Что такое возвратное уравнение четвертой степени

Уравнения, сводящиеся к квадратным уравнениям:
возвратные (симметричные) уравнения

Существует ряд уравнений, которые удается решить при помощи сведения их к квадратным уравнениям.

К таким уравнениям, в частности, относятся уравнения следующих типов:

	Трёхчленные уравнения
	Уравнения 4-ой степени, левая часть которых равна произведению четырёх последовательных членов арифметической прогрессии
	Возвратные (симметричные) уравнения 3-ей степени
	Возвратные (симметричные) уравнения 4-ой степени
	Обобщенные возвратные уравнения 4-ой степени

Замечание . Уравнения, носящие название «Биквадратные уравнения» , относятся к типу «Трехчленные уравнения» .

Возвратные (симметричные) уравнения 3-ей степени

Возвратным уравнением 3-ей степени называют уравнение вида

где a , b – заданные числа.

Решение уравнения (1) осуществляется при помощи разложения левой части уравнения (1) на множители:

Для завершения решения уравнения (1) остаётся лишь решить квадратное уравнение

Пример 1 . Решить уравнение

Решение . Разложим левую часть уравнения (2) на множители:

Ответ :.

Возвратные (симметричные) уравнения 4-ой степени

Возвратными (симметричными) уравнениями 4-ой степени называют уравнения вида

а также уравнения вида

Для того, чтобы решить возвратное уравнение (3), разделим его на x 2 . В результате получится уравнение

Преобразуем левую часть уравнения (5):

В результате этого преобразования уравнение (5) принимает вид

Если теперь обозначить

(7)

то уравнение (6) станет квадратным уравнением:

Найдем корни уравнения (8), а после этого, подставив каждый из найденных корней в равенство (7), решим полученное уравнение относительно x .

Описание метода решения уравнений вида (3) завершено.

Для того, чтобы решить возвратное уравнение (4), разделим его на x 2 . В результате получится уравнение

Преобразуем левую часть уравнения (9):

В результате этого преобразования уравнение (9) принимает вид

Если теперь обозначить

(11)

то уравнение (10) станет квадратным уравнением:

Найдем корни уравнения (13), а после этого, подставив каждый из найденных корней в равенство (11), решим полученное уравнение относительно x .

Описание метода решения уравнений вида (4) завершено.

Пример 2 . Решить уравнение

Решение . Уравнение (13) является возвратным и относится к виду (3). Разделим его на x 2 . В результате получится уравнение

Преобразуем левую часть уравнения (14):

В результате этого преобразования уравнение (14) принимает вид

Если теперь обозначить

(16)

то уравнение (15) станет квадратным уравнением:

(18)

В первом случае из равенства (16) получаем уравнение:

которое решений не имеет.

Во втором случае из равенства (16) получаем:

Ответ :

Пример 3 . Решить уравнение

Решение . Уравнение (19) является возвратным и относится к виду (4). Разделим его на x 2 . В результате получится уравнение

Преобразуем левую часть уравнения (20):

В результате этого преобразования уравнение (20) принимает вид

Если теперь обозначить

(22)

то уравнение (21) станет квадратным уравнением:

(24)

В первом случае из равенства (22) получаем:

Во втором случае из равенства (22) получаем:

Ответ :

Обобщенные возвратные уравнения 4-ой степени

Обобщенным возвратным уравнением 4-ой степени назовём уравнение вида

где a , b , c, d – заданные числа.

Для того, чтобы решить уравнение (25), разделим его на x 2 . В результате получится уравнение

Преобразуем левую часть уравнения (26):

В результате этого преобразования уравнение (26) принимает вид

Если теперь обозначить

(28)

то уравнение (27) станет квадратным уравнением:

(29)

Найдем корни уравнения (29), а после этого, подставив каждый из найденных корней в равенство (28), решим полученное уравнение относительно x .

Описание метода решения уравнений вида (25) завершено.

Пример 4 . Решить уравнение

Решение . Введем для коэффициентов уравнения (30) следующие обозначения

и найдем значение выражения

то уравнение (30) является обобщенным возвратным уравнением 4-ой степени. В соответствии с изложенным выше, разделим его на x 2 . В результате получится уравнение

Преобразуем левую часть уравнения (31):

В результате этого преобразования уравнение (31) принимает вид

Если теперь обозначить

(33)

то уравнение (32) станет квадратным уравнением:

В первом случае из равенства (33) получаем:

Во втором случае из равенства (33) получаем:

Ответ :

Решение уравнений четвертой степени

Для уравнений четвертой степени применимы все те общие схемы решения уравнений высших степеней, что мы разбирали в предыдущем материале. Однако существует ряд нюансов в решении двучленных, биквадратных и возвратных уравнений, на которых мы хотели бы остановиться подробнее.

Также в статье мы разберем искусственный метод разложения многочлена на множители, решение в радикалах и метод Феррари, который используется для того, чтобы свести решение уравнения четвертой степени к кубическому уравнению.

Решение двучленного уравнения четвертой степени

Это простейший тип уравнений четвертой степени. Запись уравнения имеет вид A x 4 + B = 0 .

Для решения этого типа уравнений применяются формулы сокращенного умножения:

A x 4 + B = 0 x 4 + B A = 0 x 4 + 2 B A x 2 + B A – 2 B A x 2 = 0 x 2 + B A 2 – 2 B A x 2 = 0 x 2 – 2 B A 4 x + B A x 2 + 2 B A 4 x + B A = 0

Остается лишь найти корни квадратных трехчленов.

Решить уравнение четвертой степени 4 x 4 + 1 = 0 .

Решение

Для начала проведем разложение многочлена 4 x 4 + 1 на множители:

4 x 4 + 1 = 4 x 4 + 4 x 2 + 1 = ( 2 x 2 + 1 ) 2 – 4 x 2 = 2 x 2 – 2 x + 1 ( 2 x 2 + 2 x + 1 )

Теперь найдем корни квадратных трехчленов.

2 x 2 – 2 x + 1 = 0 D = ( – 2 ) 2 – 4 · 2 · 1 = – 4 x 1 = 2 + D 2 · 2 = 1 2 + i x 2 = 2 – D 2 · 2 = 1 2 – i

2 x 2 + 2 x + 1 = 0 D = 2 2 – 4 · 2 · 1 = – 4 x 3 = – 2 + D 2 · 2 = – 1 2 + i x 4 = – 2 – D 2 · 2 = – 1 2 – i

Мы получили четыре комплексных корня.

Ответ: x = 1 2 ± i и x = – 1 2 ± i .

Решение возвратного уравнения четвертой степени

Возвратные уравнения четвертого порядка имеют вид A x 4 + B x 3 + C x 2 + B x + A = 0

х = 0 не является корнем этого уравнения: A · 0 4 + B · 0 3 + C · 0 2 + B · 0 + A = A ≠ 0 . Поэтому на x 2 можно смело разделить обе части этого уравнения:

A x 4 + B x 3 + C x 2 + B x + A = 0 A x 2 + B x + C + B x + A x 2 = 0 A x 2 + A x 2 + B x + B x + C = 0 A x 2 + 1 x 2 + B x + 1 x + C = 0

Проведем замену переменных x + 1 x = y ⇒ x + 1 x 2 = y 2 ⇒ x 2 + 1 x 2 = y 2 – 2 :

A x 2 + 1 x 2 + B x + 1 x + C = 0 A ( y 2 – 2 ) + B y + C = 0 A y 2 + B y + C – 2 A = 0

Так мы проведи сведение возвратного уравнения четвертой степени к квадратному уравнению.

Найти все комплексные корни уравнения 2 x 4 + 2 3 + 2 x 3 + 4 + 6 x 2 + 2 3 + 2 x + 2 = 0 .

Решение

Симметрия коэффициентов подсказывает нам, что мы имеем дело с возвратным уравнением четвертой степени. Проведем деление обеих частей на x 2 :

2 x 2 + 2 3 + 2 x + 4 + 6 + 2 3 + 2 x + 2 x 2 = 0

2 x 2 + 2 x 2 + 2 3 + 2 x + 2 3 + 2 x + 4 + 6 + = 0 2 x 2 + 1 x 2 + 2 3 + 2 x + 1 x + 4 + 6 = 0

Проведем замену переменной x + 1 x = y ⇒ x + 1 x 2 = y 2 ⇒ x 2 + 1 x 2 = y 2 – 2

2 x 2 + 1 x 2 + 2 3 + 2 x + 1 x + 4 + 6 = 0 2 y 2 – 2 + 2 3 + 2 y + 4 + 6 = 0 2 y 2 + 2 3 + 2 y + 6 = 0

Решим полученное квадратное уравнение:

D = 2 3 + 2 2 – 4 · 2 · 6 = 12 + 4 6 + 2 – 8 6 = = 12 – 4 6 + 2 = 2 3 – 2 2 y 1 = – 2 3 – 2 + D 2 · 2 = – 2 3 – 2 + 2 3 – 2 4 = – 2 2 y 2 = – 2 3 – 2 – D 2 · 2 = – 2 3 – 2 – 2 3 + 2 4 = – 3

Вернемся к замене: x + 1 x = – 2 2 , x + 1 x = – 3 .

Решим первое уравнение:

x + 1 x = – 2 2 ⇒ 2 x 2 + 2 x + 2 = 0 D = 2 2 – 4 · 2 · 2 = – 14 x 1 = – 2 – D 2 · 2 = – 2 4 + i · 14 4 x 2 = – 2 – D 2 · 2 = – 2 4 – i · 14 4

Решим второе уравнение:

x + 1 x = – 3 ⇒ x 2 + 3 x + 1 = 0 D = 3 2 – 4 · 1 · 1 = – 1 x 3 = – 3 + D 2 = – 3 2 + i · 1 2 x 4 = – 3 – D 2 = – 3 2 – i · 1 2

Ответ: x = – 2 4 ± i · 14 4 и x = – 3 2 ± i · 1 2 .

Решение биквадратного уравнения

Биквадратные уравнения четвертой степени имеют вид A x 4 + B x 2 + C = 0 . Мы можем свести такое уравнение к квадратному A y 2 + B y + C = 0 путем замены y = x 2 . Это стандартный прием.

Решить биквадратное уравнение 2 x 4 + 5 x 2 – 3 = 0 .

Решение

Выполним замену переменной y = x 2 , что позволит нам свести исходное уравнение к квадратному:

2 y 2 + 5 y – 3 = 0 D = 5 2 – 4 · 2 · ( – 3 ) = 49 y 1 = – 5 + D 2 · 2 = – 5 + 7 4 = 1 2 y 2 = – 5 – D 2 · 2 = – 5 – 7 4 = – 3

Следовательно, x 2 = 1 2 или x 2 = – 3 .

Первое равенство позволяет нам получить корень x = ± 1 2 . Второе равенство не имеет действительных корней, зато имеет комплексно сопряженных корней x = ± i · 3 .

Ответ: x = ± 1 2 и x = ± i · 3 .

Найти все комплексные корни биквадратного уравнения 16 x 4 + 145 x 2 + 9 = 0 .

Решение

Используем метод замены y = x 2 для того, чтобы свести исходное биквадратное уравнение к квадратному:

16 y 2 + 145 y + 9 = 0 D = 145 2 – 4 · 16 · 9 = 20449 y 1 = – 145 + D 2 · 16 = – 145 + 143 32 = – 1 16 y 2 = – 145 – D 2 · 16 = – 145 – 143 32 = – 9

Поэтому, в силу замены переменной, x 2 = – 1 16 или x 2 = – 9 .

Ответ: x 1 , 2 = ± 1 4 · i , x 3 , 4 = ± 3 · i .

Решение уравнений четвертой степени с рациональными корнями

Алгоритм нахождения рациональных корней уравнения четвертой степени приведен в материале «Решение уравнений высших степеней».

Решение уравнений четвертой степени по методу Феррари

Уравнения четвертой степени вида x 4 + A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 в общем случае можно решить с применением метода Феррари. Для этого необходимо найти y 0 . Это любой из корней кубического уравнения y 3 – B y 2 + A C – 4 D y – A 2 D + 4 B D – C 2 = 0 . После этого необходимо решить два квадратных уравнения x 2 + A 2 x + y 0 2 + A 2 4 – B + y 0 x 2 + A 2 y 0 – C x + y 0 2 4 – D = 0 , у которых подкоренное выражение является полным квадратом.

Корни, полученные в ходе вычислений, будут корнями исходного уравнения четвертой степени.

Найти корни уравнения x 4 + 3 x 3 + 3 x 2 – x – 6 = 0 .

Решение

Имеем А = 3 , В = 3 , С = – 1 , D = – 6 . Применим метод Феррари для решения данного уравнения.

Составим и решим кубическое уравнение:
y 3 – B y 2 + A C – 4 D y – A 2 D + 4 B D – C 2 = 0 y 3 – 3 y 2 + 21 y – 19 = 0

Одним из корней кубического уравнения будет y 0 = 1 , так как 1 3 – 3 · 1 2 + 21 · 1 – 19 = 0 .

Запишем два квадратных уравнения:
x 2 + A 2 x + y 0 2 ± A 2 4 – B + y 0 x 2 + A 2 y 0 – C x + y 0 2 4 – D = 0 x 2 + 3 2 x + 1 2 ± 1 4 x 2 + 5 2 x + 25 4 = 0 x 2 + 3 2 x + 1 2 ± 1 2 x + 5 2 2 = 0

x 2 + 3 2 x + 1 2 + 1 2 x + 5 2 = 0 или x 2 + 3 2 x + 1 2 – 1 2 x – 5 2 = 0

x 2 + 2 x + 3 = 0 или x 2 + x – 2 = 0

Корнями первого уравнения будут x = – 1 ± i · 2 , корнями второго х = 1 и х = – 2 .

Ответ: x 1 , 2 = – 1 ± i 2 , x 3 = 1 , x 4 = – 2 .

ТЕМА «СИММЕТРИЧЕСКИЕ И ВОЗВРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ»
элективный курс по алгебре (10 класс) по теме

Лекция 1. Симметрические уравнения третьей и четвертой степени.

Лекция 2. Возвратные уравнения.

Лекция 3. Уравнения четвертой степени с дополнительными условиями на коэффициенты.

Семинар 1. Решение симметрических и возвратных уравнений.

Практическая работа 1. Решение симметрических уравнений.

Практическая работа 2. Решение возвратных уравнений.

Самостоятельная работа. Решение симметрических и возвратных уравнений.

Скачать:

Предварительный просмотр:

ТЕМА «СИММЕТРИЧЕСКИЕ И ВОЗВРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ»

Учитель математики МБОУ СОШ № 34 г. Тихорецка Мирошниченко В.Н.

ТЕМА 3 «СИММЕТРИЧЕСКИЕ И ВОЗВРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ»

Лекция 1. Симметрические уравнения третьей и четвертой степени.

Лекция 2. Возвратные уравнения.

Лекция 3. Уравнения четвертой степени с дополнительными условиями на коэффициенты.

Семинар 1 . Решение симметрических и возвратных уравнений.

Практическая работа 1. Решение симметрических уравнений.

Практическая работа 2 . Решение возвратных уравнений.

Самостоятельная работа . Решение симметрических и возвратных уравнений.

Методическая разработка первого занятия по данной теме.

Цель изучения данной темы:

– расширить знания о видах уравнений;

– познакомить с методами их решения;

– учить решать трудные задачи.

Лекция 1. Симметрические уравнения третьей и четвертой степени.

ах 3 + вх 2 + вх + а = 0, а ≠ 0, (1)

называются симметрическими уравнениями третьей степени . Поскольку ах 3 + вх 2 + вх + а = а (х 3 + 1) + вх (х+1) = а (х+ 1) (х 2 – х+ 1) + вх (х+ 1) = (х+1) (ах 2 + (в – а) х + а), то уравнение (1) равносильно совокупности уравнений

х + 1 = 0 и ах 2 + (в – а) х + а = 0, решить которую просто.

Пример 1. Решить уравнение

3х 3 + 4х 2 + 4х + 3 = 0.

Уравнение является симметрическим уравнением третьей степени. Разложим на множители левую часть уравнения

3х 3 + 4х 2 + 4х + 3 = 3 (х 3 + 1) + 4х (х + 1) = ( х + 1) (3х 3 – 3х + 3 + 4х) = ( х+ 1) (3х 3 + х + 3).

Уравнение равносильно совокупности уравнений

х + 1 = 0 и 3х 3 + х + 3 = 0,

ах 4 + вх 3 + сх 2 + вх + а = 0 , а≠ 0,

называются симметрическими уравнениями четвертой степени.

Поскольку х = 0 не является корнем уравнения , то , разделив обе части уравнения на х 2 , получим уравнение . равносильное исходному:

ах 2 + а/х 2 + вх + в/х + с = 0.

Перепишем уравнение в виде:

а [(х + 1/х) 2 – 2 ] + в ( х + 1/х) + с = 0.

В этом уравнении сделаем замену х + 1/х = у. тогда получим квадратное уравнение

ау 2 + ву +с – 2а = 0.

Если уравнение имеет два корня у 1 и у 2 , то исходное уравнение равносильно совокупности уравнений

х 2 – х у 1 + 1 = 0 и х 2 – х у 2 + 1 = 0.

Если же уравнение имеет один корень у 0 , то исходное уравнение равносильно уравнению х 2 – у 0 х = 1 = 0.

Если уравнение не имеет корней, то и исходное уравнение не имеет корней.

Пример 2. Решить уравнение

х 4 – 5х 3 + 8х 2 – 5х- 1 =0.

Решение. Данное уравнение является симметрическим уравнением четвертой степени. Так как х= 0 не является его корнем, то , разделив уравнение на х 2 ,получим равносильное ему уравнение

х 2 – 5х + 8 – 5/х + 1/ х 2 = 0.

Сгруппировав слагаемые, перепишем уравнение в виде

(х 2 + 1/ х 2 ) 2 – 5 (х + 1/х) + 6 =0.

Пусть х + 1/х = у, получим уравнение

имеющее два корня у 1 = 2, у 2 = 3. Следовательно, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений

х + 1/х =2 и х + 1/х =3.

Решение первого уравнения этой совокупности есть х 1 = 1, а решения второго есть х 2 =(3+√5)/2, х 3 =(3-√5)/2.

Следовательно, исходное уравнение имеет три корня.

Ответ: х 1 = 1, х 2 =(3+√5)/2, х 3 =(3-√5)/2.

1. Домашнее задание: рассмотреть решение уравнений;

А) 7х 3 – 5х 2 – 5х + 7 = 0,

Б) 3х 3 + 4х 2 – 4х – 3 = 0,

С) 3х 4 – 4х 3 + 2х 2 – 4х + 3=0,

Д) х 4 +4х 3 – 2х 2 –+4х + 1=0.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Занятие по теме “Решение простейших тригонометрических уравнений. Уравнение tgx=a”

Занятие проводилось в рамках программы ШТК по математике. Презентация выполнена в программе Смарт и демонстрируется на интерактивной доске.Архив содержит все необходимые материалы.

урок по теме “Примеры решения тригонометрических уравнений и систем уравнений”

Класс 10Урок закрепления.

Тема 15. ИТОГОВЫЙ КОНТРОЛЬ ПО ТЕМАМ 9-14: “Показательные уравнения. Показательно-степенные уравнения. Показательные неравенства. Преобразования и вычисления логарифмических выражений. Логарифмические уравнения. Логарифмические неравенства”.

Уважаемые коллеги!Актуальной задачей на сегодняшний день является качественная подготовка учащихся к единому государственному экзамену (ЕГЭ) по математике, а также абитуриентов к вступител.

урок по теме “Способы решения тригонометрических уравнений”(урок одного уравнения) 08.03.16

методическая разработка урока алгебры и начал математического анализа в 10 классе по УМК Мордкович, содержит спсобы решения тригонометрического уравнения вида asinx +bcosx=c.

Дидактический материал по темам: “Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения, неравенства и системы”, “Показательная функция. Показательные уравнения, системы и неравества”

Тренировочные задания по темам:«Показательная функция. Показательные уравнения, неравенства и системы»«Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения, неравенства и системы»Данный дидак.

Презентации по теме “Системы двух линейных уравнений”, “Метод подстановки для решения систем уравнений”, “Метод сложения для решения систем уравнений” .

Презентации проедполагает использование при проведении онлайн урока по теме “Системы двух линейных уравнений”, “Метод подстановки для решения систем уравнений”, “Метод сложени.

Научная статья на тему: “Симметрические многочлены”

Научная статья на тему: “Симметрические многочлены&quot.