Что значит найти произведение корней уравнения

Квадратное уравнение. Дискриминант. Теорема Виета.

теория по математике 📈 уравнения

Уравнение вида ax 2 +bx+c=0, где a,b,c – любые числа, причем a≠0, называют квадратным уравнением. Числа a,b,c принято называть коэффициентами, при этом a – первый коэффициент, b – второй коэффициент, c – свободный член.

Квадратное уравнение может иметь не более двух корней. Решить такое уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что их нет.

Дискриминант

Количество корней квадратного уравнения зависит от такого элемента, как дискриминант (обозначают его буквой D).

Нахождение корней квадратного уравнения

Дискриминант – это такой математический инструмент, который позволяет нам определять количество корней. Он выражается определенной формулой:

D=b 2 –4ac

    Если D>0, то уравнение имеет два различных

Корень — осевой, обычно подземный вегетативный орган высших сосудистых растений, обладающий неограниченным ростом в длину и положительным геотропизмом. Корень осуществляет закрепление растения в почве и обеспечивает поглощение и проведение воды с растворёнными минеральными веществами к стеблю и листьям.

Пример №1. Решить уравнение х 2 –2х–3=0. Определяем коэффициенты: а=1, b=–2, c=–3. Находим дискриминант: D=b 2 –4ac=(–2) 2 –41(–3)=4+12=16. Видим, что дискриминант положительный, значит, уравнение имеет два различных корня, находим их:

Пример №2. Решить уравнение 5х 2 +2х+1=0. Определяем коэффициенты: а=5, b=2, c=1. D=b 2 –4ac=2 2 –4=4–20=–16, D 2 –6х+9=0. Определяем коэффициенты: а=1, b=–6, c=9.

D=b 2 –4ac=(–6) 2 –4=36–36=0, D=0, 1

Корень — осевой, обычно подземный вегетативный орган высших сосудистых растений, обладающий неограниченным ростом в длину и положительным геотропизмом. Корень осуществляет закрепление растения в почве и обеспечивает поглощение и проведение воды с растворёнными минеральными веществами к стеблю и листьям.

Теорема Виета

Среди квадратных уравнений встречаются такие, у которых первый коэффициент равен 1 (обратим внимание на пример 1 и 3), такие уравнения называются приведенными.

Приведенные квадратные уравнения можно решать не только с помощью дискриминанта, но и с помощью теоремы Виета.

Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком; произведение корней равно третьему коэффициенту.

Корни с помощью данной теоремы находятся устно способом подбора. Рассмотрим это на примерах.

Пример №4. Решить уравнение х 2 –10х+21=0. Выпишем коэффициенты: а=1, b=–10, c=21. Применим теорему Виета:

Начинаем с произведения корней, которое является положительным числом, значит оба корня либо отрицательные, либо положительные. Предполагаем, что это могут быть либо 3 и 7, либо противоположные им числа. Теперь смотрим на сумму, она является положительным числом, поэтому нам подходит пара чисел 3 и 7. Проверяем: 3+7=10, 37=21. Значит, корнями данного уравнения являются числа 3 и 7.

Пример №5. Решить уравнение: х 2 +5х+4=0. Выпишем коэффициенты: а=1, b=5, c=4. По теореме Виета:

Видим, что произведение корней равно 4, значит оба корня либо отрицательные, либо положительные. Видим, что сумма отрицательная, значит, будем брать два отрицательных числа, нам подходят –1 и –4. Проверим:

Данное уравнение является квадратным. Но в его условии присутствует квадратный

Корень — осевой, обычно подземный вегетативный орган высших сосудистых растений, обладающий неограниченным ростом в длину и положительным геотропизмом. Корень осуществляет закрепление растения в почве и обеспечивает поглощение и проведение воды с растворёнными минеральными веществами к стеблю и листьям.

Записываем обязательно в начале решения, что подкоренное выражение может быть только равным нулю или положительным числом (правило извлечения квадратного

Корень — осевой, обычно подземный вегетативный орган высших сосудистых растений, обладающий неограниченным ростом в длину и положительным геотропизмом. Корень осуществляет закрепление растения в почве и обеспечивает поглощение и проведение воды с растворёнными минеральными веществами к стеблю и листьям.

Решаем полученное неравенство: − х ≥ − 5 , отсюда х ≤ 5 . Следовательно, для ответа мы будем выбирать значения, которые меньше или равны 5.

Решаем наше квадратное уравнение, перенося все слагаемые из правой части в левую, изменяя при этом знаки на противоположные и приводя подобные слагаемые (выражения с квадратным корнем взаимоуничтожаются):

х 2 − 2 х + √ 5 − х − √ 5 − х − 24 = 0

Получим приведенное квадратное уравнение, корни которого можно найти подбором по теореме Виета:

х 2 − 2 х − 24 = 0

Итак, корнями уравнения х 2 − 2 х − 24 = 0 будут числа -4 и 6.

Теперь выбираем корень, обращая внимание на наше ограничение на х, т.е. корень должен быть меньше или равен 5. Таким образом, запишем, что 6 – это посторонний корень, так как 6 н е ≤ 5 , а число минус 4 записываем в ответ нашего уравнения, так как − 4 ≤ 5 .

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Теорема Виета для квадратного уравнения

О чем эта статья:

Основные понятия

Квадратное уравнение — это ax 2 + bx + c = 0, где a — первый коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.

Существует три вида квадратных уравнений:

  • не имеют корней;
  • имеют один корень;
  • имеют два различных корня.

Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение, нужно обратить внимание на дискриминант. Формула для его поиска записывается так: D = b 2 − 4ac. Его свойства:

  • если D 0, есть два различных корня.

В случае, когда второй коэффициент четный, можно воспользоваться формулой нахождения дискриминанта , где .

В математике теоремой принято называть утверждение, у которого ранее было сформулировано доказательство.

Формула Виета

Если в школьной геометрии чаще всего используется теорема Пифагора, то в школьной алгебре ведущую роль занимают формулы Виета. Теорема звучит так:

Рассмотрим квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен 1: . Такие уравнения называют приведенными квадратными уравнениями. Сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равняется свободному члену.

Если дано x 2 + bx + c = 0, где x₁ и x₂ являются корнями, то справедливы два равенства:

Знак системы, который принято обозначать фигурной скобкой, означает, что значения x₁ и x₂ удовлетворяют обоим равенствам.

Рассмотрим теорему Виета на примере: x 2 + 4x + 3 = 0.

Пока неизвестно, какие корни имеет данное уравнение. Но в соответствии с теоремой можно записать, что сумма этих корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком. Он равен четырем, значит будем использовать минус четыре:

Произведение корней по теореме соответствует свободному члену. В данном случае свободным членом является число три. Значит:

Необходимо проверить равна ли сумма корней −4, а произведение 3. Для этого найдем корни уравнения x 2 + 4x + 3 = 0. Воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента:
2 + 4x + 3 = 0″ height=»215″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/E_X403ETh_88EANRWdQN03KRT8yxP2HO4HoCrxj__c8G0DqmNJ1KDRqtLH5Z1p7DtHm-rNMDB2tEs41D7RHpEV5mojDTMMRPuIkcW33jVNDoOe0ylzXdHATLSGzW4NakMkH2zkLE» width=»393″>

Получилось, что корнями уравнения являются числа −1 и −3. Их сумма равняется второму коэффициенту с противоположным знаком, а значит решение верное.
2 + 4x + 3 = 0″ height=»52″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/VzGPXO9B0ZYrr9v0DpJfXwuzeZtjYnDxE_ma76PUC8o7jVWwa8kZjTJhq2Lof0TiJXAp_ny3yRwI_OyRzeucv9xUZ63yoozGPP4xd4OxvElVT7Pt-d6xL5w17e_mQNs5qZJQiwfG» width=»125″>

Произведение корней −1 и −3 по теореме Виета должно равняться свободному члену, то есть числу 3. Это условие также выполняется:
2 + 4x + 3 = 0″ height=»52″ src=»https://lh4.googleusercontent.com/Cq-LCFmY3YGNSan1VF3l3CqIeojoJYAvGAiTBWnzyoZu_xJFrF5NfQ3xCe59apJklw6uYbmQ4lAkBTeC-TJmEGicN3rgGtsezhuqdNiOWjZT39NziOB5uOmQr3cr9-5fNnepdZDo» width=»112″>

Результат проделанных вычислений в том, что мы убедились в справедливости выражения:

Обучение на курсах по математике помогает быстрее разобраться в новых темах и подтянуть оценки в школе.

Доказательство теоремы Виета

Дано квадратное уравнение x 2 + bx + c = 0. Если его дискриминант больше нуля, то оно имеет два корня, сумма которых равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

Докажем, что следующие равенства верны

  • x₁ + x₂ = −b,
  • x₁ * x₂ = c.

Чтобы найти сумму корней x₁ и x₂ подставим вместо них то, что соответствует им из правой части формул корней. Напомним, что в данном квадратном уравнении x 2 + bx + c = 0 старший коэффициент равен единице. Значит после подстановки знаменатель будет равен 2.

    Объединим числитель и знаменатель в правой части.

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

Сократим дробь полученную дробь на 2, остается −b:

Мы доказали: x₁ + x₂ = −b.

Далее произведем аналогичные действия, чтобы доказать о равенстве x₁ * x₂ свободному члену c.

    Подставим вместо x₁ и x₂ соответствующие части из формул корней квадратного уравнения:

Перемножаем числители и знаменатели между собой:

Очевидно, в числителе содержится произведение суммы и разности двух выражений. Поэтому воспользуемся тождеством (a + b) * (a − b) = a 2 − b 2 . Получаем:

Далее произведем трансформации в числителе:

Нам известно, что D = b2 − 4ac. Подставим это выражение вместо D.

Далее раскроем скобки и приведем подобные члены:

Сократим:

Мы доказали: x₁ * x₂ = c.

Значит сумма корней приведённого квадратного уравнения x 2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком (x₁ + x₂ = −b), а произведение корней равно свободному члену (x₁ * x₂= c). Теорема доказана.

Обратная теорема Виета

Когда дана сумма и произведение корней квадратного уравнения, принято начинать подбор подходящих корней. Теорема, обратная теореме Виета, при таких условиях может быть главным помощником. Она формулируется так:

Обратная теорема Виета

Если числа x₁ и x₂ таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x 2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену, то эти числа являются корнями x 2 + bx + c = 0.

Обратные теоремы зачастую сформулированы так, что их утверждением является заключение первой теоремы. Так, при доказательстве теоремы Виета стало понятно, что сумма x₁ и x₂ равна −b, а их произведение равно c. В обратной теореме это является утверждением.

Докажем теорему, обратную теореме Виета

Корни x₁ и x₂ обозначим как m и n. Тогда утверждение будет звучать следующим образом: если сумма чисел m и n равна второму коэффициенту x 2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену, то числа m и n являются корнями x 2 + bx + c = 0.

Зафиксируем, что сумма m и n равна −b, а произведение равно c.

Чтобы доказать, что числа m и n являются корнями уравнения, нужно поочередно подставить буквы m и n вместо x, затем выполнить возможные тождественные преобразования. Если в результате преобразований левая часть станет равна нулю, то это будет означать, что числа m и n являются корнями x 2 + bx + c = 0.

    Выразим b из равенства m + n = −b. Это можно сделать, умножив обе части на −1:

Подставим m в уравнение вместо x, выражение −m − n подставим вместо b, а выражение mn — вместо c:

При x = m получается верное равенство. Значит число m является искомым корнем.

  1. Аналогично докажем, что число n является корнем уравнения. Подставим вместо x букву n, а вместо c подставим m * n, поскольку c = m * n.

    При x = n получается верное равенство. Значит число n является искомым корнем.

Мы доказали: числа m и n являются корнями уравнения x 2 + bx + c = 0.

Примеры

Для закрепления знаний рассмотрим примеры решения уравнений по теореме, обратной теореме Виета.

Дано: x 2 − 6x + 8 = 0.

Для начала запишем сумму и произведение корней уравнения. Сумма будет равна 6, так как второй коэффициент равен −6. А произведение корней равно 8.
2 − 6x + 8 = 0″ height=»59″ src=»https://lh6.googleusercontent.com/tFokx3SM93Hwlr7ZM9BqX1xiHKv_2dUIB9MoNa8RAwSTmQKXdCcqcFXxTZmxNGw7bOVek-RzRXqBkoCqnYMiqIYVwKhfnHeU-7mA03feEqJTlyKB7e-OsTTKgPaOlddfiaTGszcv» width=»99″>

Имея эти два равенства можно подобрать подходящие корни, которые будут удовлетворять как равенству обоим равенствам системы.

Подбор корней удобнее выполнять с помощью их произведения. Число 8 можно получить путем перемножения чисел 4 и 2 либо 1 и 8. Но значения x₁ и x₂ надо подбирать так, чтобы они удовлетворяли и второму равенству тоже.

Можно сделать вывод, что значения 1 и 8 не подходят, так как они не удовлетворяют равенству x₁ + x₂ = 6. Значения 4 и 2 подходят обоим равенствам:

Значит числа 4 и 2 являются корнями уравнения x 2 − 6x + 8 = 0.
2 − 6x + 8 = 0″ height=»57″ src=»https://lh3.googleusercontent.com/rohB7Bvd-elMhTxEUuOhKqLJjqLAvo9VlJxZvOnMeDAHARfKT-SYOWb1WXTTWEN2h0oKbLl6wH7lc0IWL_vH3Si2AJGAGXVn8TPFDT_J1Wu2WeoQ-WP1qgXjCnZ99tWUkK2BOvF2″ width=»64″>

Неприведенное квадратное уравнение

Теорема Виета выполняется только тогда, когда квадратное уравнение является приведённым, то есть его первый коэффициент равен единице:

ax 2 + bx + c = 0, где а = 1.

Если квадратное уравнение не является приведенным, но задание связано с применением теоремы, нужно обе части разделить на коэффициент, который располагается перед x 2 .

  1. Получилось следующее приведенное уравнение:

    Получается, второй коэффициент при x равен, свободный член —. Значит сумма и произведение корней будут иметь вид:

Рассмотрим пример неприведенного уравнения: 4x 2 + 5x + 1 = 0. Разделим обе его части на коэффициент перед x 2 , то есть на 4.

  • Получилось приведённое квадратное уравнение. Второй коэффициент которого равен, а свободный член.
  • Тогда в соответствии с теоремой Виета получаем:
  • Метод подбора помогает найти корни: −1 и
  • Решение уравнении (нахождение корней уравнения)

    Решение уравнении ( нахождение корней уравнения )

    Уравнение – это равенство двух выражений с переменными.

    Решить уравнение –найти корни данного уравнения или доказать, что их нет.

    1. Раскрыть скобки, если они имеются, применяя распределительное свойство

    a ( b + c ) = a b +a c

    ( a + b ) ( c + d ) = a c + a d + b c + b d

    2. Корни уравнения не изменятся, если какое – нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменяя при этом его знак.

    ( Выражения с переменными собираем в одну сторону, числа в другую сторону, меняя знаки выражении и чисел при переходе через знак равенства.) Пример :

    3 ( 2 + 1,5 x ) = 0,5 x + 24

    6 + 4,5 х = 0,5 х + 24

    4,5 х – 0,5 х = 24 – 6

    Пример: вычислите координаты точек пересечения прямой 5 х + 7 у = 105 с осями координат.

    Решение : 1) с осью ОХ точка ( 21 ; 0 )

    у=0 ; 5 х + 7 *0 = 105 отсюда х = 21

    2) с осью ОУ точка ( 0 ; 15 )

    х=0; 5*0+7 у = 105 отсюда у = 15

    Ответ: с осью ОХ точка ( 21 ; 0 ) и с осью ОУ точка ( 0 ; 15 ).

    3. Корни уравнения не изменяются, если обе части уравнения умножить или

    разделить на одно и тоже число, не равное 0

    Пример : ! *4

    Решение рациональных уравнений.

    Пример:

    Пример :

    ОДЗ х (х +1 ) = 0

    разделим на – 1

    х =0,5 не удовлетворяет условию ОДЗ.

    Пример :

    Разложим квадратные трехчлены на множители по формуле ,где — корни квадратного уравнения

    дробь равна 0, если числитель равен 0, а знаменатель не равен 0.

    2x+2+6x – 24 — +4x — x+4=0 О. Д.З.

    + 11x – 18 = 0

    — 11x + 18 = 0

    По теореме Виета

    Отсюда корни данного уравнения 2 и 9.

    Пример : Чему равно произведение корней уравнения

    Решение: Произведение равно нулю, если один из множителей равен 0 .

    и ; ОДЗ

    ОДЗ удовлетворяют три корня и их произведение равно

    преобразуем выражение

    обозначим

    Получаем квадратное уравнение , корни которого 4 и 1,5.

    Отсюда 1)

    2)

    Ответ:

    Решение биквадратных уравнений

    Ответ : -0,5 ; 0,5 ; — 1 ; 1 .

    Пример :

    по теореме Виета

    Отсюда

    x – 2 = — 2 x – 2 = 2

    Ответ : 2 ; -6 ; 1 ; -5 .

    Метод группировки при решений уравнении:

    х +3=0 или х – 2 = 0 или х +2 = 0

    х = — 3 х = 2 х = — 2

    Ответ : — 3 ; — 2 ; 2 .

    Пример :

    Произведение равно 0 , если один из

    множителей равен 0. , решаем квадратное уравнение:

    =0 По теореме Виета имеем

    Решение систем уравнений

    Опр. Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство.

    Методы решение систем уравнений.

    1) графический (строим графики уравнений системы, находим по графикам точки пересечения, координаты точек пересечения будут и решениями системы уравнений ).

    строим отдельно графики прямых 2х+3у=5 и 3х – у = — 9


    Строим графики данных функций в одной системе координат и находим координаты точек пересечения. В данном примере одна точка пересечения и его координаты равны х = — 2 и у = 3 .

    2) метод подстановки ( выражаем одну переменную через другую в одном из уравнении подставляем во второе уравнение и решаем полученное уравнение относительно одной переменной, найденное значение переменной подставляем во второе уравнение и находим вторую переменную. и записываем ответ )

    Пример : решить систему уравнений

    — 5x +2 (7 – 3x)=+4y) – 2y=30

    -5x +14 – 6x = 3 75 + 12y – 2y=30

    -11x = 3 – 14 10y=30 — 75

    — 11x = — 11 10y= — 25

    x=1 y = 7 – 3 *1=4 y= — 2,5 x= 25+4*(- 2,5)=15

    Ответ : х = 1 ; у = 4 Ответ: х = 15 ; у = — 2,5

    3) метод сложения ( умножаем обе части первого уравнения на одно число , обе части другого уравнения на другое число, эти два числа таковы, что при умножении их получаются одинаковые переменные с противоположными коэффициентами )

    Пример : решить систему уравнении

    +

    Ответ : а = 10 b = 5

    Пример : решить систему уравнении

    + 33у= — 165 у = 5

    Ответ : х = — 10 у = 5

    Пример : вычислите координаты точек пересечения прямых

    2 х – 3 у = 7 и 5 х + 4 у =6

    Решение: по условию координаты точек удовлетворяют обоим уравнениям, то есть являются решением системы данных уравнений.

    Прямая y= k x + b проходит через точки А ( — 1 ; 3 ) и В ( 2 ; Напишите уравнение этой прямой.

    Решение : подставляем в уравнение прямой значения координат заданных точек и получаем систему уравнении.

    y = k x +b ; подставляем значения k и b, и получаем уравнение прямой :

    Ответ:

    Пример : решить систему уравнении

    Далее решаем методом сложения

    Подставляем в 1-ое уравнение

    Находим координаты точек пересечения (-2;-1) , (-2;1) , (2;-1) , (2;1)

    Отсюда решаем две системы уравнении.

    Решая методом сложения получаем:

    подставляя в первое уравнение получаем:

    Это же уравнение можно решить методом подстановки.

    пусть получаем

    u-3(4-2u)=9 v=4 – 2*3= — 2

    подставляя значения u и v получаем :

    Ответ: .

    Решение систем уравнений второй степени

    Ответ : ( -3 ; -1 ) и ( 0,7 ; 5,5 )

    Вычислите координаты точек пересечения парабол:

    Чтобы вычислить точки пересечения парабол, надо решить систему уравнении

    Отсюда точки пересечения парабол имеют соответствующие координаты.

    Ответ:

    Уравнения с параметрами:

    Пример : Найдите все значения k , при которых уравнение имеет два корня.

    Решение : Уравнение имеет два корня, если D>0 . Найдем

    Ответ :

    Пример 2: При каком значений m уравнение имеет два корня? Найдите эти корни.

    Решение: Вынесем за скобки х, получаем

    Один из корней равен 0, тогда уравнение имеет один корень при D=0,т. е. 36 – 4m=0, m=9.

    Уравнение имеет один корень равный -3.

    Пример 3: При каких значениях p корни уравнения

    принадлежат промежутку

    Решение: Определяем значения p, при которых данное уравнение имеет два корня.

    при любых значениях p

    Отсюда

    Тогда получаем систему неравенств отсюда , так как p меньший корень, а p+2 больший корень.

    Ответ:

    Пример 4: При каких значениях b уравнение , имеет два различных положительных корня?

    Решение: уравнение имеет два корня, значит дискриминант больше 0.

    Так как по условию корни положительные, то

    Корни положительны, если b+1 2.

    Учитель математики Мари–Куптинской средней школы

    Предлагаемое учебное пособие позволяет подготовится к сдаче единого государственного экзамена (ЕГЭ) по математике. Пособие содержит примеры решений уравнений и систем уравнений.

    Пособие предназначено учащимся старших классов средней школы и учителям.

    Мари – Купта, 2007 год.

    1. Сборник заданий для подготовки к итоговой аттестации в 9 классе.

    2. Итоговая аттестация – 2007 . Предпрофильная подготовка. Под редакцией


    источники:

    http://skysmart.ru/articles/mathematic/teorema-vieta-formula

    http://pandia.ru/text/78/589/48214.php