Числа подобия и критериальные уравнения

Теория подобия и критериальные уравнения

Конвективный теплообмен описывается системой дифференциальных уравнений и условиями однозначности с большим количеством переменных. Попытки аналитического решения полной системы уравнений наталкиваются на серьезные трудности. Поэтому большое значение приобретает экспериментальный путь исследования. Однако при изучении столь сложного процесса, как конвективный теплообмен, не всегда легко проводить и опытное исследование.

Для исследования влияния на процесс какой-либо одной величины остальные нужно сохранять неизменными, что не всегда возможно или затруднительно из-за большого количества переменных. Кроме того, нужно быть уверенным, что результаты, получаемые с помощью какой-либо конкретной установки (модели), можно перенести и на другие аналогичные процессы (образец). Эти трудности помогает разрешить теория подобия. С помощью теории подобия размерные физические величины можно объединить в безразмерные комплексы, причем так, что число комплексов будет меньше числа величин. Полученные безразмерные комплексы можно рассматривать как новые переменные.

При введении в уравнения безразмерных комплексов число величин под знаком искомой функции формально сокращается, что упрощает исследование физических процессов.

Теория подобия устанавливает также условия, при которых результаты лабораторных исследований можно распространить на другие явления, подобные рассматриваемому. Ввиду этого теория подобия является теоретической базой эксперимента, но не только. Теория подобия является важным подспорьем теоретических исследований. Хотя методами теории подобия вид искомой функции не может быть определен, эта теория облегчает в ряде случаев анализ процесса и описание полученных результатов.

Для практического использования выводов теории подобия необходимо уметь приводить к безразмерному виду математические описания изучаемых процессов.

Имеется несколько методов, и один из них — метод масштабных преобразований.

независимые переменные: х, у.

зависимые переменные:

постоянные величины: и др. Для определенной задачи они являются постоянными.

Таким образом, искомые зависимые переменные зависят от большого числа величин: они являются функцией независимых переменных и постоянных величин.

В качестве масштабов удобно принять постоянные величины .

; ; ; ; , тогда

; ; ; ; .

Помимо безразмерных величин и безразмерных координат X, Y, составленных из однородных физических величин, в уравнения входят также безразмерные комплексы, состоящие из разнородных физических величин.

Безразмерные соотношения параметров характеризующих процесс, имеющие у подобных явлений в сходственных точках численно одинаковые значения называются числами подобия.

1). У подобных явлений числа подобия численно одинаковы.

2). Интеграл дифференциальной функции (или системы уравнений) может быть представлен как функция чисел дифференциального уравнения.

3). Подобны те явления, условия однозначности которых подобны, и числа подобия, составленные из условия однозначности, численно одинаковы.

Условия однозначности: Явление, протекающее в геометрически подобных системах; для рассматривания явления можно составить дифференциальные уравнения; установлены существование и единственность решения уравнений при заданных граничных условиях; известны числовые значения коэффициентов и физических параметров.

Критериальные уравнения теплообмена: расчет теплоотдачи в трубах и каналах

Теплоотдача при вынужденном течении жидкости в трубах и каналах

Теплоотдача в трубах и каналах может происходить при вынужденном или свободном характере конвекционных потоков (возможны также их сочетания в случае существенного влияния гравитационных сил).

При вынужденном течении (вынужденная конвекция) жидкость нагнетается или отводится под действием сил внешнего давления, например, ветра, насоса или вентилятора.

Свободное течение жидкости происходит под действием подъемных (гравитационных) сил за счет изменения ее плотности из-за разницы температуры – слой жидкости с меньшей плотностью стремиться занять верхнее положение относительно холодного слоя (свободная или естественная конвекция).

Интенсивность теплоотдачи, как при вынужденной, так и при свободной конвекции характеризуется коэффициентом теплоотдачи α, имеющим размерность Вт/(м 2 ·град), который определяется по формуле:

Nu – число Нуссельта; λ – коэффициент теплопроводности жидкости при средней температуре, Вт/(м·град);

d – эквивалентный диаметр, равный

F – площадь сечения канала, м 2 ; П – периметр канала, м.

Для трубы круглого сечения, эквивалентный диаметр равен внутреннему диаметру трубы.

В целом, расчет коэффициента теплоотдачи сводится к определению числа Нуссельта, значение которого задается соответствующими критериальными уравнениями конвективного теплообмена, зависящими от режима течения жидкости и формы канала.

Течение жидкости в трубах определяется значением числа Рейнольдса Re и в зависимости от его величины может быть ламинарным, переходным или турбулентным.

  • Ламинарный режим течения жидкости характеризуется величиной числа Re до 2300.
  • При значении числа Re от 2300 до 10000 режим течения в трубах является переходным.
  • Турбулентный режим течения в трубах наблюдается при числах Re более 10000.

Число (критерий) Рейнольдса представляет собой безразмерный комплекс, связывающий скоростные и вязкостные характеристики жидкости с определяющим размером канала (для трубы – это ее диаметр).

Число Re определяется по формуле:

w – скорость течения жидкости, м/с; d – эквивалентный диаметр канала, м; ν — кинематическая вязкость жидкости при средней температуре, м 2 /с.

Теплоотдача в трубах и каналах существенно зависит от режима течения жидкости. При ламинарном режиме интенсивность теплоотдачи значительно меньше, чем при развитом турбулентном.

Теплоотдача при ламинарном течении в трубах и каналах

Ламинарный режим течения жидкости обычно характеризуется низкой скоростью потока. При этом в некоторых случаях влиянием конвекции, обусловленной действием гравитационных сил, пренебрегать нельзя.

Для выбора правильного критериального уравнения теплообмена и оценки влияния естественной конвекции на интенсивность теплопередачи при ламинарном режиме служит критерий Грасгофа Gr.

g – ускорение свободного падения, м/с 2 ;

β – температурный коэффициент объемного расширения, град -1 ;

d – эквивалентный диаметр канала, м;

ν — кинематическая вязкость жидкости при средней температуре, м 2 /с;

Δt – средняя разность температур жидкости и стенки, °С.

Теплоотдача при ламинарном течении в трубах и каналах с учетом естественной конвекции. Если величина комплекса GrPr превышает 8·10 5 , то расчет коэффициента теплоотдачи необходимо проводить с учетом влияния естественной конвекции в потоке жидкости по следующему критериальному уравнению:

Индекс «ж» означает, что свойства среды, входящие в критерии подобия Re, Pr и Gr берутся при средней температуре жидкости.

Число Прандтля с индексом «с» Prс берется для жидкости при температуре стенки.

εL – коэффициент, учитывающий изменение теплоотдачи по длине трубы или канала. Его можно определить с помощью таблицы:

Значения коэффициента εL при ламинарном режиме

L/d125101520304050
εL1,91,71,441,281,181,131,051,021

Теплоотдача при ламинарном течении в трубах и каналах без учета естественной конвекции. При значении GrPr 5 , влияние естественной конвекции на теплоотдачу жидкости пренебрежительно мало, и расчет коэффициента теплоотдачи можно проводить по следующему критериальному уравнению:

d – эквивалентный диаметр канала, м;

L – длина трубы (канала), м.

Представленные критериальные уравнения теплообмена при ламинарном режиме позволяют определить среднее значение числа Нуссельта, по величине которого можно рассчитать средний коэффициент теплоотдачи:

λ – коэффициент теплопроводности жидкости при средней температуре, Вт/(м·град);

d – эквивалентный диаметр, м.

Теплоотдача в трубах и каналах при турбулентном режиме

Теплоотдача в трубах и каналах при турбулентном режиме осуществляется путем передачи тепла при интенсивном перемешивании слоев жидкости. Критериальное уравнение теплообмена для расчета средней теплоотдачи в трубах и каналах в этом случае имеет вид:

Критерии подобия Re и Pr берутся при средней температуре жидкости. Число Прандтля с индексом «с» Prс берется при температуре стенки.

Представленное критериальное уравнение применяется в диапазоне чисел Re от 1·10 4 до 5·10 6 и Pr от 0,6 до 2500.

εL – коэффициент, учитывающий изменение среднего коэффициента теплоотдачи по длине трубы или канала при турбулентном режиме течения. Значения εL приведены в следующей таблице при различных числах Рейнольдса и отношениях длины канала к его эквивалентному диаметру:

Значения коэффициента εL при турбулентном режиме

ReжL/d
125101520304050
1·10 41,651,51,341,231,171,131,071,031
2·10 41,511,41,271,181,131,11,051,021
5·10 41,341,271,181,131,11,081,041,021
1·10 51,281,221,151,11,081,061,031,021
1·10 61,141,111,081,051,041,031,021,011

Расчет теплоотдачи в изогнутых трубах и каналах проводится по тому же критериальному уравнению с добавлением множителя — поправки на действие центробежных сил, которая определяется по формуле:

R — радиус изгиба трубы или канала, м; d – эквивалентный диаметр трубы или канала, м.

Теплоотдача в изогнутых трубах проходит более интенсивно, чем в прямых, за счет большего вихреобразования и лучшего перемешивания жидкости.

Расчет теплоотдачи при вынужденной конвекции

Пример расчета. Рассчитаем средний коэффициент теплоотдачи воды, текущей по трубопроводу длиной 1 м, диаметром d=0,01 м с расходом Q=20 л/мин. Средняя температура воды tж=50°С, температура стенки трубы tс=10°С.

1. Определим физические свойства воды при температуре 50°С:

  • Теплопроводность воды λж= 0,648 Вт/(м·град);
  • Плотность воды ρж=988 кг/м 3 ;
  • Кинематическая вязкость воды νж=0,556·10 -6 , м 2 /с;
  • Число Прандтля при температуре жидкости Prж=3,54;
  • Число Прандтля при температуре стенки Prс=9,52.

2. Рассчитаем среднюю скорость течения воды w по трубе:

3. Определим число Рейнольдса Re:

4. Поскольку число Рейнольдса имеет значение больше 1·10 4 , то режим течения является турбулентным и расчет теплоотдачи необходимо проводить по следующему критериальному уравнению:

Определим коэффициент εL по соотношению L/d=1/0,01=100. Поскольку L/d>50, то коэффициент εL=1.

Выполним расчет числа Нуссельта по приведенному критериальному уравнению:

5. Рассчитаем средний коэффициент теплоотдачи от воды к стенке трубы по формуле:

Таким образом, средний коэффициент теплоотдачи от воды к стенке трубы составляет 14,65 кВт/(м 2 ·град).

Теплоотдача при свободной конвекции в трубах и каналах

Теплообмен при свободном движении жидкости (или газа) происходит вследствие разности плотностей нагретых и холодных ее слоев. Интенсивность теплоотдачи жидкости в трубах и каналах при свободной конвекции существенно зависит от их положения в пространстве относительно силы тяжести.

Теплоотдача при свободной конвекции имеет различный характер в случаях свободного течения в неограниченном пространстве и теплообмена в ограниченном объеме (в узкой трубе или канале).

Свободная конвекция в неограниченном пространстве

Конвекция в неограниченном пространстве протекает, например при охлаждении трубопровода центрального отопления, расположенного на улице в безветренную погоду, вблизи от которого отсутствуют препятствия для движения воздушных потоков.

Горизонтальный канал или труба. Интенсивность теплоотдачи при свободной конвекции зависит от величины комплекса GrPr. При значении GrPr от 10 3 до 10 9 критериальное уравнение, описывающее среднюю теплоотдачу от поверхности горизонтальных труб и каналов, имеет вид:

В качестве определяющего размера принимается наружный диаметр d канала или трубы.

Вертикальный канал (труба, пластина). Для вертикальных труб и каналов при значении GrPr от 10 3 до 10 9 критериальное уравнение, описывающее среднюю теплоотдачу, имеет вид:

При GrPr>10 9 :

Примечание: В приведенных критериальных уравнениях теплообмена свойства жидкости, входящие в числа Gr и Pr, определяются при температуре окружающей среды. Число Прандтля с индексом «с» Prс берется для жидкости при температуре стенки. В качестве определяющего размера принимается длина L (высота) вертикально стоящей трубы или канала.

Свободная конвекция в ограниченном объеме

Теплообмен жидкости в ограниченном объеме при свободной конвекции характеризуется совместным протеканием процессов нагрева и охлаждения соседних слоев жидкости (или газа). Эти процессы сопровождаются сложным течением нисходящих и восходящих потоков, зависящих от рода жидкости, разницы температуры, формы канала и его геометрических размеров.

Для упрощения расчета таких сложных процессов конвективного теплообмена принято рассматривать их, как явление теплопроводности в щели толщиной δ с учетом понятия эквивалентного коэффициента теплопроводности λэк.

Эквивалентный коэффициент теплопроводности определяется по формуле:

Q — количество переданного тепла, Вт; δ — толщина слоя жидкости (или газа), м; F — площадь теплоотдающей поверхности, м 2 ; Δt=tc1-tc2 — температурный напор между нагретой и холодной стенками, °С.

Отношение эквивалентного коэффициента теплопроводности λэк к величине теплопроводности окружающей жидкости при средней температуре называется коэффициентом конвекции εк, который определяется значением комплекса GrPr.

При малых значениях комплекса GrPr 3 6 :

При 10 6 10 :

Примечание: Числа подобия Gr и Pr рассчитываются при средней температуре жидкости (или газа), равной tж=0,5(tc1+tc2). В качестве определяющего размера принимается δ — толщина слоя жидкости.

Расчет теплоотдачи при свободной конвекции

Пример расчета. Рассчитаем потери тепла естественной конвекцией от горизонтального трубопровода центрального отопления, находящегося на открытом воздухе. Диаметр трубопровода d=0,15 м, длина L=5 м, средняя температура наружной стенки tс=80°С. Температура окружающего воздуха tж=20°С.

1. Определим физические свойства воздуха при температуре 20°С:

  • Теплопроводность воздуха λж= 0,0259 Вт/(м·град);
  • Кинематическая вязкость воздуха νж=15,06·10 -6 , м 2 /с;
  • Число Прандтля при температуре жидкости Prж=0,703;
  • Число Прандтля при температуре стенки Prс=0,69;
  • Коэффициент объемного расширения βж=1/(273+20)=0,00341 град -1 .

2. Вычислим число Грасгофа Gr по формуле:

3. Определим значение комплекса GrPr:

Этому значению комплекса соответствует следующее критериальное уравнение теплообмена при свободной конвекции в случае горизонтальной трубы:

4. Вычислим значение числа Нуссельта Nu:

5. Рассчитаем коэффициент теплоотдачи от трубы α по формуле:

6. Определим потери тепла с боковой поверхности трубопровода по формуле:

Подставляя численные значения, окончательно получаем потерю тепла:

Таким образом, только путем естественной (свободной) конвекции рассмотренный трубопровод отопления отдает воздуху 1681 Вт тепла.

Критерий подобия: определение и примеры

Слово «критерий» греческого происхождения, означает признак, являющийся основой для формирования оценки объекта или явления. На протяжении последних лет широко используется как в научной среде, так и в образовании, управлении, экономике, сфере обслуживания, в социологии. Если критерии научности (это определенные условия и требования, обязательные к соблюдению) представлены в абстрагированной форме для всего научного сообщества, то критерии подобия затрагивают только те области науки, которые имеют дело с физическими явлениям и их параметрами: аэродинамикой, теплообменом и массообменом. Для того чтобы разобраться в практической ценности применения критериев, необходимо изучить некоторые понятия из категориального аппарата теории. Стоит отметить, что критерии подобия использовались в технических специальностях задолго до того, как получили свое название. Самым тривиальным критерием подобия можно назвать нахождение процента от целого. Подобную операцию проделывали все без особых проблем и сложностей. А коэффициент полезного действия, который отражает зависимость потребляемой мощности машины и отдаваемой, всегда являлся критерием подобия и от этого не стал восприниматься как нечто туманно-заоблачное.

Основания возникновения теории

Физическое подобие явлений, будь то природа или рукотворный технический мир, применяется человеком в исследованиях по аэродинамике, массо- и теплообмену. В научной среде неплохо зарекомендовал себя метод исследования процессов и механизмов при помощи моделирования. Естественно, что при планировании и проведении эксперимента опорой является энергодинамическая система величин и понятий (ЭСВП). Следует сделать оговорку, что система величин и система единиц (СИ) не равнозначны. На практике ЭСВП существует в окружающем мире объективно, и исследования лишь выявляют их, поэтому основные величины (или критерии физического подобия) не обязаны совпадать с основными единицами. А вот основные единицы (систематизированные в СИ), отвечая требованиям практики, утверждаются (условно) при помощи международных конференций.

Понятийный аппарат подобий

Теория подобия — понятия и правила, целью которых является определение подобия процессов и явлений и обеспечение возможности переноса исследуемых явлений с опытного образца на реальный объект. Основу терминологического словаря составляют такие понятия, как однородные, одноименные и безразмерные величины, константа подобия. Для облегчения понимания сути теории следует рассмотреть значение перечисленных терминов.

  • Однородные — величины, которые имеют равные физический смысл и размерность (выражение, показывающее, каким образом единица измерения данной величины составляется из единиц основных величин; скорость имеет размерность длины, разделённой на время).
  • Одноименные — процессы, которые различаются по значению, но имеют одинаковую размерность (индукция и взаимоиндукция).
  • Безразмерные — величины, в размерность которых основные физические величины входят в степени, равной нулю.

Константа — безразмерная величина, в которой базовой является величина с фиксированным размером (например, элементарный электрический заряд). Она позволяет произвести переход от модели к натуральной системе.

Основные виды подобия

Подобными могут быть любые физические величины. Принято выделять четыре вида:

  • геометрическое (наблюдается при равенстве отношений сходных линейных размеров образца и модели);
  • временное (наблюдается на сходных частицах подобных систем, двигающихся по подобным путям за определенный промежуток времени);
  • физических величин (можно наблюдать на двух сходных точках модели и образца, для которых соотношение физических величин будет постоянным);
  • начальных и граничных условий (можно наблюдать при соблюдении трех предыдущих подобий).

Инвариант подобия (обычно обозначается idem в расчетах и обозначает инвариантно или «такой же») – это выражение величин в относительных единицах (т. е. отношение сходных величин в рамках одной системы).

В том случае, если инвариант содержит отношения однородных величин, его называют симплексом, а если разнородных величин, то критерием подобия (им присущи все свойства инвариантов).

Законы и правила теории подобия

В науке все процессы регулируются при помощи аксиом и теорем. Аксиоматическая составляющая теории включает три правила:

  • значение h величины H такое же, как отношение величины к единице ее измерения [H];
  • физическая величина независима от выбора единицы ее измерения;
  • математическое описание явления не подчиняется конкретному выбору единиц измерения.

Основные постулаты

При помощи теорем описаны следующие правила теории:

  • Теорема Ньютон-Бертрана: для всех подобных процессов все исследуемые критерии подобия попарно равны друг другу (π1*=π1**; π2*=π2** и т. д.). Отношение критериев двух систем (модели и образца) всегда равно 1.
  • Теорема Бэкингема-Федермана: критерии подобия связаны при помощи уравнения подобия, которое представляется безразмерным решением (интегралом) и называется критериальным уравнением.
  • Теорема Киринчен-Гухмана: для подобия двух процессов необходимы качественная их равнозначность и попарная равнозначность определяющих критериев подобия.
  • Теорема π (иногда именуется Бэкингема или Ваши): взаимосвязь между h величинами, которые измеряются при помощи m единиц измерения, представляется в виде отношения h – m безразмерными сочетаниями π1,…, πh-m этих h величин.

Критерий подобия – это комплексы, объединенные при помощи π–теоремы. Вид критерия можно установить при помощи составления списка величин (A1,…, An) описывающих процесс, и применить рассматриваемую теорему к зависимости F(a1,…,an)=0, являющейся решением задачи.

Критерии подобия и методы исследования

Бытует мнение, что наиболее точно описывающее название теории подобия должно звучать как метод обобщенных переменных, поскольку она является одним из способов обобщения в науке и экспериментальных исследованиях. Основными сферами влияния теории являются методы моделирования и аналогии. Использование основных критериев подобия как частной теории существовало задолго до введения этого термина (ранее назывались коэффициентами или степенями). В качестве примера можно привести тригонометрические функции всех углов подобных треугольников – они безразмерны. Они представляют пример геометрического подобия. В математике самым известным критерием является число Пи (отношение размеров окружности и диаметра круга). На сегодняшний день теория подобия является широко распространенным орудием научных исследований, которое качественно преобразовывается.

Физические явления, изучаемые посредством теории подобия

В современном мире трудно представить изучение процессов гидродинамики, теплообмена, массообмена, аэродинамики в обход теории подобий. Критерии выводятся для любых явлений. Главное, что между их переменными существовала зависимость. Физический смысл критериев подобия отражается в записи (формуле) и предшествующих ей вычислениях. Обычно критерии, как и некоторые законы, называются в честь знаменитых ученых.

Изучение теплообмена

Критерии теплового подобия состоят из величин, которые способны описать процесс теплоотдачи и теплообмена. Наиболее известных критериев четыре:

В формуле представлены следующие величины:

  • с – скорость носителя тепла;
  • l – геометрический параметр (размер);
  • v – коэффициент кинематической вязкости

При помощи критерия установлена зависимость сил инерции и вязкости.

В него входят такие составляющие:

  • α – является коэффициентом теплоотдачи;
  • l – геометрический параметр (размер);
  • λ – является коэффициентом теплопроводности.

Данный критерий описывает зависимость между интенсивностью теплоотдачи и проводимостью теплоносителя.

  • Критерий Прандтля (Pr)

В формуле представлены следующие величины:

  • v – является коэффициентом кинематической вязкости;
  • α – является коэффициентом температуропроводности.

Данный критерий описывает соотношение температурных и скоростных полей в потоке.

Формула составлена при помощи таких переменных:

  • g – обозначает ускорение земного притяжения;
  • β – является коэффициентом объемного расширения теплоносителя;
  • ∆T – обозначает разность температур между теплоносителем и проводником.

Данный критерий описывает соотношение двух сил молекулярного трения и подъемной силы (происходит благодаря разной плотности жидкости).

Критериями подобия теплообмена при свободной конвенции обычно называются критерии Нуссельта, Грасгофа и Прандтля, а при вынужденной конвенции – Пекле, Нуссельта, Рейнольдса и Прандтля.

Изучение гидродинамики

Критерии гидродинамического подобия представлены следующими примерами.

В формуле представлены следующие величины:

  • υ – обозначает скорость вещества на расстоянии от обтекаемого ею предмета;
  • l – описывает геометрические (линейные) параметры предмета;
  • g – обозначает ускорение силы тяжести.

Данный критерий описывает соотношение сил инерции и тяжести в потоке вещества.

  • Критерий подобия Струхаля (St).

Формула содержит такие переменные:

  • υ – обозначает скорость;
  • l – обозначает геометрические (линейные) параметры;
  • Т – обозначает интервал времени.

Данный критерий описывает неустановившиеся движения вещества.

В формуле представлены следующие величины:

  • υ – обозначает скорость вещества в конкретной точке;
  • с – обозначает скорость звука (в жидкости) в конкретной точке.

Данный критерий гидродинамического подобия описывает зависимость движения вещества от его сжимаемости.

Кратко об остальных критериях

Перечислены наиболее встречающиеся критерии физического подобия. Не менее важными являются такие как:

  • Вебера (We) – описывает зависимость сил поверхностного натяжения.
  • Архимеда (Ar) – описывает зависимость подъемных сил и инерции.
  • Фурье (Fo) – описывает зависимость скорости изменения температурного поля, физических свойств и размеров тела.
  • Померанцева (Po) – описывает соотношения интенсивности внутренних источников теплоты и температурного поля.
  • Пекле (Pe) – описывает соотношения конвективного и молекулярного переносов теплоты в потоке.
  • Гидродинамической гомохронности (Ho) – описывает зависимость переносного (конвективного) ускорения и ускорения в данной точке.
  • Эйлера (Eu) — описывает зависимость сил давления и инерции в потоке.
  • Галилея (Ga) – описывает соотношение сил вязкости и тяжести в потоке.

Заключение

Критерии подобия могут состоять из определенных величин, но могут выводиться и из других критериев. И такая комбинация также будет являться критерием. Из приведенных примеров видно, что принцип подобия является незаменимым в гидродинамике, геометрии, механике, существенно упрощая в некоторых случаях процесс исследования. Достижения современной науки стали возможными во многом благодаря возможности моделировать сложные процессы с большой точностью. Благодаря теории подобия, было сделано не одно научное открытие, отмеченное затем Нобелевской премией.


источники:

http://thermalinfo.ru/eto-interesno/kriterialnye-uravneniya-teploobmena-raschet-teplootdachi-v-trubah-i-kanalah

http://fb.ru/article/342231/kriteriy-podobiya-opredelenie-i-primeryi