Числа подобия и уравнения подобия

Уравнения подобия

Уравнения подобия

  • Уравнение подобия Уравнение подобия относится к связи между определенным числом подобия и другими определенными числами подобия. Количество, необходимое для расчета теплового оборудования — это коэффициент теплопередачи a и гидравлическое сопротивление dr. Конвективный теплообмен характеризуется пятью сходствами: Nu, Eu, Pr, Gr и Re. Числовое значение Nu содержит

неизвестный коэффициент теплопередачи a, а числовое значение Ei содержит целевое значение Ap. Это характеризует гидравлическое сопротивление при движении жидкости. Следовательно, числа Nu и Ei определяются числами подобия, а числа Pr, Gr и Re являются решающими и. Для конвективного теплообмена уравнение подобия может быть выражено как: Nu = f, (Re, Gr, Pr); • (26-44) Eu = f2 (Re, Gr, Pr). ^ (26-45) Эта связь между числами подобия является результатом

второй теоремы теории подобия. Соотношение между числами подобия определяется в основном опытным путем. свободная конвекция очень мала по сравнению с принудительной конвекцией, что упрощает уравнение подобия теплопередачи. • Nu = / (Re, Pr). (26-46) Для некоторых газов значение числа Прандтля Pr во время конвективного теплообмена мало меняется с температурой, поэтому формула подобия принимает более простую форму. Nu = f (Re). (26-47)

При вынужденном движении жидкости и в развитом турбулентном режиме Людмила Фирмаль

Когда жидкость движется свободно, число Грасгофа необходимо ввести в уравнение подобия теплопередачи, когда нет принудительной конвекции вместо числа Рейнольдса. Отсюда U = / (Gr, Pr) ..- (26-48) Экспериментальные исследования теплопередачи капающей жидкости показали, что коэффициент теплопередачи ce имеет различные значения в условиях нагрева и охлаждения стенки. Это явление связано с изменением физических параметров жидкости в пограничном слое. Чтобы получить уравнение подобия, которое

одинаково справедливо как для зрелости, так и для охлаждения, дополнительно введено следующее соотношение: ^ /) K // CT, ai / | lst, Prz / Prst. Первое соотношение обычно используется для расчета теплопередачи газа, а два других соотношения используются для расчета теплопередачи капающей жидкости. Ученый М.А. Михеев рекомендует учитывать направление тепла: отношение теплового потока Rg / Prgst до 0,25. В этом случае общая формула для подобия конвективного теплообмена следующая: Nu = c Re «, Gr *, Prm, (Prz / Prst) 0-25. (26-49) Все уравнения в особых случаях могут отображаться

в одном формате. Количественная связь между показателями сходства [предмет экспериментальных исследований. моделирование Экспериментальные исследования различных физических явлений, особенно тепловых и тепловых явлений, могут проводиться путем изучения явлений, которые должны быть исследованы либо непосредственно на образце, либо на моделях. Условие, что модель и процессы, происходящие в ней, должны соответствовать теории

  • подобия. Применимость: теория сходства с опытом практически безгранична. В предыдущем разделе было установлено, что все подобные явления в определенной группе являются идентичными явлениями, приведенными в разных масштабах. Вывод: где взять; изучение любого явления в группе может быть распространено на все явления в этой группе. Таким образом, изучение конкретного конкретного явления в определенной группе эквивалентно изучению

других явлений в той же группе. Поэтому, если прямое экспериментальное исследование конкретного явления в природе образца затруднительно по техническим или экономическим причинам, оно будет заменено исследованием аналогичного явления в модели. Моделирование — это экспериментальный метод исследования, при котором изучение физических явлений проводится в сокращенной модели. Идея моделирования основана на

том факте, что [все явления описываются безразмерными переменными [отражают признаки группы похожих явлений]. Чтобы модель была похожа на модель, Вы можете моделировать процессы, которые имеют одинаковые физические свойства и описываются одними и теми же дифференциально-дифференциальными уравнениями. Явные

должны быть выполнены следующие условия: Людмила Фирмаль

условия должны быть одинаковыми во всех, кроме постоянных чисел, содержащихся в этих условиях. Требования двусмысленности требуют комфорта. Геометрическое сходство образца и модели, сходство условия G движения жидкости во входном сечении образца и модели, сходство физических параметров при сходстве образца и модели, Сходство температурного поля на границе жидкой среды. Кроме того, сходные числа сходства для похожих участков образца и модели должны быть численно одинаковыми. , ■ ч Перечисленные

условия сходства для образцов и моделей являются необходимыми и достаточными. Однако практически все условия моделирования трудно реализовать практически точно. По этой причине была разработана приближенная методика моделирования, состоящая из стабильности и надежности. Применение потоковых методов самоподобия и локальности. Геометрическое сходство от модели к модели легко реализовать. Аналогичное распределение скорости.

Тент на входе относительно легкий. Сходство физических параметров модели и потока жидкости образца является лишь приблизительным, и подобие поля температуры на нагретой поверхности модели и образца очень сложно реализовать. В связи с этим используется метод аппроксимации локального моделирования. Локальное моделирование основано на том факте, что подобие температурного поля выполняется не на всем устройстве, а в отдельном месте, то есть

на участке, где изучается теплообмен. Эквивалентность критериев выбора образца и модели может быть выполнена приблизительно. -Стабильность является характеристикой вязкости жидкости, которая всегда принимает одинаковое распределение скорости по площади поперечного сечения на одном и том же расстоянии от впускного отверстия, независимо от характера скорости входной площади поперечного сечения. \ Явление самоподобия связано с тем, что существует распределение скоростей, которое практически не изменяется в этом сечении, когда жидкость движется с довольно

широким диапазоном скоростей. Другими словами, он практически не зависит от Re. В настоящее время моделирование является одним из основных методов научных исследований и широко используется во многих областях науки и техники. Он стал мощным инструментом для выявления различных недостатков в существующем техническом оборудовании и поиска путей их устранения. Кроме того, моделирование в настоящее время широко используется для тестирования вновь созданных устройств, улучшая новые

конструкции, которые еще не реализованы на практике. XXVI глава вопросы безопасности 1. Что такое конвективный теплообмен? -2 Какие бывают типы конвекции? 3. Динамические и тепловые пограничные слои и их физические значения. • 4: Какая разница между типом движения жидкости и #? «» 5. Число Рейнольдса и его обозначение. 6. Что такое измерение числа Рейнольдса? 7. Критическое значение числа Рейнольдса. 8. Каков механизм теплообмена при ламинарном и турбулентном движении * жидкостей? 9. Обеспечивает определение динамических и

кинематических коэффициентов. Класс вязкости. «» LO. Какие факторы влияют на конвективный теплообмен? П. Определение коэффициента теплопередачи. * 12. Какова функция коэффициента теплопередачи? 13. Создать систему дифференциальных уравнений для конвективного теплообмена. 14. Что называется условием уникальности? 15. Почему теория подобия используется для определения коэффициента теплопередачи? • ‘•• 16. Какие условия лежат в основе теории подобия? 17. Зависит ли коэффициент

теплопередачи от такого количества? , 18. Три теоремы подобия. — 19. Из какого дифференциального уравнения можно получить сходство? •. ’20. Какое сходство можно получить из дифференциального уравнения конвективного теплообмена? •• ■ — • • 21. Что такое уравнение называется похожим уравнением? 22. Какое же число конвективных теплообменов между газом и капающей жидкостью? 23. Какое соотношение учитывает направление теплового потока?

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Безразмерные переменные (числа подобия) и уравнения

Подобия

Помимо безразмерных величин θ, WXiWy и безразмерных координат, составленных из однородных физических величин, в уравнения входят также безразмерные комплексы, состоящие из разнородных физических величин:

Этим комплексам, называемым числами подобия, присвоены имена ученых, внесших значительный вклад в развитие гидродинамики или теплопередачи.

1. Первый из этих безразмерных комплексов обозначают

и называют числом Нуссельта, или безразмерным коэффициентом теплоотдачи. Число Нуссельта характеризует теплообмен на границе стенка — жидкость. В задачах конвективного теплообмена число Nuобычно искомая величина, поскольку в него входит определяемая величина а.

Несмотря на внешнее сходство с числом Био (Bi)

используемым при изучении теплопроводности, число Нуссельта существенно отличается от него. В число Bi входит коэффициент теплопроводности твердого тела; в число Nu — коэффициент теплопроводности жидкости. Кроме того, в число Био коэффициент теплоотдачи вводится как величина, заданная в условиях однозначности, мы же рассматриваем коэффициент теплоотдачи, входящий в Nu, как величину искомую.

2. Безразмерный комплекс

называют числом Рейнольдса. Оно характеризует соотношение сил инерции и сил вязкости. Число Рейнольдса – важная характеристика как изотермического, так и неизотермического процессов течения жидкости.

3. Третий безразмерный комплекс обозначают

и называют числом Пекле. Его можно преобразовать следующим образом:

Здесь числитель характеризует теплоту, переносимую конвекцией, а знаменатель — теплоту, переносимую теплопроводностью.

4. Безразмерный комплекс

называют числом Грасгофа. Оно характеризует подъемную силу, возникающую в жидкости вследствие разности плотностей.

Используя введенные обозначения, систему безразмерных дифференциальных уравнений можно записать в следующем виде:

Безразмерные величины Θ,Wx, Wy, X, У, Nu, Re, Ре, Gr можно рассматривать как новые переменные.

Их можно разделить на три группы:

– независимые переменные — это безразмерные координаты X, У;

– зависимые переменные — это Nu, Θ, Wx, Wy ; они однозначно определяются значениями независимых переменных при определенных значениях величин, входящих в условия однозначности;

– постоянные величины — это Ре, Re, Gr; они заданы условиями однозначности и для конкретной задачи являются постоянными. Действительно, числа Ре, Re и Gr состоят только из величин, входящих в условия задачи.

В результате можно написать

Уравнения (3.4) называют уравнениями подобия.

Здесь Хс , Ус соответствуют поверхности теплоотдачи (стенки). Нахождение а (или Nu) для точек пространства, не лежащих на поверхности стенки, не имеет смысла. В рассматриваемой задаче Ус = 0.

Если в уравнении движения учесть член-

то в результате приведения к безразмерной записи появился бы и член

5. Безразмерный комплекс

называют числомЭйлера.Эточисло характеризует соотношение сил давления и сил инерции.

Необходимо отметить, что при неизменной формулировке задачи новые безразмерные величины могут быть получены соответствующим комбинированием старых безразмерных комплексов, однако при этом число переменных под знаком функции не должно измениться.

Числу Прандтля можно придать определенный физический смысл.

и уравнение движения

При a = v расчетные поля температур и скоростей будут подобны, если только аналогичны и условия однозначности. Условию a = v соответствует равенствоРг = 1. Таким образом, при определенных условиях числу Прандтля может быть придан смысл меры подобия полей температур и скоростей.

В зависимости от значения числаРг жидкости делят на три группы: жидкости с числами Рг 1 (неметаллические капельные жидкости).

Учитывая, чтоPe=Re·Pr, уравнения подобия можно записать в виде:

Исходя из уравнений (3.5), безразмерные переменные можно разделить на два вида:

определяемые — что числа, в которые входят искомые зависимые переменные; в рассматриваемом случае зависимыми являются a, θ,:wx и wy, следовательно, определяемыми будут Nu, θ, Wx и Wy;

– определяющие — это числа, целиком составленные из независимых переменных и постоянных величин, входящих в условия однозначности; в рассматриваемом случае определяющими являются X, У, Re, Рг (или Ре) и Gr.

Числа подобия конвективного теплообмена

Здравствуйте, друзья! Из дифференциальных уравнений конвективного теплообмена с помощью методов теории подобия находятся следующие числа подобия:

Nu, Re, Ре, Gr, Eu, Pr.

Число Нуссельта Nu, характеризующее интенсивность теплообмена между твердым телом и средой, равно

где α — коэффициент теплоотдачи; l — определяющий (характерный) размер; λс — коэффициент теплопроводности среды.

Обычно при расчете конвективного теплообмена число Nu является искомой величиной, так как в него входит коэффициент теплоотдачи, который неизвестен и подлежит определению, поэтому в уравнениях теплообмена оно всегда выступает в качестве функции. Число Nu представляет собой безразмерную форму коэффициента теплоотдачи.

Несмотря на внешнее сходство с числом Био

число Nu существенно отличается от него. Различие состоит в том, что в число Nu входит коэффициент теплопроводности среды, а в число Bi — коэффициент теплопроводности материала тела. Поэтому число Bi применяется при исследовании процесса распространения теплоты в теле, и условия его взаимодействия с окружающей средой считаются заданными (коэффициент теплоотдачи α известен). По условию задачи обычно известны характерный размер l и коэффициент теплопроводности λ , поэтому Bi является определяющим числом подобия (критерием подобия).

Если учесть, что λ/l — термическая проводимость тела, то число Био можно записать в виде

Отсюда следует, что число Bi характеризует относительную интенсивность теплообмена, то есть интенсивность теплообмена на поверхности тела по сравнению с интенсивностью распространения теплоты внутри тела.

Гидродинамические условия движения потока характеризуются числом Рейнольдса

Это число представляет собой меру отношения инерционной силы к силе внутреннего трения. Оно является важнейшей характеристикой исследуемого процесса и обычно применяется в уравнениях подобия при расчете конвективного теплообмена в условиях вынужденного движения потока.

называемый числом Пекле, характеризует перенос теплоты в потоке.

Физические свойства среды через коэффициент кинематической вязкости υ и коэффициент температуропроводности α определяет число Прандтля

Оно может быть получено при делении числа Ре на число Re:

Так как сочетание двух чисел подобия дает третье, то для характеристики явления можно применять любую пару из названных чисел. В большинстве случаев пользуются числами Re и Рг, которые определяют гидродинамические и физические условия, причем число Рг является безразмерным параметром как для вынужденного, так и для свободного движения.

Для каждой среды, если предположить, что ее физические свойства неизменны, число Прандтля имеет вполне определенное численное значение. Для газов число Рг близко к единице, изменяется в небольших пределах 0,67—1,0 и зависит только от атомности газа. Например, для двухатомных газов Рг = 0,72, для жидкостей Рг = 1—2500; большие значения соответствуют очень вязким жидкостям. Число Рг для жидких металлов изменяется в пределах 0,005—0,05. Очень малые значения Рг объясняются высокой теплопроводностью металлов.

Кинематическое подобие при свободном движении жидкости устанавливается числом Грасгофа

где β — коэффициент объемного расширения (для газа β = 1/T); g — ускорение свободного падения; ∆t — разность температур между поверхностью тела и средой.

Число Грасгофа характеризует процесс свободного движения жидкости, обусловленный различием плотности, причем причиной отмеченной неоднородности является температурное поле. Как видно из формулы (1), величина Gr находится в прямой зависимости от температурного напора, коэффициента объемного расширения среды, размера поверхности нагрева по вертикали, ускорения силы тяжести и обратно пропорциональна вязкости, препятствующей развитию свободного движения. Число Gr применяется в уравнениях подобия, используемых для расчета конвективного теплообмена в условиях свободного движения жидкости.

где ∆p — перепад давления; ρ — плотность жидкости, называют числом Эйлера.

Это число подобия характеризует соотношение сил давления и сил инерции или, другими словами, сопротивление канала в зависимости от скорости потока и применяется при исследовании гидравлического сопротивления каналов и аппаратов. Искомой величиной является перепад давления ∆р, а масштабом отнесения — ρω^2. В целом число Еu — безразмерная форма неизвестной переменной. Таким образом, число Ей является функцией безразмерных независимых переменных, то есть определяемым числом подобия.

Наиболее важными числами подобия применительно к конвективному теплообмену являются числа Нуссельта Nu, Рейнольдса Re, Грасгофа Gr и Прандтля Рг. Все величины, входящие в числа Re, Gr и Рг, обычно известны по условию задачи, поэтому они представляют собой определяющие числа подобия, являясь одновременно критериями подобия, и входят в обобщенные уравнения в качестве аргументов.

Температура, при которой определяются физические параметры λ, α, υ, входящие в числа подобия, называется определяющей температурой, а характерный размер тела или канала d, I, h — определяющим размером. В зависимости от условий конкретной задачи в качестве определяющей температуры принимается температура среды tc, или температура поверхности тела tп, или средняя температура пограничного слоя tm=0,5t*(tc — tп).

В качестве определяющего размера для трубы принимается диаметр или высота в зависимости от ее ориентации в пространстве; для вертикальной пластины — высота и так далее. При обработке экспериментальных данных в форме уравнения подобия всегда указывается, какая температура и какой размер приняты в качестве определяющих. Исп.литература: 1) Теплотехника, под редакцией А.П. Баскакова, Москва, Энергоиздат, 1982. 2) Теплотехника, Бондарев В.А., Процкий А.Е., Гринкевич Р.Н. Минск, изд. 2-е,»Вышейшая школа», 1976.


источники:

http://lektsii.org/17-46501.html

http://teplosniks.ru/texnicheskaya-termodinamika/chisla-podobiya-konvektivnogo-teploobmena.html