Численные методы решения дифференциальных уравнений гиперболического типа

ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА УРАВНЕНИЕ

ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА УРАВНЕНИЕ численные методы решения — методы решения уравнений гиперболич. типа на основе вычислительных алгоритмов.

Различные математич. модели во многих случаях приводят к дифференциальным уравнениям гиперболич. типа. Такие уравнения имеют тонные аналитич. решения только в редких случаях. Наиболее распространенными являются численные методы. Они находят широкое применение при решениях задач механики сплошной среды и, в частности, уравнений газовой динамики (см. Газовой динамики численные методы), к-рые по своей структуре являются квазилинейными.

Численные методы решения уравнений гиперболического типа можно разделить на две группы: 1) методы с явным выделением особенностей решения; 2) методы сквозного счета, в к-рых особенности решения явно не выделяются, а получаются в процессе счета как области с резким изменением решений.

К первой группе относится, напр., метод характеристик, к-рый используется только для решения уравнений гиперболич. типа (он нашел широкое применение при решении задач газовой динамики).

Методы второй группы дают собственно разностные схемы. Пусть, напр., имеется гиперболич. уравнение

где А есть (m × m)-матрица, имеющая m разлинных действительных собственных значений, w = w(x, t) -вектор-функция с m компонентами. Матрица А может быть либо функцией от х, t, и тогда (1) есть линейная гиперболич. система, либо зависеть также от w = w(x, t) (квазилинейная система). Пусть, в последнем случае, система уравнений (1) приводима к дивергентному виду

где F есть вектор-функция от w, х, t такая, что А = dF/dw, ψ — вектор-функция от w, х, t. В наиболее важном случае A, F и ψ зависят только от w. Для системы уравнений (1) может быть поставлена задача Коши:

с соответствующими краевыми условиями.

Как правило, основой построения разностных схем является аппроксимация соответствующего дифференциальному уравнению интегрального закона сохранения с помощью некоторых квадратурных формул на контуре интегрирования разностной ячейки. В случае гладких решений аппроксимация интегрального закона сохранения равносильна прямой аппроксимации соответствующего дифференциального уравнения. Разностные схемы должны удовлетворять требованиям аппроксимации и устойчивости. Эти требования независимы и в определенном смысле вступают в противоречие одно с другим. Для случая дивергентных систем дифференциальных уравнений существенным является условие дивергентности (или консервативности) разностной схемы. Кроме того, разностные схемы должны удовлетворять еще ряду необходимых требований — диссипативности, экономичности и т. д. Двухслойная явная разностная схема для линейного уравнения типа (1) имеет вид:

где Λ — финитный оператор, т. е. представляется в виде:

Вα есть (m × m)-матрицы с коэффициентами, зависящими от τ, h, х, t; t = nτ, x = jh; τ, h — шаги разностной сетки по осям t и х соответственно; числа q1 и q2 не зависят от τ, h; א = τ/h, Т1 — оператор сдвига по х.

Условия аппроксимации приводят к соотношениям:

I — единичная матрица.

Неявная разностная схема может быть записана в виде:

где Λ1 и Λ0 — финитные операторы:

В k α есть (m × m)-матрицы, зависящие от τ, h, х, t, причем оператор Λ1 содержит по крайней мере две ненулевые матрицы В 1 α. Оператор Λ1 предполагается обратимым, но его обратный не является финитным.

По свойствам аппроксимации разностные схемы можно подразделить на два класса: условно аппроксимирующие и абсолютно аппроксимирующие. Условно аппроксимирующие разностные схемы аппроксимируют исходное дифференциальное уравнение при τ, h, стремящихся к нулю при нек-рой зависимости между τ и h : τ = φ(h). Абсолютно аппроксимирующие разностные схемы аппроксимируют исходное дифференциальное уравнение при стремлении τ, h к нулю по любому закону.

В случае условной аппроксимации разностное уравнение может аппроксимировать различные дифференциальные уравнения при различных законах предельного перехода. Так, напр., для уравнения

рассмотрим две разностные схемы:

При законе предельного перехода

разностная схема (3) аппроксимирует уравнение (2), а при законе предельного перехода

Разностная схема (4) аппроксимирует уравнение (2) абсолютно.

Аналогично, разностные схемы подразделяются на условно устойчивые и абсолютно устойчивые. Так, разностная схема (4) устойчива, если выполнено следующее условие (условие Куранта):

т. е. условно устойчива. С другой стороны, неявная разностная схема

устойчива при любых соотношениях между τ и h, т. е. абсолютно устойчива.

Явные разностные схемы просты в реализации, но являются или условно устойчивыми или условно аппроксимирующими. В случае абсолютно аппроксимирующей разностной схемы условие устойчивости явной схемы имеет, как правило, вид

τ ≤ const ⋅ h β (β ≥ 1),

что приводит к излишне мелкому шагу τ и неоправданному увеличению объема вычислений. Абсолютно устойчивые и абсолютно аппроксимирующие схемы находятся только в классе неявных схем.

Неявные разностные схемы более сложны в реализации при переходе с одного временного слоя на другой, но зато шаг τ может быть выбран сколь угодно большим и тем самым может определяться исключительно требованием точности.

Теоремы сходимости для разностных схем, аппроксимирующих линейные дифференциальные уравнения, позволяют сводить исследование сходимости разностной схемы к исследованию ее устойчивости.

Исследование аппроксимации разностной схемы соответствующего гиперболич. уравнения сравнительно просто в случае гладких решений, носит локальный характер и по существу сводится к разложению в ряд Тейлора; в случае же разрывных решений это — сложная задача, сводящаяся к проверке интегральных законов сохранения. Исследование устойчивости является значительно более сложной задачей.

Для разностных схем, аппроксимирующих гиперболич. уравнения с постоянными коэффициентами, устойчивость исследуется методом Фурье, а именно, оценивается норма образа Фурье оператора шага разностной схемы. Так как спектральный радиус матрицы образа Фурье оператора шага не превосходит нормы матрицы, то отсюда следует необходимый критерий устойчивости: для устойчивости разностной схемы необходимо, чтобы спектральный радиус образа Фурье оператора шага не превосходил величины 1 + O(τ), где τ — шаг разностной схемы по оси t. Это условие является необходимым и для разностных схем с переменными коэффициентами и при ряде дополнительных ограничений является достаточным условием устойчивости разностной схемы. Для исследования устойчивости разностных схем с переменными коэффициентами, а также для нек-рых нелинейных уравнений применяются: метод мажорантных или априорных оценок; локальный алгебраич. метод.

Метод априорных оценок аналогичен соответствующему методу для дифференциальных уравнений, но в разностном случае его реализация встречает большие трудности, что связано со спецификой разностного анализа, в к-ром, в отличие от априорных оценок в теории дифференциальных уравнений, многие соотношения принимают громоздкий вид.

Простейшей мажорантной оценкой является оценка для разностных схем с положительными коэффициентами.

Напр., пусть для уравнения (2) с а = а(х) рассматривается разностная схема:

Тогда при условии

Отсюда следует равномерная устойчивость схемы (5) в пространстве С. Оценка переносится на разностные схемы, аппроксимирующие гиперболич. системы уравнений в инвариантах.

Весьма важный, хотя и ограниченный класс разностных схем составляют разностные схемы с положительными коэффициентами и матрицами (так наз. мажорантные схемы). Если коэффициенты таких разностных схем есть симметричные, положительные матрицы, липшиц-непрерывные по х, то такие схемы устойчивы в пространстве L2. Как правило, это разностные схемы первого порядка аппроксимации, в к-рых производные аппроксимируются односторонними разностями. При аппроксимациях более высокого порядка, когда берутся центральные разности, как правило, положительные коэффициенты не получаются. В этом случае используют априорные оценки более общего типа в пространствах W p 2.

Пусть, напр., (1) — система уравнений акустики, где

причем функции а(х, t), u(х, t), v(x, t) периодичны по х с периодом 2π. Априорная оценка для разностной схемы

Приведенная оценка доказывает устойчивость разностной схемы (6) и аналогична энергетич. неравенству для системы уравнений акустики.

В основе локально алгебраич. метода лежит изучение свойств локального разностного оператора, получаемого из соответствующего разностного оператора с неременными коэффициентами «замораживанием» коэффициентов. Тем самым анализ устойчивости разностного оператора с переменными коэффициентами заменяется анализом целого семейства операторов с постоянными коэффициентами. Локальный критерий устойчивости является обобщением метода «замораживания» коэффициентов, используемого в теории дифференциальных уравнений.

К локальному критерию устойчивости примыкает диссипативный критерий устойчивости. Разностная схема наз. диссипативной порядка ν (ν — четное число), если существует такое δ > 0, что

где ρ — максимальное по модулю собственное число матрицы перехода (образ Фурье оператора шага) разностной схемы, k — дуальное переменное. Тогда, если разностная схема имеет порядок аппроксимации 2r + 1 (2r + 2), r = 0, 1, 2, . и является диссипативной порядка 2r + 2(2r + 4), то для гиперболических систем дифференциальных уравнений 1-го порядка с эрмитовыми матрицами разностная схема будет устойчива в L2.

При исследовании устойчивости разностных схем для нелинейных гиперболич. уравнений (в частности, уравнений газовой динамики) применяется метод дифференциального приближения, к-рый заменяет анализ разностной схемы анализом ее дифференциального приближения.

Например, дифференциальное приближение разностной схемы (4) для уравнения (2) строится следующим образом: разложение в (4) функции

в ряды Тейлора относительно точки x = jh, t = nτ по параметрам τ и h приводит к Г-форме дифференциального представления разностной схемы:

Исключение в (7) производных

приводит к П-форме дифференциального представления разностной схемы (4):

где Cl — некоторые коэффициенты, зависящие от τ, h, а; причем Cl = O(τ l-1 , h l-1 ). Исключение в (7) и (8) членов порядка О(τ 2 , h 2 ) приводит соответственно к Г-форме первого дифференциального приближения разностной схемы (4):

и к П-форме первого дифференциального приближения разностной схемы (4):

В линейном случае для ряда разностных схем показано, что из корректности первого дифференциального приближения следует устойчивость соответствующей разностной схемы. Так, в рассмотренном выше случае разностной схемы (4) корректность уравнения (9) означает, что C2 ≥ 0, т. е. выполнено необходимое и достаточное условие аτ/h ≤ 1 устойчивости схемы (4). Члены с четными производными в уравнении (8) ответственны за диссипативные свойства разностной схемы, а с нечетными производными — за дисперсионные свойства разностной схемы.

Под диссипацией разностной схемы (4) понимается величина

— множитель усиления схемы; под дисперсией разностной схемы (4) — величина

Диссипативные члены в (8) определяют свойства аппроксимационной вязкости схемы (т. е. некоторого механизма сглаживания в разностной схеме). На вид диссипативных членов влияют как искусственные диссипативные члены, вводимые в исходное дифференциальное уравнение, так и структура самой разностной схемы. Первое дифференциальное приближение дает главный член аппроксимационной вязкости. Метод дифференциального приближения широко используется при исследовании разностных схем для нелинейных уравнений и позволяет объяснить эффекты неустойчивости разностных схем, наблюдаемые в конкретных расчетах и не улавливаемые локально методом Фурье.

Основой построения разностных схем в многомерных случаях являются методы расщепления (слабой аппроксимации) и дробных шагов, позволяющие сводить интегрирование исходного многомерного уравнения к интегрированию уравнений более простой структуры (см. Дробных шагов метод).

Получают развитие методы решения гиперболич. уравнений, основанные на методе конечных элементов, к-рый можно рассматривать как разностный метод на специальной нерегулярной сетке.

Лит.: [1] Годунов С. К., Рябенький В. С. Разностные схемы, М., 1973; [2] Рихтмайер Р., Мор-тон К., Разностные методы решения краевых задач, пер. с англ., М., 1972; [3] Рождественский Б. Л., Яненко Н. Н., Системы квазилинейных уравнений. М., 1968; [4] Самарский А. А., Гулин А. В., Устойчивость разностных схем, М., 1973; [5] Яненко Н. Н., Шокин Ю. И., «Сиб. матем. ж.», 1969, т. 10, № 5, с. 1173-87; [6] Сердюкова С. И., «Докл. АН СССР», 1973, т. 208, № 1, С. 52-55.

Ю. И. Шопин, Н. Н. Яненко.

  1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А — Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] — М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.

Метод характеристик при решение задачи коши для уравнений гиперболического типа

Стерлитамакский филиал Башкирский государственный университет

NovaInfo58, с. 11-15
Опубликовано 25 января 2017
Раздел: Физико-математические науки
Просмотров за месяц: 77
CC BY-NC

Аннотация

В статье рассматривается решение задачи Коши для уравнения гиперболического типа. Продемонстрировано решение данного уравнения методом характеристик.

Ключевые слова

Текст научной работы

Многие задачи физики, в частности механики, приводят к исследованию дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка. Так, например, при изучении различных видов волн: звуковых, электромагнитных и других колебательных явлений приходят к волновому уравнению

где u=u(x,y,z,t), a — скорость распространения волны в данной среде. В одномерном случае это уравнение примет вид

которое является уравнением вынужденных колебаний однородной струны [1, 12].

В одномерном случае рассмотрим уравнение струны [2, 26]:

Задача Коши: Найти решение u(x,y) данного уравнения, удовлетворяющее начальным условиям:

Задача Коши для уравнения струны является математической моделью физической задачи о колебаниях настолько большой струны, что влияние ее концов уже не сказывается на колебаниях других точек струны. По этой причине в этой задаче отсутствуют граничные условия.

Приведем уравнение (1) к каноническому виду. Для этого составим уравнение характеристик

где A=0, 2B=e y , C=-1. Вычислим D=B^2-AC=\frac><4>>0

. Следовательно, уравнение (1) является уравнением гиперболического типа.

Подставляя в уравнение характеристик наши значения, получим:


источники:

http://novainfo.ru/article/10861