Экономические задачи в уравнениях и неравенствах

Экономические задачи в курсе математики средней школы

Переход России к рыночным отношениям привел к «экономизации» общества. Термины: предпринимательство, бизнес, банковский кредит, транш, реструктуризация, рефинансирование… вошли в лексикон обычных людей, далёких от «большой» экономики. Проблемы стремительно развивающегося рынка касаются каждого из нас, они демонстрируют нам, что основу нашей жизни составляют экономические отношения, вызывают потребность в экономических знаниях, и как следствие, интерес к законам экономики и реалиям экономических отношений. «Понимание основных экономических принципов сейчас стало еще более актуальным как для отдельных лиц, так и для целых государств» (П. Самуэльсон и В. Нордхауз). Сегодня ученики пытаются понять: «Как продавцы определяют цену на свой товар? Почему они только растут? Почему государство не может их установить так чтобы книги (особенно учебники), игрушки, продукты питания и другие товары были доступны, не только тем, кто имеет «средний» доход по региону? Что хорошего или плохого в изменении цены доллара, о которой нам сообщают по несколько раз в день? Почему с телевизионных экранов твердят, что цены на основные товары не повысятся, а на самом деле они растут так, то, что было доступно вчера, сегодня уже не купишь? Почему в Москве и маленьком посёлке за одну и туже работу платят по разному. Почему изучение в школе азов экономики не обязательно? Это всё реальные вопросы реальных учеников. К сожалению, сегодня учитель школы находится в таком же «экономическом неведении», что и его ученики, и аргументированных ответов на поставленные вопросы учитель дать не может. Об усилении практической направленности школьного курса математики говорим много и постоянно, однако… Я и мои коллеги – обычные учителя обычной средней сельской школы считаем, что пора в школьной программе математического образования сконструировать в рамках стандартов экономическую составляющую школьного курса математики. Под экономической составляющей школьного курса математики мы подразумеваем совокупность простейших экономических понятий, их свойства и специально подобранный набор задач, имеющих реальное экономическое содержание, которые решаются на основании математического содержания программ соответствующих классов, начиная с 5 и до 11 что и сможет обеспечить непрерывную экономическую линию в математике общеобразовательной школы. Однако, для того, чтобы учить школьников в процессе изучения математики еще и элементам экономики необходимо, чтобы к этой работе был готов учитель математики. Сегодня он к этой работе не готов. А это значит, что необходимы, хотя бы дистанционные курсы повышения квалификации для учителей, методические разработки, наборы соответствующих задач, внесение изменений в уже существующие стандарты.
В своей повседневной работе мы находим время для внедрения обозначенной выше идеи.

Приведу примеры задач для такого внедрения.

1. Линейная функция. Линейные уравнения и неравенства

Стоимость 1 оборудования авторемонтной мастерской 4760000 рублей, годовая амортизация 260000 рублей. Выразить стоимость оборудования (У), в зависимости от времени (Х лет) работы мастерской, если амортизационные отчисления остаются постоянной величиной. 2

Издержки производства на 400 единиц продукции составляют 2000 рублей, а на 4000 единиц –16400 рублей. Найти издержки на производство 800; 1000; 3000 единиц продукции, считая, функция издержек линейная.

В фирме «Источник» стоимость (в рублях) колодца из железобетонных колец рассчитывается по формуле , где n – число колец, установленных при рытье колодца. Пользуясь формулой, рассчитайте стоимость колодца из 18 колец.

За 14 часов работы (2 смены) токарь должен был по норме изготовить некоторое количество деталей. Но токарь применил изобретённый им новый способ заточки резца, и его производительность увеличилась на 8 деталей в час, поэтому за 6 часов работы выполнил 1,2 дневной нормы. Найти производительность токаря после применения усовершенствованного резца.

Издержки при перевозке груза по железной дороге вычисляют по формуле , апри перевозке того же груза водным транспортом – по формуле , где х – расстояние перевозок в сотнях километров. Найти, с какого расстояния перевозки водным транспортом будут более экономичными.

Комбайнёр работал 11 дней. После трёх дней работы он применил своё новое приспособление и увеличил дневную производительность труда на 30 центнеров, намолотив за 11 дней 17840 ц пшеницы. Найти дневную производительность комбайнёра до и после применения нового приспособления.

Две бригады фрезеровщиков из 8 и 10 человек за смену изготовили 700 деталей. После повышения производительности труда они стали изготавливать 770 деталей за смену. Найти: а) на сколько процентов увеличилась производительность труда , если каждый рабочий второй бригады до усовершенствования технологии за смену изготавливал на 7 деталей больше, чем рабочий первой бригады; б) среднемесячный заработок рабочего до и после усовершенствования технологии производства, если за каждую деталь оплачивают по 22 рубля, а каждая, изготовленная деталь сверх нормы оплачивается на 50% больше. Число рабочих дней в месяце считать равным 22. 3

2. Системы линейных уравнений с двумя неизвестными

На стройке работали две бригады каменщиков из 8 и 10 человек, которые за месяц заработали за месяц вместе 357600 рублей. Улучшив организацию труда, они повысили производительность на 24% и 20% соответственно. А так как процент повышения зарплаты составляет половину повышения производительности труда, то за месяц вместе они заработали на 38832 рубля больше, чем вначале. Найти месячный заработок рабочих первой и второй бригад до и после улучшения организации труда.

Токарь и его ученик за смену изготовили 80 деталей. Применив новый резец своей конструкции, токарь повысил сменную производительность труда на 20%, а его ученик на 10%, поэтому за смену они изготовили 91 деталь. Найти сменную производительность труда токаря и его ученика до и после применения нового резца.

3. Квадратные уравнения и уравнения, сводящиеся к квадратным уравнениям 4

После двукратного повышения цен на одинаковое число процентов цена 1 м ткани увеличилась с 1620рублей до 2000. На сколько процентов каждый раз повышалась цена 1 м ткани? На сколько процентов повысилась цена 1 м ткани за всё это время? 5

У фермера А общий привес всех поросят за сезон (180 дней) составил 40,5 т, а у фермера Б, где применили аэроионизационные установки, общий привес составил 47,988 т, хотя поросят было на 20 голов меньше. Известно, суточный привес одного поросёнка на второй базе на 120 г больше, чем на первой. Найти: а) количество поросят на каждой ферме; б) среднесуточный привес одного поросёнка на каждой ферме.

Производство овощей в теплицах в хозяйствах области в 2012 году составило 4,3 млн. кг. После усовершенствования агротехнических приёмов выращивания овощей и организации труда, при тех же затратах и с той же площади теплиц урожай овощей в 2013 и 2014 гг. возрастал равномерно, и поэтому в 2014 году овощей было собрано 6,192 млн. кг. На сколько процентов в год повышалась производительность труда каждый год?

4. Прогрессии

За рытьё колодца житель села оплачивает за первый метр глубины 150 рублей, за каждый следующий на 100 рублей больше, чем за предыдущий. Сколько рублей необходимо заплатить за рытьё колодца, если водоносный слой залегает на глубине 10 метров?

Группа школьников решила перечислить детскому дому, расположенному в селе 50000 рублей, которые заработает во время летних каникул, выполняя задания администрации сельского поселения по благоустройству села. За первый день ребята заработали 9000 рублей, а в каждый следующий день зарабатывали на 500 рублей больше, чем в предыдущий. За сколько дней ребята заработают нужную сумму?

5. Производная и её применение

Известно, что прочность балки прямоугольного сечения на горизонтальный изгиб пропорциональна произведению ширины балки на квадрат её высоты.

а) Вычислить для наиболее прочной балки отношение ширины балки к высоте её поперечного сечения , которую можно изготовить из цилиндрического бревна, если его диаметр равен d линейных единиц.
б) Допустим, что для получения проектного запаса прочности при неправильной укладке израсходовали 2100 балок. Вычислить экономию средств за счёт правильной укладки балок, если стоимость одной балки 285 рублей.

Функция полных издержек производства имеет вид , где х – объём производства продукции в условных единицах для данного производства. Определить при каком объёме производства средние издержки имеют наименьшее значение.

6. Определённый интеграл и его применение

А) у– продукция, произведённая работником в интервале времени от а до bчасов, – производительность труда работника в момент времени хчасов, отсчитываемый от начала рабочего дня.
Б) у– количество товара, поступающего на склад в интервале времени от а до bчасов, – среднее количество товара, поступающего на склад за единицу времени.
В) у– расход электроэнергии в течение времени от а до bчасов, – средний расход электроэнергии за единицу времени в киловатт-часах (нагрузка на электростанцию), х –число часов, отсчитываемое от начала суток.
Г) – объём дохода, полученного за tлет при постоянном годовом доходе, равном Nи удельной норме процента, равной i.

Сменная производительность труда бригады рабочих описывается функцией , где t – время в часах. Определить объём выпуска продукции в течение года (240 рабочих дней), если смена длится 7 часов. Вычислить прибыль, если заводская оптовая цена единицы продукции равна 2000 рублей, её себестоимость 1000 рублей, количество бригад – 12.

Потребление электроэнергии (в кВт) населением села с 8 до 18 ч приближённо описывается функцией , где t – время в часах. Вычислить стоимость электроэнергии, потребляемой населением, если стоимость 1 кВт/ч равна 2,72 рубля.

Поступление товара на склад описывается функцией , а реализация этих товаров торгующей организацией описывается функцией , где t – количество дней. Определить запас товара в условных единицах за 60 рабочих дней, если товара на складе на первый день рассматриваемого периода не было.

7. Проценты

Накопление Пусть процентная ставка по вкладу составляет p% годовых. Процентные накопления по вкладу прибавляются к исходной сумме, в этом случае, говорят о накоплении суммы вклада. Накопление суммы происходит или простым или сложным процентом. Если простым процентом, то сумма окончательной выплаты вычисляется по формуле: , где K – первоначальная сумма вклада, за n лет, . Если сложным процентом, то начисление на вклад ведётся не от суммы первоначального вклада, а с учётом предыдущих процентных накоплений. Формула суммы окончательной выплаты: . Выражение называют коэффициентом сложного процента. .

За сколько лет удвоится поголовье крупного рогатого скота, если ежегодный прирост скота 10%.

Известно, что население нашего села возрастает в 3 раза за 20 лет. Определить ежегодный прирост населения села в процентах (считать, что этот процент одинаков).

Фермер 5 мая 2014 года взял в банке 1 млн. рублей в кредит. Схема выплаты кредита: 5 мая каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга, затем фермер производит очередную выплату. Фермер выплатил кредит за два транша 530 тыс. рублей и 643,8 тыс. рублей. Под какой процент банк выдал кредит фермеру

Денежный вклад в банк за год увеличивается на 11%. Вкладчик внес в банк 7000 рублей. В конце первого года он решил увеличить сумму вклада и продлить срок действия договора еще на год, чтобы в конце второго года иметь на счету не менее 10000 рублей. Какую наименьшую сумму необходимо дополнительно положить на счет по окончании первого года, чтобы при той же процентной ставке (11%) реализовать этот план? (Ответ округлите до целых). 6

Подведём итоги

Задачи, приведённые выше, можно и, наверное, нужно применять как при изучении соответствующих тем, так и при их повторении. Они вызывают у школьников интерес, побуждают к изучению математики, формируют экономические понятия на уроках математики; раскрывают экономическую суть вопросов быта, сельского хозяйства, сферы торговых отношений. Решение задач экономического содержания приближает содержание уроков математики к жизненным реалиям, формирует экономический образ мышления и финансовую грамотность обучающихся, способствуют ускорению социальной адаптации учащихся и их интеграции в общество. 7

Источники информации

1. Школьные учебники математики, экономики
2. Типовые экзаменационные варианты 2015 года (Изд. «Легион», «Национальное образование»).

Ответы к задачам

Линейная функция. Линейные уравнения и неравенства

1.
2. 3600р; 4400р; 12400р.
3. 68500р.
4. 28 деталей.
5. с 200 км.
6. 1600ц, 1630ц.
7. 10%;16940р и 20328р; 19481р и 23364р.

Системы линейных уравнений с двумя неизвестными

1. 19200р и 20400р
2. 30дет. и 50 дет; 36дет. и 55 дет.

Квадратные уравнения и уравнения, сводящиеся к квадратным уравнениям

1. на на .

2. 450 поросят, 0,5 кг; 430 поросят, 0,62 кг.
3. на 20%.

1. 6000р.
2. 5 дней.

Производная и её применение

1. 5:7; 171000р.
2. 3.

Определённый интеграл и его применение

1. 415822,176р.
2. 278854,4р.
3. 1536 условных ед.

Простые и сложные проценты

1. лет.
2. 5%.
3. 12%.
4. 1239р.

1 До решения задачи объясняются выделенные слова – термины.
2 Детям сообщается, что ситуация упрощена, не учитывается инфляция.
3 Для воспитания умения «читать» условие задачи полезно в её условии иметь разные величины, заданные одним числом ( 22 рубля и 22 дня).
4 По моему мнению, обязательно нужно решать, хотя бы при фронтальной работе в классе, задачи с «неудобными» данными, максимально приближенными к реальным.
5 Для решения задачи вовсе не обязательно применять формулу сложных процентов
6 В работе приведены задачи, которые решают ученики нашей школы. При желании каждый учитель может придумать (отыскать) достаточно много таких задач. Более того, ученики с удовольствием составляют и свои задачи по данным, им доступным.
7 Благодарю учителя математики школы Степанян Л. Г. за замечания, высказанные по содержанию данной работы.

Как решать экономические задачи егэ по математике профильный уровень

За задание №17 по математике ЕГЭ профильный уровень можно получить 3 балла. Мы рассмотрим как решать экономические задачи ЕГЭ по математике, которые в каждом варианте профильного уровня по математике идут под номером 17.

Решение №17 включает в себя обязательное построение математической модели, то есть это обычная текстовая задача, но с экономическим (финансовым) уклоном и чаще всего с большим количеством вычислений.

Можно выделить несколько блоков заданий:

1. Вклады и кредиты

2. Акции и другие ценные бумаги

3. Методы оптимальных решений

Рассмотрим каждый из вышеперечисленных блоков.

Вклады и кредиты

Вклады и кредиты – самый обширный блок. Здесь вы можете встретить различные схемы возврата кредита или увеличения суммы вклада, и ваша задача – упорядочить данные таким образом, чтобы большой массив текста превратился в удобную математическую схему.

Чтобы правильно решать такие задачи, необходимо владеть формулой сложных процентов. Начисление по этой формуле предполагает, что каждый последующий год процент начисляется не на исходную сумму, а на исходную сумму, увеличенную предыдущим начислением процентов.

Формула выглядит следующим образом:

где FV – будущая сумма.

PV – текущая сумма.

p – процент, в соответствии с которым происходит начисление

n – количество лет начисления процента.

Если начисления происходят не ежегодно, а чаще, например, ежеквартально, формула модифицируется в следующий вид:

,

FV – будущая сумма

PV – текущая сумма

p – процент, в соответствии с которым происходит начисление

n – количество лет начисления процента

m – количество начислений в год (например, m=4, если начисления ежеквартальные).

Давайте отработаем эту формулу на подготовительной задаче.

Задача 1

Алексей положил 100 000 рублей в банк под 6% годовых на 3 года. Какая сумма будет у Алексея через год? Через 2 года? Через 3 года?

Решение:

Рассчитаем по формуле сложного процента сумму через год:

Теперь сумму через 2 года:

Теперь сумму через 3 года:

Более того, вам придётся работать со схемами кредитов/вкладов, поэтому решим более сложную задачу, в которой нужно будет переводить текст в таблицы и уравнения /неравенства.

Задача 2

Вклад в размере 10 млн рублей планируется открыть на четыре года. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером в начале года, а, кроме этого, в начале третьего года и четвёртого годов вклад ежегодно пополняется на одну и ту же фиксированную сумму, равную целому числу миллионов рублей. Найдите наименьший возможный размер такой суммы, при котором через четыре года вклад станет не меньше 28 млн рублей.

Решение:

Пусть искомая сумма составит a млн рублей.

Составим таблицу, чтобы упорядочить данные и построить математическую модель.

По условию, нужно найти наименьшее целое x, для которого выполнено неравенство

14,641 + 2,31a ≥ 28

a ≥

Наименьшее целое число, при котором знак неравенства выполняется, это число 6.

Значит, искомая сумма — 6 млн рублей.

Ответ: 6 млн рублей.

Акции и другие ценные бумаги

Следующий блок, который мы рассмотрим, затрагивает относительно новое понятие ценной бумаги. Что вам нужно знать о ценной бумаге, чтобы решать подобные задания, не вдаваясь в экономические особенности, это то, как она может приносить доход.

Тип 1: когда вы получаете доход от того, что ценная бумага, которую вы купили ранее, растет в цене. Например, сначала ценная бумага стоила 3 000, а через год стала стоить 4 000. Непосредственно этих 4 000 у вас нет, но вы можете продать ценную бумагу за 4 000 и получите больше, чем потратили за год до этого.

Тип 2: когда вы получаете некий процент от прибыли компании за то, что ранее приобрели ценную бумагу этой компании. Если вы являетесь владельцем акции, то доход данного типа вы получаете в форме дивидендов.

Помимо этого дохода вы также можете продать эту ценную бумагу и, если она теперь стоит больше, чем когда вы ее покупали, вы также получите прибыль. Это не все пути получения дохода от ценных бумаг, но других особенностей вам знать не нужно. При необходимости все дополнительные условия будут описаны в самой задаче.

Рассмотрим следующую задачу, в которой как раз фигурирует понятие ценной бумаги.

Задача 3.

Григорий приобрёл ценную бумагу компании за 9000 рублей в начале 2016 года. Компания находится на стадии активного роста, поэтому цена данной бумаги каждый год возрастает на 2000 рублей. В любой момент Григорий может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счёт. Каждый год сумма на счёте будет увеличиваться на 12 %. В начале какого года Григорий должен продать ценную бумагу, чтобы через 15 лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счёте была наибольшей?

Решение:

Продать бумагу нужно тогда, когда прирост стоимости ценной бумаги станет меньше, чем банковский процент. Пусть это случится в год n.

К этому моменту n к изначальной цене акции 9000 прибавится n раз по 2000, тогда на текущий момент её цена составит:

Чтобы получить прирост, который Григорий получит, если хранить деньги в форме акции, необходимо ежегодный прирост (в данной задаче – 2000 рублей) поделить на накопленную к данному моменту сумму.

Прирост денежной суммы в банке всегда одинаков и равен предложенному проценту, то есть 0,12.

Либо можем составить уравнение, которое объединит все строчки нашей таблицы:

По прошествии четырёх лет Григорий должен продать бумагу, то есть в начале 2020 года.

Методы оптимальных решений

Это особый блок, позволяющий максимизировать одну целевую функцию при учёте данных в условии ограничений.

Основные типы заданий в этом блоке:

1. Оптимизация работы на производстве с учётом цен на рынке товара и факторов производства;

2. Многозаводское производство (включая разные заводы/ отели/ другие рабочие пространства);

3. Транспортная задача.

Разберём несколько задач с основными методами решения.

Задача.

У фермера есть 2 поля, площадь каждого из которых составляет 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать пшеницу и ячмень. Урожайность пшеницы на первом поле составляет 500 ц/га, а на втором поле – 300 ц/га. Урожайность ячменя, наоборот, на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором поле – 500 ц/га. При этом известно, что между данными злаками поля можно делить в любом соотношении.

Если известно, что на рынке установилась цена на пшеницу 7000 рублей за центнер, а цена на ячмень 9000 рублей за центнер, то какой наибольший доход фермер может получить?

Решение:

Имеем 2 поля с различными характеристиками.

В целом, продавать ячмень выгоднее, чем продавать пшеницу, так как 9000 > 7000 рублей.

Более того, известно, что на втором поле урожайность ячменя выше, чем урожайность пшеницы (500 ц/га против 300 ц/га). Тогда очевидно, что второе поле полностью фермер займёт ячменём, откуда получит:

10·500· 9000= 45000000 рублей

Ситуация с первым полем не так очевидна.

Продавать ячмень, как и прежде, выгоднее, чем продавать пшеницу. Однако на первом поле урожайность ячменя ниже, чем урожайность пшеницы (300 ц/га против 500 ц/га).

Поэтому необходимо сравнить соотношения этих величин:

Тогда получается, что засеять первое поле пшеницей выгоднее, так как низкая цена компенсируется высокой урожайностью.

Доход с первого поля:

10 · 500 ·7000 = 35000000 рублей

Суммарный доход составит:

35000000 рублей + 45000000 рублей = 80000000 рублей

Ответ: 80000000 рублей

Есть и другие типы заданий, в которых необходимо будет применить не житейские знания, а навыки составления уравнений и нахождения наименьшего/ наибольшего значений функций.

Задача.

На двух заводах есть по 360 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки для обработки чёрных или цветных металлов. На первом заводе один рабочий за час обрабатывает 0,3 кг чёрных металлов или 0,1 кг цветных металлов. На втором заводе для обработки x кг чёрных металлов в день требуется x2 человеко-часов труда, а для обработки у кг цветных металлов в день требуется у2 человеко-часов труда.

Владельцу заводов поступил заказ на обработку металлов, причём 1 кг чёрных металлов ценится заказчиком так же, как 1 кг цветных металлов. Какую наибольшую массу обработанных металлов может за сутки суммарно получить заказчик?

Решение:

Как и дано в условии, 1 кг чёрных металлов ценится заказчиком так же, как 1 кг цветных металлов, что означает, что металлы взаимозаменяемы в пропорции 1:1.

Пусть на втором заводе t рабочих обрабатывают чёрные металлы, тогда (360-t) рабочих обрабатывают цветные металлы.

Знаем, что x2 человеко-часов труда требуется обработки x кг чёрных металлов, а у2 человеко-часов труда требуется в день для обработки у кг цветных металлов.

На первом заводе один рабочий за час обрабатывает 0,3 кг чёрных металлов или 0,1 кг цветных металлов, однако чёрные и цветные металлы для заказчика равнозначны, из чего сделаем вывод, что все 360 рабочих обрабатывают чёрные металлы, то есть 108*5 = 540 кг в день.

Имея соотношение на втором заводе и производительность рабочих на первом заводе, составим функцию возможного количества обработанных металлов:

Необходимо найти наибольшее значение этой функций. Последовательность действий мы уже знаем из темы «Анализ функций». Необходимо:

1. Найти производную функции;

2. Приравнять производную к 0, получить точки, подозрительные на экстремум;

3. Определить знаки производной на полученных промежутках и проверить, какие точки являются точкой максимума, а какие – точкой минимума.

Проведём такую последовательность действий с нашей производственной функцией.

1. 
2. Приведём к общему знаменателю. Приравняем числитель к 0. Возведём в квадрат. Получили единственную точку экстремума.
3. Проверим, является ли она точкой максимума. Видим, что в точке t=180 производная меняет знак с + на -, тогда, по определению, это точка максимума.Итак, на втором заводе 180 рабочих обрабатывают чёрные металлы, тогда 180 рабочих обрабатывают цветные металлы.Поставим данные значения в изначальную целевую функцию. Ответ: 600 кг

Видим, что экономическая задача достаточно разнообразна, но и решать вы её можете абсолютно разными способами – через производные, составление таблиц, схем, выведение формул и простой перебор вариантов.

Самое главное – внимательно прочитать и понять условие.

Примеры решения задач

Задача 1. В 2019 году клиент планирует открыть вклад в банке 1 ноября сроком на 1 месяц под 11% годовых. Какая сумма денег окажется на счёте вклада 1 декабря того же года, если планируемая сумма вклада равна 100 000 рублей? Ответ округлите до двух знаков после запятой.

Решение: При однократном начислении процентов через дней на вклад под годовых в невисокосный год получим сумму

Воспользуемся этой формулой, считаяS₀= 100 000, r = 11 , m = 30 (так как в ноябре 30 дней).

Число в скобках с точностью до 7 знаков после запятой равно 1,0090411, значит, S=100 904,11Таким образом, на счёте вклада будет 100 904 рубля 11 копеек.

Задача 2. Через сколько полных лет у клиента на счету будет не менее 950 000 рублей, если он намерен открыть вклад 31 декабря и планирует каждый год класть на счет 260 000 рублей при условии, что банк раз в год (начиная со следующего года) 31 декабря будет начислять 10% на имеющуюся сумму?

Решение:

Будем последовательно вычислять сумму на счете и упорядочивать данные с помощью таблицы.

Задача 3. По вкладу «А» банк в течение трёх лет в конце каждого года увеличивает на 10% сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» увеличивает эту сумму на 11% в течение каждого из первых двух лет, а на третий год начисляемые проценты изменяются. Найдите наименьшее целое число процентов за третий год по вкладу «Б», при котором по истечении трёх лет этот вклад всё ещё будет выгоднее вклада «А».

Решение:

Пусть на каждый тип вклада была внесена сумма По вкладу «А» сумма каждый год увеличивается на

умножается на коэффициент 1,1.

Тогда по вкладу «А» после первого года сумма станет равна ;

после второго года: 1,21S;

после третьего года: 1,331S.

По вкладу «Б» после первого года сумма станет равна1,11S;

после второго года 1,2321S.

Пусть на третий год по вкладу «Б» банк увеличивает сумму на r%. Тогда после третьего года по вкладу «Б» сумма станет равна

, где r— натуральное число,

коэффициент повышения в третий год.

По условию требуется найти наименьшее целое число процентов за третий год по вкладу «Б», при котором за все три года этот вклад всё ещё останется выгоднее вклада «А», то есть сумма через три года на вкладе «Б» должна быть больше суммы на вкладе «А». Составим неравенство:

Так как r— натуральное число, то наименьший процент равен 9%.

Задача 4. Сергей планирует приобрести ценную бумагу за 7 тысяч рублей. Цена бумаги каждый год будет возрастать на 2 тысячи рублей. В любой момент Сергей сможет продать ценную бумагу и вырученные деньги положить на банковский счет. Каждый год сумма на счете будет увеличиваться на 10%. В течение какого года после покупки Сергей должен продать ценную бумагу, чтобы через 30 лет после покупки этой бумаги сумма на счете стала наибольшей?

Решение.

Во второй год цена ценной бумаги составит: (7+2) тысячи рублей

В третий год (7+2)+2= 7+2∙2 тысячи рублей

В четвертый год (7+2)+2)+2= 7+2∙3 тысячи рублей

.

Сопоставим 10% банковский рост цены бумаги ее ежегодному росту на 2000 рублей.

10% от цены бумаги на

Ценную бумагу стоит продать тогда, когда 10% от цены бумаги станут больше, чем 2 тысячи рублей.

Наименьшее натуральное n, удовлетворяющее этому неравенству, равно 8.

Задача 5.

Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят t 2 тыс. рублей в конце года t (t=1; 2; … ). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться на 20%. В конце какого года пенсионному фонду следует продать ценные бумаги, чтобы в конце тридцатого года сумма на его счёте была наибольшей?

Задачи ЕГЭ по кодированию генетического кода

Задачи на движение

Как подготовиться к профильному экзамену по математике на 100 баллов

Как ребенку-билингву повысить уровень владения русским языком

Как найти процент от числа

Задачи и Сны М. Булгакова в романе «Белая гвардия»

Методы решения систем уравнений и их применение при решении экономических задач

Уметь решать систему уравнений нужно не только и не столько в задачах, начинающихся словами «решить систему …», хотя такие задачи встречаются наиболее часто. Кроме этого, решение многих текстовых задач немыслимо без навыков работы с системами уравнений. Причем зачастую проблема состоит не в том, чтобы записать систему, адекватную текстовому условию задачи, а в том, чтобы эту систему решить!

Решить систему уравнений – это значит найти все её решения или установить, что их нет.

Существует множество методов решения системы уравнений: метод подстановки, метод алгебраического сложения, метод замены переменных, графический метод и др. Подход зависит от типа системы. Так, решение систем линейных уравнений полностью исследовано: у них найдены аналитические методы (метод Крамера) и предложено несколько численных как точных (простейший — метод Гаусса), так и приближённых (метод итераций).

Общего аналитического решения системы нелинейных уравнений не найдено. Существуют лишь численные методы.

При моделировании экономических задач, таких как задачи управления и планирования производства, определения оптимального размещения оборудования, оптимального плана производства, оптимального плана перевозок грузов (транспортная задача), распределения кадров и др., может быть положена гипотеза линейного представления реального мира.

Математические модели таких задач представляются линейными уравнениями. Если задача многомерна, то ее математическая модель представляется системой линейных уравнений.

Данная работа актуальна с точки зрения освоения материала и для практического применения знаний не только в математике, но и в реальных жизненных ситуациях. Например, особенно часто применять такие знания требуется в экономической сфере.

Цель работы – исследовать теоретические и практические основы эффективности использования различных методов решения систем уравнений и их применения при решении экономических задач.

Для достижения указанной цели решаются следующие задачи:

· изучить теоретические основы систем уравнений;

· рассмотреть основные методы решения систем уравнений;

· исследовать эффективность методов на конкретных примерах при решении экономических задач.

Предметом исследования являются методы решения систем уравнения.