Что такое основное эконометрическое уравнение

Системы эконометрических уравнений

Эконометрика как учебная дисциплина на современном этапе благодаря своей универсальности и возможности практического использования для анализа реальных экономических объектов является одним из базовых курсов в системе высшего экономического образования.

Если что-то непонятно — вы всегда можете написать мне в WhatsApp и я вам помогу!

Эконометрика

Эконометрика — это статистико-математический анализ экономических отношений.

Сущность эконометрики заключается в модельном описании функционирования конкретной экономической системы (экономики данной страны, спроса-предложения в данное время в данном месте и т.д.). Одним из основных этапов эконометрических исследований является анализ устойчивости построенной модели, отражающей взаимосвязи между экономическими показателями, и проверка ее на адекватность реальным экономическим данным и процессам.

Виды систем эконометрических уравнений

Сложные экономические процессы описывают с помощью системы взаимосвязанных (одновременных) уравнений.

Различают несколько видов систем уравнений, применяемых в эконометрике:

• система независимых уравнений — когда каждая зависимая переменная рассматривается как функция одного и того же набора факторов :

Для построения такой системы и нахождения ее параметров используется метод наименьших квадратов, применяемый к каждому уравнению в отдельности;

• система рекурсивных уравнений — когда зависимая переменная одного уравнения выступает в виде фактора в другом уравнении:

Для построения такой системы и нахождения ее параметров используется метод наименьших квадратов, применяемый последовательно к каждому уравнению в отдельности;

• система взаимосвязанных (совместных) уравнений — когда одни и те же зависимые переменные в одних уравнениях входят в левую часть, а другие в правую:

Такая система уравнений называется структурной формой модели. Для построения таких систем и нахождения их параметров используются косвенный и двухшаговый методы наименьших квадратов.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Введем следующие определения:

  • Эндогенные переменные — взаимозависимые переменные, которые определяются внутри системы (модели) .
  • Экзогенные переменные — независимые переменные, которые определяются вне системы .
  • Лаговые эндогенные переменные — эндогенные переменные за предыдущие моменты времени.
  • Предопределенные переменные — экзогенные и лаговые эндогенные переменные системы.
  • Коэффициенты и при переменных — структурные коэффициенты модели.

Система линейных функций эндогенных переменных от всех предопределенных переменных системы — приведенная форма модели:

где — коэффициенты приведенной формы модели.

Проблема идентификации

При переходе от приведенной формы модели к структурной исследователь сталкивается с проблемой идентификации. Идентификация -это единственность соответствия между приведенной и структурной формами модели.

С позиции идентифицируемости структурные модели можно подразделить на три вида:

  • идентифицируемые;
  • неидентифицируемые;
  • сверхидентифицируемые.

Модель идентифицируема, если все структурные ее коэффициенты определяются однозначно, единственным образом по коэффициентам приведенной формы модели, т. е. если число параметров структурной модели равно числу параметров приведенной формы модели. В этом случае структурные коэффициенты модели оцениваются через параметры приведенной формы модели и модель идентифицируема.

Модель неидентифицируема, если число приведенных коэффициентов меньше числа структурных коэффициентов, и в результате структурные коэффициенты не могут быть оценены через коэффициенты приведенной формы модели.

Модель еверхидентифицируема, если число приведенных коэффициентов больше числа структурных коэффициентов. В этом случае на основе коэффициентов приведенной формы можно получить два или более значений одного структурного коэффициента. В этой модели число структурных коэффициентов меньше числа коэффициентов приведенной формы.

Сверхидентифицируемая модель, в отличие от неидентифицируемой, модели практически решаема, но требует для этого специальных методов исчисления параметров.

Структурная модель всегда представляет собой систему совместных уравнений, каждое из которых требуется проверять на идентификацию. Модель считается идентифицируемой, если каждое уравнение системы идентифицируемо. Если хотя бы одно из уравнений системы неидентифицируемо, то и вся модель считается неидентифицируемой.

Сверхидентифицируемая модель содержит хотя бы одно сверхидентифицируемое уравнение.

Выполнение условия идентифицируемости модели проверяется для каждого уравнения системы. Чтобы уравнение было идентифицируемо, необходимо, чтобы число предопределенных переменных, отсутствующих в данном уравнении, но присутствующих в системе, было равно числу эндогенных переменных в данном уравнении без одного.

Обозначим через — число эндогенных переменных в уравнении, а через — число предопределенных переменных, отсутствующих в уравнении, но присутствующих в системе. Тогда необходимое условие идентификации отдельного уравнения принимает вид:

  • уравнение идентифицируемо, если ;
  • уравнение сверхидентифицируемо, если ;
  • уравнение неидентифицируемо, если .

Если необходимое условие выполнено, то далее проверяется достаточное условие идентификации.

Достаточное условие идентификации — определитель матрицы, составленной из коэффициентов при переменных, отсутствующих в исследуемом уравнении, не равен нулю, и ранг этой матрицы не менее числа эндогенных переменных системы без единицы.

Для решения идентифицируемого уравнения применяется косвенный метод наименьших квадратов, для решения сверхидентифицированных -двухшаговый метод наименьших квадратов.

Косвенный МНК состоит в следующем:

• составляют приведенную форму модели и определяют численные значения ее параметров обычным МНК;

• путем алгебраических преобразований переходят от приведенной формы к уравнениям структурной формы модели, получая тем самым численные оценки структурных параметров.

Двухшаговый МНК заключается в следующем:

• составляют приведенную форму модели и определяют численные значения ее параметров обычным МНК;

• выявляют эндогенные переменные, находящиеся в правой части структурного уравнения, параметры которого определяются двухшаговым МНК, и находят расчетные значения этих эндогенных переменных по соответствующим уравнениям приведенной системы;

• обычным МНК определяют параметры структурного уравнения, используя в качестве исходных данных фактические значения предопределенных переменных и расчетные значения эндогенных переменных, стоящих в правой части уравнения.

Решение эконометрических уравнений

Пример задачи с уравнением №4.2.1.

Рассматривается модель протекционизма Сальватора (упрощенная версия):

— доля импорта в ВВП;
— общее число прошений об освобождении от таможенных пошлин; — число удовлетворенных прошений об освобождении от таможенных пошлин;

— фиктивная переменная, равная 1 для тех лет, в которые курс доллара на международных валютных рынках был искусственно завышен, и 0-для всех остальных лет;

— реальный ВВП;

— реальный объем чистого экспорта; — текущий период; — предыдущий период; и — случайные ошибки. Задание.

  1. Применив необходимое и достаточное условие идентификации определить, идентифицировано ли каждое из уравнений модели.
  2. Определить метод оценки параметров модели.
  3. Записать приведенную форму модели в общем виде.

Решение:

  1. Модель представляет с собой систему взаимосвязанных (одновременных) уравнений. Для ответа на вопрос о способе оценки параметров модели проверим каждое ее уравнение на идентификацию.

Модель включает три эндогенные переменные и четыре предопределенные переменные (три экзогенные и одну лаговую эндогенную ).

Проверим необходимое условие идентификации для уравнений модели.

Это уравнение включает три эндогенные переменные и две предопределенные ( и ). Следовательно, число предопределенных переменных, не входящих в это уравнение, плюс 1, равно числу эндогенных переменных, входящих в уравнение: 2+1=3. Уравнение идентифицировано.

Это уравнение включает три эндогенные переменные и одну предопределенную . Следовательно, число предопределенных переменных, не входящих в это уравнение, плюс 1, больше числа эндогенных переменных, входящих в уравнение: 3+1>3. Уравнение сверхидентифицировано.

Это уравнение включает три эндогенные переменные и одну предопределенную . Следовательно, число предопределенных переменных, не входящих в это уравнение, плюс 1, больше числа эндогенных переменных, входящих в уравнение: 3+1>3. Уравнение сверхидентифицировано.

Проверим для каждого из уравнений достаточное условие идентификации. Для этого составим матрицу коэффициентов при переменных модели:

В соответствии с достаточным условием идентификации определитель матрицы коэффициентов, не входящих в исследуемое уравнение, не должен быть равен нулю, а ранг матрицы должен быть не менее, чем число эндогенных переменных модели минус 1, т.е. в данной задаче больше или равен 3-1=2.

Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид

Ранг этой матрицы

Следовательно, для 1 уравнения достаточное условие выполняется, это уравнение точно идентифицируемо. 2 уравнение.

Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид

Ранг этой матрицы

так как она содержит отличный от нуля минор второго порядка

Следовательно, для 2 уравнения достаточное условие выполняется, это уравнение сверхидентифицируемо. 3 уравнение.

Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид

Ранг этой матрицы , так как она содержит отличный от нуля минор второго порядка

Следовательно, для 3 уравнения достаточное условие выполняется, это уравнение сверхидентифицируемо.

  • Таким образом, система в целом сверхидентифицируема, для оценки ее параметров можно применить двухшаговый метод наименьших квадратов.
  • Запишем приведенную форму модели в общем виде:

Пример задачи с уравнением №4.2.2.

Рассматривается структурная модель вида:

  1. Применив необходимое и достаточное условие идентификации определить, идентифицировано ли каждое из уравнений модели.
  2. Определить метод оценки параметров модели.
  3. Записать приведенную форму модели в общем виде.
  4. Исходя из приведенной формы модели уравнений

найти структурные коэффициенты модели.

Решение:

  • Модель представляет с собой систему взаимосвязанных (одновременных) уравнений. Для ответа на вопрос о способе оценки параметров модели проверим каждое ее уравнение на идентификацию.

Модель включает три эндогенные переменные и три предопределенные переменные (экзогенные ).

Проверим необходимое условие идентификации для уравнений модели.

Это уравнение включает две эндогенные переменные ( и ) и две предопределенные ( и ). Следовательно, число предопределенных переменных, не входящих в это уравнение, плюс 1, равно числу эндогенных переменных, входящих в уравнение: 1 + 1=2. Уравнение идентифицировано.

Это уравнение включает три эндогенные переменные и одну предопределенную . Следовательно, число предопределенных переменных, не входящих в это уравнение, плюс 1, равно числу эндогенных переменных, входящих в уравнение: 2+1=3. Уравнение идентифицировано.

Это уравнение включает две эндогенные переменные (и ) и две предопределенные ( и ). Следовательно, число предопределенных переменных, не входящих в это уравнение, плюс 1, равно числу эндогенных переменных, входящих в уравнение: 1 + 1=2. Уравнение идентифицировано. Проверим для каждого из уравнений достаточное условие идентификации.

Для этого составим матрицу коэффициентов при переменных модели:

Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид

что не менее чем число эндогенных переменных системы минус один. Следовательно, для первого уравнения достаточное условие идентификации выполнено, уравнение точно идентифицируемо.

Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид

что не менее чем число эндогенных переменных системы минус один. Следовательно, для второго уравнения достаточное условие идентификации выполнено, уравнение точно идентифицируемо.

Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид

что не менее чем число эндогенных переменных системы минус один. Следовательно, для третьего уравнения достаточное условие идентификации выполнено, уравнение точно идентифицируемо.

  • Все уравнения системы точно идентифицируемы, следовательно, система в целом точно идентифицируема, для оценки ее параметров может быть применен косвенный метод наименьших квадратов.
  • Запишем приведенную форму модели в общем виде:

  • Вычисление структурных коэффициентов модели:

1) из третьего уравнения приведенной формы выразим (так как его нет в первом уравнении структурной формы)

Данное выражение содержит переменные и которые входят в правую часть первого уравнения структурной формы модели (СФМ). Подставим полученное выражение в первое уравнение приведенной формы модели (ПФМ)

Откуда получим первое уравнение СФМ в виде

2) во втором уравнении СФМ нет переменных и . Структурные параметры второго уравнения СФМ можно будет определить в два этапа.

Первый этап: выразим в данном случае из первого или третьегоуравнения ПФМ. Например, из первого уравнения

Подстановка данного выражения во второе уравнение ПФМ не решило бы задачу до конца, так как в выражении присутствует , которого нет в СФМ. Выразим из третьего уравнения ПФМ

Подставим его в выражение для

Второй этап: аналогично, чтобы выразить через искомые и , заменим в выражении значение на полученное из первого уравнения ПФМ

Подставим полученные и во второе уравнение ПФМ

В результате получаем второе уравнение СФМ

3) из второго уравнения ПФМ выразим , так как его нет в третьем уравнении СФМ

Подставим полученное выражение в третье уравнение ПФМ

В результате получаем третье уравнение СФМ

Таким образом, СФМ примет вид

Пример задачи с уравнением №4.2.3.

Изучается модель вида

где — валовый национальный доход;

— валовый национальный доход предшествующего года;

— личное потребление;

— конечный спрос (помимо личного потребления); и — случайные составляющие.

Информация за девять лет о приросте всех показателей дана в таблице 4.2.1.

Для данной модели была получена система приведенных уравнений

  1. Применив необходимое и достаточное условие идентификации, определить, идентифицировано ли каждое из уравнений модели.
  2. Рассчитать параметры первого уравнения структурной модели.

Решение:

  1. В данной модели две эндогенные переменные ( и ) и две экзогенные переменные ( и ). Второе уравнение точно идентифицировано, так как содержит две эндогенные переменные и не содержит одну экзогенную переменную из системы. Иными словами, для второго уравнения имеем по счетному правилу идентификации равенство: 2=1 + 1.

Первое уравнение сверхидентифицировано, так как в нем на параметры при и наложено ограничение: они должны быть равны. В этом уравнении содержится одна эндогенная переменная . Переменная в данном уравнении не рассматривается как эндогенная, так как она участвует в уравнении не самостоятельно, а вместе с переменной . В данном уравнении отсутствует одна экзогенная переменная, имеющаяся в системе. По счетному правилу идентификации получаем: 1 + 1 = 2: . Это больше, чем число эндогенных переменных в данном уравнении, следовательно, система сверхидентифицирована.

  • Для определения параметров сверхидентифицированной модели используется двухшаговый метод наименьших квадратов.

Шаг 1. На основе системы приведенных уравнений по точно идентифицированному второму уравнению определим теоретические значения эндогенной переменной . Для этого в приведенное уравнение

подставим значения и имеющиеся в условии задачи. Полученные значения обозначим (табл. 4.2.2).

Шаг 2. По сверхидентифицированному уравнению структурной формы модели заменяем фактические значения , на теоретические и рассчитываем новую переменную (табл. 4.2.2).

Далее к сверхидентифицированному уравнению применяется метод наименьших квадратов. Обозначим новую переменную через . Решаем уравнение . С помощью МНК получим . Запишем первое уравнение структурной модели

Пример задачи с уравнением №4.2.4.

Рассматривается следующая модель:

  • — расходы на потребление в период ;
  • — совокупный доход период :
  • — инвестиции в период ;
  • — процентная ставка в период ;
  • — денежная масса в период ;
  • — государственные расходы в период ;
  • — расходы на потребление в период ;
  • — инвестиции в период ;
  • — текущий период;
  • — предыдущий период;

и — случайные ошибки.

В предположении, что имеются временные ряды данных по всем переменным модели, предложить способ оценки ее параметров.

Как изменится ваш ответ на вопрос п. 1, если из модели исключить тождество дохода?

Решение:

  1. Модель представляет собой систему одновременных уравнений. Для ответа на вопрос о способе оценки параметров модели проверим каждое ее уравнение на идентификацию.

Модель включает четыре эндогенные переменные и четыре предопределенные переменные (две экзогенные переменные — и ( и две лаговые эндогенные переменные — и ).

Проверим необходимое условие идентификации для уравнений модели.

Это уравнение включает две эндогенные переменные ( и ) и одну предопределенную переменную (). Следовательно, число предопределенных переменных, не входящих в это уравнение, плюс 1, больше числа эндогенных переменных, входящих в уравнение: 3 + 1 > 2. Уравнение сверхидентифицировано.

Это уравнение включает две эндогенные переменные и не включает три предопределенные переменные. Как и 1-е уравнение, оно сверхидентифицировано.

3-е уравнение тоже включает две эндогенные переменные и не включает три предопределенные переменные. Это уравнение сверхидентифицировано.

Это уравнение представляет собой тождество, параметры которого известны. Необходимости в его идентификации нет.

Проверим для каждого из уравнений достаточное условие идентификации. Для этого составим матрицу коэффициентов при переменных модели

В соответствии с достаточным условием идентификации определитель матрицы коэффициентов при переменных, не входящих в исследуемое уравнение, не должен быть равен нулю, а ранг матрицы должен быть не менее числа эндогенных переменных модели минус 1, т. е. 4-1=3.

Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид

Ее ранг равен 3, так как определитель квадратной подматрицы 3×3 этой матрицы не равен нулю

Достаточное условие идентификации для 1-го уравнения выполняется.

Выпишем матрицу коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение

Ее ранг равен 3, так как определитель квадратной подматрицы 3×3 этой матрицы не равен нулю

Достаточное условие идентификации для 2-го уравнения выполняется.

Выпишем матрицу коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение

Ее ранг равен трем, так как имеется квадратная подматрица 3×3 этой матрицы, определитель которой не равен нулю.

Достаточное условие идентификации для 3-го уравнения выполняется.

Таким образом, все уравнения модели сверхидентифицированы. Для оценки параметров каждого из уравнений будем применять двухшаговый МНК.

Шаг 1. Запишем приведенную форму модели в общем виде

где — случайные ошибки.

Определим параметры каждого из приведенных выше уравнений в отдельности обычным МНК. Затем найдем расчётные значения эндогенных переменных используемых в правой части структурной модели, подставляя в каждое равнение приведенной формы соответствующее значение предопределенных переменных.

Шаг 2. В исходных структурных уравнениях заменим эндогенные переменные, выступающие в качестве факторных признаков, их расчетными значениями

Применяя к каждому из полученных уравнений в отдельности обычный МНК, определим структурные параметры

Если из модели исключить тождество дохода, число предопределенных переменных модели уменьшится на 1 (из модели будет исключена переменная ). Число эндогенных переменных модели также снизится на единицу — переменная , станет экзогенной. В правых частях функции потребления и функции денежного рынка будут находиться только предопределенные переменные. Функция инвестиций постулирует зависимость эндогенной переменной , от эндогенной переменной (которая зависит только от предопределенных переменных) и предопределенной переменной . Таким образом, мы получим рекурсивную систему. Ее параметры можно оценивать обычным МНК, и нет необходимости исследования системы уравнений на идентификацию.

Возможно эти страницы вам будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Конспект лекций по курсу «Эконометрика»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Кафедра прогнозирования и статистики

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

по курсу «ЭКОНОМЕТРИКА»

для студентов III курса дневного отделения

Казань 2003

Печатается по решению кафедры прогнозирования и статистики: протокол №5 от 20.01.03.

Автор: доцент

Введение

Эконометрика – это наука, в которой на базе реальных статистических данных строятся, анализируются и совершенствуются математические модели реальных экономических явлений. Эконометрика позволяет найти количественное подтверждение либо опровержение того или иного экономического закона либо гипотезы.

Эконометрика как научная дисциплина зародилась и получила развитие на основе слияния экономической теории, математической экономики и экономической и математической статистики.

По словам Р. Фриша: «… каждая их трех отправных точек — статистика, экономическая теория и математика-необходимое, но не достаточное условие для понимания количественных соотношений в современной экономической жизни. Это — единство всех трех составляющих. И это единство образует эконометрику».

Таким образом, эконометрика — это наука, которая дает количественное выражение взаимосвязей экономических явлений и процессов.

Предметом эконометрики являются экономические явления. Однако, в отличие от экономической теории, эконометрика делает упор на количественные, а не на качественные аспекты этих явлений. Например, известно, что спрос на товар с ростом его цены падает. Однако, как быстро и по какому закону это происходит, в экономической теории не определяется. Это в каждом конкретном случае делает эконометрика. С другой стороны, математическая экономика строит и анализирует модели экономических процессов без использования реальных числовых значений. Эконометрика же изучает модели на базе эмпирических данных.

Наконец, в эконометрике широко используется аппарат математической статистики, особенно при установлении связей между экономическими показателями. В то же время в экономике невозможно проведение управляемого эксперимента, и эконометристы используют свои собственные приемы анализа, которые в математической статистике не встречаются.

Основными целями эконометрики являются:

1.Прогноз экономических и социально-экономических показателей, характеризующих состояние и развитие анализируемой системы.

Основные задачи эконометрики:

1.Постороение эконометрических моделей, т. е. представление экономических моделей в математической форме, удобной для проведения эмпирического анализа (спецификация модели).

2.Оценка параметров построенной модели, делающих выбранную модель наиболее адекватной реальным данным (параметризация).

3.Проверка качества найденных параметров модели и самой модели в целом (верификация).

4.Использование построенных моделей для объяснения поведения экономических показателей, прогнозирования и предсказания, а также для осмысленного проведения экономической политики.

Этапы эконометрического моделирования:

1.Постановочный этап: определение конечных целей моделирования, набора факторов и показателей.

2.Априорный этап: предмодельный анализ экономической сущности изучаемого явления.

3.Параметризация: собственно моделирование, т. е. выбор общего вида модели, состава и формы входящих в нее связей.

4.Информационный этап: сбор статистической информации.

5.Идентификация модели: статистический анализ модели и оценивание неизвестных параметров модели.

6.Верификация модели: сопоставление реальных и модельных данных, проверка адекватности модели, оценка точности модельных данных.

В зависимости от количества факторов, включенных в уравнение регрессии, принято различать простую (парную) и множественную регрессии.

Простая регрессия представляет собой регрессию между двумя переменными – y и x,т. е. модель вида:

где yзависимая переменная (результативный признак); x независимая, или объясняющая переменная (признак – фактор, или регрессор).

Множественная регрессия представляет собой регрессию результативного признака с двумя и большим числом факторов, т. е. модель вида:

Любое эконометрическое исследование начинается со спецификации модели, т. е. с формулировки вида модели, исходя из соответствующей теории связи между переменными.

Из всего круга факторов, влияющих на результативный признак, необходимо выделить наиболее существенно влияющие факторы. Парная регрессия достаточна, если имеется доминирующий фактор, который и используется в качестве объясняющей переменной. Например, выдвигается гипотеза о том, что величина спроса y на товар находится в обратной зависимости от цены x, т. е.

Уравнение простой регрессии характеризует связь между двумя переменными, которая проявляется как закономерность лишь в среднем по совокупности наблюдений. (Например, если зависимость спроса y от цены x имеет вид: Это означает, что с ростом цены на 1 д. е. спрос в среднем уменьшается на 2 д. е.).

В уравнении регрессии корреляционная по сути связь признаков представляется в виде функциональной связи. В каждом отдельном случае величина y складывается из двух слагаемых:

,

где фактическое значение результативного признака; — значение признака, найденное из математической функции связи y и x, т. е. из уравнения регрессии; — случайная величина, характеризующая отклонение реального значения признака от найденного по уравнению регрессии.

Случайная величина называется также возмущением. Она включает влияние не учтенных в модели факторов, случайных ошибок и особенностей измерения. Ее порождают 3 источника: спецификация модели, выборочный характер исходных данных и ошибки измерения.

Например, зависимость спроса от цены точнее следует записывать так:

В данном случае слева записано просто y, что означает фактическое значение, а не , отвечающее значению, рассчитанному по уравнению регрессии.

Ошибки спецификации. Это прежде всего неправильно выбраннае форма модели. В частности, зависимость спроса от цены может быть выражена линейно

,

но возможны и другие соотношения, например

, , .

Ошибки спецификации тем меньше, чем в большей мере теоретические значения признака подходят к фактическим данным y.

К ошибкам спецификации относится также недоучет в уравнении регрессии какого-либо существенного фактора, т. е. использование парной регрессии вместо множественной. Например, спрос на конкретный товар может определяться не только ценой, но и доходом на душу населения.

Ошибки выборки. Исследователь при установлении связи между признаками имеет дело с выборочными данными. При изучении экономических процессов данные в исходной совокупности часто являются неоднородными. В этом случае уравнение регрессии не имеет практического смысла. Поэтому для получения хорошего результата из выборки исключают данные с аномальными значениями исследуемых признаков.

Ошибки измерения. Представляют наибольшую опасность в практическом использовании методов регрессии. Ошибки спецификации можно уменьшить, изменяя форму модели, ошибки выборки — увеличивая объем исходных данных, ошибки измерения сводят на нет все усилия по количественной оценке связи между признаками. Например, статистическое измерение дохода на душу населения может иметь ошибку в результате наличия сокрытых доходов. Другой пример: органы государственной статистики получают балансы предприятий, достоверность которых никто не подтверждает.

В эконометрических исследованиях предполагается, что ошибки измерения сведены к минимуму. Поэтому основное внимание уделяется ошибкам спецификации модели.

В парной регрессии выбор вида математической функции (1) может быть осуществлен тремя методами: графическим, аналитическим и экпериментальным.

Графический метод достаточно нагляден. Он основан на поле корреляции. Рассмотрим типы кривых.

Используются и другие типы кривых:

; ; ;

; ; .

Аналитический метод выбора типа уравнения регрессии основан на изучении материальной природы связи исследуемых признаков.

Пусть, например, изучается потребность предприятия в электроэнергии y в зависимости от объема выпускаемой продукции x. Все потребление электроэнергии можно подразделить на 2 части:

— не связанное с производством продукции a;

— непосредственно связанное с объемом выпускаемой продукции, пропорционально возрастающее с увеличением объема выпуска bx;

Тогда зависимость потребления электроэнергии от объема продукции можно выразить уравнением регрессии вида

Разделив на x, получим удельный расход электроэнергии на единицу продукции :

Это равносторонняя гипербола.

Аналогично затраты предприятия могут быть условно-переменные, изменяющиеся пропорционально изменению объема продукции (расход материала, оплата труда и др.) и условно-постоянные, не изменяющиеся с изменением объема производства (арендная плата, содержание администрации и др.). Соответствующая зависимость затрат на производство y от объема продукции x характеризуется линейной функцией.

,

а зависимость себестоимости единицы продукции zx от объема продукции – равносторонней гиперболой:

Экспериментальный метод используется при обработке информации на компьютере путем сравнения величины остаточной дисперсии , рассчитанной на разных моделях. В практических исследованиях, как правило, имеет место некоторое рассеяние точек относительно линии регрессии. Оно обусловлено влиянием прочих, не учитываемых в уравнении регрессии факторов:

Чем меньше , тем меньше наблюдается влияние прочих факторов, тем лучше уравнение регрессии подходит к исходным данным. При обработке данных на компьютере разные математические функции перебираются в автоматическом режиме, и из них выбирается та, для которой является наименьшей.

Если примерно одинакова для нескольких функций, то на практике выбирают более простую, так как она в большей степени поддается интерпретации и требует меньшего объема наблюдений. Результаты многих исследований подтверждают, что число наблюдений должно в 6-7 раз превышать число рассчитываемых параметров при переменной x. Это означает, что искать линейную регрессию, имея менее 7 наблюдений, вообще не имеет смысла. Если вид функции усложняется, то требуется увеличение объема наблюдений. Для рядов динамики, ограниченных по протяженности – 10, 20, 30 лет – предпочтительна модель с меньшим числом параметров при x.

Оценка параметров линейной регрессии.

Линейная регрессия сводится к нахождению уравнения вида

(или)

Первое выражение позволяет по заданным значениям фактора x рассчитать теоретические значения результативного признака, подставляя в него фактические значения фактора x. На графике теоретические значения лежат на прямой, которая представляют собой линию регрессии.

Построение линейной регрессии сводится к оценке ее параметров — а и b. Классический подход к оцениванию параметров линейной регрессии основан на методе наименьших квадратов (МНК).

МНК позволяет получить такие оценки параметров а и b, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений от теоретических минимальна:

или

Для нахождения минимума надо вычислить частные производные суммы (4) по каждому из параметров — а и b — и приравнять их к нулю.

(5)

Преобразуем, получаем систему нормальных уравнений:

(6)

В этой системе n объем выборки, суммы легко рассчитываются из исходных данных. Решаем систему относительно а и b, получаем:

(7)

. (8)

Выражение (7) можно записать в другом виде:

(9)

где ковариация признаков, дисперсия фактора x.

Параметр b называется коэффициентом регрессии. Его величина показывает среднее изменение результата с изменением фактора на одну единицу. Возможность четкой экономической интерпретации коэффициента регрессии сделала линейное уравнение регрессии достаточно распространенным в эконометрических исследованиях.

Формально a— значение y при x=0. Если x не имеет и не может иметь нулевого значения, то такая трактовка свободного члена a не имеет смысла. Параметр a может не иметь экономического содержания. Попытки экономически интерпретировать его могут привести к абсурду, особенно при a 0, то относительное изменение результата происходит медленнее, чем изменение фактора. Сравним эти относительные изменения:

0, > 0

Иногда линейное уравнение парной регрессии записывают для отклонений от средних значений:

, (10)

где , . При этом свободный член равен нулю, что и отражено в выражении (10). Этот факт следует из геометрических соображений: уравнению регрессии отвечает та же прямая (3), но при оценке регрессии в отклонениях начало координат перемещается в точку с координатами . При этом в выражении (8) обе суммы будут равны нулю, что и повлечет равенство нулю свободного члена.

Рассмотрим в качестве примера по группе предприятий, выпускающих один вид продукции, функцию издержек

Выпуск продукции тыс. ед.()

производство, млн. руб.()


источники:

http://pandia.ru/text/79/069/3776.php