Программа элективного курса по математике для 10-го класса «Разнообразные способы решения иррациональных, показательных и логарифмических уравнений и неравенств»

Разделы: Математика

ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА.

На уроках в общеобразовательных десятых классах учащиеся только знакомятся с основными простейшими методами решения уравнений и неравенств. Для решения сложных задач, накопления нестандартных методов и приемов решения не хватает времени. А того объема упражнений, которые обычно предлагаются в учебниках по алгебре и началам анализа для 10-11 классов, и вовсе недостаточно для формирования умения решать уравнения и неравенства (а именно на уравнениях неравенствах построена программа по алгебре 10 класса). С этой точки зрения тема элективного курса «Разнообразные способы решения иррациональных, показательных, логарифмических уравнений и неравенств» весьма актуальна. Ее рассмотрение обобщает опыт изучения в школьном курсе разнообразных способов решения уравнений и неравенств, а также компенсирует достаточно ограниченные возможности базового курса.

Предметом настоящего элективного курса является практика решения более сложных уравнений и неравенств. На спецкурсе добавляются новые, интересные способы и приемы решения (использование свойств функции, метод оценок, метод ОДЗ и др., см. таблицу приложение 1) Изучение этих новых методов на занятиях должны помочь ученику впоследствии увидеть «идеи» при поиске способа решения конкурсных задач.

Также на занятиях у учащихся есть возможность получить навыки самостоятельной работы в плане отбора, поиска и решения нестандартных заданий. Таким образом, делая выборку нестандартных уравнений и неравенств, ребята получают навыки работы с математической литературой.

Главные цели представленного элективного курса — подготовка к сдаче ЕГЭ по математике, расширение и углубление знаний учащихся по предмету, повышение уровня математической подготовки выпускников средней школы.

Основные учебные цели представленного элективного курса:

1. Изучить различные методы и приемы решения данного класса уравнений и неравенств.
2. Рассмотреть разнообразные способы решения одного и того же уравнения (неравенства).
3. Применять уже обозначенные методы и приемы на практике.
4. Выработать навыки решения более сложных заданий, наиболее встречаемых в вузовской практике.
5. Продолжить исследовательскую работу, заключающуюся в поиске «интересных» уравнений и неравенств.

Развивающие и познавательные цели элективного курса:

• дальнейшее формирование интереса к предмету;
• повышение математической культуры учащихся;
• дальнейшее развитие навыков самостоятельной работы
• развитие творческих способностей школьников (ведь если ученик с успехом разбирает и решает трудные задачи, то с определенной уверенностью можно предположить, что у него имеются определенные математические способности).

К концу работы по программе элективного курса учащиеся должны четко знать основные способы решения уравнений и неравенств, уметь быстро определить метод решения данного уравнения и неравенства; а в случаях, если способов решения несколько, найти альтернативный вариант. Также итогом совместной работы учителя и учеников должна явиться «копилка» интересных уравнений и неравенств. И результатом этой работы может служить самостоятельная подготовка отдельных сообщений по предложенным темам на заключительном семинаре.

УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН.

Разнообразные способы решения иррациональных, показательных, логарифмических уравнений и неравенств.
I полугодие 10 класса, 17 часов.

Карточки с задания к Практикумам смотри в Приложении 2.

СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММЫ.

1. Решение алгебраических уравнений и неравенств с помощью замены переменных. Решение алгебраических уравнений и неравенств высших степеней. Возвратные уравнения (1ч). Повторение способа замены неизвестных как одного из самых основных при решении уравнений и неравенств. Краткое повторение теории по теме « Многочлены». Схема Горнера. Решение возвратных уравнений.

2. Решение иррациональных уравнений (5ч).

2.1 Метод ОДЗ. Метод оценки. Использование свойств функции (1ч).

Исследование области определения функций, входящих в иррациональное уравнение (метод ОДЗ). Исследование множества значений функций, входящих в уравнение (метод оценки). Комбинированное применение метода ОДЗ и метода оценки.

Использование свойств монотонности функции. Основные правила для реализации этого метода.

2.2 Возведение в степень обеих частей иррационального уравнения. Замены. Переход к решению систем уравнений (1ч).

Уравнения, решаемые возведением обеих частей в шестую степень. Возведение обеих частей в куб по формуле . Случаи появления посторонних корней при использовании формулы .

Переобозначение иррациональных выражений и сведение к системам алгебраических уравнений.

Замена неизвестных. Комбинированное применение метода замены и использования монотонности функции.

2.3 Разложение на множители при решении иррациональных уравнений. Замены(1ч).

Метод разложения на множители в комбинации с уже изученными способами решения. Переход к модулям при разложении на множители иррациональных выражений.

Замены, приводимые к решению однородных уравнений. Интересные замены.

2.4 Освобождение от иррациональности при решении уравнений.

Деление или умножение иррационального уравнения на выражения с неизвестной(1ч).

Уравнения, решаемые с помощью освобождения от иррациональности в знаменателях дробей. Домножение обеих частей на сопряженное для одной из частей выражение.

Примеры уравнений, где метод деления на выражение с неизвестной применяется в сочетании с методом оценок. Решение однородных иррациональных уравнений. Рассмотрение случаев перехода к равносильным и неравносильным уравнениям при отработке этих методов.

2.5 Практикум 1 «Решение иррациональных уравнений» (1ч).

Уравнения, при решении которых необходимо комплексное применение знаний по всем изученным методам решения.

3. Решение показательных и логарифмических уравнений (5ч).

3.1 Использование свойств функции. Графический способ решения.

Решение показательных и логарифмических уравнений как квадратное относительно выбранной величины(1ч).

Комбинированное применение свойств монотонности с графической интерпретацией.

Графический способ решения в сочетании с методом оценок.

Решение уравнений как квадратное относительно одной переменной, где другая является параметром.

3.2 Использование взаимно-обратных величин. Замены. Метод оценок (1ч).

Показательные уравнения, содержащие взаимно-обратные выражения.

Замены при решении таких уравнений.

Метод оценок при решении показательных уравнений.

Графическое решение более сложных показательных уравнений.

3.3 Логарифмирование обеих частей уравнения. Использование прогрессий (1ч).

Оптимальный выбор основания при решении уравнений методом логарифмирования частей уравнения.

Использование основных формул арифметической, геометрической и бесконечно убывающей геометрической прогрессии для решения показательных и логарифмических уравнений.

Метод оценок при решении логарифмических уравнений.

Решение показательных и логарифмических уравнений, содержащих неизвестную в основании.

3.4 Решение однородных уравнений. Замены(1ч).

Интересные замены вида при решении показательных уравнений.

Замены в логарифмических уравнениях, приводимые к решению однородных уравнений.

Случаи нестандартных замен в показательных уравнениях.

3.5 Потеря и приобретение корней при решении логарифмических уравнений. Переход к новым основаниям(1ч).

Рассмотрение формул , где , и

.

.

Получение и решение уравнений равносильных для исходных с применением этих формул.

Потеря и приобретение корней при решении логарифмических уравнений с использованием этой формулы.

Логарифмические уравнения, решаемые с применением формулы:

.

Нестандартные логарифмические уравнения.

3.6 Практикум 2 «Решение показательных и логарифмических уравнений» (1ч).

Решение уравнений с использованием всех изученных методов.

4. Решение иррациональных, показательных и логарифмических неравенств (4ч).

4.1 Иррациональные неравенства (1ч).

Классическая схема решения иррациональных неравенств вида

и . Решение более сложных иррациональных неравенств, содержащих несколько корней. Решение неравенств вида

и , где — алгебраическое или дробно- рациональное неравенство.

4.2 Замены при решении логарифмических, показательных и иррациональных неравенств(1ч).

4.3 Решение иррациональных, показательных и логарифмических неравенств методом интервалов (1ч).

Решение неравенств вида с помощью составления систем или методом интервалов.

4.4 Решение показательных и логарифмических неравенств, содержащих неизвестную в основании.

4.5 Семинар « Нестандартные уравнения и неравенства».

Рабочая программа элективного курса по математике Тема: «Иррациональные уравнения и неравенства» 9 класс

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Раменская средняя общеобразовательная школа»

Директор МБОУ « Раменской СОШ»

элективного курса по математике

Тема: «Иррациональные уравнения и неравенства»

Пояснительная записка

Элективный курс «Иррациональные уравнения и неравенства» предназначен для 9 класса, своим содержанием сможет привлечь внимание учащихся, которым интересна математика, а также позволит хорошо подготовиться к продолжению обучения в старшей школе и поступлению в высшие учебные заведения. Содержание курса включает материал о различных способах решения (даже нестандартных) иррациональных уравнений и неравенств. Этот курс поможет проанализировать различные подходы к решению. В данном курсе учащиеся знакомятся с решением неравенств обобщенным и эффективным методами, что позволяет быстро и эффективно решать целый класс неравенств повышенной сложности, переводя их тем самым в разряд стандартных задач.

Данный курс рассчитан на 34 часа

Количество часов в неделю: 1

Целью данного элективного курса является: дать учащимся 9-х классов возможность показать значимость знаний по математике, подготовить учащихся к продолжению образования.

Для этого необходимо решать задачи:

— создать в совокупности с основными разделами курса базу для развития познавательных и творческих способностей учащихся;

— научить применять полученные знания при выполнении нестандартных заданий;

— ознакомить учащихся с различными способами решения иррациональных уравнений и неравенств;

— повышение самооценки учащимися собственных знаний по математике;

— выработать навыки самостоятельной работы.

Данный элективный курс позволит так же повысить познавательный интерес к предмету и приобрести конкретные практические навыки; перейти от репродуктивного уровня усвоения материала (простого решения уравнений и неравенств) к творческому; научить применять знания при выполнении нестандартных заданий; научить логически мыслить учащихся. Программа элективного курса охватывает и расширяет некоторые изучаемые темы предмета « Алгебра и начала математического анализа» в старшей школе, это позволит подготовить учащихся к продолжению образования.

Ожидаемые результаты обучения:

— точно и грамотно формулировать теоретические положения и излагать собственные рассуждения в ходе выполнения заданий;

— формирование практических навыков по применению способов решения иррациональных уравнений и неравенств;

— умение выбрать соответствующий метод решения иррациональных уравнений и неравенств.

Распределение курса по темам:

1.Решение простейших иррациональных уравнений. (4ч.)

Определение иррационального уравнения. Примеры иррациональных уравнений. Свойства, на котором основано решение иррациональных уравнений. Область определения иррационального уравнения. Проверка корней.

2. Решение более сложных иррациональных уравнений. (7ч. )

Введение подстановки других переменных.. Возведение обеих частей уравнения в третью степень. Решение уравнений, содержащих корень квадратный в корне квадратном. Графическое решение уравнения.

3. Нестандартные способы решения иррациональных уравнений. ( 8 ч. )

Использование систем уравнений при решении. Умножение и деление частей уравнения на выражения, сопряженные знаменателям.

4. Основные свойства и решения иррациональных неравенств. ( 5 ч. )

Область определения неравенства. Основные свойства иррациональных неравенств.

5. Решение более сложных иррациональных неравенств. ( 8 ч. )

Решение неравенства с помощью графика. Применение логического анализа в решении. Применение подстановки.

6. Итоговый тест. ( 2 ч. )

Характеристика основных видов деятельности ученика (на уровне учебных действий) по теме

Плановые сроки прохождения темы

Фактические сроки (и/или коррекция)

Решение простейших иррациональных уравнений.

Определение иррационального уравнения. Рассмотреть примеры иррациональных уравнений, свойство, на котором основано решение иррациональных уравнений. Область определения иррационального уравнения. Проверка корней.

Решение более сложных иррациональных уравнений

Введение подстановки других переменных. Возведение обеих частей уравнения в третью степень. Решение уравнений, содержащих корень квадратный в корне квадратном. Графическое решение уравнения.

Нестандартные способы решения иррациональных уравнений

Использование систем уравнений при решении. Умножение и деление частей уравнения на выражения, сопряжённые знаменателям.

Основные свойства и решения иррациональных неравенств

Область определения неравенств. Рассмотреть основные свойства иррациональных неравенств.

Решение более сложных иррациональных неравенств

Решение неравенств с помощью графика. Применение логического анализа в решении. Применение подстановки.

1. Григорьева для подготовки к олимпиадам. Волгоград. «Учитель»,2005

2. Кривоногов задания по математике. М. : « 1 сентября», 2003.

3. Шарыгин курс по математике 10. М.: « Просвещение». 1989.

4. Шахмейстер уравнения и неравенства. С — Петербург. 2003.

Иррациональные уравнения и неравенства

Название: Иррациональные уравнения и неравенства
Автор(ы): А. Х. Шахмейстер
Серия: Математика. Элективные курсы
Описание: Это пособие адресовано для углубленного изучения школьного курса математики, содержит огромное количество разноуровневого тренировочного материала. В книге представлена программа для осуществления элективных курсов в профильных и предпрофильных классах.

Издательство: МЦНМО, 2008

Пояснительная записка

Рабочая программа элективного курса «Иррациональные уравнения и неравенства» составлена на основе авторской программы А.Х Шахмейстер а, опубликованной в сборнике Математика. Элективные курсы . «Иррациональные уравнения и неравенства» (МЦНМО, 2008) и предназначена для предпрофильной подготовки в 9 классе.

Своим содержанием элективный курс сможет привлечь внимание учащихся, которым интересна математика, а также позволит хорошо подготовиться к продолжению обучения в старшей школе и поступлению в высшие учебные заведения. Содержание курса включает материал о различных способах решения (даже нестандартных) иррациональных уравнений и неравенств. Этот курс поможет проанализировать различные подходы к решению. В данном курсе учащиеся знакомятся с решением неравенств обобщенным и эффективным методами, что позволяет быстро и эффективно решать целый класс неравенств повышенной сложности, переводя их тем самым в разряд стандартных задач.

Рабочая программа рассчитана на 17 учебных часа в год (0,5 часа в неделю).

дать учащимся 9-х классов возможность определиться с выбором профиля дальнейшего обучения в старшей школе, при этом показать значимость знаний по математике.

создать в совокупности с основными разделами курса базу для развития познавательных и творческих способностей учащихся;

научить применять полученные знания при выполнении нестандартных заданий;

ознакомить учащихся с различными способами решения иррациональных уравнений и неравенств;

повысить самооценку учащимися собственных знаний по математике;

выработать навыки самостоятельной работы.

Данный элективный курс позволит так же повысить познавательный интерес к предмету и приобрести конкретные практические навыки; перейти от репродуктивного уровня усвоения материала (простого решения уравнений и неравенств) к творческому; научить применять знания при выполнении нестандартных заданий; научить логически мыслить учащихся. Программа элективного курса охватывает и расширяет некоторые изучаемые темы предмета « Алгебра и начала математического анализа» в старшей школе, это позволит подготовить учащихся к продолжению образования.

Решение простейших иррациональных уравнений.

Решение более сложных иррациональных уравнений.

Нестандартные способы решения иррациональных уравнений .

Основные свойства и решения иррациональных неравенств.

Решение более сложных иррациональных неравенств .

Содержание программы элективного курса

1.Решение простейших иррациональных уравнений.

Определение иррационального уравнения. Примеры иррациональных уравнений. Свойства, на котором основано решение иррациональных уравнений. Область определения иррационального уравнения. Проверка корней.

2.Решение более сложных иррациональных уравнений.

Введение подстановки других переменных. Возведение обеих частей уравнения в третью степень. Решение уравнений, содержащих корень квадратный в корне квадратном. Графическое решение уравнения.

3.Нестандартные способы решения иррациональных уравнений .

Использование систем уравнений при решении. Умножение и деление частей уравнения на выражения, сопряженные знаменателям.

4.Основные свойства и решения иррациональных неравенств.

Область определения неравенства. Основные свойства иррациональных неравенств.

5.Решение более сложных иррациональных неравенств.

Решение неравенства с помощью графика. Применение логического анализа в решении. Применение подстановки.

Курс позволит школьникам:

систематизировать, расширить и укрепить свои знания по предлагаемым темам,

приобрести конкретные практические навыки по применению способов решения иррациональных уравнений и неравенств,

выбрать соответствующий метод решения иррациональных уравнений и неравенств,

научиться решать разнообразные задачи различной сложности,

точно и грамотно формулировать теоретические положения и излагать собственные рассуждения в ходе выполнения заданий,

наиболее качественно подготовиться к сдаче государственной итоговой аттестации.

Задания для подготовки к олимпиадам

Нестандартные задания по математике.

М. : « 1 сентября», 2003.

Решение простейших иррациональных уравнений

Формировать умение решать простейшие и более сложные иррациональные уравнения

Методы и способы решения иррациональных уравнений

Решать иррациональные уравнения

Решение простейших иррациональных уравнений

Формировать умение решать простейшие и более сложные иррациональные уравнения

Методы и способы решения иррациональных уравнений

Решать иррациональные уравнения

Решение более сложных иррациональных уравнений

Формировать умение решать простейшие и более сложные иррациональные уравнения

Методы и способы решения иррациональных уравнений

Решать иррациональные уравнения

Решение более сложных иррациональных уравнений

Формировать умение решать простейшие и более сложные иррациональные уравнения

Методы и способы решения иррациональных уравнений

Решать иррациональные уравнения

Решение более сложных иррациональных уравнений

Формировать умение решать простейшие и более сложные иррациональные уравнения

Методы и способы решения иррациональных уравнений

Решать иррациональные уравнения

Нестандартные способы решения иррациональных уравнений

Формировать умение решать простейшие и более сложные иррациональные уравнения нестандартными способами

Методы и способы решения иррациональных уравнений

Решать иррациональные уравнения

Нестандартные способы решения иррациональных уравнений

Формировать умение решать простейшие и более сложные иррациональные уравнения нестандартными способами

Методы и способы решения иррациональных уравнений

Решать иррациональные уравнения

Нестандартные способы решения иррациональных уравнений

Формировать умение решать простейшие и более сложные иррациональные уравнения нестандартными способами

Методы и способы решения иррациональных уравнений

Решать иррациональные уравнения

Нестандартные способы решения иррациональных уравнений

Формировать умение решать простейшие и более сложные иррациональные уравнения нестандартными способами

Методы и способы решения иррациональных уравнений

Решать иррациональные уравнения

Основные свойства и решения иррациональных неравенств

Формировать умение применять основные свойства решения иррациональных неравенств

Методы и способы иррациональных неравенств

Решать иррациональные неравенства

Основные свойства и решения иррациональных неравенств

Формировать умение решать неравенства

Методы и способы иррациональных неравенств

Решать иррациональные неравенства

Решение более сложных иррациональных неравенств

Формировать умение решать неравенства

Методы и способы иррациональных неравенств

Решать иррациональные неравенства

Решение более сложных иррациональных неравенств

Формировать умение решать неравенства

Методы и способы иррациональных неравенств

Решать иррациональные неравенства

Решение более сложных иррациональных неравенств

Формировать умение решать неравенства

Методы и способы иррациональных неравенств

Решать иррациональные неравенства

Решение более сложных иррациональных неравенств

Формировать умение решать неравенства

Методы и способы иррациональных неравенств

Решать иррациональные неравенства

Контроль знаний, умений и навыков

Возведение в степень (1)

Уединение радикала (2)

Введение новой переменной (3) (подстановка)

Уравнения, содержащие радикалы (4)

Уравнения вида = В(х) равносильно системе, состоящей из уравнения А(Х) = В²(х) и неравенства В(х) 0, то есть: = В(х) )

Пример1. Решите уравнение

=1.

Решение. =1.

Пример2. Решите уравнение

= -1.

Данное уравнение не имеет решения, так как = -1 ⇔

Второе условие этой

системы не выполняется ни при одном

Ответ: решений нет.

Обратим внимание на то, что при этом ОДЗ выполняется автоматически и его можно не писать, а условие В(х) ≥ 0 необходимо проверить.

Смысл таких преобразований в сведении данного иррационального уравнения к рациональному уравнению.

Пример 1Решите уравнение

+ =6.

Решение. Найдём О.Д.З.

= 6- .

6 – ≥ 0,

Возведём в квадрат обе части уравнения:

15-х=36-12 +3-х,

12 =24.

Ещё раз возведём в квадрат обе части

= 2,

( )²=2²,

Найденное значение х удовлетворяет области допустимых значений уравнения, так как

В некоторых уравнениях нет необходимости возводить в квадрат обе части, т.к. получившееся уравнение может оказаться громоздким. Здесь лучше сделать замену переменных. Рассмотрим на примере:

х²+3х-18+4 =0.

у-12 +4 =0,

4 =12 – у.

Возведём в квадрат обе части уравнения, получим

16у = 144- 24у + у²,

у 1 =36 не прин [0;12].

Основной метод решения таких уравнений является последовательное возведение в квадрат обеих частей уравнения, используя формулы сокращенного умножения.

Пример. —

— = 1,

( — )³ =1³,

(х+45) –(х-16) – 3(х+45)(х-16) =1.

— =1.

х+45- х +16 — 3 =1,

3 = 60,

=20,

х 1 =80, х 2 = — 109.

Методы решения иррациональных уравнений

Карточки для самостоятельной работы.

Карточки уровня А.

х+ = 0

2. = х+2

Ответ: .

-1 = х –

2.1-2х+3 = 4

Вариант №1. х + =0.

х+ =0.

Изолируем квадратный корень от других членов уравнения, получим:

= — х, ⇒ 1-3х²=х², ⇒ 4х²=1, ⇒ х²= , ⇒ х= ,

х= — . Проверка. 1) х= , + =0 ⇒ + = 1⇒ 1≠0, неверн0, х= — не является корнем исходного уравнения.

2)х= — ,- + = 0, ⇒ 0=0,верно, х= — — корень исходного уравнения . Ответ: — .

2. = х+2.

= х+2. Перейдём к равносильной системе (х+5)=(х+2)²,

х+2 ≥ 0;

х ≥ — 2. х ≥ -2,

х²+3х-1 = 0; х= ,

х= ; х= .

Ответ : .

– 1 = х – .

— 1 = х – .

Изолируем квадратный корень от других членов уравнения, получаем:

=х + 1, ⇒ 2х+5=(х+1)², ⇒ х²=4, ⇒ х=2,

Проверка. 1) х=2, -1 = 2 — ⇒ — 1 = 2 – 3 ⇒ — 1 = — 1 –верно, х=2 – корень исходного уравнения.

2)х= — 2, — 1 =- 2 — , ⇒ — 1 ≠ -3 – неверно, х = — 2- не является корнем исходного уравнения.

1 – 2х + 3 = 4.

2х + 3 = 4.

Выполним замену. Пусть =у, у ≥ 0, тогда получим уравнение

у² + 3у – 4 =0. По теореме Виета у 1 =1, у 2 = -4.

Значение у 2 = -4 не удовлетворяет условию у ≥ 0.

= 1; 1-2х=1; х=0.