Что такое переменная в уравнении реакции

Что такое переменные? Переменная величина в математике

Значение переменных в математике велико, ведь за время ее существования ученые успели совершить множество открытий в данной области, и, чтобы кратко и ясно изложить ту или иную теорему, мы пользуемся переменными для записи соответствующих формул. Например, теорема Пифагора о прямоугольном треугольнике: a 2 = b 2 + c 2 . Чем каждый раз при решении задачи писать: по теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов — мы записываем это формулой, и все сразу становится понятно.

Итак, в этой статье пойдет речь о том, что такое переменные, об их видах и свойствах. Также будут рассмотрены разные математические выражения: неравенства, формулы, системы и алгоритмы их решения.

Понятие переменной

Для начала узнаем, что такое переменная? Это численная величина, которая может принимать множество значений. Она не может быть постоянной, так как в разных задачах и уравнениях для удобства решения мы принимаем за переменную разные числа, то есть, например, z — это общее обозначение для каждой из величин, за которые ее принимают. Обычно их обозначают буквами латинского или греческого алфавита (x, y, a, b и так далее).

Есть разные виды переменных. Ими задаются как некоторые физические величины — путь (S), время (t), так и просто неизвестные значения в уравнениях, функциях и других выражениях.

Например, есть формула: S = Vt. Здесь переменными обозначаются определенные величины, имеющие отношение к реальному миру — путь, скорость и время.

А есть уравнение вида: 3x — 16 = 12x. Здесь уже за x принимается абстрактное число, которое имеет смысл в данной записи.

Виды величин

Под величиной имеется в виду то, что выражает свойства определенного предмета, вещества или явления. К примеру, температура воздуха, масса животного, процентное содержание витаминов в таблетке — это все величины, числовые значения которых можно вычислить.

Для каждой величины есть свои единицы измерения, которые все вместе образуют систему. Ее называют системой исчисления (СИ).

Что такое переменные и постоянные величины? Рассмотрим их на конкретных примерах.

Возьмем прямолинейное равномерное движение. Точка в пространстве движется с одинаковой скоростью на каждом промежутке времени. То есть изменяются время и расстояние, а скорость остается одинаковой. В данном примере время и расстояние — переменные величины, а скорость — постоянная.

Или, например, “пи”. Это иррациональное число, которое продолжается без повторяющейся последовательности цифр и не может быть записано полностью, поэтому в математике оно выражается общепринятым символом, который принимает только значение данной бесконечной дроби. То есть “пи” — это постоянная величина.

История

История обозначения переменных начинается в семнадцатом веке с ученого Рене Декарта.

Известные величины он обозначил первыми буквами алфавита: a, b и так далее, а для неизвестных предложил использовать последние буквы: x, y, z. Примечательным является то, что такие переменные Декарт считал неотрицательными числами, а при столкновении с отрицательными параметрами ставил знак минус перед переменной или, если было неизвестно, каким по знаку является число, многоточие. Но со временем наименованиями переменных стали обозначать числа любого знака, и началось это с математика Иоганна Худде.

С переменными вычисления в математике решаются проще, ведь как, например, сейчас мы решаем биквадратные уравнения? Вводим переменную. Например:

x 4 + 15x 2 + 7 = 0

За x 2 принимаем некое k, и уравнение приобретает понятный вид:

x 2 = k, при k ≥ 0

Вот какую пользу в математику несет введение переменных.

Неравенства, примеры решения

Неравенство представляет собой запись, в которой два математических выражения или два числа связаны знаками сравнения: , ≤, ≥. Они бывают строгими и обозначаются знаками или нестрогими со знаками ≤, ≥.

Впервые эти знаки ввел Томас Гарриот. После смерти Томаса вышла его книга с этими обозначениями, математикам они понравились, и со временем их стали повсеместно употреблять в математических вычислениях.

Существует несколько правил, которые нужно соблюдать при решении неравенств с одной переменной:

  1. При переносе числа из одной части неравенства в другую меняем его знак на противоположный.
  2. При умножении или делении частей неравенства на отрицательное число их знаки меняются на противоположные.
  3. Если умножить или разделить обе части неравенства на положительное число, то получится неравенство, равное исходному.

Решить неравенство — значит найти все допустимые значения переменной.

Пример с одной переменной:

Решаем, как обычное линейное уравнение — переносим слагаемые с переменной влево, без переменной — вправо и приводим подобные члены:

Делим обе части неравенства на 10 и получаем:

Для наглядности в примере решения неравенства с одной переменной изображаем числовую прямую, отмечаем на ней проколотую точку 20, так как неравенство строгое, и данное число не входит в множество его решений.

Решением этого неравенства будет промежуток (20; +∞).

Решение нестрогого неравенства осуществляется так же, как и строгого:

Но есть одно исключение. Запись вида x ≥ 5 нужно понимать так: икс больше или равно пяти, значит число пять входит во множество всех решений неравенства, то есть, записывая ответ, мы ставим квадратную скобку перед числом пять.

Квадратные неравенства

Если взять квадратное уравнение вида ax 2 + bx +c = 0 и изменить в нем знак равно на знак неравенства, то соответственно получим квадратное неравенство.

Чтобы решить квадратное неравенство, надо уметь решать квадратные уравнения.

y = ax 2 + bx + c — это квадратичная функция. Ее мы можем решить с помощью дискриминанта, либо используя теорему Виета. Вспомним, как решаются подобные уравнения:

1) y = x 2 + 12x + 11 — функция является параболой. Ее ветви направлены вверх, так как знак коэффициента «a» положительный.

2) x 2 + 12x + 11 = 0 — приравниваем к нулю и решаем с помощью дискриминанта.

a = 1, b = 12, c = 11

D = b 2 — 4ac= 144 — 44 = 100 > 0, 2 корня

Или можно было решить это уравнение по теореме Виета:

Методом подбора получаем такие же корни уравнения.

Парабола

Итак, первый способ решения квадратного неравенства — это парабола. Алгоритм ее решения таков:

1. Определяем, куда направлены ветви параболы.

2. Приравниваем функцию к нулю и находим корни уравнения.

3. Строим числовую прямую, отмечаем на ней корни, проводим параболу и находим нужный нам промежуток в зависимости от того, какой у неравенства знак.

Решим неравенство x 2 + x — 12 > 0

Выписываем в виде функции:

1) y = x 2 + x — 12 — парабола, ветви вверх.

Приравниваем к нулю.

Дальше решаем как квадратное уравнение и находим нули функции:

3) Изображаем числовую прямую и на ней точки 3 и -4. Парабола пройдет через них, ветвями вверх и ответом к неравенству будет множество положительных значений, то есть (-∞; -4), (3; +∞).

Метод интервалов

Второй способ — это метод интервалов. Алгоритм его решения:

1. Находим корни уравнения, при которых неравенство равно нулю.

2. Отмечаем их на числовой прямой. Таким образом она делится на несколько интервалов.

3. Определяем знак любого интервала.

4. Расставляем знаки у остальных интервалов, меняя их через один.

Решим неравенство (x — 4)(x — 5)(x + 7) ≤ 0

1) Нули неравенства: 4, 5 и -7.

2) Изображаем их на числовой прямой.

3) Определяем знаки интервалов.

Решим еще одно неравенство: x 2 (3x — 6)(x + 2)(x — 1) > 0

1. Нули неравенства: 0, 2, -2 и 1.

2. Отмечаем их на числовой прямой.

3. Определяем знаки интервалов.

Прямая делится на промежутки — от -2 до 0, от 0 до 1, от 1 до 2.

Возьмем значение на первом промежутке — (-1). Подставляем в неравенство. При данном значении неравенство становится положительным, значит и знак на этом промежутке будет +.

Далее, начиная от первого промежутка, расставляем знаки, меняя их через один.

Неравенство больше нуля, то есть надо найти множество положительных значений на прямой.

Системы уравнений

Системой уравнений с двумя переменными называют два уравнения, объединенных фигурной скобкой, для которых необходимо найти общее решение.

Системы могут являться равносильными, если общее решение одной из них является решением другой, или они обе не имеют решений.

Мы изучим решение систем уравнений с двумя переменными. Есть два способа их решения — метод подстановки или алгебраический метод.

Алгебраический метод

Чтобы решить систему, изображенную на картинке, данным методом, необходимо сначала помножить одну из ее частей на такое число, чтобы потом иметь возможность взаимно уничтожить одну переменную из обеих частей уравнения. Здесь мы умножаем на три, подводим черту под системой и складываем ее части. В итоге иксы становятся одинаковы по модулю, но противоположны по знаку, и мы их сокращаем. Далее получаем линейное уравнение с одной переменной и решаем его.

Игрек мы нашли, но на этом мы не можем остановиться, ведь мы еще не нашли икс. Подставляем игрек в ту часть, из которой удобно будет вывести икс, например:

-x + 5y = 8 , при y = 1

Решаем получившееся уравнение и находим икс.

Главное в решении системы — правильно записать ответ. Многие школьники делают ошибку и пишут:

Но это неверная запись. Ведь, как уже писалось выше, решая систему уравнений, мы ищем общее решение для его частей. Правильным будет ответ:

Метод подстановки

Это, пожалуй, самый простой метод, в котором трудно совершить ошибку. Возьмем систему уравнений номер 1 с этой картинки.

В первой ее части икс уже приведен к нужному нам виду, поэтому нам остается только подставить его в другое уравнение:

Переносим число без переменной вправо, приводим подобные слагаемые к общему значению и находим игрек:

Затем, как и в алгебраическом методе, подставляем значение игрека в любое из уравнений и находим икс:

Урок 13. Составление химических уравнений

В уроке 13 «Составление химических уравнений» из курса «Химия для чайников» рассмотрим для чего нужны химические уравнения; научимся уравнивать химические реакции, путем правильной расстановки коэффициентов. Данный урок потребует от вас знания химических основ из прошлых уроков. Обязательно прочитайте об элементном анализе, где подробно рассмотрены эмпирические формулы и анализ химических веществ.

Химическое уравнение

В результате реакции горения метана CH4 в кислороде O2 образуются диоксид углерода CO2 и вода H2O. Эта реакция может быть описана химическим уравнением:

Попробуем извлечь из химического уравнения больше сведений, чем просто указание продуктов и реагентов реакции. Химичекое уравнение (1) является НЕполным и потому не дает никаких сведений о том, сколько молекул O2 расходуется в расчете на 1 молекулу CH4 и сколько молекул CO2 и H 2 O получается в результате. Но если записать перед соответствующими молекулярными формулами численные коэффициенты, которые укажут сколько молекул каждого сорта принимает участие в реакции, то мы получим полное химическое уравнение реакции.

Для того, чтобы завершить составление химического уравнения (1), нужно помнить одно простое правило: в левой и правой частях уравнения должно присутствовать одинаковое число атомов каждого сорта, поскольку в ходе химической реакции не возникает новых атомов и не происходит уничтожение имевшихся. Данное правило основывается на законе сохранения массы, который мы рассмотрели в начале главы.

Уравнивание химических реакций

Уравнивание химических реакций нужно для того, чтобы из простого химического уравнения получить полное. Итак, перейдем к непосредственному уравниванию реакции (1): еще раз взгляните на химическое уравнение, в точности на атомы и молекулы в правой и левой части. Нетрудно заметить, что в реакции участвуют атомы трех сортов: углерод C, водород H и кислород O. Давайте подсчитаем и сравним количество атомов каждого сорта в правой и левой части химического уравнения.

Начнем с углерода. В левой части один атом С входит в состав молекулы CH4, а в правой части один атом С входит в состав CO2. Таким образом в левой и в правой части количество атомов углерода совпадает, поэтому его мы оставляем в покое. Но для наглядности поставим коэффициент 1 перед молекулами с углеродом, хоть это и не обязательно:

Затем переходим к подсчету атомов водорода H. В левой части присутствуют 4 атома H (в количественном смысле H4 = 4H) в составе молекулы CH4, а в правой – всего 2 атома H в составе молекулы H2O, что в два раза меньше чем в левой части химического уравнения (2). Будем уравнивать! Для этого поставим коэффициент 2 перед молекулой H2O. Вот теперь у нас и в реагентах и в продуктах будет по 4 молекулы водорода H:

Обратите свое внимание, что коэффициент 2, который мы записали перед молекулой воды H2O для уравнивания водорода H, увеличивает в 2 раза все атомы, входящие в ее состав, т.е 2H2O означает 4H и 2O. Ладно, с этим вроде бы разобрались, осталось подсчитать и сравнить количество атомов кислорода O в химическом уравнении (3). Сразу бросается в глаза, что в левой части атомов O ровно в 2 раза меньше чем в правой. Теперь-то вы уже и сами умеете уравнивать химические уравнения, поэтому сразу запишу финальный результат:

Как видите, уравнивание химических реакций не такая уж и мудреная штука, и важна здесь не химия, а математика. Уравнение (4) называется полным уравнением химической реакции, потому что в нем соблюдается закон сохранения массы, т.е. число атомов каждого сорта, вступающих в реакцию, точно совпадает с числом атомов данного сорта по завершении реакции. В каждой части этого полного химического уравнения содержится по 1 атому углерода, по 4 атома водорода и по 4 атома кислорода. Однако стоит понимать пару важных моментов: химическая реакция — это сложная последовательность отдельных промежуточных стадий, и потому нельзя к примеру истолковывать уравнение (4) в том смысле, что 1 молекула метана должна одновременно столкнуться с 2 молекулами кислорода. Процессы происходящие при образовании продуктов реакции гораздо сложнее. Второй момент: полное уравнение реакции ничего не говорит нам о ее молекулярном механизме, т.е о последовательности событий, которые происходят на молекулярном уровне при ее протекании.

Коэффициенты в уравнениях химических реакций

Еще один наглядный пример того, как правильно расставить коэффициенты в уравнениях химических реакций: Тринитротолуол (ТНТ) C7H5N3O6 энергично соединяется с кислородом, образуя H2O, CO2 и N2. Запишем уравнение реакции, которое будем уравнивать:

Проще составлять полное уравнение, исходя из двух молекул ТНТ, так как в левой части содержится нечетное число атомов водорода и азота, а в правой — четное:

  • 2C7H5N3O6 + O2 → CO2 + H2O + N2 (6)

Тогда ясно, что 14 атомов углерода, 10 атомов водорода и 6 атомов азота должны превратиться в 14 молекул диоксида углерода, 5 молекул воды и 3 молекулы азота:

Теперь в обеих частях содержится одинаковое число всех атомов, кроме кислорода. Из 33 атомов кислорода, имеющихся в правой части уравнения, 12 поставляются двумя исходными молекулами ТНТ, а остальные 21 должны быть поставлены 10,5 молекулами O2. Таким образом полное химическое уравнение будет иметь вид:

Можно умножить обе части на 2 и избавиться от нецелочисленного коэффициента 10,5:

Но этого можно и не делать, поскольку все коэффициенты уравнения не обязательно должны быть целочисленными. Правильнее даже составить уравнение, исходя из одной молекулы ТНТ:

Полное химическое уравнение (9) несет в себе много информации. Прежде всего оно указывает исходные вещества — реагенты, а также продукты реакции. Кроме того, оно показывает, что в ходе реакции индивидуально сохраняются все атомы каждого сорта. Если умножить обе части уравнения (9) на число Авогадро NA=6,022·10 23 , мы сможем утверждать, что 4 моля ТНТ реагируют с 21 молями O2 с образованием 28 молей CO2, 10 молей H2O и 6 молей N2.

Есть еще одна фишка. При помощи таблицы Менделеева определяем молекулярные массы всех этих веществ:

  • C 7 H 5 N 3 O 6 = 227,13 г/моль
  • O 2 = 31,999 г/моль
  • CO 2 = 44,010 г/моль
  • H 2 O = 18,015 г/моль
  • N 2 = 28,013 г/моль

Теперь уравнение 9 укажет еще, что 4·227,13 г = 908,52 г ТНТ требуют для осуществления полной реакции 21·31,999 г = 671,98 г кислорода и в результате образуется 28·44,010 г = 1232,3 г CO2, 10·18,015 г = 180,15 г H2O и 6·28,013 г = 168,08 г N2. Проверим, выполняется ли в этой реакции закон сохранения массы:

РеагентыПродукты
908,52 г ТНТ1232,3 г CO 2
671,98 г CO 2180,15 г H 2 O
168,08 г N 2
Итого1580,5 г1580,5 г

Но необязательно в химической реакции должны участвовать индивидуальные молекулы. Например, реакция известняка CaCO 3 и соляной кислоты HCl, с образованием водного раствора хлорида кальция CaCl 2 и диоксида углерода CO 2 :

Химическое уравнение (11) описывает реакцию карбоната кальция CaCO3 (известняка) и хлористоводородной кислоты HCl с образованием водного раствора хлорида кальция CaCl2 и диоксида углерода CO2. Это уравнение полное, так как число атомов каждого сорта в его левой и правой частях одинаково.

Смысл этого уравнения на макроскопическом (молярном) уровне таков: 1 моль или 100,09 г CaCO3 требует для осуществления полной реакции 2 моля или 72,92 г HCl, в результате чего получается по 1 молю CaCl2 (110,99 г/моль), CO2 (44,01 г/моль) и H2O (18,02 г/моль). По этим численным данным нетрудно убедиться, что в данной реакции выполняется закон сохранения массы.

Интерпретация уравнения (11) на микроскопическом (молекулярном) уровне не столь очевидна, поскольку карбонат кальция представляет собой соль, а не молекулярное соединение, а потому нельзя понимать химическое уравнение (11) в том смысле, что 1 молекула карбоната кальция CaCO3 реагирует с 2 молекулами HCl. Тем более молекула HCl в растворе вообще диссоциирует (распадается) на ионы H + и Cl — . Таким образом более правильным описанием того, что происходит в этой реакции на молекулярном уровне, дает уравнение:

Здесь в скобках сокращенно указано физическое состояние каждого сорта частиц (тв. — твердое, водн. — гидратированный ион в водном растворе, г. — газ, ж. — жидкость).

Уравнение (12) показывает, что твердый CaCO3 реагирует с двумя гидратированными ионами H + , образуя при этом положительный ион Ca 2+ , CO2 и H2O. Уравнение (12) как и другие полные химические уравнения не дает представления о молекулярном механизме реакции и менее удобно для подсчета количества веществ, однако, оно дает лучшее описание происходящего на микроскопическом уровне.

Закрепите полученные знания о составлении химических уравнений, самостоятельно разобрав пример с решением:

Надеюсь из урока 13 «Составление химических уравнений» вы узнали для себя что-то новое. Если у вас возникли вопросы, пишите их в комментарии.

Химические уравнения и расчеты по ним

Согласно атомно-молекулярной теории, всякая химическая реакция заключается в том, что молекулы одних веществ превращаются в молекулы других, состоящие; из тех же атомов, что и прореагировавшие молекулы.

Зная состав молекул вступающих в реакцию веществ и веществ, образующихся в результате реакции, мы можем выра­зить любую реакцию химическим уравнением.

Что такое химические уравнения

Химическое уравнение — это сокращенная запись реакции при помощи химических формул. В таком уравнении слева от знака равенства пишут формулы взятых для реакции веществ, а справа — формулы продуктов реакции. Так как общее число атомов при реакции остается неизменным, то в правильно составленном уравнении число атомов каждого элемента слева и справа от знака равенства должно быть одинаковым.

Чтобы составить уравнение реакции, необходимо точно знать, какие вещества вступают в реакцию и какие образуются в ре­зультате реакции. Химическое уравнение является выражением фактов, установленных экспериментальным путем.

Нельзя, напи­сав в левой части уравнения формулы молекул взятых веществ, по своему усмотрению комбинировать из них в правой части уравнения любые новые молекулы.
В тех случаях, когда аналогичные реакции уже хорошо изу­чены, можно заранее предвидеть, каковы будут продукты взаи­модействия взятых веществ.

Известно, например, что при взаимо­действии кислоты со щелочью или с окисью металла всегда полу­чаются соль и вода, что при действии кислоты на соль обычно получается новая соль и новая кислота и т. д. Однако и здесь возможны неожиданности.

Так, при действии соляной и разбав­ленной серной кислот на многие металлы выделяется водород и получаются соли взятых металлов, например:

Но если бы мы на этом основании составили аналогичное уравнение для реакции взаимодействия азотной кислоты с цин­ком, то сделали бы грубую ошибку, так как при действии азот­ной кислоты на металлы водород, как правило, не выделяется.

Этот пример показывает, что выводы «по аналогии» не всегда надежны и поэтому их следует, по возможности, избегать.

При составлении уравнений необходимо всегда помнить, что, уравнивая число атомов в левой и правой половинах равенства, мы не имеем права изменять формулы веществ. Уравнивание достигается только правильным подбором коэффициентов.

Иногда вместо полного уравнения реакции дается только схема ее, указывающая, какие вещества вступают в реакцию и какие получаются в результате реакции. В таких случаях мы бу­дем заменять знак равенства стрелкой, направленной в сторону образующихся при реакции веществ. Например, схема реакции горения сероводорода имеет следующий вид:

Для чего нужны химические уравнения

Химические уравнения служат на практике для производства различных расчетов, связанных с той или иной реакцией. На­помним, что каждая формула в химическом уравнении изобра­жает не только одну молекулу, но и определенное весовое коли­чество вещества, отвечающее его молекулярному весу, например одну граммолекулу.

Заменяя формулы граммолекулярными количествами веществ, мы узнаем весовые соотношения между всеми участвующими в реакции веществами. Так, например, уравнение реакции образования воды из водорода и кислорода можно расшифровать следующим образом:

Из уравнения видно, что 4 г водорода, соединяясь с 32 г кислорода, дают 36 г воды.

Таким образом, составив уравнение реакции и определив по нему граммолекулярные количества реагирующих веществ, мы можем делать всевозможные расчеты, необходимые для воспро­изведения данной реакции в лаборатории или на производстве.

В тех случаях, когда в реакции участвуют газообразные ве­щества, уравнение реакций дает представление не только о ве­совых количествах, но и об относительных объемах реагирую­щих газов, что видно из следующего примера:

Поэтому, если по условиям задачи требуется узнать объем вступающего в реакцию или образующегося в результате реак­ции газа, то нет необходимости предварительно вычислять его вес. По уравнению реакции мы можем непосредственно рассчи­тать требуемый объем.

Пример решения химического уравнения

Сколько литров кислорода можно получить, разлагая 100 г бертолетовой соли?
Составляем уравнение реакции и отмечаем под формулой бертолетовой соли ее удвоенный граммолекулярный вес, а под формулой кислорода его объем в литрах:

Затем, как обычно, составляем пропорцию и находим из нее искомый объем, минуя вычисление веса полученного кислорода и перевод его в литры:

Полученный объем относится, конечно, к 0° и 760 мм давления; если в задаче указана иная температура и иное давление, то необходимо сделать со­ответствующий пересчет.

Статья на тему Химические уравнения и расчеты по ним

Похожие страницы:

Понравилась статья поделись ей

Leave a Comment

Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.


источники:

http://himi4ka.ru/arhiv-urokov/urok-13-sostavlenie-himicheskih-uravnenij.html

http://znaesh-kak.com/x/x/%D1%85%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5-%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F-%D0%B8-%D1%80%D0%B0%D1%81%D1%87%D0%B5%D1%82%D1%8B-%D0%BF%D0%BE-%D0%BD%D0%B8%D0%BC