Численные решения краевой задачи для уравнения пуассона

Численное решение краевых задач для уравнения Пуассона методом быстрого преобразования Фурье с использованием параллельных вычислений Текст научной статьи по специальности « Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Мингалев Олег Викторович, Мельник Михаил Николаевич

Для численного решения краевых задач для уравнения Пуассона в 2-мерном прямоугольнике и 3-мерном параллепипеде на регулярной сетке с большим числом узлов методом быстрого преобразования Фурье (БФП) разработаны несколько новых приемов, которые позволяют эффективно использовать параллельные вычисления как на ядрах центрального процессора, так и на графических процессорах (GPU). Создан набор программ для случая периодических граничных условий, а также для случаев однородных граничных условий Дирихле и Неймана. Эти программы дают решение с 4-м порядком точности и свободны от ограничения на число шагов сетки по каждому измерению в исходном методе БФП. Программы имеют простой и удобный интерфейс, а также максимально возможный уровень параллельности, и позволяют достаточно быстро решать указанные задачи с числом узлов сетки порядка 109 и более.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Мингалев Олег Викторович, Мельник Михаил Николаевич

NUMERICAL SOLUTION OF BOUNDARY PROBLEMS FOR THE EQUATIONS OF POISSON BY FAST FOURIER TRANSFORM USING PARALLEL CALCULATIONS

For the numerical solution of boundary value problems for the Poisson equation in a 2D and a 3D on a regular grid with a large number of nodes, the Fast Fourier Transform (FFT) method has developed several new techniques that make it possible to efficiently use parallel computing on both the cores CPU and on graphics processing units (GPU). A set of programs has been created for the case of periodic boundary conditions, as well as for the cases of homogeneous Dirichlet and Neumann boundary conditions. These programs have a solution 4th order of accuracy and haven’t the restriction on the number of grid steps for each dimension in the original FFT method. Programs have a simple and usable interface, as well as the highest possible level of parallelism, and allow you to quickly solve these problems with the number of grid nodes of the order of 109 or more.

Текст научной работы на тему «Численное решение краевых задач для уравнения Пуассона методом быстрого преобразования Фурье с использованием параллельных вычислений»

DOI: 10.25702/^^2307-5252.2018.9.5.165-182 УДК 533.95 + 519.63

О. В. Мингалев, М. Н. Мельник

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА МЕТОДОМ БЫСТРОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ

Для численного решения краевых задач для уравнения Пуассона в 2-мерном прямоугольнике и 3-мерном параллепипеде на регулярной сетке с большим числом узлов методом быстрого преобразования Фурье (БФП) разработаны несколько новых приемов, которые позволяют эффективно использовать параллельные вычисления как на ядрах центрального процессора, так и на графических процессорах (GPU). Создан набор программ для случая периодических граничных условий, а также для случаев однородных граничных условий Дирихле и Неймана. Эти программы дают решение с 4-м порядком точности и свободны от ограничения на число шагов сетки по каждому измерению в исходном методе БФП. Программы имеют простой и удобный интерфейс, а также максимально возможный уровень параллельности, и позволяют достаточно быстро решать указанные задачи с числом узлов сетки порядка 109 и более.

уравнения Пуассона, краевая задача, метод быстрого преобразования Фурье, параллельные вычисления.

O. V. Mingalev, M. N. Melnik

NUMERICAL SOLUTION OF BOUNDARY PROBLEMS FOR THE EQUATIONS OF POISSON BY FAST FOURIER TRANSFORM USING PARALLEL CALCULATIONS

For the numerical solution of boundary value problems for the Poisson equation in a 2D and a 3D on a regular grid with a large number of nodes, the Fast Fourier Transform (FFT) method has developed several new techniques that make it possible to efficiently use parallel computing on both the cores CPU and on graphics processing units (GPU). A set of programs has been created for the case of periodic boundary conditions, as well as for the cases of homogeneous Dirichlet and Neumann boundary conditions. These programs have a solution 4th order of accuracy and haven’t the restriction on the number of grid steps for each dimension in the original FFT method. Programs have a simple and usable interface, as well as the highest possible level of parallelism, and allow you to quickly solve these problems with the number of grid nodes of the order of 109 or more.

Poisson’s equation, of boundary value problems, the Fast Fourier Transform, Parallel calculation.

Проблема быстрого численного решения краевых задач для уравнения Пуассона (см., например, [1]) в 2-мерном прямоугольнике и 3-мерном

параллепипеде на регулярной сетке с большим числом узлов возникает во многих задачах физики и техники. Большую актуальность эта проблема имеет для физики бесстолкновительной космической плазмы. Во многих численных моделях крупномасштабных процессов в космической плазме в ходе каждого шага по времени для нахождения электрического и магнитного поля возникает необходимость в численном решении одной или нескольких краевых задач для уравнения Пуассона. Число шагов по времени в ходе одного просчета модели может иметь порядок от тысяч до миллионов и более. Поэтому для этих моделей необходимо создание набора высокопроизводительных максимально простых программ с удобным и ясным интерфейсом, каждая из которых предназначена для решения краевых задач одного типа, и имеет максимально возможный уровень параллельности.

Для этих целей возможно использовать только такие численные методы, в которых основной объем вычислений может выполняться в параллельном режиме на графических процессорах (GPU). К числу таких относится метод быстрого преобразования Фурье (далее БФП) (см., например, 3), который позволяет решать задачу с периодическими граничными условиями, а также задачи с однородными граничными условиями Дирихле и Неймана.

Отметим, что в платные библиотеки MKL и IMSL языка FORTRAN входят подпрограммы решения краевых задач для уравнения Пуассона в 2-мерном прямоугольнике и 3-мерном параллепипеде методом БФП, однако они имеют ряд недостатков, которые делают их непригодными для достижения указанных выше целей.

Метод быстрого преобразования Фурье допускает два варианта: со 2-м и 4-м порядком точности, и основан на алгоритме Кули-Туки (Кули-Тьюки) дискретного быстрого преобразования Фурье периодического 1 -мерного массива

с размерностью N = 2m , что дает соответствующее ограничение на числа Nxq ,

Nyо, Nzq шагов сетки по каждому измерению X, Y, Z вида

Nxo = 2mx, Nyo = 2my, Nzo = 2mz , (1)

где mx, my, mz e N — натуральные числа. Из этого ограничения вытекает условие

на соотношения размеров параллепипеда (прямоугольника) Lx , Ly , Lz по соответствующим измерениям X, Y, Z вида

Ly/Lx = 2My,х , Lz/Lx = 2Mz,x , My, e Z, M, e Z , (2)

где My, = my — mx, Mz, = mz — mx e Z — целые числа.

Это ограничение весьма неудобно для построения численных моделей крупномасштабных процессов в космической плазме. Отметим, что алгоритм Кули-Туки может быть обобщен также и для случая, когда размерность массива N имеет вид произведения степеней простых чисел 2, 3, 5, 7, то есть

дг _ 2>»2.3»% . 5Щ . i™! ^ где т2,т3,т5,т1 е Z+ — целые неотрицательные

числа. Однако в этом случае он существенно усложняется.

Для численного решения задачи Дирихле и задачи Неймана можно использовать два способа. Первый способ состоит в использовании соответственно дискретного

синус или косинус-преобразования Фурье. Второй способ состоит в сведении исходной задачи к периодической задаче в прямоугольной области с удвоенными размерами путем продолжения правой части специальным образом. Отметим, что быстрое дискретное синус и косинус-преобразование Фурье периодического 1 -мерного массива с размерностью N сводятся к обычному быстрому дискретному преобразованию Фурье периодического 1 -мерного массива с удвоенной размерностью 2N . При этом программы синус и косинус-преобразования существенно сложнее исходного преобразования Фурье. Кроме того, при таком сведении задачи Неймана к периодической автоматически достигается аппроксимация однородного граничного условия Неймана с тем же порядком точности, что и аппроксимация уравнения Пуассона. Поэтому второй способ для наших целей является более удобным, и в работе предложен прием сведения задачи Дирихле или Неймана с однородными граничными условиями в прямоугольнике [0;Ьх] х [0;Ьу ] или параллепипеде

[0; Ьх ] х [0; Ьу ] х [0; Ь2 ] к периодической задаче в аналогичной области с

удвоенными размерами по каждому измерению. При этом автоматически получается конечноразностная аппроксимация граничного условия Неймана того же порядка точности, что и аппроксимация уравнения Пуассона, в частности, аппроксимация 4-го порядка точности. Это является важным новым методическим результатом.

Также в работе предложен новый прием, который позволяет снять ограничение (1) на число шагов сетки по каждому измерению, то есть оставляет только условие (2), и состоит в следующем. Если условие (1) нарушено, то по исходной сетке с шагом й0 создается вспомогательная сетка с более мелким шагом И и числами шагов сетки по каждому измерению Nx, N у , N2 , которые удовлетворяют условию (1). При этом

числа тх, Шу, тг определяются через исходные числа шагов Nxo , N у 0 , N20 по формулам

Шх = N2 Nx0 ] +1> Шу =[^2 Nyo ] +1, т2 = [1о§2 Nzo ] +1, (3)

где через [а] обозначена целая часть действительного числа а. Для получения

дискретной задачи на вспомогательной сетке выполняем интерполяцию правой части уравнения с исходной сетки на вспомогательную сетку при помощи интерполяционного полинома Лагранжа с порядком на 2 большим используемого порядка аппроксимации уравнения. То есть в случае метода 2-го порядка точности используем полином Лагранжа 4-го порядка — аппроксимация по 4-м ближайшим узлам на измерение, а в случае метода 4-го порядка точности используем полином Лагранжа 6-го порядка — аппроксимация по 6-ти ближайшим узлам на измерение. После этого методом БФП решается задача на вспомогательной сетке, а потом полученное численное решение интерполируется обратно на исходную сетку полностью аналогично описанной интерполяции. Многочисленные тестовые расчеты показали высокую точность и эффективность этого приема.

В работе рассматриваются основные детали программы, которая выполняет следующие шаги.

1) Сведение задачи Дирихле или Неймана к периодической задаче в прямоугольной области с удвоенными размерами по каждому измерению в результате продолжения правой части по соответствующим формулам.

2) Построение удовлетворяющей условию (1) вспомогательной сетки с меньшим шагом И , и интерполяция правой части уравнения на эту сетку, которую удобно выполнять в параллельном режиме.

3) Вычисление собственных чисел 1-мерной дискретной периодической задачи по каждому измерению на вспомогательной сетке.

4) Вычисление массива коэффициентов дискретного преобразования Фурье правой части на вспомогательной сетке. Эта первая из двух главных частей программы, которая содержит почти половину всех вычислений. Она выполняется в результате последовательного выполнения по каждому измерению 1-мерного быстрого преобразования Фурье для всех 1-мерных сечений массива правой части вдоль данного измерения. В ходе последнего процесса каждое 1 -мерное сечение массива правой части вдоль данного измерения независимо обрабатывается подпрограммой 1-мерного БФП. Поэтому эта часть программы удобна для выполнения в параллельном режиме как на ядрах центрального процессора, так и на графическом процессоре.

5) Вычисление массива коэффициентов Фурье для решения периодической задачи при помощи соответствующих формул по уже вычисленным собственным числам и коэффициентам Фурье правой части, которое удобно выполнять в параллельном режиме.

6) Вычисление сеточного массива решения при помощи обратного дискретного преобразования Фурье. Эта вторая из двух главных частей программы, которая по объему вычислений и методике выполнения аналогична прямому преобразованию Фурье, описанному в пункте 4).

7) Обратная интерполяция решения со вспомогательной сетки на исходную сетку, аналогичная прямой интерполяции в пункте 2).

8) Численное дифференцирование решения для нахождения соответствующего векторного поля, использующегося в модели.

Отметим, что все описанные выше шаги удобны для выполнения в параллельном режиме.

1. Сведение задач Дирихле и Неймана к периодической задаче.

Обозначим в пространствах К2 и М3 векторы ортонормированного базиса декартовой системы координат через ех , еу и е2, а векторы в этих

пространствах будем рассматривать в виде:

2 ^ л- =хех + уеу еК , х=хех+ уеу+ .

Будем рассматривать 2-мерный открытый исходный прямоугольник П21 и

прямоугольник П2 2 с удвоенными размерами, которые определяются

а также аналогичные 3-мерные параллепипеды исходный П3 ^ и «удвоенный» П3 2 , которые определяются формулами

Пзд =(0;Ьх)х(0;Ьу)х(0;Ь2), =(0;2!х)х(0;2Ьу)х(0;2Ьг) . (5)

В этих обозначениях первый нижний индекс показывает размерность пространства, а второй характеризует размеры по каждому измерению прямоугольника или параллепипеда.

Рассмотрим краевые задачи Дирихле и Неймана с однородными граничными условиями и финитной правой частью для уравнения Пуассона

А и(х) = /(х) , х е Пи>1, (6)

где правая часть /(х) — заданная функция. Будем считать, что правая часть

У(х) е С^ПиД^ , то есть является достаточно гладкой (1 раз непрерывно

дифференцируема) на замкнутом прямоугольнике (параллепипеде) Пп,1 и финитной (равной нулю в некоторой окрестности границы ЗП^ ), где п = 2,3 -размерность пространства. Однородное граничное условие Дирихле имеет вид

и( х ) = 0, х е ЗПп1. (7)

Однородное граничное условие Неймана имеет вид

где н (х) — единичная внешняя нормаль к границе ЗП^ . Рассмотрим сведение задачи Дирихле (6), (7) или задачи Неймана (6), (8) с однородными граничными условиями в прямоугольнике или параллепипеде Пп 1 к соответствующей периодической краевой задаче в удвоенном прямоугольнике или параллепипеде Пп2 . Для этого необходимо соответствующим образом продолжить правую

часть /(х) с множества Пп,1 на удвоенный прямоугольник или параллепипед Пп,2 . Обозначим такое продолжение в случае задачи Дирихле через FD(х), а в случае задачи Неймана через FN( х) . Для продолжения FD(х) по каждой переменной используется нечетное продолжение относительно правого края Ьх , Ьу , Ьг исходного интервала. В 2-мерном случае продолжение FD(х) определяется формулами

^ ( х у ) = /( х, у) , ^ ( х + Ьх, уУ) = -/(Ьх- х, у ) , ^ ( ^ у + Ьу ) = -/( х, Ьу- у) , ^ ( х + Ьх, у + Ьу ) = /(Ьх- х, Ьу- у ),

( х, у ) е П2,1 = [0; Ьх ] х[0; Ьу ].

В 3-мерном случае продолжение FD( х) получается в результате последовательного применения следующих формул:

(х У, *) = у(х, У, *) , (х + Ьх, У, * ) = -/(Ьх- х, У, * ) Рв (x, У + Ьу, * ) = -/(х, Ьу- У, * ) ,

Рв (х + Ьх, У + ЬУ, *) =1 (Ьх — х, ЬУ — У, *)

при (х, У, * )е Пз,1 = [0; Ьх ] х [0; Ьу ] х [0; Ь* ], Рв ( x, У, * + Ь* ) = -/ ( х, У, Ь*- * )

при (х,У,*) е [0;2Ьх] х[0;2Ьу] х[0;Ь*].

Для продолжения Ру(х) по каждой переменной используется четное

продолжение относительно правого края исходного интервала. В 2-мерном случае оно о пределяется формулами

Рм (х у) = /(х, У) , Рм (х + Ьх, У) = у(Ьх- х, У) ,

Рм (х, У + Ьу ) = /(х, Ьу- у) , (х + Ьх, у + Ьу ) = /(Ьх- х, Ьу- у) , I (11)

(х, у) е П2,1 = [0; Ьх ] х [0; Ьу ], ^

а в 3-мерном случае получается в результате последовательного применения аналогичных формул:

Рм (х У, *) = У (х, У, *), Рм (х + Ьх, У, *) = У (Ьх- х, У, *), Рм ( x, У + Ьу, * ) = У ( х, Ьу- У, * ),

Рм (х + Ьх, У + Ьу, *) =1 (Ьх- х, Ьу- У, * ) при (х, у, * )е Пз,1 = [0; Ьх ] х [0; Ьу ] х [0; ^ ],

Рм ( х У, * + Ь* ) = у ( х, У, Ь*- * ) при ( х, у, * )е [0;2Ьх ] х [0;2Ьу ] х [0; Ь* ].

Рассмотрим в удвоенном прямоугольнике или параллепипеде Пи 2 периодические краевые задачи для уравнения Пуассона

ди (х ) = Р (х), х е Пи,2, (13)

с продолженными правыми частями Р( х) = х) и Р( х) = Рм( х) . Используя

представление решения его рядом Фурье по собственным функциям, можно доказать следующее утверждение.

Утверждение. Пусть /(х)еС^Пид) , где область Пи1 определяется формулами (4) и (5), а функции х) и Рм(х) являются продолжениями функции /(х) по формулам (9), (11) и (10), (12) соответственно на

определяемую формулами (4) и (5) удвоенную область Пи2 . Если ив (х) является классическим решением периодической краевой задачи (13) при

F (x) = Fd(x) , то его ограничение на Пид является классическим решением задачи Дирихле (6), (7). Если UN(x) является классическим решением периодической краевой задачи (13) при F (x) = FN(x) , то его ограничение на Пи,1 является классическим решением задачи Неймана (6), (8).

2. Интерполяция на вспомогательную сетку и обратно.

Рассмотрим вопрос построения вспомогательной сетки. Будем считать, что

размеры параллепипеда (прямоугольника) Lx , Ly , Lz удовлетворяют условию (2), и в задаче из физических условий введена сетка с шагом h = Lx/Nxq = LyjNyft = Lz/Nzq . Если числа шагов сетки по каждому

измерению Nx0 , Ny0 , Nz0 не удовлетворяют условию (1), то вводим

вспомогательную сетку с меньшим шагом h = Lx¡Nx = LyjNy = Lz/Nz , для

которой новые числа шагов сетки по каждому измерению Nx , N y , Nz

удовлетворяют условию (1). При этом числа mx, m.y, mz определяются через

исходные числа шагов Nx0 , Ny0, Nz0 по формулам (3). При помощи целых

векторов (мультииндексов) к = кх ex + ky ey и к = кх ex + ку ey при n = 2 , и

к = кх ex + ky ey + kz ez и к = kx ex + ky ey + kz ez при n = 3 узлы этих сеток обозначим как

r(k) = ho-k, f(k) = hk, к,к&Ъп, п = 2,3, (14)

Будем считать, что в исходной физической задаче задан массив значений Fh (к) = F(r (к)) правой части F(x) в узлах исходной сетки на замыкании

«удвоенной» области ПИ;2 . Для получения массива значений Fh (к^ = F^r (к^

правой части в узлах вспомогательной сетки выполняем интерполяцию с исходной сетки на вспомогательную при помощи интерполяционного полинома Лагранжа 6-го порядка — аппроксимация по 6-ти ближайшим узлам на измерение, то есть по 36 узлам при n = 2 и по 216 узлам при n = 3 . Применительно к рассматриваемому случаю эту формулу интерполяции при n = 2 удобно представить в форме

= Z Z Fhilhklh0] + Py

U S’x, Px + (px — ‘x ) X

где через [Я ] и <Я>= Я — [Я] обозначены целая и дробная части действительного числа Я, через ■ к¡И<)^ = - кх /+ - ку /

р = рхех + ру еу е Z2 обозначены соответствующие векторы с целыми координатами, и через

обозначен символ Кронекера. При п = 3, используя аналогичные обозначения, формулу интерполяции удобно представить в форме

Численные методы решения уравнений эллиптического типа

Введение

Наиболее распространённым уравнением эллиптического типа является уравнение Пуассона.
К решению этого уравнения сводятся многие задачи математической физики, например задачи о стационарном распределении температуры в твердом теле, задачи диффузии, задачи о распределении электростатического поля в непроводящей среде при наличии электрических зарядов и многие другие.

Для решения эллиптических уравнений в случае нескольких измерений используют численные методы, позволяющие преобразовать дифференциальные уравнения или их системы в системы алгебраических уравнений. Точность решения опреде­ляется шагом координатной сетки, количеством итераций и разрядной сеткой компьютера [1]

Цель публикации получить решение уравнения Пуассона для граничных условий Дирихле и Неймана, исследовать сходимость релаксационного метода решения на примерах.

Уравнение Пуассона относится к уравнениям эллиптического типа и в одномерном случае имеет вид [1]:

(1)

где x – координата; u(x) – искомая функция; A(x), f(x) – некоторые непрерывные функции координаты.

Решим одномерное уравнение Пуассона для случая А = 1, которое при этом принимает вид:

(2)

Зададим на отрезке [xmin, xmax] равномерную координатную сетку с шагом ∆х:

(3)

Граничные условия первого рода (условия Дирихле) для рассматривае­мой задачи могут быть представлены в виде:

(4)

где х1, xn – координаты граничных точек области [xmin, xmax]; g1, g2 – некоторые
константы.

Граничные условия второго рода (условия Неймана) для рассматривае­мой задачи могут быть представлены в виде:

(5)

Проводя дискретизацию граничных условий Дирихле на равномерной координатной сетке (3) с использованием метода конечных разностей, по­лучим:

(6)

где u1, un – значения функции u(x) в точках x1, xn соответственно.

Проводя дискретизацию граничных условий Неймана на сетке (3), по­лучим:

(7)

Проводя дискретизацию уравнения (2) для внутренних точек сетки, по­лучим:

(8)

где ui, fi – значения функций u(x), f(x) в точке сетки с координатой xi.

Таким образом, в результате дискретизации получим систему линейных алгебраических уравнений размерностью n, содержащую n – 2 уравнения вида (8) для внутренних точек области и уравнения (6) и (7) для двух граничных точек [1].

Ниже приведен листинг на Python численного решения уравнения (2) с граничными условиями (4) – (5) на координатной сетке (3).

Разработанная мною на Python программа удобна для анализа граничных условий.Приведенный алгоритм решения на Python использует функцию Numpy — u=linalg.solve(a,b.T).T для решения системы алгебраических уравнений, что повышает быстродействие при квадратной матрице . Однако при росте числа измерений необходимо переходить к использованию трех диагональной матрицы решение для которой усложняется даже для очень простой задачи, вот нашёл на форуме такой пример:

Программа численного решения на равномерной по каждому направлению сетки задачи Дирихле для уравнения конвекции-диффузии

(9)

Используем аппроксимации центральными разностями для конвективного слагаемого и итерационный метод релаксации.для зависимость скорости сходимости от параметра релаксации при численном решении задачи с /(х) = 1 и 6(х) = 0,10. В сеточной задаче:

(10)

Представим матрицу А в виде суммы диагональной, нижней треугольной и верхней треугольных матриц:

(10)

Метод релаксации соответствует использованию итерационного метода:

(11)

При \ говорят о верхней релаксации, при — о нижней релаксации.

На графике показана зависимость числа итераций от параметра релаксации для уравнения Пуассона (b(х) = 0) и уравнения конвекции-диффузии (b(х) = 10). Для сеточного уравнения Пуассона оптимальное значении параметра релаксации находится аналитически, а итерационный метод сходиться при .

  1. Приведено решение эллиптической задачи на Python с гибкой системой установки граничных условий
  2. Показано что метод релаксации имеет оптимальный диапазон () параметра релаксации.

Ссылки:

  1. Рындин Е.А. Методы решения задач математической физики. – Таганрог:
    Изд-во ТРТУ, 2003. – 120 с.
  2. Вабищевич П.Н.Численные методы: Вычислительный практикум. — М.: Книжный дом
    «ЛИБРОКОМ», 2010. — 320 с.

Численное решение уравнений в частных производных эллиптического типа на примере уравнений Лапласа и Пуассона

Среди всех типов уравнений математической физики эллиптические уравнения с точки зрения вычислителей стоят особняком. С одной стороны, имеется хорошо развитая теория решения эллиптических уравнений и систем. Достаточно легко доказываются теоремы об устойчивости разностных схем для эллиптических уравнений. Во многих случаях получаются априорные оценки точности расчетов и числа итераций при решении возникающих систем сеточных уравнений . С другой стороны, системы сеточных уравнений , возникающие при решении уравнений методами сеток, имеют большую размерность и плохо обусловлены. Для решения таких систем разработаны специальные итерационные методы .

6.1. Постановка задачи. Простейшая разностная схема «крест». Устойчивость схемы «крест»

Будем рассматривать двухмерное уравнение Пуассона

в единичном квадрате с краевыми условиями первого рода на границе расчетной области

( — заданная на границе функция ).

В случае прямоугольной области граничные условия удобно записать в следующем виде:

Для простоты выкладок введем равномерную расчетную сетку с узлами m, yl> , m, l = 0, 1, . , M с равным количеством шагов по каждому пространственному направлению, сеточную область D — совокупность всех узлов сетки, включая граничные, и сеточную функцию < uml >. В этом случае шаги по координатам предполагаются равными. В случае неравных шагов по каждому направлению полученные результаты не изменятся, а запись уравнений станет более громоздкой.

Выбираем простейший пятиточечный шаблон разностной схемы «крест» . На этом шаблоне аппроксимирующее разностное уравнение легко выписать. Для этого производные заменим вторыми разностями:

где h — шаг по координатам, или в операторной форме

Эту же разностную схему можно записать в каноническом виде для разностных схем для эллиптических уравнений:

Такую каноническую запись не следует путать с канонической формой записи итерационного метода, которая встретится ниже.

Такая схема обладает вторым порядком аппроксимации по обеим координатам. Это легко показать, применяя разложение в ряд Тейлора функции — проекции точного решения на сетку — вплоть до членов четвертого порядка включительно. Проведем такое разложение для одного из операторов, стоящих в данном разностном уравнении:

Здесь учтено разложение проекции точного решения в ряд Тейлора

и аналогичное разложение для um — 1.

Для рассматриваемого двухмерного уравнения получим выражение для главного члена невязки

Рассмотрим устойчивость полученной схемы. Отметим, что методы исследования на устойчивость , применяемые для эволюционных (зависящих от времени) уравнений, здесь не работают. Действовать приходится на основе определения устойчивости.

Сформулируем и докажем две леммы, которые облегчат процедуру доказательства устойчивости разностной схемы.


источники:

http://habr.com/ru/post/418981/

http://intuit.ru/studies/courses/1170/213/lecture/5499