Что такое вырожденное квадратное уравнение

• Если b = 0, то квадратное уравнение принимает вид ax 2 + 0x+c=0 и оно равносильно ax 2 + c = 0.
• Если c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax 2 + bx + 0 = 0, иначе его можно написать как ax 2 + bx = 0.
• Если b = 0 и c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax 2 = 0.

Такие уравнения отличны от полного квадратного тем, что их левые части не содержат либо слагаемого с неизвестной переменной, либо свободного члена, либо и того и другого. Отсюда и их название — неполные квадратные уравнения.

Решение неполных квадратных уравнений

Как мы уже знаем, есть три вида неполных квадратных уравнений:

• ax 2 = 0, ему отвечают коэффициенты b = 0 и c = 0;
• ax 2 + c = 0, при b = 0;
• ax 2 + bx = 0, при c = 0.

Давайте рассмотрим по шагам, как решать неполные квадратные уравнения по видам.

Как решить уравнение ax 2 = 0

Начнем с решения неполных квадратных уравнений, в которых b и c равны нулю, то есть, с уравнений вида ax 2 = 0.

Уравнение ax 2 = 0 равносильно x 2 = 0. Такое преобразование возможно, когда мы разделили обе части на некое число a, которое не равно нулю. Корнем уравнения x 2 = 0 является нуль, так как 0 2 = 0. Других корней у этого уравнения нет, что подтверждают свойства степеней.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax 2 = 0 имеет единственный корень x = 0.

Пример 1. Решить −6x 2 = 0.

1. Замечаем, что данному уравнению равносильно x 2 = 0, значит исходное уравнение имеет единственный корень — нуль.
2. По шагам решение выглядит так:

Как решить уравнение ax 2 + с = 0

Обратим внимание на неполные квадратные уравнения вида ax 2 + c = 0, в которых b = 0, c ≠ 0. Мы давно знаем, что слагаемые в уравнениях носят двусторонние куртки: когда мы переносим их из одной части уравнения в другую, они надевает куртку на другую сторону — меняют знак на противоположный.

Еще мы знаем, что если обе части уравнения поделить на одно и то же число (кроме нуля) — у нас получится равносильное уравнение. Ну есть одно и то же, только с другими цифрами.

Держим все это в голове и колдуем над неполным квадратным уравнением (производим «равносильные преобразования»): ax 2 + c = 0:

• перенесем c в правую часть: ax 2 = — c,
• разделим обе части на a: x 2 = — c/а.

Ну все, теперь мы готовы к выводам о корнях неполного квадратного уравнения. В зависимости от значений a и c, выражение — c/а может быть отрицательным или положительным. Разберем конкретные случаи.

Если — c/а 2 = — c/а не имеет корней. Все потому, что квадрат любого числа всегда равен неотрицательному числу. Из этого следует, что при — c/а 0, то корни уравнения x 2 = — c/а будут другими. Например, можно использовать правило квадратного корня и тогда корень уравнения равен числу √- c/а, так как (√- c/а) 2 = — c/а. Кроме того, корнем уравнения может стать -√- c/а, так как (-√- c/а) 2 = — c/а. Ура, больше у этого уравнения нет корней.

Неполное квадратное уравнение ax 2 + c = 0 равносильно уравнению х 2 = -c/a, которое:

• не имеет корней при — c/а 0.

Пример 1. Найти решение уравнения 8x 2 + 5 = 0.

Перенесем свободный член в правую часть:

Разделим обе части на 8:

Ответ: уравнение 8x 2 + 5 = 0 не имеет корней.

Как решить уравнение ax 2 + bx = 0

Осталось разобрать третий вид неполных квадратных уравнений, когда c = 0.

Неполное квадратное уравнение ax 2 + bx = 0 можно решить методом разложения на множители. Как разложить квадратное уравнение:

Разложим на множители многочлен, который расположен в левой части уравнения — вынесем за скобки общий множитель x.

Теперь можем перейти от исходного уравнения к равносильному x * (ax + b) = 0. А это уравнение равносильно совокупности двух уравнений x = 0 и ax + b = 0, последнее — линейное, его корень x = −b/a.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax 2 + bx = 0 имеет два корня:

Пример 1. Решить уравнение 0,5x 2 + 0,125x = 0

Ответ: х = 0 и х = 0,25.

Как разложить квадратное уравнение

С помощью теоремы Виета можно получить формулу разложения квадратного трехчлена на множители. Выглядит она так:

Формула разложения квадратного трехчлена

Если x₁ и x₂ — корни квадратного трехчлена ax 2 + bx + c, то справедливо равенство ax 2 + bx + c = a (x − x₁) (x − x₂).

Дискриминант: формула корней квадратного уравнения

Чтобы найти результат квадратного уравнения, придумали формулу корней. Выглядит она так:

где D = b 2 − 4ac — дискриминант квадратного уравнения.

Эта запись означает:

Чтобы легко применять эту формулу, нужно понять, как она получилась. Давайте разбираться.

Алгоритм решения квадратных уравнений по формулам корней

Теперь мы знаем, что при решении квадратных уравнения можно использовать универсальную формулу корней — это помогает находить комплексные корни.

В 8 классе на алгебре можно встретить задачу по поиску действительных корней квадратного уравнения. Для этого важно перед использованием формул найти дискриминант и убедиться, что он неотрицательный, и только после этого вычислять значения корней. Если дискриминант отрицательный, значит уравнение не имеет действительных корней.

Алгоритм решения квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0:

• вычислить его значение дискриминанта по формуле D = b 2 −4ac;
• если дискриминант отрицательный, зафиксировать, что действительных корней нет;
• если дискриминант равен нулю, вычислить единственный корень уравнения по формуле х = −b/2a;
• если дискриминант положительный, найти два действительных корня квадратного уравнения по формуле корней

Чтобы запомнить алгоритм решения квадратных уравнений и с легкостью его использовать, давайте тренироваться!

Примеры решения квадратных уравнений

Как решать квадратные уравнения мы уже знаем, осталось закрепить знания на практике.

Пример 1. Решить уравнение −4x 2 + 28x — 49 = 0.

1. Найдем дискриминант: D = 28 2 — 4(-4)(-49) = 784 — 784 = 0
2. Так как дискриминант равен нулю, значит это квадратное уравнение имеет единственный корень
3. Найдем корень

Ответ: единственный корень 3,5.

Пример 2. Решить уравнение 54 — 6x 2 = 0.

Произведем равносильные преобразования. Умножим обе части на −1

Оставим неизвестное в одной части, остальное перенесем с противоположным знаком в другую

Ответ: два корня 3 и — 3.

Пример 3. Решить уравнение x 2 — х = 0.

Преобразуем уравнение так, чтобы появились множители

Ответ: два корня 0 и 1.

Пример 4. Решить уравнение x 2 — 10 = 39.

Оставим неизвестное в одной части, остальное перенесем с противоположным знаком в другую

Ответ: два корня 7 и −7.

Пример 5. Решить уравнение 3x 2 — 4x+94 = 0.

Найдем дискриминант по формуле

D = (-4) 2 — 4 * 3 * 94 = 16 — 1128 = −1112

Ответ: корней нет.

В школьной программе за 8 класс нет обязательного требования искать комплексные корни, но такой подход может ускорить ход решения. Если дискриминант отрицательный — сразу пишем ответ, что действительных корней нет и не мучаемся.

Формула корней для четных вторых коэффициентов

Рассмотрим частный случай. Формула решения корней квадратного уравнения , где D = b 2 — 4ac, помогает получить еще одну формулу, более компактную, при помощи которой можно решать квадратные уравнения с четным коэффициентом при x. Рассмотрим, как появилась эта формула.

Например, нам нужно решить квадратное уравнение ax 2 + 2nx + c = 0. Сначала найдем его корни по известной нам формуле. Вычислим дискриминант D = (2n) 2 — 4ac = 4n 2 — 4ac = 4(n 2 — ac) и подставим в формулу корней:

2 + 2nx + c = 0″ height=»705″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc11a460e2f8354381151.png» width=»588″>

Для удобства вычислений обозначим выражение n 2 -ac как D₁. Тогда формула корней квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2·n примет вид:

где D₁ = n 2 — ac.

Самые внимательные уже заметили, что D = 4D₁, или D₁= D/4. Проще говоря, D₁ — это четверть дискриминанта. И получается, что знак D1 является индикатором наличия или отсутствия корней квадратного уравнения.

Сформулируем правило. Чтобы найти решение квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2n, нужно:

• вычислить D₁= n 2 — ac;
• если D₁ 0, значит можно найти два действительных корня по формуле

Формула Виета

Если в школьной геометрии чаще всего используется теорема Пифагора, то в школьной алгебре ведущую роль занимают формулы Виета. Теорема звучит так:

Сумма корней x 2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равняется свободному члену.

Если дано x 2 + bx + c = 0, где x₁ и x₂ являются корнями, то справедливы два равенства:

Знак системы, который принято обозначать фигурной скобкой, означает, что значения x₁ и x₂ удовлетворяют обоим равенствам.

Рассмотрим теорему Виета на примере: x 2 + 4x + 3 = 0.

Пока неизвестно, какие корни имеет данное уравнение. Но в соответствии с теоремой можно записать, что сумма этих корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком. Он равен четырем, значит будем использовать минус четыре:

Произведение корней по теореме соответствует свободному члену. В данном случае свободным членом является число три. Значит:

Необходимо проверить равна ли сумма корней −4, а произведение 3. Для этого найдем корни уравнения x 2 + 4x + 3 = 0. Воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента:
2 + 4x + 3 = 0″ height=»215″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/E_X403ETh_88EANRWdQN03KRT8yxP2HO4HoCrxj__c8G0DqmNJ1KDRqtLH5Z1p7DtHm-rNMDB2tEs41D7RHpEV5mojDTMMRPuIkcW33jVNDoOe0ylzXdHATLSGzW4NakMkH2zkLE» width=»393″>

Получилось, что корнями уравнения являются числа −1 и −3. Их сумма равняется второму коэффициенту с противоположным знаком, а значит решение верное.
2 + 4x + 3 = 0″ height=»52″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/VzGPXO9B0ZYrr9v0DpJfXwuzeZtjYnDxE_ma76PUC8o7jVWwa8kZjTJhq2Lof0TiJXAp_ny3yRwI_OyRzeucv9xUZ63yoozGPP4xd4OxvElVT7Pt-d6xL5w17e_mQNs5qZJQiwfG» width=»125″>

Произведение корней −1 и −3 по теореме Виета должно равняться свободному члену, то есть числу 3. Это условие также выполняется:
2 + 4x + 3 = 0″ height=»52″ src=»https://lh4.googleusercontent.com/Cq-LCFmY3YGNSan1VF3l3CqIeojoJYAvGAiTBWnzyoZu_xJFrF5NfQ3xCe59apJklw6uYbmQ4lAkBTeC-TJmEGicN3rgGtsezhuqdNiOWjZT39NziOB5uOmQr3cr9-5fNnepdZDo» width=»112″>

Результат проделанных вычислений в том, что мы убедились в справедливости выражения:

Когда дана сумма и произведение корней квадратного уравнения, принято начинать подбор подходящих корней. Теорема, обратная теореме Виета, при таких условиях может быть главным помощником. Вот она:

Обратная теорема Виета

Если числа x₁ и x₂ таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x 2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену, то эти числа и есть корни x 2 + bx + c = 0.

Обычно вся суть обратных теорем в том самом выводе, которое дает первая теорема. Так, при доказательстве теоремы Виета стало понятно, что сумма x₁ и x₂ равна −b, а их произведение равно c. В обратной теореме это и есть утверждение.

Пример 1. Решить при помощи теоремы Виета: x 2 − 6x + 8 = 0.

Для начала запишем сумму и произведение корней уравнения. Сумма будет равна 6, так как второй коэффициент равен −6. А произведение корней равно 8.

2 − 6x + 8 = 0″ height=»59″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc101ce2e346034751939.png» width=»117″>

Когда у нас есть эти два равенства, можно подобрать подходящие корни, которые будут удовлетворять обоим равенствам системы.

Чтобы проще подобрать корни, нужно их перемножить. Число 8 можно получить путем перемножения чисел 4 и 2 либо 1 и 8. Но значения x₁ и x₂ надо подбирать так, чтобы они удовлетворяли и второму равенству тоже.

Можно сделать вывод, что значения 1 и 8 не подходят, так как они не удовлетворяют равенству x₁ + x₂ = 6. А значения 4 и 2 подходят обоим равенствам:

Значит числа 4 и 2 — корни уравнения x 2 − 6x + 8 = 0. p>

Упрощаем вид квадратных уравнений

Если мы ходили в школу всегда одной тропинкой, а потом вдруг обнаружили путь короче — это значит теперь у нас есть выбор: упростить себе задачу и сократить время на дорогу или прогуляться по привычному маршруту.

Так же и при вычислении корней квадратного уравнения. Ведь проще посчитать уравнение 11x 2 — 4 x — 6 = 0, чем 1100x 2 — 400x — 600 = 0.

Часто упрощение вида квадратного уравнения можно получить через умножение или деление обеих частей на некоторое число. Например, в предыдущем абзаце мы упростили уравнение 1100x 2 — 400x — 600 = 0, просто разделив обе части на 100.

Такое преобразование возможно, когда коэффициенты не являются взаимно простыми числами. Тогда принято делить обе части уравнения на наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов.

Покажем, как это работает на примере 12x 2 — 42x + 48 = 0. Найдем наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов: НОД (12, 42, 48) = 6. Разделим обе части исходного квадратного уравнения на 6, и придем к равносильному уравнению 2x 2 — 7x + 8 = 0. Вот так просто.

А умножение обеих частей квадратного уравнения отлично помогает избавиться от дробных коэффициентов. Умножать в данном случае лучше на наименьшее общее кратное знаменателей его коэффициентов. Например, если обе части квадратного уравнения

умножить на НОК (6, 3, 1) = 6, то оно примет более простой вид x 2 + 4x — 18 = 0.

Также для удобства вычислений можно избавиться от минуса при старшем коэффициенте квадратного уравнения — для этого умножим или разделим обе части на −1. Например, удобно от квадратного уравнения −2x 2 — 3x + 7 = 0 перейти к решению 2x 2 + 3x — 7 = 0.

Связь между корнями и коэффициентами

Мы уже запомнили, что формула корней квадратного уравнения выражает корни уравнения через его коэффициенты:

Из этой формулы, можно получить другие зависимости между корнями и коэффициентами.

Например, можно применить формулы из теоремы Виета:

Для приведенного квадратного уравнения сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней — свободному члену. Например, по виду уравнения 3x 2 — 7x + 22 = 0 можно сразу сказать, что сумма его корней равна 7/3, а произведение корней равно 22/3.

Можно активно использовать уже записанные формулы и с их помощью получить ряд других связей между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Таким образом можно выразить сумму квадратов корней квадратного уравнения через его коэффициенты:

Квадратное уравнение. Парабола

Квадратичная функция

$s=\frac<2>$ — путь, которое проходит свободно падающее тело за время t с нулевой начальной скоростью.

В общем виде эту зависимость можно записать так: $y=ax^2$. График этой функции — парабола, вершина которой находится в точке (0,0). Ветви направлены вверх. Четная функция.

Квадратичной называется функция, которую можно задать формулой y=ax² + bx + c, причем а отлично от 0. Здесь a,b,c — некоторые числа, x — переменная.

Корень — это значение переменной, обращающее квадратный трёхчлен в ноль, а квадратное уравнение в верное равенство.

Vertex form

Можно выделить квадратный двучлен, поэтому это тоже парабола со сдвигом и растяжением.

Вершина параболы в точке (m,n), $m = \frac<-b><2a>, n = \frac<-D><4a>$

Квадратное уравнение

a — первый или старший коэффициент

b — второй коэффициент или средний или коэффициент при x

c — свободный член

Дискриминант $D = b^2-4ac$

Схематическое расположение параболы в зависимости от знаков первого коэффициента и дискриминанта.

Приведённым называют квадратное уравнение, в котором старший коэффициент равен единице. Такое уравнение может быть получено делением всего выражения на старший коэффициент.

Полным называют такое квадратное уравнение, все коэффициенты которого отличны от нуля.

Неполным называется такое квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов кроме старшего (либо второй коэффициент, либо свободный член) равен нулю.

Теорема Виета

Теорема. Cумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Если приведенное квадратное уравнение $x^2 + px + q = 0$ имеет действительные корни, то их сумма равна $-p$, а произведение равно $q$, то есть

$$x_1 + x_2 = –p, \\ x_1 \cdot x_2 = q$$

Примечание. Любое квадратное уравнение можно привести к такому виду делением на a.

Пример. Найти сумму корней уравнения $x^2-7x+13=0$. Корней нет, поэтому ответ «сумма корней равна 7» — неверный. Для определения количества корней необходимо найти дискриминант.

Таким образом, в формулировку теоремы Виета необходимо добавить условие: если корни существуют, то … Или если дискриминант неотрицателен. Заметим, что при нулевом дискриминанте теорема Виета тоже работает (считать, что уравнение имеет два равных корня).

Пример. (Мерзляк, Алгебра 8 углубл, 2016)

Применения теоремы Виета

Теорема Виета позволяет угадывать целые корни квадратного трехчлена (не решая уравнение).

Так, находя корни квадратного уравнения x² – 5x + 6 = 0, можно начать с того, чтобы попытаться разложить свободный член (число 6) на два множителя так, чтобы их сумма равнялась бы числу 5. Это разложение очевидно: $$6 = 2 \cdot 3, \, 2 + 3 = 5. $$

Отсюда должно следовать, что числа 2 и 3 являются искомыми корнями.

Определение знаков корней

Определение знаков корней без решения уравнения (при условии что D > 0).

Геометрический смысл теоремы Виета

Мы привыкли произносить «икс квадрат», «квадрат суммы», «удвоенный квадрат», не придавая этим выражениям геометрического смысла. На самом деле все они отражают взгляд на алгебру, который сложился еще в глубокой древности, потому что людям приходилось решать геометрические задачи на вычисление площадей.

В клинописных текстах древнего Вавилона (около 2000 лет до нашей эры) обнаружена такая задача. «Площадь 1000 состоит из суммы двух квадратов, и сторона меньшего составляет две трети стороны другого, уменьшенные на 10. Какова сторона бóльшего квадрата?»

Решить такую задачу — это все равно, что решить уравнение $x^2+(\frac 2 3 x-10)^2=1000$. В клинописном тексте нет формулы для решения этого уравнения, но перечисляются необходимые этапы вычисления, которые приводят к корню $x = 30$.

Фактически вавилонский метод дает решение системы $\beginx+y=p \\ xy= q\end$,

которая представляет собой запись задачи нахождения сторон прямоугольника с данным периметром и площадью. Теорема Виета, с изучения которой начинается этот параграф, связывает решение этой системы с решением квадратного уравнения.

Обобщение теоремы Виета

Теорема Вієта для зведеного многочлена $f(x)=x^n+a_x^+\ldots+a_1x+a_0$ формулюється так: «Якщо $x_1, x_2, x_3, \ldots, x_, x_n$ — всі комплексні корені (включаючи рівні) цього многочлена степеня n, то мають місце рівності:

$$ x_1+x_2+\ldots+x_n=-a_ $$ $$ x_1x_2+x_1x_3+\ldots+x_1x_n+x_2x_3+\ldots+x_x_n=a_ $$ $$ x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+\ldots+x_1x_x_n+\ldots+x_x_x_n=-a_ $$ $$x_1x_2x_3 \ldots x_n=(-1)^n a_0$$

Разность корней квадратного уравнения

Для приведенного уравнения $$ x_1-x_2 = \sqrt $$

$$ <(x_1-x_2)^2>= x_1^2 — 2x_1x_2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2-4x_1x_2$$

Для приведенного уравнения с учетом теоремы Виета:

$$(x_1-x_2)^2 = (-b)^2-4c = b^2-4ac = D$$

Таким образом, если корни квадратного уравнения существуют, то расстояние между ними равно корню из дискриминанта. Грубо говоря, чем больше дискриминант, тем больше расстояние между корнями.

Обобщение дискриминанта

Дискриминантом многочлена $p(x)$ называется функция, задаваемая его коэффициентами.

Если точнее, то дискриминант — это произведение квадратов разностей корней многочлена, умноженное на старший коэффициент в степени на 2 меньше удвоенной степени многочлена.

1. Любая точка параболы равноудалена от некоторый точки, называемой фокусом параболы, и некоторой прямой, называемой ее директрисой.

2. Если вращать параболу вокруг ее оси симметрии (например, параболу $y = x^2$ вокруг оси Oy), то получается очень интересная поверхность, которая называется параболоидом вращения.

Поверхность жидкости, вращающейся в сосуде, имеет форму параболоида вращения. Вы можете увидеть эту поверхность, если помешаете ложечкой в неполном стакане чая, а потом вынете ложечку.

3. Если в пустоте бросить камень под некоторым углом к горизонту, то он полетит по параболе.

4. Если пересечь поверхность конуса плоскостью, параллельной какой-либо одной его образующей, то в сечении получится парабола.

5. В парках культуры устраивают иногда забавный аттракцион «Параболоид чудес». Каждому из стоящих внутри вращающегося параболоида кажется, что он стоит на полу, а остальные люди каким-то чудом держатся на стенках.

6. В зеркальных телескопах тоже применяют параболические зеркала: свет от далекой звезды, идущий параллельным пучком, упав на зеркало телескопа, собирается в фокусе.

7. У прожекторов зеркало обычно делается в форме параболоида. Если поместить источник света в фокусе параболоида, то лучи света, отразившись от параболического зеркала, образуют параллельный пучок.

Опыты, описанные в пунктах 2 и 5, основаны на одном и том же свойстве параболоида: если вращать параболоид с подходящей скоростью вокруг его оси, расположенной вертикально, то равнодействующая центробежной силы и силы тяготения в любой точке параболоида направлена перпендикулярно к его поверхности.

Солнечные концентраторы

Солнечные концентраторы используют энергию солнечной радиации, которая попадает на параболическую поверхность зеркала, в фокусе которой обычно располагается трубка с циркурирующим по ней теплоносителем. Как правило в качестве теплоносителя выступает масло. Теплоноситель нагревает воду, которая испаряясь поступает в турбогенератор в виде пара.

Параболические концентраторы с двигателем Стирлинга представляют собой СЭС с параболическими концентраторами, которые фокусируются на двигатель Стирлинга. Такие электростанции характеризуются высоким КПД (более 31%). В качестве рабочего тела двигателя Стирлинга используется, как правило, водород, или гелий.

Согласно известной исторической легенде, Архимед почти полностью сжег флот римского полководца Марка Марцелла, используя медные параболические зеркала.

8-этажное сооружение, включающее около 10 тысяч отдельных параболических зеркал. На сегодняшний день Солнечная Печь, выстроенная в 1970 году в Восточных Пиренеях – крупнейшая в мире. Массив зеркал действует в качестве параболического отражателя. Свет фокусируется в одном центре. И температура там может достигать 3500 градусов по Цельсию. При такой температуре можно плавить сталь. Но температуру можно регулировать, устанавливая зеркала под разными углами.

Подвесные мосты

Вантовый мост — тип висячего моста, состоящий из одного или более пилонов, соединённых с дорожным полотном посредством прямолинейных стальных тросов — вантов. В отличие от висячих мостов, где дорожное полотно поддерживается вертикальными тросами, прикреплёнными к протянутым по всей длине моста основным несущим тросам, у вантовых мостов тросы (ванты) соединяются непосредственно с пилоном.

Русский мост (Владивосток) — вантовый мост с самым длинным основным пролётом в мире (1104 м), при общей длине в 1886 м

Висячий мост — мост, в котором основная несущая конструкция выполнена из гибких элементов (кабелей, канатов, цепей и др.), работающих на растяжение, а проезжая часть подвешена.

Висячие мосты находят наиболее удачное применение в случае большой длины моста, невозможности или опасности установки промежуточных опор (например в судоходных местах).

Золотые Ворота (Сан-Франциско) — один из самых узнаваемых мостов в мире. Мост был самым большим висячим мостом в мире с момента открытия в 1937 году и до 1964 года. Общая длина моста — 2737 м, длина основного пролёта — 1280 м, высота опор — 227 м над водой, масса — 894 500 т. В среднем, по мосту проезжают сто тысяч автомобилей в сутки. 6 полос.

Основные несущие тросы (или цепи) подвешивают между установленными по берегам пилонами. К этим тросам крепят вертикальные тросы или балки, на которых подвешивается дорожное полотно основного пролёта моста. Основные тросы продолжаются за пилонами и закрепляются на уровне земли. Продолжение тросов может использоваться для поддержки двух дополнительных пролётов.

Под действием сосредоточенной нагрузки несущая конструкция может изменять свою форму, что уменьшает жёсткость моста. Для избежания прогибов в современных висячих мостах дорожное полотно усиливают продольными балками или фермами, распределяющими нагрузку.

Используются также конструкции, в которых дорожное полотно поддерживается системой прямолинейных канатов, закреплённых непосредственно на пилонах. Такие мосты называются вантовыми.

Основной пролёт можно сделать очень длинным при минимальном количестве материала. Поэтому использование такой конструкции очень эффективно при строительстве мостов через широкие ущелья и водные преграды. В современных висячих мостах широко применяют проволочные тросы и канаты из высокопрочной стали с пределом прочности около 2—2,5 ГПа(200-250 кгс/мм²), что существенно снижает собственный вес моста.

Отсутствует необходимость ставить промежуточные опоры, что даёт большие преимущества, например, в случае горных разломов или рек с сильным течением.

Будучи относительно податливыми, висячие мосты могут, без ущерба для целостности конструкции, изгибаться под действием сильного ветра или сейсмических нагрузок, тогда как более жёсткие мосты нужно строить более крепкими и тяжёлыми.

Полотно моста сильно прогибается, если на одном участке сосредоточена нагрузка существенно больше, чем на других. Из-за этого висячие мосты реже используются в качестве железнодорожных, чем другие типы.

Основные напряжения в висячем мосте — это напряжения растяжения в основных тросах и напряжения сжатия в опорах, напряжения в самом пролёте малы. Почти все силы в опорах направлены вертикально вниз и стабилизируются за счёт тросов, поэтому опоры могут быть очень тонкими. Сравнительно простое распределение нагрузок по разным элементам конструкции упрощает расчёт висячих мостов.

Под действием собственного веса и веса мостового пролёта тросы провисают и образуют дугу, близкую к параболе. Ненагруженный трос, подвешенный между двумя опорами, принимает форму т. н. «цепной линии», которая близка к параболе в почти горизонтальном участке. Если весом тросов можно пренебречь, а вес пролёта равномерно распределён по длине моста, тросы принимают форму параболы. Если вес троса сравним с весом дорожного полотна, то его форма будет промежуточной между цепной линией и параболой.

Клифтонский мост близ Бристоля (инженер Изамбард Кингдом Брюнель, 1864).

Акаси-Кайкё — самый длинный подвесной мост в мире. Полная длина составляет 3911 м. Пилоны имеют высоту 298 м, что выше 90-этажного дома.

Вначале были построены два бетонных основания для пилонов на дне пролива Акаси. Для строительства этого моста был разработан специальный бетон, который не растворяется в воде при заливке. Следующим этапом было протягивание тросов. Для этого нужно было с одного пилона на другой протянуть направляющий канат. Он был протянут с помощью вертолёта. Когда в 1995 году оба троса были протянуты, и можно было приступать к монтажу дорожного полотна, произошло непредвиденное: город Кобе стал жертвой крупного землетрясения магнитудой в 7,3 балла. Пилоны выдержали землетрясение, но из-за изменения рельефа дна пролива один из пилонов сдвинулся на 1 м в сторону, таким образом нарушив все расчёты. Инженеры предложили удлинить балки дорожного полотна и увеличить расстояние между вантами, свисающими с основных тросов. Строительные работы, задержанные не более чем на месяц, возобновились. Монтаж дорожного полотна закончился в 1998 году.

В конструкции моста имеется система двухшарнирных балок жёсткости, позволяющая выдерживать скорости ветра до 80 м/с, землетрясения магнитудой до 8,5 и противостоять сильным морским течениям. Для уменьшения действующих на мост нагрузок имеется система динамических гасителей колебаний.

Если вытянуть в длину все стальные нити (диаметром 5,23 мм) несущих тросов моста Акаси-Кайкё, то ими можно опоясать земной шар более семи раз.

Модель параболы

Легко получить параболу с помощью обычного карманного фонарика. Световое пятно от вертикально расположенного фонаря будет кругом. Немного повернём его, и пятно будет иметь форму эллипса. При дальнейшем повороте фонарика эллипс будет всё больше и больше вытягиваться, а в некоторый момент его наиболее удалённая точка уйдёт в бесконечность. Кривая, ограничивающая такое пятно, называется параболой. Неограниченные кривые, которые получаются при дальнейшем вращении фонарика, называются гиперболами. Все получившиеся кривые – окружность, эллипс, парабола, гипербола – конические сечения. Такое название они получили заслуженно, поскольку световой столб, выходящий из фонарика, является конусом.

Парабола, как огибающая

Параболу можно рассматривать, как огибающую семейства прямых.

См. также Конические сечения — Параболическое зеркало. Параболический бильярд

Цепочки окружностей, вписанных в кривую 2-го порядка

Если радиус окружности, вписанной в параболу $y=x^2$ равен 1, то радиус второй окружности, вписанной в эту же параболу и касающейся первой окружности, равен 2, радиус аналогичной 3-й окружности равен 3 и т. д.

Интересно, что радиусы подобной цепочки окружностей, вписанных в угол, образуют геометрическую прогрессию.

Фокус и директриса параболы

Задача. Постройте график функции $y = x^2$. Масштаб возьмите покрупней: 1 = 4 клетки. Отметьте на оси Oy точку F(0; 1/4). Полоской бумаги измерьте расстояние от точки F до какой-нибудь точки M параболы. Затем приколите полоску в точке M и поверните ее вокруг этой точки так, чтобы она стала вертикальной. Конец полоски опустится немного ниже оси абсцисс. Отметьте на полоске, насколько она выйдет за ось абсцисс. Возьмите теперь другую точку на параболе и повторите измерение еще раз. Насколько теперь опустился край полоски за ось абсцисс?

Результат мы Вам сможем сказать заранее: какую бы точку на параболе вы ни взяли, расстояние от этой точки до точки (0; 1/4) будет больше расстояния от той же точки до оси абсцисс всегда на одно и то же число — на 1/4. Можно сказать иначе: расстояние от любой точки параболы $y = x^2$ до точки (0; 1/4) равно расстоянию от той же точки параболы до прямой y = −1/4, параллельной оси Ox.

Замечательная точка F(0; 1/4) называется фокусом параболы, а прямая y = −1/4 — директрисой (по-русски направляющая) этой параболы. Директриса и фокус есть у всякой параболы.

Геометрический смысл параболы

Парабола — это множество точек, равноудалённых от данной прямой (директрисы параболы) и не лежащей на директрисе данной точки (фокуса параболы).

Парабола — это множество центров окружностей, касающихся данного круга и данной прямой, касающейся этого круга.

Источник — подробнее, больше картинок

Задача. Свободно падающее тело

Тело, свободно падающее без начальной скорости с некоторой высоты, за последнюю секунду падения проходит путь в 7 раз больший чем за первую секунду движения. Найдите высоту, с которой падает тело.

За первую секунду тело пройдёт расстояние равное: $S=\frac<2>=10 \cdot 1/2=5 $ м.

Тогда за последнюю секунду тело пройдёт расстояние равное 35 м. С другой стороны, за последнюю секунду тело пройдет расстояние: $$ \frac <2>— \frac<2>= 35$$

Решив это уравнение получим t = 4 с, откуда S = 80 м

Таким образом, любое падающее тело за первую секунду проходит 5м, за вторую секунду — в 3 раза больше, за третью — в 5 раз больше, за четвертую — в 7 раз больший путь, за пятую — в 9 раз, за шестую — в 11 раз. Арифметическая прогрессия, физики называют это закон нечетных чисел. Путь, пройденный за секунду, тоже образует арифметическую прогрессию с разность 10, что соответствует ускорению свободного падения g.

Задача. Тело, падающее без начальной скорости, за последнюю секунду падения прошло путь s = 35 м. Какую скорость имело тело в момент падения на землю? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение. Время падения = 4 с. Скорость $v = s’ = gt = 40$ м/с.