Что такое тождественно равные уравнения

Тождественно равные выражения: определение, примеры

После того, как мы разобрались с понятием тождеств, можно переходить к изучению тождественно равных выражений. Цель данной статьи – объяснить, что это такое, и показать на примерах, какие выражения будут тождественно равными другим.

Тождественно равные выражения: определение

Понятие тождественно равных выражений обычно изучается вместе с самим понятием тождества в рамках школьного курса алгебры. Приведем основное определение, взятое из одного учебника:

Тождественно равными друг другу будут такие выражения, значения которых будут одинаковы при любых возможных значениях переменных, входящих в их состав.

Также тождественно равными считаются такие числовые выражения, которым будут отвечать одни и те же значения.

Это достаточно широкое определение, которое будет верным для всех целых выражений, смысл которых при изменении значений переменных не меняется. Однако позже возникает необходимость уточнения данного определения, поскольку помимо целых существуют и другие виды выражений, которые не будут иметь смысла при определенных переменных. Отсюда возникает понятие допустимости и недопустимости тех или иных значений переменных, а также необходимость определять область допустимых значений. Сформулируем уточненное определение.

Тождественно равные выражения – это те выражения, значения которых равны друг другу при любых допустимых значениях переменных, входящих в их состав. Числовые выражения будут тождественно равными друг другу при условии одинаковых значений.

Фраза «при любых допустимых значениях переменных» указывает на все те значения переменных, при которых оба выражения будут иметь смысл. Это положение мы объясним позже, когда будем приводить примеры тождественно равных выражений.

Можно указать еще и такое определение:

Тождественно равными выражениями называются выражения, расположенные в одном тождестве с левой и правой стороны.

Примеры выражений, тождественно равных друг другу

Используя определения, данные выше, рассмотрим несколько примеров таких выражений.

Для начала возьмем числовые выражения.

Так, 2 + 4 и 4 + 2 будут тождественно равными друг другу, поскольку их результаты будут равны ( 6 и 6 ).

Точно так же тождественно равны выражения 3 и 30 : 10 , ( 2 2 ) 3 и 2 6 (для вычисления значения последнего выражений нужно знать свойства степени).

А вот выражения 4 — 2 и 9 — 1 равными не будут, поскольку их значения разные.

Перейдем к примерам буквенных выражений. Тождественно равными будут a + b и b + a , причем от значений переменных это не зависит (равенство выражений в данном случае определяется переместительным свойством сложения).

Например, если a будет равно 4 , а b – 5 , то результаты все равно будут одинаковы.

Еще один пример тождественно равных выражений с буквами – 0 · x · y · z и 0 . Какими бы ни были значения переменных в этом случае, будучи умноженными на 0 , они дадут 0 . Неравные выражения – 6 · x и 8 · x , поскольку они не будут равны при любом x .

В том случае, если области допустимых значений переменных будут совпадать, например, в выражениях a + 6 и 6 + a или a · b · 0 и 0 , или x 4 и x , и значения самих выражений будут равны при любых переменных, то такие выражения считаются тождественно равными. Так, a + 8 = 8 + a при любом значении a , и a · b · 0 = 0 тоже, поскольку умножение на 0 любого числа дает в итоге 0 . Выражения x 4 и x будут тождественно равными при любых x из промежутка [ 0 , + ∞ ) .

Но область допустимого значения в одном выражении может отличаться от области другого.

Например, возьмем два выражения: x − 1 и x — 1 · x x . Для первого из них областью допустимых значений x будет все множество действительных чисел, а для второго – множество всех действующих чисел, за исключением нуля, ведь тогда мы получим 0 в знаменателе, а такое деление не определено. У этих двух выражений есть общая область значений, образованная пересечением двух отдельных областей. Можно сделать вывод, что оба выражения x — 1 · x x и x − 1 будут иметь смысл при любых действительных значениях переменных, за исключением 0 .

Основное свойство дроби также позволяет нам заключить, что x — 1 · x x и x − 1 будут равными при любом x, которое не является 0 . Значит, на общей области допустимых значений эти выражения будут тождественно равны друг другу, а при любом действительном x говорить о тождественном равенстве нельзя.

Если мы заменяем одно выражение на другое, которое является тождественно равным ему, то этот процесс называется тождественным преобразованием. Это понятие очень важно, и подробно о нем мы поговорим в отдельном материале.

Тождество — что это такое в математике

Очень часто в математике встречаются такие слова «тождество», «тождественно равные», «тождественное преобразование». Многие учащиеся путают значения этих слов. Давайте с вами разберемся, что означают эти слова.

В математике и, в более общем плане, в научных областях тождество — это открытие, что два математических объекта (имеющих два разных математических сценария) на самом деле являются одним и тем же объектом. В частности, тождество — это равенство между двумя выражениями, которое истинно независимо от значений различных используемых переменных. Тождества обычно используются для преобразования одного математического выражения в другое, особенно для решения уравнения.

Определение тождества

Равенство, которое является верным при любом значении, входящей в него переменной, называется тождеством. Тождество, как и уравнение, имеет переменную — x, y или любую другую букву. Разница между тождеством и уравнением заключается в том, что уравнение имеет корень — то есть значение переменной, при которой выполняется данное равенство. А в тождестве равенство должно выполняться при любом значении переменной. То есть, равенство не всегда будет тождеством.

является уравнением, поскольку верно только при .

А равенство является и тождеством и уравнением, так как верно при любом значении переменной , и как решение уравнения — — любое число.

Пример: — это тождественное преобразование левой части выражения — получаем тождество.

Уравнение или тождество

Как и уравнение, тождество имеет переменную. Уравнение содержит вопрос: при каких значениях переменной получается равенство. Тождество — это утверждение в том, что равенство верно при любом значении переменной.

Определите, где в перечисленных ниже выражениях будет тождество, а где только уравнение.

Вы увидите, что все выражения, кроме третьего, являются уравнениями. А тождество у нас получается только в третьем выражении, так как при раскрытии скобок в правой части уравнения, мы получаем взаимоуничтожение переменных в правой и левой частях равенства, которое остается верным.

Очень часто тождества используются в тригонометрии. Вы можете посмотреть статью на эту тему подробнее: тригонометрические тождества часть 1 и тригонометрические тождества часть 2.

Например, самое известное, так называемое основное тригонометрическое тождество:

— верно при любом значении .

Некоторые алгебраические тождества квалифицируются как «замечательные» и позволяют облегчить вычисление или факторизацию полиномиальных выражений.

Например, замечательное тождество , которое истинно независимо от элементов и (например, относительных целых чисел или поля действительных чисел . ), позволяет понять методы вычисления вавилонян для выполнения умножения:

,

.

То есть, умножение осуществлялось с помощью вычитания квадратов чисел — для этого у вавилонян имелись таблицы квадратов чисел.

А еще вы можете ознакомиться с основным логарифмическим тождеством. Удачи при изучении математики.

Тождество. Тождественные преобразования. Примеры.

Тождества в основном применяются для решения линейных уравнений.

Тождеством называется равенство, которое верно при всех значениях переменных.

Или другими словами, тождество — это равенство, которое выполняется на всём множестве значений переменных, входящих в него, например:

В этих выражениях при всех значениях a и b равенство верное.

2 выражения с равными значениями при всех значениях переменных являются тождественно равными.

Равенство x+2=5 может существовать не при всех значениях x, а лишь при x=3. Это равенство не будет тождеством, это будет уравнением. Кроме того, тождеством будет равенство, которое не содержит переменные, например 25 2 =625.

Тождественное равенство обозначают символом «≡» (тройное равенство).

Примеры тождеств.

— Тождество Эйлера (кватернионы);

— Тождество Эйлера (теория чисел);

— Тождество четырёх квадратов;

— Тождество восьми квадратов;

Тождественные преобразования.

Тождественное преобразование выражения (преобразование выражения) – это подмена одних выражений другими, тождественно равными друг другу.

Для тождественных преобразований используют формулы сокращенного умножения, законы арифметики и другие тождества.

Выполним тождественные преобразования с такой дробью: .

Полученное тождество, при х ≠ 0 и х ≠ 1 (недопустимые значения), т.к. знаменатель левой части не может быть равен нулю.

Доказательство тождеств.

Для того, чтоб доказать тождество нужно сделать тождественные преобразования обеих или одной части равенства, и получить слева и справа одинаковые алгебраические выражения.

Например, доказать тождество:

Вынесем х за скобки:

Это равенство есть тождество, при х≠0 и х≠1.

Чтоб доказать, что равенство не является тождеством, нужно найти 1-но значение переменной (которое допустимо) у которой числовые выражения (которые были получены) станут не равными друг другу.

5−1 ≠ 5+1 — подставим, к примеру, 5.

Это равенство не тождество.

Разница между тождеством и уравнением.

Тождество верно при всех значениях переменных, а уравнение – это равенство, которое верно только при одном либо нескольких значениях переменной.

Это выражение верно лишь при х = 10.

Тождеством будет равенство, которое не содержит переменных.


источники:

http://mathematics-repetition.com/tozhdestvo-chto-eto-takoe-v-matematike/

http://www.calc.ru/Tozhdestvo-Tozhdestvennyye-Preobrazovaniya-Primery.html