Чему равна сумма кубов корней уравнения

Сумма кубов: формула и примеры

В данной публикации мы рассмотрим одну из формул сокращенного умножения – сумма кубов, с помощью которой выполняется раскладывание выражения на множители. Также разберем примеры решения задач для закрепления представленного материала.

Формула суммы кубов

Сумма кубов чисел/выражений равна произведению их суммы на неполный квадрат их разности.

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 – ab + b 2 )

Полный квадрат разности выглядит так: (a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2 . В нашем случае во второй скобке вместо удвоенного произведения стоит одинарное, поэтому выражение называется неполным.

Формула справедлива и справа-налево:

(a + b)(a 2 – ab + b 2 ) = a 3 + b 3

Примечание: a 3 + b 3 ≠ (a + b) 3

Доказательство формулы

Убедиться в правильности выражения можно, просто перемножив скобки, соблюдая правила арифметики при их раскрытии. Давайте так и сделаем:

(a + b)(a 2 – ab + b 2 ) = a 3 – a 2 b + ab 2 + a 2 b – ab 2 + b 3 = a 3 + b 3 .

Примеры задач

Задание 1
Разложите на множители выражение: 6 3 + (4x) 3 .

Решение
6 3 + (4x) 3 = (6 + 4x)(6 2 – 6 ⋅ 4x + (4x) 2 ) = (6 + 4x)(36 – 24x + 16x 2 )

Задание 2
Разложите выражение на произведение множителей: (7x) 3 + (3y 2 ) 3 .

Решение
(7x) 3 + (3y 2 ) 3 = (7x + 3y 2 )((7x) 2 – 7x ⋅ 3y 2 + (3y) 2 ) = (7x + 3y 2 )(49x 2 – 21xy 2 + 9y 2 )

Задание 3
Представьте выражение 64x 3 + 125 в виде суммы кубов и разложите его на множители.

Решение
64x 3 + 125 = (4x) 3 + 5 3 = (4x + 5)((4x) 2 – 4x ⋅ 5 + 5 2 ) = (4x + 5)(16x 2 – 20x + 25)

8.2.4. Применение теоремы Виета

Часто требуется найти сумму квадратов (x1 2 +x2 2 ) или сумму кубов (x1 3 +x2 3 ) корней квадратного уравнения, реже — сумму обратных значений квадратов корней или сумму арифметических квадратных корней из корней квадратного уравнения:

Помочь в этом может теорема Виета:

Сумма корней приведенного квадратного уравнения x 2 +px+q=0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

Выразим через p и q:

1) сумму квадратов корней уравнения x 2 +px+q=0;

2) сумму кубов корней уравнения x 2 +px+q=0.

Решение.

1) Выражение x1 2 +x2 2 получится, если взвести в квадрат обе части равенства x1+x2=-p;

(x1+x2) 2 =(-p) 2 ; раскрываем скобки: x1 2 +2x1x2+ x2 2 =p 2 ; выражаем искомую сумму: x1 2 +x2 2 =p 2 -2x1x2=p 2 -2q. Мы получили полезное равенство: x1 2 +x2 2 =p 2 -2q.

2) Выражение x1 3 +x2 3 представим по формуле суммы кубов в виде:

Еще одно полезное равенство: x1 3 +x2 3 =-p·(p 2 -3q).

Примеры.

3) x 2 -3x-4=0. Не решая уравнение, вычислите значение выражения x1 2 +x2 2 .

Решение.

По теореме Виета сумма корней этого приведенного квадратного уравнения

x1+x2=-p=3, а произведение x1∙x2=q=-4. Применим полученное нами (в примере 1) равенство:

x1 2 +x2 2 =p 2 -2q. У нас -p=x1+x2=3 → p 2 =3 2 =9; q=x1x2=-4. Тогда x1 2 +x2 2 =9-2·(-4)=9+8=17.

4) x 2 -2x-4=0. Вычислить: x1 3 +x2 3 .

Решение.

По теореме Виета сумма корней этого приведенного квадратного уравнения x1+x2=-p=2, а произведение x1∙x2=q=-4. Применим полученное нами (в примере 2) равенство: x1 3 +x2 3 =-p·(p 2 -3q)=2·(2 2 -3·(-4))=2·(4+12)=2·16=32.

Ответ: x1 3 +x2 3 =32.

Вопрос: а если нам дано не приведенное квадратное уравнение? Ответ: его всегда можно «привести», разделив почленно на первый коэффициент.

5) 2x 2 -5x-7=0. Не решая, вычислить: x1 2 +x2 2 .

Решение. Нам дано полное квадратное уравнение. Разделим обе части равенства на 2 (первый коэффициент) и получим приведенное квадратное уравнение: x 2 -2,5x-3,5=0.

По теореме Виета сумма корней равна 2,5; произведение корней равно -3,5.

Решаем так же, как пример 3), используя равенство: x1 2 +x2 2 =p 2 -2q.

x1 2 +x2 2 =p 2 -2q=2,5 2 -2∙(-3,5)=6,25+7=13,25.

Ответ: x1 2 +x2 2 =13,25.

6) x 2 -5x-2=0. Найти:

Преобразуем это равенство и, заменив по теореме Виета сумму корней через -p, а произведение корней через q, получим еще одну полезную формулу. При выводе формулы использовали равенство 1): x1 2 +x2 2 =p 2 -2q.

В нашем примере x1+x2=-p=5; x1∙x2=q=-2. Подставляем эти значения в полученную формулу:

7) x 2 -13x+36=0. Найти:

Преобразуем эту сумму и получим формулу, по которой можно будет находить сумму арифметических квадратных корней из корней квадратного уравнения.

У нас x1+x2=-p=13; x1∙x2=q=36. Подставляем эти значения в выведенную формулу:

Совет: всегда проверяйте возможность нахождения корней квадратного уравнения по подходящему способу, ведь 4 рассмотренные полезные формулы позволяют быстро выполнить задание, прежде всего, в тех случаях, когда дискриминант — «неудобное» число. Во всех простых случаях находите корни и оперируйте ими. Например, в последнем примере подберем корни по теореме Виета: сумма корней должна быть равна 13, а произведение корней 36. Что это за числа? Конечно, 4 и 9. А теперь считайте сумму квадратных корней из этих чисел: 2+3=5. Вот так то!

Чему равна сумма кубов кореней уравнения ?

Алгебра | 10 — 11 классы

Чему равна сумма кубов кореней уравнения ?

На всякий случай : x ^ 2 это икс в квадрате ; — b / a это минус b разделить на a ; * это умножить.

Дано : x ^ 2 + x — 7 = 0

Решим по теореме Виета.

Сумма корней : x1 + x2 = — b / a = — 1

Произведение корней : x1 * x2 = c / a = — 7

Если человек — напишешь спасибо.

||2х — 3| — 1| = х чему равна сумма корней уравнения?

||2х — 3| — 1| = х чему равна сумма корней уравнения.

A³ + b³ чему равно?

A³ + b³ чему равно?

А в кубе плюс б в кубе.

Сумма корней уравнения 2х² + 6х = 0 чему равна?

Сумма корней уравнения 2х² + 6х = 0 чему равна?

Чему равна сумма кубов корней уравнения х ^ 2 — 8х + 11 = 0?

Чему равна сумма кубов корней уравнения х ^ 2 — 8х + 11 = 0.

Если х + у = корень из 46, х — у = корень из 34, то х в кубе умноженное на у в кубе равно?

Если х + у = корень из 46, х — у = корень из 34, то х в кубе умноженное на у в кубе равно.

ПОМОГИТЕ?

Если 80% числа равны (9 * (куб корень из 32) — 2 * (куб корень из 500)) : (куб корень из 4), то это число равно :

Чему равна сумма корней уравнения?

Чему равна сумма корней уравнения.

Чему равно a в кубе + b в кубе + c в кубе?

Чему равно a в кубе + b в кубе + c в кубе.

Сумма кубов корней уравнения х ^ 2 + 3х — 2 = 0 равна?

Сумма кубов корней уравнения х ^ 2 + 3х — 2 = 0 равна.

Чему равна сумма корней уравнения |2x — 10| — 4 = x?

Чему равна сумма корней уравнения |2x — 10| — 4 = x.

Вы перешли к вопросу Чему равна сумма кубов кореней уравнения ?. Он относится к категории Алгебра, для 10 — 11 классов. Здесь размещен ответ по заданным параметрам. Если этот вариант ответа не полностью вас удовлетворяет, то с помощью автоматического умного поиска можно найти другие вопросы по этой же теме, в категории Алгебра. В случае если ответы на похожие вопросы не раскрывают в полном объеме необходимую информацию, то воспользуйтесь кнопкой в верхней части сайта и сформулируйте свой вопрос иначе. Также на этой странице вы сможете ознакомиться с вариантами ответов пользователей.

В заданиях приведены линейные функции, у них область определения все числа. НО ещё есть ограничение на аргумент х, то есть на область определения, поэтому ответом будет числовое множество от неравенства в условии. Если включать конец (≤), то квадра..

Присмотревшись к системе внимательно, замечаем, что это — система линейных уравнений, поскольку переменные x и y входят в неё в первых степенях. Следовательно, решаем её как и любую линейную систему : подстановкой. Из первого уравнения выражаем y и..

Скорость и ускорение в момент времени t = 2.

НОЗ( наимен общий знаменатель ) x ^ 3 — 3 — 4, 5 — x — 6 + x числительно, а знаменатель x ^ 2 x ^ 3 — 13, 5 / x ^ 2.

Пожалуйста, помогите найти интеграл.

F(x) = 2( — cosx) + x ^ 3 / 3 + C.

Where do your study work.

X — скорость грузовой машины, (x + 20) — скорость легковой машины. Составляем уравнение : 350 / x — 350 / (x + 20) = 2 ; 350 * (x + 20) — 350 * x = 2 * x * (x + 20) ; 350x + 7000 — 350x — 2x ^ 2 — 40x = 0 ; — 2x ^ 2 — 40x + 7000 = 0 ; x ^ 2 + 20x — ..

Y / y — 9 + 9 / 9 — y = — (y / 9 — y) + 9 / 9 — y = 9 — y.


источники:

http://mathematics-repetition.com/8-2-4-primenenie-teorem-vieta/

http://algebra.my-dict.ru/q/2799842_cemu-ravna-summa-kubov-korenej-uravnenia/