Числа и корни уравнений 10 класс

Алгебра

План урока:

Иррациональные уравнения

Ранее мы рассматривали целые и дробно-рациональные уравнения. В них выражение с переменной НЕ могло находиться под знаком радикала, а также возводиться в дробную степень. Если же переменная оказывается под радикалом, то получается иррациональное уравнение.

Приведем примеры иррациональных ур-ний:

Заметим, что не всякое уравнение, содержащее радикалы, является иррациональным. В качестве примера можно привести

Это не иррациональное, а всего лишь квадратное ур-ние. Дело в том, что под знаком радикала стоит только число 5, а переменных там нет.

Простейшие иррациональные уравнения

Начнем рассматривать способы решения иррациональных уравнений. В простейшем случае в нем справа записано число, а вся левая часть находится под знаком радикала. Выглядит подобное ур-ние так:

где а – некоторое число (константа), f(x) – рациональное выражение.

Для его решения необходимо обе части возвести в степень n, тогда корень исчезнет:

Получаем рациональное ур-ние, решать которые мы уже умеем. Однако есть важное ограничение. Мы помним, что корень четной степени всегда равен положительному числу, и его нельзя извлекать из отрицательного числа. Поэтому, если в ур-нии

n – четное число, то необходимо, чтобы а было положительным. Если же оно отрицательное, то ур-ние не имеет корней. Но на нечетные n такое ограничение не распространяется.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Справа стоит отрицательное число (– 6), но квадратный корень (если быть точными, то арифметический квадратный корень) не может быть отрицательным. Поэтому ур-ние корней не имеет.

Ответ: корней нет.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Теперь справа стоит положительное число, значит, мы имеем право возвести обе части в квадрат. При этом корень слева исчезнет:

Пример. Решите ур-ние

Решение. Справа стоит отрицательное число, но это не является проблемой, ведь кубический корень может быть отрицательным. Возведем обе части в куб:

Конечно, под знаком корня может стоять и более сложное выражение, чем (х – 5).

Пример. Найдите решение ур-ния

Решение. Возведем обе части в пятую степень:

х 2 – 14х – 32 = 0

Получили квадратное ур-ние, которое можно решить с помощью дискриминанта:

D = b 2 – 4ac = (– 14) 2 – 4•1•(– 32) = 196 + 128 = 324

Итак, нашли два корня: (– 2) и 16.

Несколько более сложным является случай, когда справа стоит не постоянное число, а какое-то выражение с переменной g(x). Алгоритм решения тот же самый – необходимо возвести в степень ур-ние, чтобы избавиться от корня. Но, если степень корня четная, то необходимо проверить, что полученные корни ур-ния не обращают правую часть, то есть g(x), в отрицательное число. В противном случае их надо отбросить как посторонние корни.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Возводим обе части во вторую степень:

х – 2 = х 2 – 8х + 16

D = b 2 – 4ac = (– 9) 2 – 4•1•18 = 81 – 72 = 9

Получили два корня, 3 и 6. Теперь проверим, во что они обращают правую часть исходного ур-ния (х – 4):

при х = 3 х – 4 = 3 – 4 = – 1

при х = 6 6 – 4 = 6 – 4 = 2

Корень х = 3 придется отбросить, так как он обратил правую часть в отрицательное число. В результате остается только х = 6.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Здесь используется кубический корень, а потому возведем обе части в куб:

3х 2 + 6х – 25 = (1 – х) 3

3х 2 + 6х – 25 = 1 – 3х + 3х 2 – х 3

Получили кубическое ур-ние. Решить его можно методом подбора корня. Из всех делителей свободного коэффициента (– 26) только двойка обращает ур-ние в верное равенство:

Других корней нет. Это следует из того факта, что функция у = х 3 + 9х – 26 является монотонной.

Заметим, что если подставить х = 2 в левую часть исходного ур-ния 1 – х, то получится отрицательное число:

при х = 2 1 – х = 1 – 2 = – 1

Но означает ли это, что число 2 НЕ является корнем? Нет, ведь кубический корень вполне может быть и отрицательным (в отличие от квадратного). На всякий случай убедимся, что двойка – это действительно корень исходного уравнения:

Уравнения с двумя квадратными корнями

Ситуация осложняется, если в ур-нии есть сразу два квадратных корня. В этом случае их приходится убирать последовательно. Сначала мы переносим слагаемые через знак «=» таким образом, чтобы слева остался один из радикалов и ничего, кроме него. Возводя в квадрат такое ур-ние, мы избавимся от одного радикала, после чего мы получим более простое ур-ние. После получения всех корней надо проверить, какие из них являются посторонними. Для этого их надо просто подставить в исходное ур-ние.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Перенесем вправо один из корней:

Возведем обе части в квадрат. Обратите внимание, что левый корень при этом исчезнет, а правый – сохранится:

Теперь снова перемещаем слагаемые так, чтобы в одной из частей не осталось ничего, кроме корня:

Снова возведем ур-ние в квадрат, чтобы избавиться и от второго корня:

(2х – 4) 2 = 13 – 3х

4х 2 – 16х + 16 = 13 – 3х

4х 2 – 13х + 3 = 0

D = b 2 – 4ac = (– 13) 2 – 4•4•3 = 169 –48 = 121

Имеем два корня: 3 и 0,25. Но вдруг среди них есть посторонние? Для проверки подставим их в исходное ур-ние. При х = 0,25 имеем:

Получилось ошибочное равенство, а это значит, что 0,25 не является корнем ур-ния. Далее проверим х = 3

На этот раз получилось справедливое равенство. Значит, тройка является корнем ур-ния.

Введение новых переменных

Предложенный метод последовательного исключения радикалов плохо работает в том случае, если корни не квадратные, а имеют другую степень. Рассмотрим ур-ние

Последовательно исключить корни, как в предыдущем примере, здесь не получится (попробуйте это сделать самостоятельно). Однако помочь может замена переменной.

Для начала перепишем ур-ние в более удобной форме, когда вместо корней используются степени:

х 1/2 – 10х 1/4 + 9 = 0

Теперь введем переменную t = x 1/4 . Тогда х 1/2 = (х 1/4 ) 2 = t 2 . Исходное ур-ние примет вид

Это квадратное ур-ние. Найдем его корни:

D = b 2 – 4ac = (– 10) 2 – 4•1•9 = 100 – 36 = 64

Получили два значения t. Произведем обратную замену:

х 1/4 = 1 или х 1/4 = 9

Возведем оба ур-ния в четвертую степень:

(х 1/4 ) 4 = 1 4 или (х 1/4 ) 4 = 3 4

х = 1 или х = 6561

Полученные числа необходимо подставить в исходное ур-ние и убедиться, что они не являются посторонними корнями:

В обоих случаях мы получили верное равенство 0 = 0, а потому оба числа, 1 и 6561, являются корнями ур-ния.

Пример. Решите ур-ние

х 1/3 + 5х 1/6 – 24 = 0

Решение. Произведем замену t = x 1/6 , тогда х 1/3 = (х 1/6 ) 2 = t 2 . Исходное ур-ние примет вид:

Его корни вычислим через дискриминант:

D = b 2 – 4ac = 5 2 – 4•1•(– 24) = 25 + 96 = 121

Далее проводим обратную заменуx 1/6 = t:

х 1/6 = – 8 или х 1/6 = 3

Первое ур-ние решений не имеет, а единственным решением второго ур-ния является х = 3 6 = 729. Если подставить это число в исходное ур-ние, то можно убедиться, что это не посторонний корень.

Замена иррационального уравнения системой

Иногда для избавления от радикалов можно вместо них ввести дополнительные переменные и вместо одного иррационального ур-ния получить сразу несколько целых, которые образуют систему. Это один из самых эффективных методов решения иррациональных уравнений.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Заменим первый корень буквой u, а второй – буквой v:

Исходное ур-ние примет вид

Если возвести (1) и (2) в куб и квадрат соответственно (чтобы избавиться от корней), то получим:

Ур-ния (3), (4) и (5) образуют систему с тремя неизвестными, в которой уже нет радикалов:

Попытаемся ее решить. Сначала сложим (4) и (5), ведь это позволит избавиться от переменной х:

(х + 6) + (11 – х) = u 3 + v 2

из (3) можно получить, что v = 5 – u. Подставим это в (6) вместо v:

17 = u 3 + (5 – u) 2

17 = u 3 + u 2 – 10u + 25

u 3 + u 2 – 10u + 8 = 0

Получили кубическое ур-ние. Мы уже умеем решать их, подбирая корни. Не вдаваясь в подробности решения, укажем, что корнями этого ур-ния являются числа

подставим полученные значения в (4):

x + 6 = 1 3 или х + 6 = 2 3 или х + 6 = (– 4) 3

x + 6 = 1 или х + 6 = 8 или х + 6 = – 64

х = – 5 или х = 2 или х = – 70

Итак, нашли три возможных значения х. Но, конечно же, среди них могут оказаться посторонние корни. Поэтому нужна проверка – подставим полученные результаты в исходное ур-ние. При х = – 5 получим

Корень подошел. Проверяем следующее число, х = 2:

Корень снова оказался верным. Осталась последняя проверка, для х = – 70:

Итак, все три числа прошли проверку.

Уравнения с «вложенными» радикалами

Порою в ур-нии под знаком радикала стоит ещё один радикал. В качестве примера приведем такую задачу:

При их решении следует сначала избавиться от «внешнего радикала», после чего можно будет заняться и внутренним. То есть в данном случае надо сначала возвести обе части равенства в квадрат:

Внешний радикал исчез. Теперь будем переносить слагаемые, чтобы в одной из частей остался только радикал:

Хочется поделить полученное ур-ние (1) на х, однако важно помнить, что деление на ноль запрещено. То есть, если мы делим на х, то мы должны наложить дополнительное ограничение х ≠ 0. Случай же, когда х всё же равен нулю, мы рассматриваем отдельно. Для этого подставим х = 0 сразу в исходное ур-ние:

Получили верное рав-во, значит, 0 является корнем. Теперь возвращаемся к (1) и делим его на х:

Возводим в квадрат и получаем:

х 2 + 40 = (х + 4) 2

х 2 + 40 = х 2 + 8х + 16

И снова нелишней будет проверка полученного корня:

Иррациональные неравенства

По аналогии с иррациональными ур-ниями иррациональными неравенствами называют такие нер-ва, в которых выражение с переменной находится под знаком радикала или возводится в дробную степень. Приведем примеры иррациональных нер-в:

Нет смысла решать иррациональные нер-ва, если есть проблемы с более простыми, то есть рациональными нер-вами, а также с их системами. Поэтому на всякий случай ещё раз просмотрите этот и ещё вот этот уроки.

Начнем с решения иррациональных неравенств простейшего вида, у которых в одной из частей стоит выражение под корнем, а в другой – постоянное число. Достаточно очевидно, что нер-во вида

Может быть справедливым только тогда, когда

То есть, грубо говоря, нер-ва можно возводить в степень. Однако при этом могут возникнуть посторонние решения. Дело в том, что нужно учитывать и тот факт, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным в том случае, если степень корня является четной. Таким образом, нер-во

при четном n можно заменить системой нер-в

Пример. При каких значениях x справедливо нер-во

Решение. С одной стороны, при возведении нер-ва в квадрат мы получим такое нер-во:

х ⩽ – 5 (знак нер-ва изменился из-за того, что мы поделили его на отрицательное число)

Получили промежуток х∈(– ∞; – 5). Казалось бы, надо записать ещё одно нер-во

чтобы подкоренное выражение было неотрицательным. Однако сравните (1) и (2). Ясно, что если (1) выполняется, то справедливым будет и (2), ведь если какое-то выражение больше или равно двум, то оно автоматически будет и больше нуля! Поэтому (2) можно и не решать.

Теперь посмотрим на простейшие нер-ва с корнем нечетной степени.

Пример. Найдите решение нер-ва

Решение. Всё очень просто – надо всего лишь возвести обе части в куб:

x 2 – 7x– 8 2 – 7x– 8 = 0

D = b 2 – 4ac = (– 7) 2 – 4•1•(– 8) = 49 + 32 = 81

Далее полученные точки отмечаются на координатной прямой. Они разобьют ее на несколько промежутков, на каждом из которых функция у =x 2 – 7x– 8 сохраняет свой знак. Определить же этот самый знак можно по направлению ветвей параболы, которую рисует схематично:

Видно, что парабола располагается ниже оси Ох на промежутке (– 1; 8). Поэтому именно этот промежуток и является ответом. Нер-во строгое, поэтому сами числа (– 1) и 8 НЕ входят в ответ, то есть для записи промежутка используются круглые скобки.

Обратите внимание: так как в исходном нер-ве используется корень нечетной (третьей) степени, то нам НЕ надо требовать, чтобы он был неотрицательным. Он может быть меньше нуля.

Теперь рассмотрим более сложный случай, когда в правой части нер-ва стоит не постоянное число, а некоторое выражение с переменной, то есть оно имеет вид

Случаи, когда n является нечетным числом, значительно более простые. В таких ситуациях достаточно возвести нер-во в нужную степень.

Пример. Решите нер-во

Решение.Слева стоит кубический корень, а возведем нер-во в третью степень (при этом мы используем формулу сокращенного умножения):

И снова квадратное нер-во. Найдем нули функции записанной слева, и отметим их на координатной прямой:

D = b 2 – 4ac = (– 1) 2 – 4•1•(– 2) = 1 + 8 = 9

Нер-во выполняется при х∈(– ∞; – 1)⋃(2; + ∞). Так как мы возводили нер-во в нечетную степень, то больше никаких действий выполнять не надо.

стоит корень четной степени, то ситуация резко осложняется. Его недостаточно просто возвести его в n-ую степень. Необходимо выполнение ещё двух условий:

f(x) > 0 (подкоренное выражение не может быть отрицательным);

g(x) > 0 (ведь сам корень должен быть неотрицательным, поэтому если g(x)будет меньше нуля, то решений не будет).

Вообще говоря, в таких случаях аналитическое решение найти возможно, но это тяжело. Поэтому есть смысл решить нер-во графически – такое решение будет более простым и наглядным.

Пример. Решите нер-во

Решение. Сначала решим его аналитически, без построения графиков. Возведя нер-во в квадрат, мы получим

х 2 – 10х + 21 > 0(1)

Решением этого квадратного нер-ва будет промежуток (– ∞;3)⋃(7; + ∞). Но надо учесть ещё два условия. Во-первых, подкоренное выражение должно быть не меньше нуля:

Во-вторых, выражение 4 – х не может быть отрицательным:

Получили ограничение 2,5 ⩽ х ⩽ 4, то есть х∈[2,5; 4]. С учетом того, что при решении нер-ва(1) мы получили х∈(– ∞;3)⋃(7; + ∞), общее решение иррационального нер-ва будет их пересечением, то есть промежутком [2,5; 3):

Скажем честно, что описанное здесь решение достаточно сложное для понимания большинства школьников, поэтому предложим альтернативное решение, основанное на использовании графиков. Построим отдельно графики левой и правой части нер-ва:

Видно, что график корня находится ниже прямой на промежутке [2,5; 3). Возникает вопрос – точно ли мы построили график? На самом деле с его помощью мы лишь определили, что искомый промежуток находится между двумя точками. В первой график корня касается оси Ох, а во второй точке он пересекается с прямой у = 4 – х. Найти координаты этих точек можно точно, если решить ур-ния. Начнем с первой точки:

Итак, координата х первой точки в точности равна 2,5. Для нахождения второй точки составим другое ур-ние:

Это квадратное ур-ние имеет корни 3 и 7 (убедитесь в этом самостоятельно). Число 7 является посторонним корнем:

Подходит только число 3, значит, вторая точка имеет координату х = 3, а искомый промежуток – это [2,5; 3).

Ещё тяжелее случаи, когда в нер-ве с корнем четной степени стоит знак «>», а не « 1/2 = х – 3

Как решать иррациональные уравнения. Примеры.

Уравнения, в которых под знаком корня содержится переменная, называт иррациональными.

Методы решения иррациональных уравнений, как правило, основаны на возможности замены (с помощью некоторых преобразований) иррационального уравнения рациональным уравнением, которое либо эквивалентно исходному иррациональному уравнению, либо является его следствием. Чаще всего обе части уравнения возводят в одну и ту же степень. При этом получается уравнение, являющееся следствием исходного.

При решении иррациональных уравнений необходимо учитывать следующее:

1) если показатель корня — четное число, то подкоренное выражение должно быть неотрицательно; при этом значение корня также является неотрицательным (опредедение корня с четным показателем степени);

2) если показатель корня — нечетное число, то подкоренное выражение может быть любым действительным числом; в этом случае знак корня совпадает со знаком подкоренного выражения.

Пример 1. Решить уравнение

Возведем обе части уравнения в квадрат.
x 2 — 3 = 1;
Перенесем -3 из левой части уравнения в правую и выполним приведение подобных слагаемых.
x 2 = 4;
Полученное неполное квадратное уравнение имеет два корня -2 и 2.

Произведем проверку полученных корней, для этого произведем подстановку значений переменной x в исходное уравнение.
Проверка.
При x1 = -2 — истинно:
При x2 = -2— истинно.
Отсюда следует, что исходное иррациональное уравнение имеет два корня -2 и 2.

Пример 2. Решить уравнение .

Это уравнение можно решить по такой же методике как и в первом примере, но мы поступим иначе.

Найдем ОДЗ данного уравнения. Из определения квадратного корня следует, что в данном уравнении одновременно должны выполнятся два условия:

а) x — 90;

x9;

б) 1 — x0;

-x-1 ;

x1.

ОДЗ данного уранения: x.

Ответ: корней нет.

Пример 3. Решить уравнение=+ 2.

Нахождение ОДЗ в этом уравнении представляет собой достаточно трудную задачу. Возведем обе части уравнения в квадрат:
x 3 + 4x — 1 — 8= x 3 — 1 + 4+ 4x;
=0;
x1=1; x2=0.
Произведя проверку устанавливаем, что x2=0 лишний корень.
Ответ: x1=1.

Пример 4. Решить уравнение x =.

В этом примере ОДЗ найти легко. ОДЗ этого уравнения: x[-1;).

Возведем обе части этого уравнения в квадрат, в результате получим уравнение x 2 = x + 1. Корни этого уравнения:

x1 =

x2 =

Произвести проверку найденных корней трудно. Но, несмотря на то, что оба корня принадлежат ОДЗ утверждать, что оба корня являются корнями исходного уравнения нельзя. Это приведет к ошибке. В данном случае иррациональное уравнение равносильно совокупности двух неравенств и одного уравнения:

x + 10 и x0 и x 2 = x + 1, из которой следует, что отрицательный корень для иррационального уравнения является посторонним и его нужно отбросить.

Ответ:

Пример 5 . Решить уравнение+= 7.

Возведем обе части уравнения в квадрат и выполним приведение подобных членов, перенес слагаемых из одной части равенства в другую и умножение обеих частей на 0,5. В результате мы получим уравнение
= 12, (*) являющееся следствием исходного. Снова возведем обе части уравнения в квадрат. Получим уравнение (х + 5)(20 — х) = 144, являющееся следствием исходного. Полученное уравнение приводится к виду x 2 — 15x + 44 =0.

Это уравнение (также являющееся следствием исходного) имеет корни x1 = 4, х2 = 11. Оба корня, как показывает проверка, удовлетворяют исходному уравнению.

Замечание. При возведении уравнений в квадрат учащиеся нередко в уравнениях типа (*) производят перемножение подкоренных выражений, т. е. вместо уравнения= 12, пишут уравнение = 12. Это не приводит к ошибкам, поскольку уравнения являются следствиями уравнений. Следует, однако, иметь в виду, что в общем случае такое перемножение подкоренных выражений дает неравносильные уравнения.

В рассмотренных выше примерах можно было сначала перенести один из радикалов в правую часть уравнения. Тогда в левой части уравнения останется один радикал и после возведения обеих частей уравнения в квадрат в левой части уравнения получится рациональная функция. Такой прием (уединение радикала) довольно часто применяется при решении иррациональных уравнений.

Пример 6. Решить уравнение= 3.

Уединив первый радикал, получаем уравнение
=+ 3, равносильное исходному.

Возводя обе части этого уравнения в квадрат, получаем уравнение

x 2 + 5x + 2 = x 2 — 3x + 3 + 6, равносильное уравнению

4x — 5 = 3(*). Это уравнение является следствием исходного уравнения. Возводя обе части уравнения в квадрат, приходим к уравнению
16x 2 — 40x + 25 = 9(x 2 — Зх + 3), или

7x 2 — 13x — 2 = 0.

Это уравнение является следствием уравнения (*) (а значит, и исходного уравнения) и имеет корни. Первый корень x1 = 2 удовлетворяет исходному уравнению, а второй x2 =— не удовлетворяет.

Заметим, что если бы мы сразу, не уединив один из радикалов, возводили обе части исходного уравнения в квадрат нам бы пришлось выполнить довольно громозкие преобразования.

При решении иррациональных уравнений, кроме уединения радикалов используют и другие методы. Рассмотрим пример использования метода замены неизвестного (метод введения вспомогательной переменной).

Пример 7. Решить уравнение 2x 2 — 6x ++ 2 = 0.

Введем вспомогательную переменную. Пусть y =, где y0, тогда получим уравнение 2y 2 + y — 10 = 0;
y1 = 2; y2 = —. Второй корень не удовлетворяет условию y0.
Возвращаемся к x:
= 2;
x 2 — 3x + 6 = 4;
x 2 -3x + 2 = 0;
x1 = 1; x2 = 2. Проверкой устанавливаем, что оба корня являются корнями иисходного уравнения.
Ответ: x1 = 1; x2 = 2.

Пример 8. Решить уравнение+=

Положим= t, Тогда уравнение примет вид t +=откуда получаем следствие: 2t 2 — 5t + 2 = 0 Решая это квадратное уравнение, находим два корня: t1 = 2 t2 =. Задача сводится теперь к решению следующих двух уравнений:
= 2,(*)=(**)

Возводя обе части уравнения (*) в куб, получаем 12 — 2x = 8x — 8; x1 = 2.

Аналогично, решив (**), находим x2 =.

Оба найденных корня удовлетворяют исходному уравнению, так как в процессе решения мы использовали (кроме замены неизвестного) только преобразование вида [f(x) = g(x)][f n (x) = g n (x)], а при таком преобразовании, как было отмечено выше, получается равносильное уравнение.

Ответ: х1 = 2, x2 =.

Конспект урока по алгебре и началам анализа в 10 классе по теме: «Решение иррациональных уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Конспект урока по алгебре и началам анализа в 10 классе

Тема урока: «Иррациональные уравнения»

Оборудование проектор, слайды по теме урока, доска на три человека, карточки-раздаточный материал.

обучающая — обобщить и систематизировать знания учащихся по применению различных способов решения иррациональных уравнений с одним корнем или с двумя.

развивающая — развить нестандартное мышление через умение находить рациональные пути решения, научить переключаться с одного способа на другой.

воспитательная — воспитать культуру соблюдения всех этапов аргументации при решении уравнений, терпение, упорство в достижении цели.

1. Введение в урок, организационный этап.

Здравствуйте ребята! Тема нашего урока: «Способы решения иррациональных уравнений».

Цель урока состоит в том, чтобы обобщить и систематизировать методы решения иррациональных уравнений; познакомить вас с новым типом иррациональных уравнений, состоящих из двух радикалов; на этом уроке мы попытаемся научиться определять оптимальный способ решения того или иного иррационального уравнения.

2. Устный счет, проверка домашнего задания.

Начнем с обзора домашнего задания. Откройте тетради с домашней работой. На дом вам было задано решить уравнения различными способами: методом равносильных переходов и методом проверки. Кто покажет свое решение на доске? Пожалуйста. ( Выходят два ученика и приступают к оформлению решений уравнений, решенных различными способами ).

А остальные включаются в устный счет ( работа с классом )

1) Имеет ли уравнение корни

Ответ: Нет. Почему? (Так как правая и левая части принимают разные значения).

2) Решите уравнение

Ответ :

3) Решите уравнение

Ответ: Нет решений. Поясните. (Так как корень квадратный ни при каких значениях х не может принимать значение равное – 2.)

4) Решите уравнение

Ответ: Нет решений. Поясните. (Так как сумма двух неотрицательных выражений не может принимать отрицательное значение).

5) Решите уравнение

Ответ : х=3. Поясните ход решения. (Так как сумма двух неотрицательных выражений равна нулю, если только оба слагаемых одновременно равны нулю).

Итак, как вы уже заметили, уравнение может иметь единственный корень или несколько корней, а может совсем не иметь решений. Вы так же поняли, что, иногда, только по виду уравнения можно сразу определить количество его корней. В большинстве же случаев, которые вы изучали уже ранее, только доведя решение задачи до конца, можно однозначно ответить на этот вопрос.

Напомню, что решениями или корнями уравнения называют те значения переменной, при подстановке которых в него, обе части уравнения одновременно принимают одно и тоже значение. Обратите внимание, что к решениям уравнения используется устоявшийся термин «корень». И сегодня мы будем рассматривать иррациональные уравнения, содержащие только квадратные корни.

Наши отвечающие у доски уже готовы, давайте посмотрим на их решения.

Уравнение на доске 1-го ученика. Решить: .

Решение:

. Ответ: .

Учитель: Ответьте, ребята, почему этот пример не был проверен способом подстановки?

Ученик 1: В таком способе отбора корней необходимо вычислить значения обеих частей уравнения и убедиться, что они принимают равные значения. Очевидно, что достаточно трудно вычислить значение левой части уравнения при .

Учитель : Да, но не надо забывать и достоинства способа проверки корней уравнения с помощью их подстановки в него. Ведь этим способом мы заодно проверяем, не допустили ли мы арифметической ошибки? Давайте разберем другое уравнение, приведенное на доске и проверенное методом подстановки.

Уравнение на доске 2-го ученика. Решить: .

Решение:

.

Проверка :

равенство неверное.

— не является корнем исходного уравнения.

Ответ: корней нет.

Учитель: Скажите, обязательно ли было записывать проверку в решении, если вы сделали ее устно?

Ученик 2: Здесь очень важно было доказать, что данное уравнение решений не имеет, поэтому проверка является доказательством того, что найденный корень как раз посторонний, поэтому эту часть решений приводят обязательно.

Учитель: А если бы этот корень при подстановке подходил и превращал уравнение в верное числовое равенство, надо было бы выписывать в решении проверку и почему? Кто из класса ответит?

Ученик 3: Конечно надо, так как при возведении в квадрат мы переходили к уравнению, которое может иметь посторонние для исходного уравнения корни. Надо проверить, какие именно корни являются решениями исходного иррационального уравнения.

Учитель: Молодцы все, кто был у доски и активно участвовал в обсуждении и устном счете!

3. Сравнительный анализ аналитических способов решений иррационального уравнения имеющего стандартный вид.

Учитель: Давайте теперь перейдем к обзору многочисленных способов решения иррациональных уравнений. Для начала вспомним, какие именно уравнения называются иррациональными?

Ученик: Уравнения, содержащие переменную под знаком корня.

Учитель: Верно, иногда еще говорят, что это уравнения, содержащие знак радикала, и это тоже будет правильно, так как знак самого корня произошел от латинской буквы r . Дело в том, что первыми «нерациональными» числами считались числа, содержащие корень, «который не извлекался». Например, Поэтому и уравнения, содержащие под корнем переменную, стали называть иррациональными. Однако в конце урока я напомню вам еще об одном «важном» для математиков иррациональном числе, которое вы прекрасно знаете. Однако, «иррациональным» оно стало считаться намного позже чисел, указанных выше, то есть содержащих радикал.

Итак, давайте обобщим наблюдения по использованию различных способов отбора корней при возведении в квадрат стандартного иррационального уравнения, выделим их достоинства и недостатки.

1) если проверять корни « подстановкой» их в исходное уравнение, то в случае равенства левой и правой части мы убеждаемся, что в решении мы не допускали арифметических ошибок. Помните, как именно для этого производилась проверка при решении уравнений в младших классах?

Недостаток способа решения «подстановкой» проявляется в случае, если корни «неудобные» с точки зрения арифметики.

2) если найденные корни дробные, многозначные или иррациональные, то, как вы уже знаете, можно проверить только неотрицательность правой части стандартного иррационального уравнения. В этом и заключается достоинство метода «равносильного перехода».

3) напомню теперь третий способ, который мы сегодня не приводили на примерах. Если при возведении в квадрат получаются трудоемкие упрощения и вычисления, тогда обратите внимание на решение системы условий, при которых одновременно и подкоренное выражение и правая часть, которой этот корень равен, являются неотрицательными. Посмотрите, пожалуйста, на следующий слайд:

Решить уравнение .

Ответ: решений нет.

Учитель: Кто прокомментирует решение?

Ученик: Так как корень уравнения при подстановке в уравнение превращает его в верное числовое равенство, то, прежде всего, этот корень должен удовлетворять выписанной системе условий. Достаточно заметить, что эта система решений не имеет, а это значит, что и само уравнение не имеет корней.

Учитель: Давайте этот метод назовем «метод пристального взгляда», так как если вовремя обратить на такую систему внимание, это значительно сэкономит время при решении такого уравнения.

4. Сравнительный анализ различных способов решения уравнений, содержащих один корень.

Учитель: Ранее мы обсудили различные способы отбора корней стандартного иррационального уравнения, повторив их дома. Давайте теперь решим одно уравнение различными способами в тетрадях и на доске. Открыли тетради, записали число и задание. Решить уравнение . Каждый ряд решает это уравнение своим способом: 1 ряд – возведением в квадрат, 2 ряд – введением новой переменной, 3 ряд – графическим способом. По одному ученику из каждого ряда выполнят эту же работу у доски. Кто к доске?

(Три ученика одновременно вызываются к доске)

(После пяти минут работы, происходит анализ решений со всем классом)

1-й способ решения, «Возведением в квадрат».

Решить уравнение.

Решение :

Отсюда, Ответ: 4.

Учитель: Вопрос ряду 2 и 3. Скажите, а почему важно было сначала уединить корень перед возведением в квадрат?

Ученик: Если уединить корень мы сразу от него избавляемся, для чего и возводим его в квадрат.

Учитель: Правильно. Давайте теперь посмотрим, как можно свести уравнение с корнем к квадратному методом «подстановки».

2-й способ решения. «Введения новой переменной».

Решить уравнение .

Решение: Пусть , где , тогда .

. Отсюда, ; . Ответ: 4.

Учитель: Вопрос ряду 1 и 3. А если не выписывали бы условие на новую переменную, как тогда нужно оформлять решение?

Ученик: Тогда бы при возвращении к х нужно было бы записать, что уравнение не имеет решений.

Учитель: Правильно. Посмотрим теперь другое решение этого же уравнения.

3-й способ решения. «Графический».

Решить уравнение.

Решение:

Проверка : подставим в систему — система верна.

Из рисунка 1 видно, что найденная точка их пересечения единственная, то есть единственный корень исходного уравнения.

Учитель : Вопрос 1 и 2 ряду. Скажите, а почему «из чертежа очевидно», что будет только одна точка пересечения?

Ученик: Обе эти функции монотонно возрастают, причем прямая быстрее увеличивает свои значения, чем функция . Это значит, что график последней функции никогда не догонит прямую после того, как они пересеклись при .

Учитель: Тем более, что при прямая лежала ниже графика .

Все молодцы! Мы рассмотрели различные способы решения уравнений с одним корнем. Как видите графический способ нагляднее, но трудный в угадывании корней, а так же, в обосновании их количества. В этом он и проигрывает любому аналитическому способу.

Давайте теперь проанализируем приведенные на слайде три решения одного иррационального уравнения и выберем самое красивое из них.

Слайд 1. Решить уравнение

Решение. «Возведение в квадрат » перейдем к системе:

Так как первое уравнение имеет D = — 3

Ответ: нет решений.

Слайд 2 . Решить уравнение

Решение: «Пристальным взглядом» можно заметить, что корень уравнения должен удовлетворять системе условий:

Так как система не имеет решений ни при одном значении x , то корней нет.

Ответ: нет решений.

Слайд 3 . Решить уравнение

Решение: «Графический способ» применим к системе:

Так как при функция монотонно возрастает, а монотонно убывает. С учетом, что при прямая лежит ниже нуля, то графики рассматриваемых функций не пересекутся.

Ответ: нет решений.

Учитель: Каким же способом рациональнее было решать данное уравнение?

Класс: Вторым способом.

5 . Индивидуальная работа. А теперь попробуйте решить уравнения методом введения новой переменной. Решаем уравнение, поднимаем руки и сверяем свои решения с приведенным на слайде.

6 . Применение изученных способов к решению уравнений с двумя радикалами.

Учитель: Давайте теперь попробуем решить уравнение с двумя квадратными корнями различными способами. Все пишут в тетрадях, я у доски.

Решить уравнение.

Решение 1: Перед тем, как возвести обе части уравнения в квадрат часто целесообразно сначала уединить корень, как это уже мы делали ранее.

Методом равносильных переходов решить полученное уравнение достаточно тяжело, а значит не рационально. Возведем в квадрат левую и правую часть уравнения и затем проверим корень подстановкой.

Проверка. Подставим в уравнение; — верное равенство, то есть 2 является решением исходного уравнения.

Графически представить части уравнения, даже переносом радикалов в разные стороны достаточно сложно, хотя и можно построить с помощью переносов осей графики частей уравнения Но из этого все равно следует, что корень придется угадывать и проверять, а его единственность обосновывать монотонностью функций. В этом случае есть способ попроще, но, по сути, он аналогичен графическому.

Решение 2: Так как каждое из слагаемых левой части уравнения монотонно возрастает при увеличении переменной, то и их сумма монотонно возрастает, а, значит, любое свое значение правая часть уравнения принимает только при одном значении . Подбором можно проверить, что при левая часть равна пяти, следовательно, других таких значений х не существует. Ответ: 2.

Учитель: Какой из способов решения наиболее оптимален?

Класс: Второй способ.

Учитель: Еще раз отметим, что метод возведения в квадрат значительно упрощается во многих случаях, если уединить корень. Но этот аналитический способ универсальный, так как графический способ «монотонности левой части»» не всегда применим. Тем более если корень попросту не угадывается. А доказать, что его не существует вообще не возможно. Например, кто может сказать, почему последний способ не применим к уравнению , в котором надо найти все целые решения?

Ученик: Так как один корень левой части является монотонно возрастающей функцией, а второй — убывающей, то их сумма может не быть монотонной при любых х . А значит и значение равное 1 может принимать два раза.

Учитель: Остается только уединять один из корней, возводить в квадрат и выполнить проверку. Но это я предлагаю вам сделать дома. Скажите лучше, а нельзя ли здесь «пристально посмотреть» на данное уравнение. Ведь если вернуться к предыдущему «графическому» способу, в случае, если бы мы не заметили, что правая часть не монотонная, то подбор корня мы бы осуществляли, ориентируясь на область определения функции, то есть левой части уравнения. Кто теперь решит эту задачу?

Ученик: Найдем область определения левой части, решив систему . Так как по условию задачи надо найти только целые корни уравнения, то остается проверить все три целых числа, найденной области определения, числа: 2, 3, 4. Подстановкой не трудно проверить, что только является корнем исходного уравнения.

Учитель: Молодец! Думаю, что, прорешав это задание дома возведением в квадрат, вы еще больше убедитесь в красоте только что разобранного решения.

7. Самостоятельная работа. Давайте посмотрим, как быстро вы теперь решите уравнения, не возводя их в квадрат.

Выписывайте ответы себе в тетрадку, а листочки с работой сдаете мне.

У кого 3 правильных ответа? Это 5. Вы получаете право сегодня называться УМНИКОМ.

2 ответа? – 4. Почти умник.

1 ответ? Хоть и тройка, но тоже не плохо.

8. Задание на дом. Итог урока.

— Дома вы решите приведенные на розданных вам листиках уравнения различными способами решения. На следующий урок ответите, каким именно способом рациональнее всего было решать каждое.

14 марта — Всемирный день числа . Именно это число, равное отношению длины окружности к ее диаметру вы прекрасно знаете из геометрии. Как раз оно так же является иррациональным, хотя и не содержит в своей записи корень.


источники:

http://viripit.ru/Pag5_3.htm

http://infourok.ru/konspekt-uroka-po-algebre-i-nachalam-analiza-v-klasse-po-teme-reshenie-irracionalnih-uravneniy-2025649.html