9 класс алгебра уравнения и неравенства с двумя переменными

Урок в 9 классе «Уравнения и неравенства с двумя переменными»

У р о к
Итоговый урок по теме «Уравнения
и неравенства с двумя переменными»

Цели: обобщить и систематизировать знания учащихся по данной теме; закрепить умения решать уравнения, неравенства и их системы с двумя переменными.

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Какие из пар чисел (0; 3), (1; –2), (–1; 1) являются решениями данных систем?

а) в)

б) г)

III. Формирование умений и навыков.

Предложить учащимся карточки-задания разного уровня сложности. Учащиеся выполняют решения самостоятельно, а учитель осуществляет контроль и в случае необходимости дает им консультации.

К а р т о ч к а № 1

1. Докажите, что пара чисел (–5; 2) не является решением системы уравнений

2. Решите систему уравнений:

а) б)

3. Сумма двух чисел равна 25, а их произведение равно 144. Найдите эти числа.

4. Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств:

а) б)

К а р т о ч к а № 2

1. Решите систему уравнений:

а) б)

2. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения параболы у = 4х 2 – 2 и прямой 3х – 2у = –1.

3. Произведение двух чисел на 13 больше их суммы. Если из первого числа вычесть утроенное второе число, то получится 9. Найдите эти числа.

4. Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств:

а) б)

К а р т о ч к а № 3*

1. Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению | у + 1 | = 2 – х.

2. Решите систему уравнений:

а) б)

3. При смешивании первого раствора кислоты, концентрация которого 20 %, и второго раствора этой же кислоты, концентрация которого 50 %, получили раствор, содержащий 30 % кислоты. В каком отношении были взяты первый и второй растворы?

4. При каких значения параметра а система уравнений:

имеет два решения?

5. Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств:

Р е ш е н и е заданий карточки № 1

1. Подставим х = –5 и у = 2 в каждое из уравнений системы:

Значит, пара чисел (–5; 2) не является решением данной системы.

а)

х 1 = –6 у1 = –6 – 3 = –9;

х 2 = 8 у2 = 8 – 3 = 5.

О т в е т: (–6; –9), (8; 5).

б)

у 1 = 1 х1 = 1 – 2 · 1 = –1;

у 2 = 3 х2 = 1 – 2 · 3 = –5.

О т в е т: (–1; 1), (–5; 3).

3. Обозначим первое число за х, а второе – за у. Согласно условию задачи получим систему уравнений:

D = 625 – 4 · 144 = 49;

у 1 = = 16 х1 = 25 – 16 = 9;

у 2 = = 9 х2 = 25 – 9 = 16.

О т в е т: 9 и 16.

а) б)

Р е ш е н и е заданий карточки № 2

1. а)

у 1 = –2 х1 = 5 + (–2) = 3;

у 2 = –8 х2 = 5 + (–8) = –3.

О т в е т: (3; –2), (–3; –8).

б)

х 1 = у1 = 3;

х 2 = – у2 = –3.

О т в е т: (; 3), (–; –3).

2. Чтобы найти координаты точек пересечения данных параболы и прямой, нужно решить систему уравнений:

х 1 = 1 у1 = 4 · 1 – 2 = 2;

х 2 = у2 = 4 · – 2 = .

О т в е т: (1; 2), .

3. Обозначим первое число за х, а второе – за у. Согласно условию задачи получим систему уравнений:

D = 25 + 264 = 289;

у 1 = = 2 х1 = 3 · 2 + 9 = 15;

у 2 = х2 = 3 · + 9 = –2.

О т в е т: (15; 2), .

а) б)

Р е ш е н и е заданий карточки № 3*

1. Раскрывая модуль, получим совокупность двух уравнений:

1) если у ≥ –1, то у + 1 = 2 – х,

Изобразим на координатной плоскости оба этих случая:

а)

Сделаем замену: = а, = b. Получим систему:

Складывая почленно левые и правые части уравнений этой системы, получим равенство:

Значит, система имеет бесконечное множество решений.

Выразим из второго уравнения переменную а через переменную b:

a = .

Возвращаясь к замене, получим:

Получаем, что исходная система имеет бесконечное множество решений вида , где у ≠ 0 и у.

Например, это могут быть такие пары, как , (2; –1), (1,2; –2). И т. д.

б)

Обозначим х + у = т, а ху = п. Тогда имеем:

т 1 = –10 п1 = –10 + 29 = 19;

т 2 = 13 п2 = 13 + 29 = 42.

Возвращаясь к замене, получим системы:

Решая эти системы, получаем ответ.

О т в е т: (6; 7), (7; 6), (–5 + ; –5 – ), (–5 – ; –5 + ).

3. Пусть было взято x г первого раствора и y г – второго раствора. По условию в первом растворе было 0,2x г кислоты, а во втором – 0,5y г кислоты.

После смешивания получили 30 %-ный раствор, то есть в нем было 0,3 (x + y) г кислоты. Масса кислоты после смешивания двух растворов равна сумме масс исходных растворов.

Получаем, что первый и второй растворы были взяты в отношении 2 : 1.

4.

Вычтем почленно из второго уравнения системы первое:

Тогда данную систему уравнений можно представить как совокупность двух систем:

1) 2)

Исходная система будет иметь два решения в трех случаях:

– если каждая из систем имеет по одному решению;

– если первая система имеет два решения, а вторая – решений не имеет;

– если вторая система имеет два решения, а первая – решений не имеет.

Если в каждой из полученных систем выразить одну переменную через другую и найти дискриминант, то в обоих случаях получим:

Выражение 4а – 10 не может быть одновременно больше и меньше нуля, поэтому подходит тот случай, когда каждая из систем имеет единственное решение, то есть, когда D = 0:

5.

Для построения графика уравнения х 2 – у 2 = 0 воспользуемся формулой разности квадратов. Получим:

(ху) (х + у) = 0

Для построения графика уравнения у = | х + 2 | необходимо раскрыть знак модуля и рассмотреть два случая.

Домашнее задание: № 527 (а, г), № 528 (а), № 529 (а), № 542, № 555.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ И ПРАКТИЧЕСКИЙ СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ ПО АЛГЕБРЕ 9 КЛАССА ПО ТЕМЕ»УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 300 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

Работа учителя математики

Ершова Елена Владимировна

Высшая категория ДНР Горловская ОШ №17

по теме «Уравнения и неравенства с двумя переменными»

I. УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ

1.Равенство, которое содержит две переменные называют уравнением с двумя переменными.

2.Решение уравнения с двумя переменными х и у -это упорядоченная пара ( х; у), преобразующая уравнение в верное равенство.

3.За степень целого уравнения с двумя переменными, левая часть которого –многочлен стандартного ,а правая часть –нуль, принимается степень этого многочлена (5 +4ху -7 =0-уравнение третей степени).

4.Графиком уравнения с двумя переменными х и у –это множество точек координатной плоскости с координатами ( х ;у ),где пара ( х ;у )является решением данного уравнения с двумя переменными.

5 . Алгоритм построения графика уравнения с двумя переменными:

-Если уравнение можно привести к виду (х-ɑ) 2 (у-b) 2 ,где ɑ,b-произвольные числа, а R0,то графиком этого уравнения будет окружность радиуса R с центром (ɑ;b).

-В других случая(если нет модуля)выражаем у через х и строим график полученной функции у = f (х )

6.Графики некоторых уравнений

х=ɑ+ bу +с — парабола, с вершиной(с- ; ),если ɑ 0,ветки направлены вправо,ɑ0,ветки направлены влево

|х|+|у|=1 -квадрат с центром (0;0),диагонали квадрата лежат на осях ОХ и ОY

Системы уравнений с двумя переменными .

Система уравнений – это несколько уравнений, для которых находят общее решение

7.Решением системы уравнений с двумя переменными называется такая пара значений переменных (х ;у ),которая является решением каждого из уравнений системы.

8.Решить систему уравнений с двумя переменными значит, найти все ее решения или доказать, что их нет.

9.Если система не имеет решений, ее называют несовместимой.

10 . Алгоритм решения системы уравнений с двумя переменными х и у графическим способом:

-Выполняем равносильные преобразования системы ,чтобы было удобно строить графики уравнений системы;

-строим графики каждого из уравнений системы в одной прямоугольной системе координат;

-находим координаты точек пересечения графиков .Эти координаты и есть решение системы.

Пример. Решим графически систему уравнений:

Решение. Выделяя полные квадраты, получаем:

Следовательно, исходная система уравнений равносильна системе:

Графиком первого уравнения является окружность с центром и радиусом 5. Графики уравнений представлены на рисунке 1.

Графиком второго уравнения является уравнение прямой, проходящей через точки и Строим окружность радиуса 5 с центром в точке и проводим прямую через точки и Эти линии пересекаются в двух точках . Значит решение системы:

Рис.1

Ответ. ;

Пример. Решим графически систему уравнений:

Решение. Построим в одной системе координат графики уравнений и найдем координаты точек пересечения этих графиков. Построим на координатной плоскости окружность с центром в точке и и параболу у = х 2 +х–2 с вершиной в точке и точками пересечения графика функции и оси Графики уравнений представлены на рисунке 2. Видим, что окружность и парабола не пересекаются, следовательно, система не имеет решений.

Рис.2

Ответ. Система не имеет решений.

11 . Алгоритм решения систем способом подстановки:

-из одного уравнения системы выразим одну переменную через другую;

-найденное значение подставим в другое уравнение системы, получив равносильное уравнение с одной переменной;

-решаем полученное уравнение и находим значение этой переменной;

-подставляем найденное значений переменной в уравнение для первой переменной, получаем значение этой переменной. Записываем ответ.

Пример.Решить систему уравнений способом подстановки:

12. Алгоритм решения систем способом сложения:

-уравняем коэффициенты возле одной переменной путем почленного умножения обоих частей уравнения на подобранные множители;

-складываем (вычитаем ) почленно уравнения системы, исключая одну переменную;

-решаем полученное уравнение с одной переменной;

-находим значение второй переменной подстановкой. Записываем ответ.

Пример. Решить систему уравнений способом сложения:

13.Схема решения задач с помощью систем уравнений с двумя переменными

а) Выделяем в условии задачи две неизвестные величины (искомые или те, из которых можно выразить искомые величины)и обозначим их буквами х и у.

б) По условию задачи составляем два уравнения с переменными х и у

в) Решаем систему этих уравнений

г) Объясняем найденные решения в соответствии с условием задачи. Записываем ответ.

14.Таблица для решения задач на движение

15.Таблица для решения задач на совместную работу 16.Таблица для решения задач на процентный состав вещества Неравенства с двумя переменными

17.Неравенство вида f( х;у )0;f(х;у)0;f(х;у)0;f(х;у)0 называют неравенством с двумя переменными (у0,5х +4-содержит две переменные).

18.Решением неравенства с двумя переменными называется пара значений переменных (х;у), которая превращает неравенство в правильное числовое неравенство.

19.Графиком неравенства с двумя переменными называют множество всех точек координатной плоскости с координатами (х;у),где эта пара является решение данного неравенства.

20. Алгоритм решения неравенств и систем неравенств с двумя переменными:

а ) Строим график функции у = f (х), который разбивает плоскость на две полуплоскости.

б) Выбираем любую из полученных областей и рассматриваем в ней произвольную точку. Проверяем выполняемость исходного неравенства для этой точки .Если в результате проверки получается верное числовое неравенство ,то заключаем, что данное неравенство выполняется для всей области которой принадлежит выбранная точка. Таким образом ,множество решений неравенства -область, которой принадлежит выбранная точка. Если в результате проверки получается неверное числовое неравенство, то множеством решений неравенства будет вторая область ,которой выбранная точка не принадлежит;

в) Если неравенство строгое, то границы области, т.е.точки графика у= f(х),не включают в множество решений и границу изображают пунктиром. Если неравенство нестрогое, то границы графика функции у= f(х),включают в множество решений и границу в таком случае изображают сплошной линией.

21. Найдем полуплоскость, определяемую неравенством .

Решение. Построим прямую .Данная прямая не проходит через начало координат. Следовательно, в качестве контрольной точки для решения неравенства целесообразно взять точку .

Подставим координаты точки в неравенство, получим неверное числовое неравенство . Следовательно, точка не принадлежит области решений неравенства. Другими словами, полуплоскость, определяемая неравенством, не содержит точку . На рисунке 1. искомая полуплоскость заштрихована.

Рис.1

В общем случае множество решений системы неравенств представляет собой ограниченную или неограниченную область плоскости , линию, точку, пустое множество.

Пример.22 Решим графически систему неравенств:

Решение. Так как , то ; так как , то . Строим прямые и (Рис.2).

Множество решений неравенства состоит из точек плоскости, лежащих под прямой , а неравенство – из точек, лежащих над прямой (Рис.2), то есть множество решений каждого из этих линейных неравенств есть полуплоскость.

Графически решение данной системы неравенств есть пересечение полуплоскостей, не включая границу (Рис.2).

Рис.2

23. Изобразим на координатной плоскости множество решений неравенства .

Решение. Преобразуем неравенство к виду: . Построим на координатной плоскости параболу . Парабола разбивает плоскость на две области и . : ; ; (Рис. 3).

Решением неравенства является множество точек плоскости, лежащих выше параболы и поскольку неравенство нестрогое, то в решение неравенства входит множество точек плоскости, лежащих на параболе .

Решение данной системы неравенств представлено на рисунке 3.

24. Изобразим на координатной плоскости множество решений системы неравенств:

Решение. , .

Геометрически, решением системы неравенств , является множество точек первого координатного угла (Рис.4).

Решением неравенства поскольку , является множество точек лежащих выше ветви гиперболы, служащей графиком функции .

Решением неравенства является множество точек, лежащих ниже прямой и на прямой, служащей графиком функции .

Решение данной системы неравенств представлено на рисунке 4.

25. Решим графически систему неравенств:

Решение. Построим параболу и прямую . Множество, заданное системой неравенств, состоит из точек, лежащих на параболе или под ней и одновременно на прямой или над ней.

Решение данной системы неравенств представлено на рисунке 5.

Рис.5 Рис.6

26. Решим графически систему двух неравенств:

Решение. Решением первого неравенства являются точки полуплоскости с границей , включая эту прямую. Решением второго неравенства является внутренность круга с центром в начале координат и радиусом, равным , включая точки окружности, которая является границей круга.

Решением системы неравенств является множество точек координатной плоскости, ограниченное дугой окружности и прямой . Решение данной системы неравенств представлено на рисунке 6.

.Симметрические системы .Метод введения новой переменной.

Симметрическая система-система, все уравнения которой симметрические. Симметрические уравнения от двух переменных х и у – уравнения, которые не изменяются при замене х на у и у на х.

Урок.»Неравенства с двумя переменными.»
методическая разработка по алгебре (9 класс) на тему

9 класс. Тема урока:»Неравенства с двумя переменными.» Объяснение нового материала.

Скачать:

ВложениеРазмер
urok_1_neravenstva_s_dvumya_peremennymi.docx210.89 КБ

Предварительный просмотр:

Тема: Неравенства с двумя переменными.

Учебная задача. Формирование системы фактов «неравенства с двумя переменными», «линейные неравенства».

дидактическая: ввести понятие неравенства с двумя переменными и его решения; формировать умение решать линейные неравенства с двумя переменными..

психологическая: формирование видов учебно-познавательной деятельности;

воспитательная: проверка грамотной устной и письменной математической речи учащихся.

I.Организационный момент. Сообщение темы и цели урока.

Девиз нашего урока:

«Знание собирается по капле »

II. этап. Устно- письменный опрос учащихся с целью установления содержательных связей между ведущими линиями школьного курса математики.

1. Какие из следующих чисел: –2; –1; 0; 2; 3 – являются решением неравенства х 3 – 2х ≥ 1?

2. Подберите два каких-нибудь числа разных знаков, чтобы их сумма была больше 5.

Контроль усвоения материала(самостоятельная работа).

1.Сумма двух чисел равна 30, а их произведение равно 216. Найдите эти числа.

2. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 20 см, а его периметр равен 48 см. Найдите катеты треугольника.

1.Сумма двух чисел равна 40, а их произведение равно 364. Найдите эти числа.

2. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 25 см, а его периметр равен 60 см. Найдите катеты треугольника.

III. Объяснение нового материала.

1. Понятие неравенства с двумя переменными и его решения.

2. Линейное неравенство с двумя переменными.

Рассмотрим неравенства: 0,5х 2 -2у+l 20 -неравенство с двумя переменными.

Рассмотрим неравенство 0,5х 2 -2у+l

При х=1, у=2. Получим верное неравенство 0,5 • 1 — 2 • 2 + 1

Пару чисел (1; 2), в которой на первом месте — значение х, а на втором — значение у, называют решением неравенства 0,5х 2 -2у+l

Определение. Решением неравенства с двумя переменными называется пара значений этих переменных, обращающая данное неравенство в верное числовое неравенство.

Если каждое решение неравенства с двумя переменными изобразить точкой в координатной плоскости, то получится график этого неравенства. Он является некоторой фигурой. Говорят, что эта фигура задается или описывается неравенством.

Рассмотрим линейные неравенства с двумя переменными.

Определение. Линейным неравенством с двумя переменными называется неравенство вида ах + by с, где х и у — переменные, а, b и с — некоторые числа.

Если в линейном неравенстве с двумя переменными знак неравенства заменить знаком равенства, то получится линейное уравнение. Графиком линейного уравнения ах + by = с, в котором а или b не равно нулю, является прямая линия. Она разбивает множество не принадлежащих ей точек координатной плоскости на две области, представляющие открытые полуплоскости.

На примерах рассмотрим, как изображается множество решений неравенства с двумя переменными на координатной плоскости.

Пример 1. Изобразим на координатной плоскости множество решений неравенства 2у+3х≤6.

Строим прямую 2у+3х=6, у=3-1,5х

Прямая разбивает множество всех точек координатной плоскости на точки, расположенные ниже ее, и точки, расположенные выше ее. Возьмем из каждой области по контрольной точке: А(1;1), В(1;3).

Координаты точки А удовлетворяют данному неравенству 2у+3х≤6, 2·1+3·1≤6, 5≤6

Координаты точки В не удовлетворяют данному неравенству 2у+3х≤6, 2·3+3·1≤6.

Данное неравенство может изменить знак на прямой 2у+3х=6, то неравенству удовлетворяет множество точек той области, где расположена точка А. Заштрихуем эту область. Мы изобразили множество решений неравенства 2у+3х≤6.

Пример 2. Покажем штриховкой на координатной плоскости график неравенства 2х + Зу

Начертим график уравнения 2х + Зу = 6 . Пара (0; 0) является решением неравенства 2х + Зу

Пример 3. Изобразим на координатной плоскости множество решений неравенства 2х — Зу ≤-6.

Начертим график уравнения 2х-Зу = -6 . Отметим в какой-нибудь полуплоскости точку, например, точку (1; 1). Пара (1; 1) не является решением неравенства 2х — Зу ≤-6. Точка с координатами (1; 1) лежит в нижней полуплоскости. Значит, графиком неравенства является верхняя полуплоскость вместе с прямой 2х — Зу = -6.

Для изображения множества решений неравенства на координатной плоскости поступают следующим образом:

1. Строим график функции y = f(x), который разбивает плоскость на две области.

2. Выбираем любую из полученных областей и рассматриваем в ней произвольную точку. Проверяем выполнимость исходного неравенства для этой точки. Если в результате проверки получается верное числовое неравенство, то заключаем, что исходное неравенство выполняется во всей области, которой принадлежит выбранная точка. Таким образом, множеством решений неравенства – область, которой принадлежит выбранная точка. Если в результате проверки получается неверное числовое неравенство, то множеством решений неравенства будет вторая область, которой выбранная точка не принадлежит.

3. Если неравенство строгое, то границы области, то есть точки графика функции y = f(x), не включают в множество решений и границу изображают пунктиром. Если неравенство нестрогое, то границы области, то есть точки графика функции y = f(x), включают в множество решений данного неравенства и границу в таком случае изображают сплошной линией.

Вывод: — решением неравенства f(x,y)˃0, [f(x,y)

-графиком неравенства с двумя переменными х и у называется множество всех точек координатной плоскости с координатами (х, у), где каждая пара (х,у) является решением данного неравенства.

Графики некоторых неравенств.

IV. Формирование умений и навыков.

3. Изобразите на координатной плоскости множество точек, задаваемое неравенством:

Произведение двух чисел является неотрицательным в том случае, если эти числа имеют одинаковые знаки. Значит, когда

Первой системе соответствует первая координатная четверть, а другой системе – третья координатная четверть. Множеством решений неравенства-объединение первой и третьей координатных четвертей, включая оси координат.

Сильным в учебе учащимся можно предложить дополнительно выполнить № 556.

Построим график уравнения | у | = 1 – | х |. Для этого нужно раскрыть знаки модуля.

Получим четыре случая:

1) х ≥ 0, у ≥ 0; у = 1 – х.

Объединяя все эти случаи, получим фигуру:

Данному неравенству удовлетворяет множество точек внутренней области этой фигуры.

V. 4 этап . Оценочно -рефлексивный .

Подведение итогов урока, комментарии по домашнему заданию. Обратить внимание учащихся на теоретические факты, которые вспомнили на уроке, о необходимости их выучить.

– Что называется решением неравенства с двумя переменными?

– Сколько решений может иметь неравенство с двумя переменными?

– Как найти множество решений линейного неравенства с двумя переменными?

Домашнее задание: № 483 (б, г), № 484 (б, в), № 486.

Д о п о л н и т е л ь н о: № 492 (б).

«Решение задач с помощью систем уравнений второй степени.»

1.Найдите два натуральных числа, сумма которых равна 7, а произведение 12.

2.Площадь прямоугольного участка равна 120см 2 , а периметр равен 46см. Найдите ширину и длину участка.

3.Гипотенуза прямоугольного треугольника равна65, а разность катетов треугольника равна 23. Найдите площадь треугольника.

1.Найдите два натуральных числа, сумма которых равна 9, а произведение 18.

2.Площадь прямоугольного участка равна 90см 2 , а периметр равен 46см. Найдите ширину и длину участка.

3.Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 73, а разность катетов треугольника равна 7. Найдите площадь треугольника.

1.Найдите два натуральных числа, сумма которых равна 9, а произведение 14.

2.Площадь прямоугольного участка равна 80см 2 , а периметр равен 42см. Найдите ширину и длину участка.

3.Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 106, а разность катетов треугольника равна 34. Найдите площадь треугольника.

1.Найдите два натуральных числа, сумма которых равна 11, а произведение 30.

2.Площадь прямоугольного участка равна 98см 2 , а периметр равен 42см. найдите ширину и длину участка.

3.Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 89, а разность катетов треугольника равна 41. Найдите площадь треугольника.


источники:

http://infourok.ru/teoreticheskiy-i-prakticheskiy-spravochniy-material-po-algebre-klassa-po-temeuravneniya-i-neravenstva-s-dvumya-peremennimi-3197039.html

http://nsportal.ru/shkola/algebra/library/2013/01/27/urokneravenstva-s-dvumya-peremennymi