Элективный курс по математике уравнение

Программа элективного курса «Элементарные алгебраические уравнения и их применение». 7-й класс

Класс: 7

Предполагаемый элективный курс по предпрофильной подготовке учащихся посвящен одной из главных тем, составляющей фундамент современной математики – уравнениям и системам уравнений, решению текстовых задач методом уравнений, решению уравнений, содержащих модуль и уравнениям с параметрами.

Цель данного элективного курса – прояснить и дополнить школьный материал, связанный с уравнениями, с системами уравнений, представить систематизацию уравнений по видам, по степени сложности.

Программа (позволяет познакомить учащихся) дает возможность учащимся:

• получить представления об уравнениях как математическом аппарате решения разнообразных задач из математики, смежных областей знаний.
• овладеть такими понятиями как “уравнение”, “системами уравнений”, усвоить понятие равносильность уравнений, “уравнение с модулем”, “уравнение с параметром”.
• освоить основные приемы решения рациональных уравнений, систем, получить начальные представления о решении уравнений с параметром, уравнений с модулем.
• на примере квадратных уравнений ознакомится с историей создания математических задач, с представлением о формуле как алгоритме вычисления.

Программный материал разделен на 7 разделов:

1. Решение уравнений с одной переменной.
2. Решение систем уравнений с двумя неизвестными. Графический способ.
3. Решение уравнений с модулем.
4. Решение квадратных уравнений.
5. Решение дробно-рациональных уравнений.
6. Решение уравнений с параметром.
7. Целые уравнения и их решение.

В последнее время в материалах выпускных экзаменов, ЕГЭ и на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения, предполагаются задания по теме “Уравнения второй степени”, содержащие параметр. Задачи такого типа вызывают затруднения у учащихся, так как практических заданий по данной теме в школьных учебниках мало. В предполагаемом программном материале рассматриваются простейшие квадратные уравнения с параметром и способы их решения.

Другие не менее важным понятием математики является понятие модуля числа и аспекты его применения. Также рассматриваются различные методы решения уравнений с модулем, основанные на его определении, свойствах, интерпретации.

Содержание спецкурса помогает учащимся понимать, что уравнения широко применяются для описания на математическом языке разнообразных различных ситуаций, уметь решать линейные, квадратные уравнения и простейшие рациональные уравнения, сводящие к ним, системы уравнений с двумя переменными, уравнения с модулем, уравнения с параметрами, понимать графическую интерпретацию решения уравнений и систем уравнений, уметь решать несложные текстовые задачи с помощью составления уравнений.

Таким образом, основная роль элективного курса “Элементарные алгебраические уравнения и их применение” состоит в подготовке учащихся к успеху обучению в старших классах технического профиля.

Основной способ представления занятий: лабораторно-педагогический работы, семинарские занятия с элементами лекций, собеседования.

Основной способ оценивания результативности учащихся: самостоятельные и контрольные работы, рейтинговые оценки, психолого-педагогический анализ наблюдений деятельности учащихся.

Тема 1. Решение уравнений с одной переменной

На первых занятиях сообщается цель и значение данного элективного курса. Выявляются и систематизируются виды школьных уравнений, вводится понятие уравнение с одной переменной и алгоритм его решения. Особенное внимание уделяется, нахождению подобных членов уравнения и принципу нахождения неизвестной, отрабатываются навыки деления следующих 3-х видов:

а) х=а : 0, нет решения (на нуль делить нельзя);

б) х=0 : а, х=0 – один корень, равный нулю;

в) х=0 : 0, б/к много решений.

Рассматриваются и вводятся навыки решения текстовых задач с помощью составления уравнений, способы задания неизвестной величины с помощью переменной, раскрывается смысл понятия “уравнение”, отрабатываются навыки уравнения левой и правой частей данного (высказывания), выражения.

Вводится понятие системы двух уравнений с двумя неизвестными. Прослеживается формулировка навыков решения данной системы с помощью двух способов:

а) подстановки;
б) сложения.

При этом требуются равное овладение и применение учащимися обоих способов решения. Рассматриваются решение задач с помощью составления систем уравнений. Можно работать со сборником экзаменационных задач.

Тема 3. Решение квадратных уравнений.

Задается алгоритм решения квадратных уравнений. Основные формулы: дискриминант, формулы корней квадратно уравнения. Рассматриваются неполные квадратные уравнения, правила их решения. В этой же теме рассматриваются задачи, решаемые с помощью составления квадратных уравнений.

Тема 4. Решение уравнений с модулем.

Вводится понятие модуля числа. Рассматриваются уравнения, решаемые с помощью понятия “расстояние между двумя точками”, и уравнения, решаемые с помощью “критических точек”.

Тема 5. Решение дробно-рациональных уравнений.

Основное внимание уделяется нахождению ОДЗ функции. Отрабатываются навыки освобождения от знаменателя дроби. Рекомендуются решения уравнений из заданий вступительных экзаменов в ВУЗы центра и Сибири. Рассматриваются задачи на составление дробно-рациональных уравнений.

Тема 6. Решение уравнений с параметром.

Вводится понятие параметра. Рассматриваются уравнения, содержащие параметр. Рассматривается аналитический способ, графический способы решения. Выполняются самостоятельные, контрольные работы.

Тема 7. Решение целых уравнений.

Рассматриваются простейшие целые уравнения, вводится алгоритм решения данных типов уравнений:

а) деление на х 2 и составления соответствующей подстановки;
б) преобразование левой части в произведение двух множителей и соответствующего составления четырех систем уравнений и запись ответа данного уравнения.

Тема 8. Итоговое занятие.

Проводится зачет, выставляются рейтинговые оценки по результатам самостоятельных, контрольных работ.

I. Фрагмент занятия по теме “Решения уравнения с модулем”:

1. Вспомним определения модуля:

Отметим, что термин “модуль” (от лат. modulus-мера) ввел английский математик Р. Котес (1682-1716), а знак модуля немецкий математик К. Вейерштрасс (1815-1897) в 1841г.

Рассмотрим примеры, иллюстрирующие методы решения уравнений:

1. Решите уравнение:

Пользуясь определением модуля, данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений.

а) 3х-2=1	или	б) 3х-2= -1
3х=3	3х=1
х=1	х=

Ответ: 1;

2. Решите уравнение:

3. Решите уравнение:

В отличие от предыдущего задания в правой части данного уравнения содержится выражение с переменной.

Таким образом, данное уравнение равносильно системе:

Ответ:

4. Решите уравнение:

Ответ:

Упражнение для самостоятельной работы:

В обыденной жизни мы употребляем слово “параметр” как величину, характеризующую какое-либо основное свойство процесса, явления или системы, машины, прибора (напряжение, электрическое сопротивление, масса, коэффициент трения и др.).

В математике параметр-это постоянная величина, выраженная буквой, сохраняющая свое постоянное значение лишь в условиях данной задачи. Числовые значения этой величины позволяют выделить определенный элемент (кривую) из множества элементов (кривых) того же ряда. Например, в уравнении х 2 +у 2 =r 2 величина r является параметром окружности.

В задачах с параметрами наряду с неизвестными фигурируют величины, численные значения которых хотя и не указаны конкретно, но считаются известными и заданными на некотором числовом множестве. При этом параметры, входящие в условие, существенно влияют на логический и технический ход решения и форму ответа. Интересная часть решения задачи — выявить, как зависит ответ от параметра.

С параметрами мы уже встречались, когда вводили понятие:

• функция прямая пропорциональность: у=kx (х и у – переменные, k – параметр, k);
• линейная функция: у=kx+b (х и у – переменные, k и b – параметры);
• линейное уравнение: ax+b=0 (х – переменная, a и b – параметры);
• уравнение первой степени: ax+b=0 (х – переменная, a и b – параметры, а0);
• квадратное уравнение: ax 2 +bx+c=0 (x – переменная, а,b и с – параметры, а0).

Решить уравнение f(х;а)=0 с параметром а – значит для каждого действительного значения а найти все решения данного уравнения или установить, что их нет.

Договоримся все значения параметра а, при которых уравнение не имеет решений.

Многочлен ах 2 +bх+с, где а0,а,b,с – действительные числа, называют квадратным трехчленом.

Уравнение вида ах 2 +bх+с=0, где а0,а,b,с – действительные числа, называется квадратным.

Число D = b 2 – 4ас называется дискриминантом квадратного трехчлена ах 2 +bх+с, а также дискриминантом уравнения

1. При каких значениях с уравнение х 2 +2х+с=0 не имеет корней?

Ответ: (1;).

2. При каких значениях k уравнение х 2 +kх+9=0 имеет корни?

х 2 +kх+9=0
D
D=k 2 – 36
k 2 – 36
(k – 6) (k+6)

Ответ: (; — 6] U [6; ).

3. Определить все значения параметра а, при котором уравнение 2ах 2 – 4(а+1)х+4а+1=0 имеет один корень.

Если а=0, то данное уравнение является линейным -4х+1=0 с единственным корнем х=.

Если а0, то исходное уравнение является квадратным и имеет единственное решение при D=0.

Ответ: 0; — ; 2.

4. Определите, при каких значениях k один из корней уравнения х 2 +(k – 1)х+k 2 – 4=0 равен нулю.

Если свободный член равен нулю, то один из корней уравнения х 2 +(k – 1)х+k 2 – 4=0 будет нулевой.

Следовательно, если k=2 или k= — 2, то данное уравнение имеет один корень, равный нулю.

Элективный курс по математике «Уравнения»
элективный курс по алгебре (9 класс) на тему

Предлагаемый элективный курс «Уравнения» позволяет осуществлять задачи предпрофильной подготовки учащихся 9 классов. Курс рассчитан на 34 часа.

Данный элективный курс направлен, прежде всего, на удовлетворение индивидуальных образовательных интересов, потребностей и склонностей каждого школьника в математике, способствует удовлетворению познавательных потребностей школьников в методах и приёмах решения нестандартных задач. Содержание курса углубляет «линию уравнений» в школьном курсе математики и не дублирует программу базового и профильного изучения алгебры.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Предлагаемый элективный курс «Уравнения» позволяет осуществлять задачи предпрофильной подготовки учащихся 9 классов. Курс рассчитан на 34 часа.

Данный элективный курс направлен, прежде всего, на удовлетворение индивидуальных образовательных интересов, потребностей и склонностей каждого школьника в математике, способствует удовлетворению познавательных потребностей школьников в методах и приёмах решения нестандартных задач. Содержание курса углубляет «линию уравнений» в школьном курсе математики и не дублирует программу базового и профильного изучения алгебры.

Именно поэтому при изучении данного элективного курса у девятиклассников повысится возможность намного полнее удовлетворить свои интересы и запросы в математическом образовании. Этот курс позволяет выпускнику основной школы приобрести необходимый и достаточный набор умений по решению уравнений. Целесообразность введения данного элективного курса состоит и в том, что содержание курса, форма его организации помогут школьнику через практические занятия оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы и предоставят ему возможность работать на уровне повышенных возможностей.
Элективный курс «Уравнения» позитивно влияет на мотивацию девятиклассника к учению, развивает его учебную мотивацию по предметам естественно-математического цикла. Задания, предлагаемые программой данного элективного курса, носят исследовательский характер и способствуют развитию навыков рационального мышления, способности прогнозирования результатов деятельности.

В курсе систематизированы теоретические и практические основы знаний и умений «линии уравнений», рассматриваются комбинированные уравнения, уравнения, в которых присутствуют элементы прогрессий.

• углубление знаний учащихся о различных методах решения уравнений и базовых математических понятий, используемых при обосновании того или иного метода решения;
• формирование у школьников компетенций, направленных на выработку навыков самостоятельной и групповой исследовательской деятельности.

• Классификация способов решения нестандартных уравнений, углубление теоретических основ школьной математики для решения каждого вида уравнений.
• Интеллектуальное развитие учащихся, формирование качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых человеку для полноценной жизни в обществе.
• Развитие мыслительных способностей учащихся: умения анализировать, сопоставлять, сравнивать, систематизировать и обобщать.
• Воспитание личности в процессе освоения математики и математической деятельности, развитие у учащихся самостоятельности и способности к самоорганизации.

Для реализации целей и задач данного элективного курса предполагается использовать следующие формы учебных занятий: лекции, семинары, практикумы.
Оперативную коррекцию в овладении учебной деятельностью можно провести на уроках-практикумах. Урок-практикум – своеобразная самостоятельная работа, вариант, объем заданий учащиеся выбирают сами, исходя из уровня усвоения материала, мотивации развития, норм оценок. Каждому ученику предоставляется право проверить правильность решения каждого задания, получить консультацию учителя. Учитель выступает как субъект педагогической деятельности, помощник, а не контролер. Ученик управляет своей деятельностью, своим развитием, формируя качества субъекта учения и самовоспитания.
Требования к уровню освоения содержания курса

В результате изучения курса учащиеся овладевают следующими знаниями, умениями и способами деятельности:

• имеют представление о математике как форме описания и методе познания действительности;
• умеют анализировать, сопоставлять, сравнивать, систематизировать и обобщать;
• умеют самостоятельно работать с математической литературой;
• знают основные приемы решения нестандартных уравнений, понимают теоретические основы способов решения уравнений;
• умеют решать нестандартные уравнения различными методами;
• умеют представлять результат своей деятельности, участвовать в дискуссиях;
• умеют проводить самоанализ деятельности и самооценку ее результата.

Смысл предпрофильного курса заключается в предоставлении каждому ученику «индивидуальной зоны потенциального развития», поэтому – нельзя требовать от каждого ученика твердого усвоения каждого «нестандартного приема». Специальный зачет или экзамен по курсу не предусмотрен, но предлагаются некоторые варианты выполнения учениками зачетных заданий:

1. Решение учеником в качестве индивидуального домашнего задания предложенных учителем задач из того списка, что завершает каждый модуль и называется «Упражнения для самостоятельной работы», т.к. осознание и присвоение учащимися достигаемых результатов происходит с помощью рефлексивных заданий. Подбор индивидуальных заданий осуществляется с учетом уровневой дифференциации, причем выбор делают сами ученики, оценивая свои возможности и планируя перспективу развития.

2. Решение группой учащихся в качестве домашнего задания предложенных учителем задач из того же раздела. Работа в группе способствует проявлению интереса к учению как деятельности.
Учащимся, ориентированным на выполнение заданий более высокого уровня сложности, предлагается:

• Самостоятельное изучение некоторых вопросов курса с последующей презентацией.
• Самостоятельное решение предложенных задач с последующим разбором вариантов решений.
• Самостоятельное построение метода, позволяющего решить предложенную задачу.
• Самостоятельный подбор задач на изучаемую тему курса из дополнительной математической литературы.

В ходе решения этих заданий учащиеся должны показать понимание теоретических основ способов решения уравнений и уметь решать задания из «Упражнений для самостоятельной работы» (подбор индивидуальных заданий осуществляется с учетом уровневой дифференциации).

В структуре изучаемой программы выделяются следующие основные разделы:

• Линейные уравнения;
• Квадратные уравнения;
• Уравнения, содержащие модуль;
• Уравнения высших степеней.

Содержание основных разделов:

1. Линейные уравнения: Линейные уравнения с одним неизвестным и приводящиеся к ним. Уравнения, приводящиеся к линейным.
2. Квадратные уравнения: Решение квадратных уравнений с иррациональными корнями и приводящихся к ним. Уравнения, приводящиеся к квадратным. Решение квадратных уравнений и приводящихся к ним.
3. Уравнения, содержащие модуль: Решение уравнений, содержащих модуль.
4. Уравнения высших степеней : Метод подстановки. Биквадратные уравнения. Применение теории делимости для решения уравнений. Решение уравнений высших степеней. Возвратные уравнения. Некоторые способы решения уравнений

Рабочая программа элективного курса по математике «Методы решений уравнений» 10 класс

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

э лективного курса «Методы решений уравнений»

2017-2018 учебный год

Элективный курс «Методы решений уравнений» разработан Дрогаченко Т.В., учителем математики МОУ «СОШ с углубленным изучением иностранных языков №56» г.Саратова.

Уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему. Действительно, уравнения не только имеют важное теоретическое значение, но и служат чисто практическим целям. Подавляющее большинство задач о пространственых формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений. Овладевая способами их решения, мы находим ответы на различные вопросы из науки и техники (транспорт, сельское хозяйство, промышленность, связь и т.д.). Таким образом, уравнение, как обшематематическое понятие, многоаспектно, причем, ни один из аспектов нельзя исключить из рассмотрения, особенно если речь идет о вопросах школьного математического образования. Ввиду важности и обширности материала, связанного с понятием уравнения, его изучение в современной методике математики организовано в содержательно-методическую линию. Однако программой школьного курса математики не предусмотрены обобщение и систематизация знаний об уравнениях и методах их решения, полученных учащимися за весь период обучения. Это вызывает потребность изучения элективного курса «Методы решения уравнений».

Курс рассчитан на учащихся 10-11 классов общеобразовательных школ, проявляющих интерес к изучению математики.

Курс позволит школьникам систематизировать, расширить и укрепить знания, связанные с уравнениями, подготовиться для дальнейшего изучения тем, использующих это понятие, научиться решать разнообразные задачи различной сложности, способствует выработке и закреплению навыков работы на компьютере.

Здесь рассматриваются вопросы формирования понятий уравнения, общих и частных методов их решения, взаимосвязи изучения уравнений с числовой, функциональной и другими линиями школьного курса математики. Учителю курс поможет наиболее качественно подготовить учащихся к математическим олимпиадам, сдаче ЕГЭ, экзаменов при поступлении в вузы.

Программа элективного курса предполагает знакомство с теорией и практикой рассматриваемых вопросов и рассчитана на 34 часа: 10 часов лекций и 24 часа практических занятий.

Содержание курса состоит из семи разделов, включая введение и итоговое занятие. Учитель в зависимости от уровня подготовленности учащихся, уровня сложности изучаемого материала и восприятия его школьниками, может взять для изучения не все темы, увеличив при этом количество часов на изучение других. Учитель также может изменить уровень сложности представленного материала.

Программа содержит темы творческих работ и список литературы по предложенным темам.

В процессе изучения данного курса предполагается использование различных методов активизации познавательной деятельности школьников, а также различных форм организации их самостоятельной работы.

Результатом освоения программы курса является представление школьниками творческих, индивидуальных и групповых работ на занятии по вопросам практического применения теории решения уравнений в различных областях наук, а также Интернет тестирование по контрольно-измерительным материалам ЕГЭ на итоговом занятии.

Цель курса : обобщение и систематизация, расширение и углубление знаний по решению уравнений различными методами, приобретение практических навыков выполнения заданий с модулем, с параметрами, повышение уровня математической подготовки школьников.

— вооружить учащихся системой знаний по решению уравнений;

— сформировать навыки применения данных знаний при решении разнообразных задач различной сложности;

— подготовить учащихся к сдаче ЕГЭ;

— формировать навыки самостоятельной работы, работы в малых группах;

— формировать навыки работы со справочной литературой;

— формировать умения и навыки исследовательской деятельности;

— способствовать развитию алгоритмического мышления учащихся;

— способствовать формированию познавательного интереса к математике.

Место в учебном плане.

Согласно учебному плану школы курс преподается за счет часов школьного компонента. Всего 35 часов в год (1 час в неделю).

( 1 час в неделю, всего 35 ч.)

Цели и задачи курса. Знакомство с литературой, темами творческих работ. Требования, предъявляемые к слушателям курса. Аукцион «Что я знаю о методах решения уравнений?».

2. Рациональные уравнения (7ч).

Равносильность уравнений. Линейные уравнения. Решение линейных уравнений с параметром. Теорема Виета. Решение квадратных и кубических уравнений с помощью теоремы Виета и ее следствий. Решение уравнений методом разложения на множители. Решение уравнений методом разложения на множители. Решение рациональных уравнений с помощью замены переменной. Дробно — рациональные уравнения. Графический и функциональный методы решения уравнений.

Метод индукции при решении уравнений. Решение уравнений с использованием формул арифметической и геометрической прогрессий.

3. Уравнения, содержащие знак абсолютной величины (11ч).

Основные методы решения уравнений с модулем: раскрытие модуля по определению; переход от исходного уравнения к равносильной системе; возведение в квадрат обеих частей уравнения; метод интервалов; графический метод; использование свойств абсолютной величины. Уравнения вида: |f(x)| = a, f(|x|) = a , a є R ; |f(x)| = g( x ) и |f(x)| = |g( x )|.

Метод замены переменных при решении уравнений, содержащих знак абсолютной величины. Метод интервалов при решении уравнений, содержащих знак абсолютной величины. Уравнения вида: |f ₁ (x)| ± |f ₂ (x)| ± … ±|f _n (x)| = a , где a є R , |f ₁ (x)| ± |f ₂ (x)| ± … ±|f _n (x)| = g(x).

Способ последовательного раскрытия модуля при решении уравнений, содержащих «модуль в модуле». Графическое решение уравнений, содержащих знак абсолютной величины. Использование свойств абсолютной величины при решении уравнений. Уравнения с параметрами, содержащие знак абсолютной величины. Защита решенных олимпиадных заданий.

4. Иррациональные уравнения (7ч).

Иррациональные уравнения. Метод возведения обеих частей уравнения в степень корня. Метод возведения обеих частей уравнения во вторую степень (один раз или дважды). Метод введения новой переменной при решении иррациональных уравнений. Исключение радикалов в иррациональном уравнении домножением на сопряженный множитель. Метод использования монотонности функций. Метод сравнения множеств значений. Применение неравенства Коши. Защита решенных олимпиадных заданий. Искусственные приемы решения иррациональных уравнений.

5. Тригонометрические уравнения (6ч).

Тригонометрические уравнения. Простейшие уравнения. Основные виды тригонометрических уравнений. Основные методы их решения. Решение тригонометрических уравнений методом разложения на множители. Тригонометрические уравнения, приводимые к квадратным.

Тригонометрические уравнения, приводимые к однородным. Решение тригонометрических уравнений с использованием различных тригонометрических формул. Графический и функциональный методы решения тригонометрических уравнений. Универсальная тригонометрическая подстановка. Тригонометрические уравнения с параметрами. Тригонометрические уравнения, содержащие знак абсолютной величины. Выбор корней тригонометрических уравнений.

6 . Вопросы практического применения теории решения уравнений в различных областях наук (1ч).

7. Итоговое повторение (1ч).

Требования к уровню усвоения учебного материала.

В результате изучения элективного курса «Методы решения уравнений» учащиеся получают возможность знать, понимать и уметь:

— определения уравнения уравнения, корней уравнения, равносильности уравнений;

— основные цепочки преобразований в равносильные;

— различные методы решения уравнений;

— алгоритмы решения уравнений, содержащих переменную под знаком модуля, уравнений с параметрами;
— решать уравнения различными методами.

Башмаков М.И. Уравнения и неравенства. – М.: ВЗМШ при МГУ, 1983.

Виленкин Н.Я. и др. Алгебра и математический анализ. 11 кл. – М.: Просвещение, 1993.

Галицкий М.Л. и др. Сборник задач по алгебре 8 – 9 кл. – М.: Просвещение, 1995.

Говоров В.М. и др. Сборник конкурсных задач по математике. – М.: Просвещение, 1986.

Мерзляк А.Г. и др. Алгебраический тренажер. – М.: Илекса, 2001.

Дорофеев Г.В. Сборник заданий для проведения письменного экзамена по алгебре и началам анализа за курс средней школы. М.: Дрофа, 2006.

Игошин В.И., Демин С.Е., Исаева Л.Ф., Костаева Т.В., Корнеева А.О., Пронин П. Н. Интенсивно повторяем математику. Саратов: МВУИП «Сигма-плюс», 1993.

Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10 – 11 кл. – М.: Мнемозина 2014.

Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике 10-11 кл. – М.: Просвещение, 1989

Ястребинецкий Г.А. Задачи с параметрами. — М.: Просвещение, 1986.

Г.И Глейзер. «История математики в школе». — М.: Просвещение, 1984.

Издательский дом «Первое сентября». Газета «Математика», №15, 16, 2006.