Что такое одз в иррациональных уравнениях

Решение иррациональных уравнений через ОДЗ

Очень часто частью процесса решения уравнений является нахождение области допустимых значений (ОДЗ). Причины, заставляющие искать ОДЗ, могут быть разными: требуется провести преобразования уравнения, а они, как известно, проводятся на ОДЗ, выбранный метод решения подразумевает нахождение ОДЗ, осуществление проверки по ОДЗ и т.д. А в определенных случаях ОДЗ выступает не только как вспомогательный или контрольный инструмент, но и позволяет получить решение уравнения. В связи с этим, существует метод решения уравнений через ОДЗ. В этой статье мы на примерах подробно разберем, в каких случаях и каким образом этот метод применяется при решении иррациональных уравнений.

В каких случаях применяется метод решения через ОДЗ?

К методу решения уравнений через ОДЗ обращаются в двух случаях:

  • когда ОДЗ есть пустое множество и
  • когда ОДЗ есть конечный набор чисел.

Значит, чтобы понять, решается ли заданное иррациональное уравнение через ОДЗ, надо сначала найти область допустимых значений и посмотреть, каким множеством она является. По записи уравнения практически невозможно сказать, решается это уравнение через ОДЗ или нет.

Как проводится решение?

Понятно, что если ОДЗ для иррационального уравнения есть пустое множество, то уравнение не имеет решений.

Если ОДЗ представляет собой конечный набор чисел, то несложно выяснить, какие из этих чисел являются корнями, а какие не являются, через проверку подстановкой. Те числа, которые удовлетворяют решаемому уравнения, являются корнями. Остальные — не являются корнями уравнения. Других корней быть не может, так как все остальные числа находятся за пределами ОДЗ.

Решение примеров

Рассмотрим решения двух примеров, которыми мы закроем обе ситуации: ОДЗ есть пустое множество, и ОДЗ есть конечный набор чисел.

Начнем с решения иррационального уравнения, ОДЗ для которого, есть пустое множество. Это уравнение не имеет решений.

Решить уравнение

Осталось рассмотреть случай, когда ОДЗ для иррационального уравнения представляет собой конечный набор чисел. Для примера возьмем иррациональное уравнение, ОДЗ для которого состоит из двух чисел, а подстановка показывает, что только одно из них является корнем уравнения, откуда и делается вывод, что этот корень есть единственное решение уравнения.

Решите иррациональное уравнение

Можно считать, что мы разобрались с решением иррациональных уравнений через ОДЗ. Давайте продолжим изучение методов решения иррациональных уравнений материалом «Решение иррациональных уравнений «дробь равна нулю»».

Методы решения иррациональных уравнений

Разделы: Математика

Основные понятия

Опеределение 1. Уравнение f(x) = g(x) называется иррациональным, если функции f(x) и g(x) – алгебраические и по крайней мере одна из них иррациональна относительно x (т.е. содержит переменную x в подкоренном выражении).

Основным техническим приемом, который используется при решении иррациональных уравнений, является возведение обеих частей уравнения в одну и туже степень. Если рассматривать уравнения над полем действительных чисел, то это преобразование регулируется следующими теоремами.

Теорема 1. Уравнение.

Теорема 2. Уравнение.

Эквивалентно смешанной системе:

Пример 1. Решить уравнение

Возведем обе части уравнения в четвертую степень:

Корень x=2 удовлетворяет этому неравенству.

Иррациональные уравнения, если неизвестное находится в подкоренном выражении корня четной степени, имеют, как правило, ограниченную область допустимых значений (ОДЗ). ОДЗ иррационального уравнения определяется условием: Подкоренное выражение корня четной степени должно быть неотрицательным.

Метод уединения радикала

Суть этого метода состоит в следующем. Радикал (корень) оставляют в одной части уравнения, а остальные члены уравнения переносят в другую часть. После этого обе части уравнения возводят в степень, показатель которой равен показателю уединенного радикала. Если уравнение содержит несколько радикалов, то процедура уединения производится над одним из них, после чего повторяется вплоть до полного избавления уравнения от корней.

Пример 2. Решить уравнение

, ,

,

Очевидно, что оба корня входят в ОДЗ, но x=13 не удовлетворяет неравенству x 4.07.2013

Область допустимых значений (ОДЗ): теория, примеры, решения

Любое выражение с переменной имеет свою область допустимых значений, где оно существует. ОДЗ необходимо всегда учитывать при решении. При его отсутствии можно получить неверный результат.

В данной статье будет показано, как правильно находить ОДЗ, использовать на примерах. Также будет рассмотрена важность указания ОДЗ при решении.

Допустимые и недопустимые значения переменных

Данное определение связано с допустимыми значениями переменной. При введении определения посмотрим, к какому результату приведет.

Начиная с 7 класса, мы начинаем работать с числами и числовыми выражениями. Начальные определения с переменными переходят к значению выражений с выбранными переменными.

Когда имеются выражения с выбранными переменными, то некоторые из них могут не удовлетворять. Например, выражение вида 1 : а , если а = 0 , тогда оно не имеет смысла, так как делить на ноль нельзя. То есть выражение должно иметь такие значения, которые подойдут в любом случае и дадут ответ. Иначе говоря, имеют смысл с имеющимися переменными.

Если имеется выражение с переменными, то оно имеет смысл только тогда, когда при их подстановке значение может быть вычислено.

Если имеется выражение с переменными, то оно не имеет смысл, когда при их подстановке значение не может быть вычислено.

То есть отсюда следует полное определение

Существующими допустимыми переменными называют такие значения, при которых выражение имеет смысл. А если смысла не имеет, значит они считаются недопустимыми.

Для уточнения вышесказанного: если переменных более одной, тогда может быть и пара подходящих значений.

Для примера рассмотрим выражение вида 1 x — y + z , где имеются три переменные. Иначе можно записать, как x = 0 , y = 1 , z = 2 , другая же запись имеет вид ( 0 , 1 , 2 ) . Данные значения называют допустимыми, значит, можно найти значение выражения. Получим, что 1 0 — 1 + 2 = 1 1 = 1 . Отсюда видим, что ( 1 , 1 , 2 ) недопустимы. Подстановка дает в результате деление на ноль, то есть 1 1 — 2 + 1 = 1 0 .

Что такое ОДЗ?

Область допустимых значений – важный элемент при вычислении алгебраических выражений. Поэтому стоит обратить на это внимание при расчетах.

Область ОДЗ – это множество значений, допустимых для данного выражения.

Рассмотрим на примере выражения.

Если имеем выражение вида 5 z — 3 , тогда ОДЗ имеет вид ( − ∞ , 3 ) ∪ ( 3 , + ∞ ) . Эта область допустимых значений, удовлетворяющая переменной z для заданного выражения.

Если имеется выражения вида z x — y , тогда видно, что x ≠ y , z принимает любое значение. Это и называют ОДЗ выражения. Его необходимо учитывать, чтобы не получить при подстановке деление на ноль.

Область допустимых значений и область определения имеет один и тот же смысл. Только второй из них используется для выражений, а первый – для уравнений или неравенств. При помощи ОДЗ выражение или неравенство имеет смысл. Область определения функции совпадает с областью допустимых значений переменной х к выражению f ( x ) .

Как найти ОДЗ? Примеры, решения

Найти ОДЗ означает найти все допустимые значения, подходящие для заданной функции или неравенства. При невыполнении этих условий можно получить неверный результат. Для нахождения ОДЗ зачастую необходимо пройти через преобразования в заданном выражении.

Существуют выражения, где их вычисление невозможно:

  • если имеется деление на ноль;
  • извлечение корня из отрицательного числа;
  • наличие отрицательного целого показателя – только для положительных чисел;
  • вычисление логарифма отрицательного числа;
  • область определения тангенса π 2 + π · k , k ∈ Z и котангенса π · k , k ∈ Z ;
  • нахождение значения арксинуса и арккосинуса числа при значении, не принадлежащем [ — 1 ; 1 ] .

Все это говорит о том, как важно наличие ОДЗ.

Найти ОДЗ выражения x 3 + 2 · x · y − 4 .

Решение

В куб можно возводить любое число. Данное выражение не имеет дроби, поэтому значения x и у могут быть любыми. То есть ОДЗ – это любое число.

Ответ: x и y – любые значения.

Найти ОДЗ выражения 1 3 — x + 1 0 .

Решение

Видно, что имеется одна дробь, где в знаменателе ноль. Это говорит о том, что при любом значении х мы получим деление на ноль. Значит, можно сделать вывод о том, что это выражение считается неопределенным, то есть не имеет ОДЗ.

Ответ: ∅ .

Найти ОДЗ заданного выражения x + 2 · y + 3 — 5 · x .

Решение

Наличие квадратного корня говорит о том, что это выражение обязательно должно быть больше или равно нулю. При отрицательном значении оно не имеет смысла. Значит, необходимо записать неравенство вида x + 2 · y + 3 ≥ 0 . То есть это и есть искомая область допустимых значений.

Ответ: множество x и y , где x + 2 · y + 3 ≥ 0 .

Определить ОДЗ выражения вида 1 x + 1 — 1 + log x + 8 ( x 2 + 3 ) .

Решение

По условию имеем дробь, поэтому ее знаменатель не должен равняться нулю. Получаем, что x + 1 — 1 ≠ 0 . Подкоренное выражение всегда имеет смысл, когда больше или равно нулю, то есть x + 1 ≥ 0 . Так как имеет логарифм, то его выражение должно быть строго положительным, то есть x 2 + 3 > 0 . Основание логарифма также должно иметь положительное значение и отличное от 1 , тогда добавляем еще условия x + 8 > 0 и x + 8 ≠ 1 . Отсюда следует, что искомое ОДЗ примет вид:

x + 1 — 1 ≠ 0 , x + 1 ≥ 0 , x 2 + 3 > 0 , x + 8 > 0 , x + 8 ≠ 1

Иначе говоря, называют системой неравенств с одной переменной. Решение приведет к такой записи ОДЗ [ − 1 , 0 ) ∪ ( 0 , + ∞ ) .

Ответ: [ − 1 , 0 ) ∪ ( 0 , + ∞ )

Почему важно учитывать ОДЗ при проведении преобразований?

При тождественных преобразованиях важно находить ОДЗ. Бывают случаи, когда существование ОДЗ не имеет место. Чтобы понять, имеет ли решение заданное выражение, нужно сравнить ОДЗ переменных исходного выражения и ОДЗ полученного.

  • могут не влиять на ОДЗ;
  • могут привести в расширению или дополнению ОДЗ;
  • могут сузить ОДЗ.

Рассмотрим на примере.

Если имеем выражение вида x 2 + x + 3 · x , тогда его ОДЗ определено на всей области определения. Даже при приведении подобных слагаемых и упрощении выражения ОДЗ не меняется.

Если взять пример выражения x + 3 x − 3 x , то дела обстоят иначе. У нас имеется дробное выражение. А мы знаем, что деление на ноль недопустимо. Тогда ОДЗ имеет вид ( − ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , + ∞ ) . Видно, что ноль не является решением, поэтому добавляем его с круглой скобкой.

Рассмотрим пример с наличием подкоренного выражения.

Если имеется x — 1 · x — 3 , тогда следует обратить внимание на ОДЗ, так как его необходимо записать в виде неравенства ( x − 1 ) · ( x − 3 ) ≥ 0 . Возможно решение методом интервалов, тогда получаем, что ОДЗ примет вид ( − ∞ , 1 ] ∪ [ 3 , + ∞ ) . После преобразования x — 1 · x — 3 и применения свойства корней имеем, что ОДЗ можно дополнить и записать все в виде системы неравенства вида x — 1 ≥ 0 , x — 3 ≥ 0 . При ее решении получаем, что [ 3 , + ∞ ) . Значит, ОДЗ полностью записывается так: ( − ∞ , 1 ] ∪ [ 3 , + ∞ ) .

Нужно избегать преобразований, которые сужают ОДЗ.

Рассмотрим пример выражения x — 1 · x — 3 , когда х = — 1 . При подстановке получим, что — 1 — 1 · — 1 — 3 = 8 = 2 2 . Если это выражение преобразовать и привести к виду x — 1 · x — 3 , тогда при вычислении получим, что 2 — 1 · 2 — 3 выражение смысла не имеет, так как подкоренное выражение не должно быть отрицательным.

Следует придерживаться тождественных преобразований, которые ОДЗ не изменят.

Если имеются примеры, которые его расширяют, тогда его нужно добавлять в ОДЗ.

Рассмотрим на примере дроби вида x x 3 + x . Если сократить на x , тогда получаем, что 1 x 2 + 1 . Тогда ОДЗ расширяется и становится ( − ∞ 0 ) ∪ ( 0 , + ∞ ) . Причем при вычислении уже работаем со второй упрощенной дробью.

При наличии логарифмов дело обстоит немного иначе.

Если имеется выражение вида ln x + ln ( x + 3 ) , его заменяют на ln ( x · ( x + 3 ) ) , опираясь на свойство логарифма. Отсюда видно, что ОДЗ с ( 0 , + ∞ ) до ( − ∞ , − 3 ) ∪ ( 0 , + ∞ ) . Поэтому для определения ОДЗ ln ( x · ( x + 3 ) ) необходимо производить вычисления на ОДЗ, то есть ( 0 , + ∞ ) множества.

При решении всегда необходимо обращать внимание на структуру и вид данного по условию выражения. При правильном нахождении области определения результат будет положительным.


источники:

http://urok.1sept.ru/articles/634209

http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/vyrazhenija/oblast-dopustimyh-znachenij-odz/