(х) и В(х) – многочлены относительно х. Цель: Вынесение общего множителя за скобки; Использование формул сокращенного умножения ; Способ группировки. Способы:

Решите уравнение 4х 2 + 5х + 1 = 0. 4х 2 + 5х + 1 = 0. 4х 2 + 4х + х + 1 = 0. ( 4х 2 + 4х ) + ( х + 1 ) = 0. 4х(х + 1) + (х + 1) = 0. ( х + 1 )( 4х +1) = 0. Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю, а второй при этом не теряет смысла, или когда оба равны нулю. х + 1 = 0 или 4х + 1 = 0, х = -1 или х = — 0,25 . Ответ: -1 ; — 0 ,25. Метод разложения на множители

Введение новой переменной . Умение удачно ввести новую переменную – важный элемент математической культуры. Удачный выбор новой переменной делает структуру уравнения более прозрачной. Решите уравнение (2х+3) 2 = 3(2х+3) – 2.

Метод введения новой переменной Решите уравнение (2х+3) 2 = 3(2х+3) – 2. (2х+3) 2 = 3(2х+3) – 2. Пусть: 2х + 3= t. Произведем замену переменной: t 2 = 3 t — 2. t 2 -3 t + 2 = 0, D =9-4 ∙2=1, D > 0. t 1 = 1, t 2 = 2. Произведем обратную замену и вернемся к переменной х: 2х + 3=1 или 2х + 3=2 , х = -1 или х = -0,5. Ответ: -1; -0,5.

Графический метод Для решения уравнения f(x) = g(x ) необходимо построить графики функций y = f(x), y = g(x) и найти точки их пересечения; абсциссы точек пересечения и будут корнями уравнения. Пример:

Графический метод часто применяют не для нахождения корней уравнения, а для определения их количества.

Практикум Уравнение a b c b 2 — 4ac x 1 x 2 x 1 + x 2 x 1 · x 2 x 2 — 7 x + 12 = 0 5 — 7 -6 5 x 2 = 15 x 3 0 -75

Проверь себя! Уравнение a b c b 2 — 4ac x 1 x 2 x 1 + x 2 x 1 · x 2 x 2 — 7 x + 12 = 0 1 -7 12 1 4 3 7 12 5 x 2 — 7 x — 6 = 0 5 — 7 -6 169 2 -0,6 1,4 -1,2 5 x 2 = 15 x 5 -15 0 225 0 3 3 0 3 x 2 — 75 = 0 3 0 -75 900 5 -5 0 -25

ТЕСТ №1 №2 №3 №4 №5 №6 б д в д а в

№ уравнения № метода 1 100x 2 + 53x – 153 = 0 2 20 x 2 — 6x = 0 3 299x 2 + 300x + 1 = 0 4 3x 2 — 5x + 4 = 0 5 7x 2 + 8x + 2 = 0 6 35x 2 – 8 = 0 7 4x 2 – 4x + 3 = 0 8 (x – 8) 2 – (3x + 1) 2 = 0 9 4(x – 1) 2 + 0,5(x – 1) – 1 = 0 10 12x 2 = 0 3. в=0 ах 2 +с=0 2. с=0 ах 2 +вх=0 1. в,с=0 ах 2 =0 4. b — нечётное ах 2 + bx +с=0 5. b — чётное ах 2 + bx +с=0 6. Теорема Виета. 7. Метод выделения квадрата двучлена. 8. Метод «переброски» старшего коэффициента. 9. Т1 или Т2. 10. Метод разложения на множители. 11. Метод введения новой переменной.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Разработка урока по теме:» Семь методов решения квадратных уравнений. «

Урок обобщения после изучения темы «Квадратные уравнения» в классе физико-математического профиля.

Урок одной задачи.Методы решения квадратного уравнения.

«Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну задачу тремя различными способами, чем решать три-четыре различные задачи.Решая одну задачу различными способами, можно путем сравнения .

Элективный курс. Алгебра 8 кл. Методы решений квадратных уравнений

Элективный курс. Методы решений квадратных уравнений. 8 кл Алгебра.

Устные методы решения квадратных уравнений

Презентация к уроку алгебры (8 класс) по учебнику Алимова, Колягина и др.Представлены устные методы решения квадратных уравнений, основанные на свойствах коэффициентов.В конце урока предусмотрен тест.

Факультативный курс по алгебре в 8 классе «Методы решения квадратных уравнений»

Данный факультатив по математике для учащихся 8-ого класса относится к группе факультативов, которые предназначены как для дополнения знаний учащихся, полученных на уроках, так и для их углубления.

конспект урока по алгебре 8 класс «Различные методы решения квадратного уравнения.»

РАЗРАБОТКА УРОКА ПО ТЕМЕ «рАЗЛИЧНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ&quot.

Методические рекомендации к изучению темы: « Решение квадратных уравнений» с применением теоремы Виета для решения приведенного квадратного уравнения и полного квадратного уравнени

Решать квадратные уравнения учащимся приходится часто в старших классах, Решение иррациональных, показательных , логарифмических ,тригонометрических уравнений часто сводится к решени.

Решение квадратных уравнений с модулем
учебно-методический материал по алгебре (8 класс)

Урок. Решение квадратных уравнений с модулем

Скачать:

ВложениеРазмер
урок26.32 КБ

Предварительный просмотр:

Тема: « Решение квадратных уравнений с

Цель урока: Научить решать квадратные уравнения с модулем с

использованием определения модуля и введением

  1. Организационный момент. (3 мин.)
  2. Повторение изученного материала: (5 мин.)

Способы решения квадратных уравнений:

а) решение квадратных уравнений общим способом (через Д);

б) решение квадратных уравнений с чётным вторым коэффициентом (через Д/4)

в) решение квадратных уравнений с использованием теоремы, обратной теореме Виета;

г) решение квадратных уравнений через сумму коэффициентов

  1. Объяснение нового материала: (20 мин.)

1. Решить уравнение : х 2 – 7IхI + 6 = 0.

а) Используя определение модуля, данное уравнение можно заменить совокупностью двух уравнений:

х 2 – 7х + 6 = 0 и х 2 + 7х + 6 = 0;

х = 1, х = 6; х = -1, х = -6.

Ответ: .

б) Учитывая, что IxI 2 = x 2 , и, обозначив IxI = у, где у 0, данное уравнение можно записать в виде:

х = х = 6

Ответ: .

2. Решить уравнение: (х – 2) 2 – 8I х – 2I + 15 = 0.

Вопрос: Чем данное уравнение отличается от предыдущего?

После ответа на поставленный вопрос, учащиеся решают данное уравнение в тетрадях, сверяя, если есть затруднения, с решением на доске, которое выполняет учащийся.

3. Решить уравнение: х 2 + 4х + Iх +3I + 3 = 0.

Данное уравнение отличается от предыдущих тем, что сумма первых двух слагаемых не является полным квадратом третьего слагаемого. Поэтому, при решении данного уравнения необходимо найти точки, при переходе через которые выражение под знаком модуля изменяет знак. Для этого решаем уравнение

Х + 3 = 0, х = -3. Далее раскрываем знак модуля, используя определение, для х — 3.

При х 2 + 4х — х — 3 + 3 + 0, х 2 + 3х + 0, х = 0, х = -3, но оба эти корни не удовлетворяют условию х

При х — 3, х 2 + 4х + х + 3 + 3 + 0, х 2 + 5х + 6 = 0, х = -2, х = -3.

4. Решить уравнение: х 2 + 17 = 9х + 4Iх – 3I.

Данное уравнение учащиеся решают в тетрадях, сверяя по необходимости с решением, которое выполняет учащийся на доске.

Ответ: ; .

  1. Закрепление изученного материала: (15 мин).

Примеры для самостоятельного решения в классе:

  1. х 2 + 2IхI – 1 = 0, отв. — 1; 1 —
  2. х 2 + 5 IхI -24 = 0, отв. -3; 3.
  3. (2х -3) 2 – 5I2х-3I – 6 = 0. отв. -1,5; 4,5.
  4. 2х 2 – 4Iх – 6I +7х = -11, отв. -6,5; 1.
  5. (2х – 1) (IxI – 1) = -0,5. отв. ; .
  6. Ix 2 +2x +3I = 3х +45 отв.-6; 7.

Данные примеры учащиеся выполняют под контролем учителя, при необходимости учащимся оказывается индивидуальная помощь.

  1. Подведение итогов урока. Домашнее задание. (2 мин).

Примеры для домашнего задания:

  1. 4х 2 – 3IxI + х = 0,
  2. Ix-2Iх 2 = 10 – 5х,
  3. (х + 4) 2 — 7(х + 4) – 8 = 0,
  4. х 2 – 5х — = 0.
  5. Ix 2 – 4x -9I = 4x.

Тема: «Решение квадратных неравенств с модулем».

Цель урока: Научить решать неравенства второй степени с модулем

по определению модуля и с использованием свойств

  1. Организационный момент. (2 мин.)
  2. Устный опрос и проверка домашнего задания. (10 мин.)

а) Ответить на вопросы учащихся (если есть) и проверить решение примеров:

1. х 2 – 5х — =0,

х = 6, (-1 – не удовлетворяет условию)

оба корня 2 и 3 не удовлетворяют условию.

2. I x 2 – 4x -9I =4х.

По смыслу модуля, данное уравнение решаем для х 0.

x 2 – 4x -9 =4х, x 2 – 4x -9 =-4х

х 2 – 8х -9 = 0, х 2 – 9 = 0,

х = 9, (-1 не удовлетворят х = 3, (-3 не удовлетворяет условию) условию)

б) Решить уравнения (устно):

  1. х 2 – 8IxI + 7 = 0 Отв. -1; -7; 1; 7.

2. х 2 – 10IxI -11 = 0 Отв. -11; 11.

3. х 2 – IxI + 17 = 0 Отв. нет решений.

в) Решить линейные неравенства:

2. IxI > 5; отв. (- ; -5) (5; + )

3. I6x — 42I 0; отв. 7.

4. I7x — 56I решений нет.

III. Объяснение и закрепление нового материала. (30 мин)

Объяснение нового материала построено на разборе трёх типовых неравенств с последующим закреплением при решении подобных примеров.

  1. Решить неравенство: х 2 – 8IxI — 9 .

Обозначив левую часть неравенства через У, и введя новую переменную t = IxI, (t 0), найдём промежуток, на котором функция У = х 2 – 8IxI – 9 принимает значения меньше 0. Это интервал (-1; 9).

Учитывая, что t = IxI, и t 0 при любом х, получим линейное неравенство IxI

  1. Решить неравенство: -4х 2 – 7IxI +11 ≤ 0.

Вопрос: Чем данное неравенство отличается от предыдущего?

После ответа на поставленный вопрос, учащиеся решают данное неравенство в тетрадях, сверяя, если есть затруднения, с решением на доске, которое выполняет учащийся.

Ответ: (- ; -1] [1; + ).

  1. Решить неравенство: х 2 — 7х + 12

Находим точки при переходе через которые выражение под знаком модуля изменяет знак:

Рассмотрим два случая:

б) х 4, тогда х 2 — 7х + 12

Очевидно, что это неравенство решений не имеет.

4. Решить неравенство: х 2 — 13х + 42 Ix – 7I.

Данное неравенство учащиеся решают в тетрадях, сверяя по необходимости с решением, которое выполняет учащийся на доске.

Ответ: (- ; 5] [7; + ).

5 Решить неравенство: Ix 2 – 2xI ≤ -x.

При решении данного неравенства будем пользоваться свойством: IaI ≤ b -b ≤ a ≤ b .

x 2 – 2x ≤ -x,

x 2 – x ≤ 0,

Изобразив решение каждого неравенства на числовой прямой, получим:

◦////////////////////◦ x \\\\\\\\\\\\\\\\ ///////// x

х = 0 – единственное решение данного неравенства.

  1. Решить неравенство: Ix 2 – 3x – 16I ≥ 3x.

IV. Подведение итогов урока. Домашнее задание. (3 мин.)

  1. 2х 2 — 5IxI + 3x ≥ 0,
  1. х 2 — 7IxI + 10
  2. Ix 2 – 5xI
  3. I2x 2 – 5xI ≤ 5x,
  4. Ix + 3I > x 2 + 5x + 6,
  5. Ix 2 + 6xI ≤ -3x.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Эффективное решение квадратных уравнений. Приемы устного решения.

Квадратные уравнения – это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических.

урок по информатике в 9 классе по теме «Решение задач с конструкцией ветвление. Алгоритм решения квадратного уравнения»

Конспект и презентация к уроку в 9 классе по теме «Алгоритм решения квадратного уравнения».

План конспект урока по алгебре в 8 классе по теме «Решение квадратных уравнений содержащих параметры, решение нестандартных задач»

План конспект урока по алгебре в 8 классе по теме «Решение квадратных уравнений содержащих параметры, решение нестандартных задач&quot.

Конспект урока по теме: квадратные уравнения. Решение квадратных уравнений.

Урок в 8 классе по теме Учитель математики: Папшева Ю.А. Тема урока: Квадратные уравнения. Ре.

Решение уравнений, сводимых к решению квадратных уравнений

Тема «Решение квадратных уравнений» изучается в 8 классе, и она является одной из самых важных тем при изучении математики. В старших классах при изучении различных тем, мы возвращае.

Методические рекомендации к изучению темы: « Решение квадратных уравнений» с применением теоремы Виета для решения приведенного квадратного уравнения и полного квадратного уравнени

Решать квадратные уравнения учащимся приходится часто в старших классах, Решение иррациональных, показательных , логарифмических ,тригонометрических уравнений часто сводится к решени.

Решение задач по теме «Графические способы решения квадратных уравнений»

Цель урока: закрепить графический способ решения квадратных уравнений при решении задач практического содержания, формировать умения строить математические модели, совершенствование навыков пост.

Урок по теме «Квадратные уравнения, содержащие неизвестную под знаком модуля»

Разделы: Математика

Задача: провести повторение, обобщение и систематизацию знаний учащихся по теме “Квадратные уравнения. Квадратные уравнения, содержащие неизвестную под знаком модуля ”.

Тип урока: урок повторения, обобщения и систематизации знаний.

Организационные формы общения: работа в группах, индивидуальная работа.

Форма проведения урока: беседа с элементами самостоятельной работы учащихся, работа у доски, индивидуальная и групповая работа по выполнению учебных заданий.

Оборудование: ПК, проектор, экран.

I. Организационный момент.

(Приветствие учащихся и проверка готовности к уроку.)

– Квадратные уравнения в школьном курсе математики занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему школьного курса. Сила теории уравнений в том, что она не только имеет теоретическое значение для познания естественных законов, но и служит конкретным практическим целям. Большинство задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению уравнений. Овладевая способами их решения, люди находят ответы на различные вопросы из науки и техники (транспорт, сельское хозяйство, промышленность, связь и т. д.), сегодня на уроке мы должны суметь применить все свои знания и умения к решению квадратных уравнений с параметром и модулем.

II. Постановка цели.

– Тема урока: “Квадратные уравнения, содержащие неизвестную под знаком модуля”. Сегодня у нас урок по решению квадратных уравнений, содержащих неизвестную под знаком модуля. Ребята, как можно сформулировать цель нашего урока исходя из его темы?

– Иными словами, повторить, обобщить и систематизировать весь предшествующий опыт решения квадратных уравнений, квадратных уравнений, содержащих неизвестную под знаком модуля. Для возможности выбора рационального пути решения.

– Итак, наша цель: обобщить опыт решения квадратных уравнений, квадратных уравнений с параметром и модулем, научиться выбирать рациональный путь решения.

III. Воспроизведение и коррекция опорных знаний:

– Прежде всего, вспомним некоторый, изученный материал. Приложение 1

– Выполним устно задания теста. Приложение 2

– Итак, весь необходимый материал повторили, я приглашаю вас на презентацию решения квадратных уравнений, содержащих неизвестную под знаком модуля. Для начала заполним карточки, которые лежат у каждого на столе. Приложение 3

Проверим. Возьмите в руки простой карандаш, сверим ответы.

Поднимите руки те, кто безошибочно справились с работой. Молодцы! Передайте свои заполненные карточки вперед.

IV. Обобщение и систематизация знаний, их применение для выполнения практических заданий:

1. Пример: Решите уравнение: x 2 -5│х│= 0.

Решение. Используя свойство модуля: |a| 2 =a 2 , перепишем данное уравнение в виде: │х│* (│х│– 5) = 0. Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю, а второй при этом не теряет смысла, или когда оба равны нулю. Решив уравнение, имеем: х1= 0, х2,3= +5.

2. Пример: Существует ли на окружности, заданной уравнением (х-3) 2 + (у+1) 2 = 7, точка: а) с абсциссой, равной 1,5; б) с ординатой, равной – 3?

Решение. а) (у+1) 2 = 7 – (1,5 – 3) 2 >0 – такая точка существует; б) (х+3) 2 =7-(-3+1)>0-такая точка существует.

3.Пример: дано соотношение 2а 2 +4а + 2b 2 -4b – 5(a+1)(b-1) +4 = 0. Выразите b через а.

Решение. Имеем 2(а 2 +2a)+2(b 2 -2b) – 5(a+1)(b-1) +4 = 0;

2(a 2 +2a+1) +2(b 2 -2b+1)-5(a+1)(b-1)=0; 2(a+1) 2 -5(a+1)(b-1)+2(b-1) 2 =0.

Рассматривая это равенство, как квадратное уравнение относительно а+1, получим a+1 = 2(b-1) или a+1=(b-1)/2. Следовательно, b = (a+3)/2 или b= 2a+3.

4. Пример: Решите уравнение:│х 2 +х-3│=х.

Решение. Решим методом замены уравнения совокупностью, по определению модуля получаем систему:

5.Пример: Решите уравнение: │х+3│=│2х 2 +х-5│.

Решение. Решим методом замены уравнения совокупностью двух уравнений, по определению модуля получаем:

6.Пример: Решите уравнение: х 2 +(3-а)х-3а ‗0

Ответ: Нет решений при а = -3 и а = 4; при х = а данное уравнение имеет решение.

VI. Усвоение ведущих идей и основных теорий на основе широкой систематизации знаний:

7.Пример: Решите уравнение: │х-2│х 2 =10-5х.

Решение. Так как │х-2│х 2 =5(2-х), то х≤2.

Тогда уравнение примет вид (х-2)х 2 =5(2-х);

8. Пример: Решите уравнение:

Ответ: При b =7 или b = 2: один корень х = 2 b; при b = 1/2 или b = 3: один корень х = b – 1; при остальных b: два корня х = 2 b и х = b – 1.

VII. Оперирование ЗУН-ми в стандартных ситуациях:

9. Пример: Найдите сумму квадратов всех корней уравнения

Решение. Применив метод – введения новой переменной, решим уравнение. Пусть: t = │х│, получим уравнение t 2 – 3t + 1 = 0, имеющее два корня t1 и t2 (так как D>0). Очевидно, что корни t1 и t2 – положительны (t1 + t2 >0, t1 * t2 >0). Следовательно, по свойству модуля исходное уравнение, равносильно совокупности уравнений

имеет четыре корня: + t1, + t2. Их сумма квадратов t1 2 + (-t1 ) 2 + t2 2 + (-t2 ) 2 = 2(t1 2 +t2 2 ). Так как t1 2 +t2 2 = (t1+t2) 2 – 2 t1 t2 = 9 – 2*1 = 7, то искомая сумма квадратов всех корней равна 14.

10.Пример: При каком значении параметра а уравнение (а + 4х – х 2 -1)(а+1-│х – 2│) = 0 имеет три корня?

Решение. Данное уравнение равносильно совокупности уравнений:

Рассмотрим уравнение х 2 – 4х + 1 – а = 0.

Так как ¼ D = 4 – 1 + а = 3 + а, то при а > – 3 оно имеет два корня;

при а = – 3 – один корень; при а – 1 – два корня. При а – 1 каждое из уравнений имеет по два корня, симметричных относительно точки х0 = 2. В этом случае х = 2 не является корнем, а общее число корней уравнений четно.

Итак, исходное уравнение имеет три корня лишь при а = – 1.

VIII. Пауза отдыха:

– Посмотрите на многообразие методов решения. Как, когда, сразу ли появилось такое многообразие? Как много вопросов…

Безусловно, человечество “додумалось” до всего не сразу и не в одночасье. Для этого потребовались долгие годы и даже столетия. Обратимся к историческому путеводителю. Первые упоминания о способах решения уравнений, которые мы сейчас называем квадратными относятся ко второму тысячелетию до н.э. Это эпоха расцвета Вавилонии и Древнего Египта. Первое тысячелетие н.э. – Римские завоевательные войны. К этому периоду относится творчество Диофанта. Его трактат “Арифметика” содержит ряд задач, решаемых при помощи квадратных уравнений. В IX веке узбекский математик Аль-Хорезми в Трактате “Алгебра” классифицирует квадратные уравнения. Для нас это время знаковое тем, что приблизительно в это время образуется древнерусское государство Киевская Русь. Все это время отличные по записи уравнения считались различными. Не было единого подхода к их решению. И только в XVI веке французский юрист, тайный советник короля Франции и математик Франсуа Виет впервые вводит в обращение буквенные обозначения не только для неизвестных величин, но и для данных, то есть коэффициентов уравнения. Тем самым он заложил основы буквенной алгебры.

IX. Выполнение упражнений:

11. Одна из цифр двузначного числа на 3 меньше другой, а сумма квадратов этого числа и числа, полученного перестановкой его цифр, равна 1877. Найдите это число.

Решение. Пусть а – одна из цифр числа, тогда а + 3 – другая цифра. Исходное число имеет вид 10а + (а + 3) = 11а + 3.

После перестановки цифр получится число 10(а + 3) + а = 11а + 30. Согласно условию, получаем уравнение (10а + 3) 2 +(11а+30) 2 = 1877, откуда находим а = 1.

Ответ: 14 или 41.

X. Подведение итогов.

– Сегодня на уроке мы:

1) повторили определение квадратного уравнения;

2) рассмотрели виды квадратных уравнений и алгоритм решения квадратных уравнений, формулы для нахождения корней квадратного уравнения;

3) сформулировали теорему Виета и обратную ей теорему;

4) повторили определение модуля и параметра;

5) рассмотрели способы решения квадратных уравнений, содержащих параметр;

6) рассмотрели способы решения квадратных уравнений, содержащих модуль;

7) обобщили опыт решения квадратных уравнений с параметром и модулем;

8) научились выбирать наиболее рациональный метод решения квадратного уравнения с параметром и модулем.

– Оценки на уроке выставляются: – за теоретический опрос;

– за индивидуальную работу у доски;

– за работу по карточкам;

– за самостоятельную работу.

XI. Домашнее задание и его инструктаж:

М.Л. Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. Приложение 4

(Учащимся предлагается выполнить задание на приготовленных карточках)

  1. Анищенко А.Г. и др. Имена в математике и информатике. – Брянск: РИО Брянского ИПКРО, 1995. – 96 с.
  2. Балаян Э.Н. Как сдать ЕГЭ по математике на 100 баллов. – Ростов-на-Дону: Феникс, 2003. – 288 с.
  3. Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. Москва. 1996 и последующие издания.
  4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа (методические рекомендации и дидактические материалы). – М.: Просвещение, 1986.
  5. Глейзер Г.И. История математики в школе. VII-VIII классы. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1982. – 240 с.
  6. Звавич Л.И., Аверьянов Д.И., Пигарев Б.П., Трушанина Т.Н. Задания для проведения письменного экзамена по математики в 9 классе. Москва “Просвещение” 1994 и последующие издания.
  7. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра. Дополнительные главы к школьному учебнику 8 класса. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. Под ред. Г.В.Дорофеева. Москва “Просвещение” 1997 и последующие издания.
  8. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра. Дополнительные главы к школьному учебнику 9 класса. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. Под ред. Г.В.Дорофеева. Москва “Просвещение” 1997 и последующие издания.
  9. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Дидактические материалы по алгебре для 8 класса с углубленным изучением математики. Москва “Просвещение” 2001 и последующие издания.
  10. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Дидактические материалы по алгебре для 9 класса с углубленным изучением математики. Москва “Просвещение” 2001 и последующие издания.


источники:

http://nsportal.ru/shkola/algebra/library/2021/11/17/reshenie-kvadratnyh-uravneniy-s-modulem

http://urok.1sept.ru/articles/631307