Частные случаи дифференциального уравнения энергии

Частные случаи уравнения энергии

Понятие об энтропии

В термодинамике есть еще одна очень важная функция состояния газа — энтропия (S). Математически прирост энтропии dS определяется выражением

(3.19)

где dq — полное количество тепла, подводимое к газу как извне, так и изнутри за счет сил трения;

Т — абсолютная температура.

Если в формуле (2.9) вместо dq подставить его выражение согласно первому закону термодинамики

и произвести ряд преобразований, то можно получить

(3.20)

Согласно (2.10) в идеальном адиабатическом процессе, который является обратимым, изменение энтропии равно нулю, так как в этом случае

и изменение энтропии не происходит. В реальном адиабатическом процессе за счет трения выделяется тепло (dqтр>0) и процесс протекает в таком направлении, что энтропия возрастает S2-S1>0.

Таким образом, численное значение S2-S1, может служить мерой потерь механической энергии на преодоление сил трения. Если известны параметры состояния газа в точках 1 и 2, то изменение энтропии в процессе 1 — 2 определяется по формуле (3.20).

Рис. 3.4. Процесс расширения газов

В термодинамике процессы принято представлять в РV и ТS координатах (рис. 3.4).

На рис. 3.4, а представлен процесс расширения газа в турбине. Заштрихованная площадь характеризует техническую работу, которая может быть получена на валу турбины. На рис. 3.4, б тот же процесс представлен в координатах ТS. Здесь заштрихованная площадь характеризует количество тепла, выделившееся в результате работы, затраченной на преодоление сил трения. Если бы процесс был идеальным, т.е. шел без потерь энергии на трение, то он изображался бы вертикальным отрезком 1 — 2ад. Соответственно площадь под отрезком 1 — 2ад равна нулю. Таким образом, использование энтропии позволяет количественно оценить потери механической энергии на трение.

Частные случаи уравнения энергии

Запишем еще раз уравнение энергии

(3.21)

При отсутствии технической работы (отсутствует турбина или компрессор в потоке газа) и теплообмена с окружающей средой имеем

Из этого уравнения следует, что изменение скорости в энергетически изолированном потоке газа (q=0, L = 0) однозначно связано с изменением температуры. Если скорость газа не изменяется, то остается постоянной и температура независимо от того, есть трение или нет. Процесс расширения газа в канале от давления Р1 до давления Р2 можно представить на диаграмме в ТS координатах (рис. 3.5).

Рис. 3.5. Процесс расширения газа: а — идеальная адиабата; в — расширение газа с трением; с — адиабатическое дросселирование

Расширение газа от давления Р1 до давления Р2 может идти различными способами. Процесс расширения а соответствует идеальной адиабате. Потерь на трение нет. Увеличение скорости на участке канала 1- 2 максимальное; уменьшение температуры также максимальное. Уравнение энергии для случая а

Другой случай- с. Вся потенциальная энергия газа переходит в тепло. Скорость не увеличивается, температура не изменяется. Количество тепла, выделившееся в результате работы сил трения, соответствует площади треугольника 1 2 g d е. Уравнение энергии для случая с

Случай в соответствует течению газа по сужающемуся каналу с трением. Скорость увеличивается. Тепло, выделившееся в результате работы сил трения, соответствует площади 1 2 р f е. Уравнение энергии для случая в

Уравнение энергии (3.21) можно записать в виде

(3.22)

т.е. суммы энтальпии и кинетической энергии газа для энергетически изолированного потока газа в сечениях 1 и 2 равны между собой. Это соотношение можно записать и для любых других сечений. Поэтому уравнение (3.22) записывается без индексов в виде

Отсюда видно, что если поток газа затормозить полностью (w=0), то энтальпия достигнет максимально возможного значения

Получающееся при этом значение энтальпии i* будем называть полной энтальпией, а соответствующую ей абсолютную температуру

В дальнейшем всем параметрам, определенным для заторможенного потока газа будет, присваиваться верхний индекс *.

С помощью (3.23) из уравнения энергии можно исключить скорости, и тогда уравнение энергии записывается в виде

(3.24)

Теплоемкость Ср не является строго постоянной величиной, а изменяется в зависимости от температуры, но незначительно. Пользуясь средним значением теплоемкости, можно вычислить температуру торможения по следующей формуле

(3.25)

Для воздуха Ср=1005 Дж/кг К и, следовательно,

В воздушном потоке с нормальной температурой воздуха 300 К при скорости движения w=100; 350; 1000 м/с получается соответственно температура торможения Т * =305, 360,800 К.

Итак, температура торможения за входным устройством самолета (перед компрессором) может быть определена по формуле (3.25).

Для расчета компрессора или турбины обычно пользуются уравнением энергии в форме (3.24). Так как принято, что работа турбины положительна IK>0, а работа компрессора 1К * , если известны температура на входе Т1 * и работа на валу турбины IT По (3.27) можно определить температуру на выходе из компрессора Т2 * , если известны температура на входе Т1 * и работа, подводимая к валу компрессора IK.

В формулах (3.26) и (3.27) потери на трение в подшипниках, трение дисков о газ или воздух, перетекание через радиальный зазор в лопаточных машинах не учитываются. Применительно к камере сгорания I = 0 уравнение энергии (3.24) будут иметь вид

(3.28)

где gT — количество топлива, приходящееся на 1 кг воздуха;

Нu — теплотворная способность топлива т.е. количество тепла, выделяющееся при сгорании 1 кг топлива, кДж/кг;

СP2 — теплоемкость продуктов сгорания, кДж/кг К;

Т2* — температура продуктов сгорания, К;

Т1 * — температура воздуха на входе в камеру сгорания, К.

Уравнение (3.28) записано для 1 кг воздуха. Расход продуктов сгорания больше расхода воздуха на величину gТ, поэтому в правой части уравнения (3.28) появился сомножитель (1+gT). Уравнение (3.28) дает возможность определить расход топлива для получения необходимой температуры Т2 * .

Дифференциальное уравнение энергии и примеры

Дифференциальное уравнение энергии

  • Дифференциальное уравнение энергии определяет распределение температуры в теле выводится на основе закона сохранения энергии и метода Фурье. Получаем уравнение движущейся среды, в которой внутренний источник тепла находится равномерно. Предполагается, что теплоноситель является изотропным, однородным по теплопроводности х, теплоемкости. Температура не зависит от cp и плотности p.

Рассмотрим только системы, которые могут игнорировать изменение кинетической энергии по сравнению с изменением энтальпии. Выберите основной параллелепипед, закрепленный плоскостью χχ, лукгг, и укажите количество тепла, поступающего между ними. c-это 00 ’x, ЦЦ’ ц и ^ 2.И Л0.2.1), компонент средней скорости A) X, шц, а, а>, и те, которые передают мощность внутреннего источника тепла W! это м3. Исходя из закона сохранения энергии, тепловой баланс рассматриваемого параллелепипеда принимает вид.

Частицы жидкости за пределами пограничного слоя способны двигаться, преодолевая возрастающее давление за кормовой половиной, благодаря переходу их кинетической энергии в энергию давления. Людмила Фирмаль

Разность количества тепла, поступающего в параллелепипед и выходящего из него, Л(> r-изменение внутреннего тепловыделения, энтальпия основного объема. тепло, поступающее в коробку по оси x и выходящее из нее, можно определить по формуле: ^ ’х = Д’ х(1yLxLx, (2.2) 4 Где u-плотность теплового потока, соответствующая координатам x и x + Ox соответственно. Расширьте значение$ряда Тейлора и ограничьте его первыми 2 членами ряда (2.4) Принимая во внимание формулу (2.4), разницу в количестве тепла, входящего и выходящего из параллелепипеда вдоль оси x, можно описать следующим образом.

  • Общее количество тепла, накопленного параллелепипедом, составляет (2.5). Внутреннее тепловыделение определяется по формуле = IV О. (2.6). Изменения температуры в неподвижной первичной тропосфере О лелепипед вовремя-будет ah. So … а б-КФР-Ахау. (2.7) Формула(2.(2.5), (2.6) и (2.7). Вы можете получить уравнение Рассмотрим более подробно составляющие плотности теплового потока, содержащиеся в Формуле (2.8).ЗначениеX записывается как: Гдеhtepl и Chh kop-плотность теплового потока, поступающего в параллелепипед за счет теплопроводности вдоль оси x и конвективного переноса. На основе правил Фурье Конвекционный компонент-это.

Где u> x-составляющая скорости потока вдоль x-axis. So … ?х = pcrr> Х. Если X = const1, то это равенство равно Для других осей также: Здесь и находится составляющая скорости потока вдоль оси y и оси r. Если подставить эти равенства в Формулу (2.8)、 (2.12) Дифференциальное уравнение неразрывности несжимаемости! Форма жидкости является* С этой- й точки зрения уравнение (2.12) сводится к следующему виду: A. a-a-a-a-a-a-a-v-2_ ДГ ДХ делать Здесь+ Проводимость.

Как видно из фотографии, поток обтекает цилиндр с двух сторон, отрываясь от его поверхности, и у кормовой половины образуется зона с завихрениями. Людмила Фирмаль

Температурный коэффициент В общем случае I-I(x, y, r, m). Итак, используя понятие полной производной, можно записать: Л1 Д1, Д1 ЛК д! дю, Д1 ЛГ ДХ ДХ ЛГ + у ДТ ДГ ЛГ Это производное называется субстантивным, 01, 01 by. м. символ-г- Заменить левую часть равенства (2.13) значением равенства (2.14), получаем дифференциальное уравнение (2.15) В цилиндрической системе координат дифференциального уравнения(2.15) значение величины V2 имеет следующий вид: (2.16) Упрощенные предположения об инвариантности коэффициента теплопроводности могут привести к серьезным ошибкам, так как температура в системе существенно меняется, а Х во многом зависит от температуры.

Выражения (2.10) и (2.11) принимают аналогичный вид form. In в этом случае дифференциальное уравнение(2.15) описывается следующим образом: 01 ПЦР=- Рассмотренные типы дифференциальных уравнений энергии подходят как для ламинарного, так и для турбулентного течения flows. In в последнем случае формула включает в себя мгновенные или так называемые действительные значения температуры и скорости, изменения которых естественным образом пульсируют во времени. Дифференциальные уравнения энергии также могут быть описаны с использованием усредненных по времени температур и скоростей.

Временной интервал усреднения фактических параметров турбулентности выбирается таким образом, чтобы среднее значение не зависело от размера интервала. Проводимость k заменяется суммой k + X. Где X-коэффициент турбулентного теплообмена. Величина Xm зависит от расстояния до стенки: вблизи стенки Xm — > 0, а расстояние-Xm может быть во много раз больше k.

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Дифференциальное уравнение энергии.

Это уравнение является математическим выражением закона сохранения энергии в процессе теплоотдачи и устанавливает зависимость

т. е. позволяет определить температурное поле в движущейся жидкости.

Для вывода уравнения энергии выделим из движущегося объема жидкости элементарный объем

Из окружающей среды путем теплопроводности в элементарный объем в dV за время согласно дифференциального уравнения теплопроводности (19) поступит теплота

(80)

Аналогично тому как мы с вами выводили дифференциальное уравнение теплопроводности поступившая в элементарный параллепипед теплота пойдет на изменение его энтальпии dQ=dI (среда движется)

Изменение энтальпии, рассматриваемого параллепипеда за время определиться как:

(81)

Однако в предыдущем случае мы имели дело с твердым телом. В жидкости, в отличие от твердого тела, объём за время переместиться в пространстве по некоторой траектории со скоростью . Поэтому координаты рассматриваемого объёма будут изменяться во времени:

x=f(τ); y=f(τ); z=f(τ) и следовательно изменение t элемента dV за время будет характеризоваться полной производной:

(82)

изменение координат по времени есть ничто иное как проекции скорости на оси координат

таким образом уравнение (82) примет вид:

(83)

Отметим, что полную производную субстанциональной (индивидуальной) производной. Частную производную называют местным или локальным изменением температуры, а — конвективным изменением температуры.

Приравнивая значения dQ=dI получим искомое дифференциальное уравнение энергии, описывающее температурное поле в движущейся жидкости.

(84)

Данное уравнение (84) называется законом энергии, т. к. оно выражает закон сохранения энергии.

В том случае, когда ωx=0; ωy=0; ωz=0 то конвективная составляющая в уравнении (84) исчезает и уравнение принимает вид дифференциального уравнения теплопроводности для твердых тел.

Для одномерного случая уравнение принимает вид:

(85),

а для одномерного стационарного случая имеем

(86)

В уравнении (84) наряду с t входят проекции переменной скорости ϖ. Это показывает, что температурное поле в потоке жидкости существенно зависит от поля скоростей. В связи с этим необходимо при изучении конвективного теплообмена включить в круг исследуемых вопросов и гидростатические условия протекания процесса.

Наличие температурного поля в свою очередь изменяет плотность среды в следствии чего жидкость приходит в движение. Видим, что помимо влияния поля скоростей на температурное поле наблюдается и обратное влияние.

Поэтому необходимо добавить к уже имеющимся дифференциальным уравнением теплообмена и энергии уравнение движения жидкости.

Дата добавления: 2015-08-05 ; просмотров: 5 ; Нарушение авторских прав


источники:

http://lfirmal.com/differencialnoe-uravnenie-ehnergii-2/

http://lektsii.com/2-79623.html

Читайте также:
  1. Адиабатный процесс. Уравнение адиабаты идеального газа. Работа идеального газа при адиабатическом изменении его объема.
  2. Альтернативные источники энергии.
  3. Альтернативные способы получения и преобразования энергии.
  4. Альтернативные способы получения электрической энергии.
  5. Бюджетная линия потребителя. Наклон бюджетной линии. Понятие бюджетного множества. Уравнение бюджетной линии.
  6. Виды денег. Уравнение Фишера
  7. Вопрос № 17. Уравнение Бернулли для идеальной жидкости.
  8. Вопрос № 23. Уравнение Бернулли для реальной жидкости
  9. Вопрос № 38. Основное уравнение работы центробежных насосов.
  10. Вопрос № 6.Химические реакции металлургических процессов. Оценка самопроизвольности их протекания. Уравнение изотермы Вант- Гоффа.