Элективный курс уравнения высших степеней

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС ПО МАТЕМАТИКЕ «РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ» ДЛЯ 10-ых КЛАССОВ
рабочая программа по алгебре (10 класс) на тему

Элективный курс «Решение уравнений высших степеней» рассчитан на обучающихся 10-ых классов, которые интересуются математикой и хотят глубже познакомиться с ее идеями и ме­тодами. Курс «Решение уравнений высших степеней» строится по программе повышенного уровня изучения математики, знакомит обучающихся с такими разделами математики, которые традиционно не входят в школьную про­грамму.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Пояснительная записка к элективному курсу

Рабочая элективного курса по математике в 10 классе составлена на основе программы элективного курса «Решение уравнений высших степеней».

Составитель: Козлова Ираида Александровна, учитель математики МОУ СОШ №17

Всего часов на изучение программы 34

Количество часов в неделю 1 час

ПРОГРАММА ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА ПО МАТЕМАТИКЕ

«РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ»

ДЛЯ 10-ых КЛАССОВ

Элективный курс «Решение уравнений высших степеней» рассчитан на обучающихся 10-ых классов, которые интересуются математикой и хотят глубже познакомиться с ее идеями и методами. Курс «Решение уравнений высших степеней» строится по программе повышенного уровня изучения математики, знакомит обучающихся с такими разделами математики, которые традиционно не входят в школьную программу. Наряду с основной задачей обучения математике — обеспечением прочного и сознательного овладения обучающимися системой математических знаний и умений — данный курс предусматривает формирование устойчивого интереса к предмету, выявление и развитие математических способностей, ориентацию на профессии, существенным образом связанные с математикой.

-помочь повысить уровень понимания и практической подготовки по таким вопросам, как алгебраические уравнения и обращение с многочленами;

-создать в совокупности с основными разделами курса базу для развития способностей обучающихся;

-помочь осознать степень своего интереса к предмету и оценить возможности овладения им с точки зрения дальнейшей перспективы.

-научить обучающихся решать уравнения высших степеней;

-помочь овладеть рядом технических и интеллектуальных математических умений на уровне свободного их использования;

-помочь школьнику оценить свой потенциал с точки зрения дальнейшей образовательной перспективы.

Данный курс рассчитан на 34 часа, предполагает компактное и четкое изложение теории вопроса, решение типовых задач, самостоятельную работу. В программе приводится примерное распределение учебного времени, план занятий. Основные формы организации учебных занятий — лекция, объяснение, консультирование, практическая работа, семинар. Разнообразный дидактический материал позволяет отбирать дополнительные задания для обучающихся разной степени подготовки: уровень сложности задач варьируется от простых до конкурсных и олимпиадных. Все занятия направлены на развитие интереса школьников к предмету, расширение представлений об изучаемом материале, на решение новых и интересных задач. Программа способствует развитию познавательных интересов, мышления школьников, предоставляет возможность подготовиться к сознательному выбору будущей профессии, связанной с математикой.

Тема 1. Многочлены и полиномиальные алгебраические уравнения (6 часов)

Занятия 1 — 2 . Многочлены. Степень многочлена. Обобщенная теорема Виета. Теорема Безу. Корни многочленов. Следствия из теоремы Безу: теоремы о делимости на двучлен и о числе корней многочленов.

Занятия 3 — 4. Нахождение рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами.

Занятие 5. Схема Горнера.

Занятие 6. Выполнение тренировочных упражнений, самостоятельная работа.

Тема 2. Методы решения уравнений (17 часов)

Занятие 7. Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) уравнением f(x) = g(x).

Занятия 8 — 9. Разложение на множители.

Занятия 10 — 11. Введение новой переменной.

Занятие 12. Функционально – графический метод.

Занятие 13. Подбор корней.

Занятие 14. Применение формул Виета.

Занятие 15. Определение кубического уравнения. Решение кубических уравнений с помощью метода группировки.

Занятие 16. Решение кубических уравнений с помощью теоремы Безу.

Занятие 17. Решение кубических уравнений с помощью схемы Горнера.

Занятие 18. Решение кубических уравнений с помощью разложения левой части уравнения методом неопределённых коэффициентов.

Занятие 19. Решение кубических уравнений с помощью формулы Кардано.

Занятие 20. Уравнения четвертой степени. Биквадратные уравнения.

Занятие 21. Решение равнений четвертой степени с помощью теоремы Безу.

Занятие 22. Уравнения четвертой степени. Метод неопределенных коэффициентов.

Занятие 23. Выполнение тренировочных упражнений, самостоятельная работа.

Тема 3. Частные случаи решения уравнений высших степеней (8 часов)

Занятие 24. Решение уравнений высших степеней с помощью понижения степени переменной. Двучленные уравнения.

Занятия 25 — 26. Возвратные уравнения, симметрические уравнения.

Занятие 27. Однородные уравнения.

Занятие 28. Решение уравнений высших степеней методом неопределенных коэффициентов.

Занятие 29. Решение уравнений высших степеней методом сдвига.

Занятие 30. Графический метод решения уравнений высших степеней.

Занятие 31. Решение уравнений высших степеней указанными способами. Выполнение тренировочных упражнений, самостоятельная работа.

Тема 4. Решение разнообразных задач по всему курсу (3 часа)

Занятия 32 — 34. Решение разнообразных задач по всему курсу. Итоговая проверочная работа.

Календарно – тематическое планирование

на 2014 – 2015 учебный год

Многочлены и полиномиальные алгебраические уравнения

Многочлены. Степень многочлена. Обобщенная теорема Виета. Теорема Безу. Корни многочленов. Следствия из теоремы Безу: теоремы о делимости на двучлен и о числе корней многочленов.

Многочлены, Степень многочлена. Обобщенная теорема Виета. Теорема Безу. Корни многочленов. Следствия из теоремы Безу: теоремы о делимости на двучлен и о числе корней многочлена. Нахождение рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами. Схема Горнера .

Нахождение рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами.

Выполнение тренировочных упражнений, самостоятельная работа.

Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) уравнением f(x) = g(x).

Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) уравнением f(x) = g(x).

Разложение на множители.

Введение новой переменной.

Функционально – графический метод.

Определение кубического уравнения. Решение кубических уравнений с помощью метода группировки. Решение кубических уравнений с помощью теоремы Безу. Решение кубических уравнений с помощью схемы Горнера.

Решение кубических уравнений с помощью разложения левой части уравнения методом неопределённых коэффициентов.

Решение кубических уравнений с помощью формулы Кардано.

Метод неопределенных коэффициентов.

Разложение на множители.

Введение новой переменной.

Функционально – графический метод.

Применение формул Виета.

Определение кубического уравнения. Решение кубических уравнений с помощью метода группировки.

Решение кубических уравнений с помощью теоремы Безу.

Решение кубических уравнений с помощью схемы Горнера.

Решение кубических уравнений с помощью разложения левой части уравнения методом неопределённых коэффициентов.

Решение кубических уравнений с помощью формулы Кардано.

Уравнения четвертой степени. Биквадратные уравнения.

Решение равнений четвертой степени с помощью теоремы Безу.

Уравнения четвертой степени. Метод неопределенных коэффициентов.

Выполнение тренировочных упражнений, самостоятельная работа.

Решение уравнений высших степеней с помощью понижения степени переменной. Двучленные уравнения.

Возвратные уравнения, симметрические уравнения.

Биквадратные уравнения. Решение уравнений высших степеней с помощью понижения степени переменной. Двучленные уравнения. Возвратные уравнения, симметрические уравнения. Однородные уравнения. Решение уравнений высших степеней методом неопределенных коэффициентов и методом сдвига. Графический метод решения уравнения высших степеней.

Решение уравнений высших степеней методом неопределенных коэффициентов.

Решение уравнений высших степеней методом сдвига.

Решение уравнений высших степеней методом сдвига.

Решение уравнений высших степеней указанными способами. Выполнение тренировочных упражнений, самостоятельная работа.

Решение разнообразных задач по всему

Решение разнообразных задач по всему курсу.

Нахождение рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами. Биквадратные уравнения. Решение уравнений высших степеней с помощью понижения степени переменной. Двучленные уравнения. Возвратные уравнения, симметрические уравнения. Однородные уравнения. Решение уравнений высших степеней методом неопределенных коэффициентов и методом сдвига. Графический метод решения уравнения высших степеней.

Итоговая проверочная работа.

ЛИТЕРАТУРА ДЛЯ УЧИТЕЛЯ

1. Белл Э.Т. Творцы математики: пособие для учителей: пер. с англ. / Э.Т. Белл. М.: Просвещение, 1979.

2. Болтянский В.Г. Лекции и задачи по элементарной математике / В.Г. Болтянский, Ю.В. Сидоров, М.И. Шабунин. М.: Наука, 1971.

1. 3. Галицкий, М.Л. Планирование учебного материала для VIII класса с углубленным изучением математики: метод. пособие / М.Л. Галицкий, А.М. Гольдман, Л.И. Звавич. М., 1988.
2. Гусев В.А. Внеклассная работа по математике в 6—8 классах: кн. для учителя / В.А. Гусев. М.: Просвещение, 1984.
3. Дорофеев Г.В. Избранные вопросы элементарной математики: пособие по математике для поступающих в вузы / Г.В. Дорофеев, М.К. Потапов, Н.Х. Розов. М: Наука, 1973.
4. Задачи по математике. Уравнения и неравенства: справ. пособие / В.В. Вавилов, И.И. Мельников, С.Н. Олехник, П.И. Пасиченко. М.: Наука, 1987.
5. Звавич Л.И. Алгебра и начала анализа. 8—11 кл.: пособие для шк. с углубл. изуч. математики / Л.И. Звавич, Л.Я. Шляпочник, М.В. Чинкина. М.: Дрофа, 1999.
6. Математика для поступающих в вузы: методы решения задач по элементарной математике и началам анализа / А.И. Громов, В.М. Савчин. М.: Изд-во Рос. ун-та дружбы народов, 1997.
7. Рыбников К.А. Возникновение и развитие математической науки: пособие для учителей / К.А. Рыбников. М.: Просвещение, 1979.

10. Сивашинский И.Х. Теоремы и задачи по алгебре и элементарным функциям/И.X. Сивашинский. М.: Наука, 1971.

ЛИТЕРАТУРА ДЛЯ ОБУЧАЮЩИХСЯ

1. Аверьянов Д.И. Математика: большой справ. для шк. и поступающих в вузы / Д.И. Аверьянов, П.И. Алтынов, Н.Н. Баврин. 2-е изд. М.: Дрофа, 1999.
2. Алгебра. 8 класс: учебник для общеобразоват. учеб. заведений / К.С. Муравин, Г.К. Муравин, Г.В. Дорофеев. М.: Дрофа, 1997.
3. Алгебра. 8 класс: учеб. пособие для учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. математики / Н.Я. Виленкин, Л.Н. Виленкин, Г.С. Сурвилло [и др.]. М.: Просвещение, 1995.
4. Алгебра. 9 класс: учеб. пособие для учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. математики / Н.Я. Виленкин, Г.С. Сурвилло, А.С. Симонов, А.И. Кудрявцев. М.: Просвещение, 1996.
5. Галицкий М.Л. Сборник задач по алгебре для 8—9 классов: учеб. пособие для учащ. шк. и кл. с углубл. изуч. математики / М.Л. Галицкий [и др.]. 3-е изд. М.: Просвещение, 1995.
6. За страницами учебника математики: арифметика, алгебра, геометрия: кн. для учащ. 10—11 кл. общеобразоват. учреждений / Н.Я. Виленкин, Л.П. Шибасов, З.Ф. Шибасова. М.: Просвещение: АО «Учеб. лит.», 1996.
7. Карп А.П. Сборник задач по алгебре для учащихся 8—9 классов школ с углубленным изучением математики / А.П. Карп. СПб.: Образование, 1993.
8. Свечников А.А. Путешествие в историю математики, или Как люди научились считать: книга для тех, кто учит и учится / А.А. Свечников. М.: Педагогика-Пресс, 1995.
9. Черкасов, О.Ю. Математика: интенсивный курс подготовки к экзамену / О.Ю. Черкасов, А.Г. Якушев. 3-е изд., испр. и доп. М.: Рольф: Айрис-пресс, 1998.

10. Шабунин М.И. Пособие по математике для поступающих в вузы / М.И. Шабунин. М.: Лаб. базовых знаний, 1999.

11. Шарыгин Н.Ф. Учебное пособие для 10 классов общеобразовательных учреждений / Н.Ф. Шарыгин. М.: Просвещение, 1994.

Урок алгебры в 10-м классе (занятие элективного курса) по теме «Методы решения уравнений высших степеней»

Презентация к уроку

На занятии изучается методика решения уравнений высших степеней. Рассматриваются два метода: разложение на множители и замена переменной. Понижение степени уравнений с помощью деления многочленов по схеме Горнера и приведение различных уравнений к замене переменной. Дана историческая справка исследования уравнений высших степеней. Представлена презентация урока.

Метод разложения на множители.

Этот метод основан на применении теоремы Безу. Если число α является корнем многочлена P(x) степени n, то его можно представить в виде P(x) = (x — α)Q(x), где Q(x) — многочлен степени (n-1).Теорема Безу: “Остаток от деления многочлена Р(х) на двучлен (x — α) равен P(α), т.е. значению многочлена при x = α” Таким образом, если известен хотя бы один корень уравнения Р(х)=0 степени n, то с помощью теоремы Безу можно свести задачу к решению уравнения степени (n-1), понизить степень уравнения. Теорема. Пусть несократимая дробь p/q является корнем уравнения a₀x n + a₁x n-1 + . + a_x-1x+ a_n = 0 с целыми коэффициентами, тогда число p – является делителем свободного члена a_n, а q – делителем старшего коэффициента a₀. У многочлена с целыми коэффициентами целые корни являются делителями свободного члена. Таким образом, зная корень многочлена, его легко разложить на множители, т.е. разделить P(x) на (x — α) “углом” или по схеме Горнера.

Элективный курс «Решение уравнений высших степеней» 9 класс

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №15»

г. Мичуринска Тамбовской области

Рабочая программа элективного курса по математике «Решение уравнений высших степеней» 9класс

Составлена учителем математики

Власовой Ириной Анатольевной

Математическое образование в системе основного общего образования занимает одно из ведущих мест, что определяется безусловной практической значимостью математики, ее возможностями в развитии и формировании мышления человека, ее вкладом в создание представлений о научных методах познания действительности.

Актуальным остается вопрос дифференциации обучения математике, позволяющий, с одной стороны, обеспечить базовую систематическую подготовку, а с другой — удовлетворить потребности каждого, кто проявляет интерес и способности к предмету.

Программа курса «Решение уравнений высших степеней» позволяет сделать достаточно полный обзор изученных типов уравнений и предполагает рассмотрение таких вопросов, которые не входят в школьный курс математики, но необходимы при дальнейшем ее изучении.

Рассмотрение различных видов уравнений и способов их решения будет способствовать развитию логического мышления, приобретению опыта работы с заданиями более высокой по сравнению с обязательным уровнем сложности, формированию математической культуры учащихся.

ЦЕЛИ ИЗУЧЕНИЯ КУРСА.

привить интерес к изучению математики;

расширить кругозор учащихся;

показать возможность использования школьных знаний для решения более
сложных математических задач;

подготовить учащихся к обучению в классах физико-математического
профиля.

Для достижения поставленных целей в процессе обучения решаются следующие задачи:

приобщить учащихся к работе с математической литературой;

выделять логические приемы решения уравнений и способствовать их
осмыслению, развитию образного и ассоциативного мышления.

Курс предназначен для учащихся 9 классов, рассчитан на 17 часов аудиторного времени.

Курс призван помочь ученику оценить как свой потенциал с точки зрения перспективы обучения в классах физико-математического профиля, так и повысить уровень его общей математической подготовки.

КАЛЕНДАРНО — ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ .

Всего часов : 17. Практические занятия : 8. Лекции: 5.

Способы разложения многочленов на множители.

Решение уравнений способом разложения левой части на множители.

Решение уравнений способом разложения левой части на множители.

Решение уравнений способом разложения левой части на множители.

Самостоятельная работа №1.

Решение уравнений методом замены переменной.

Решение уравнений методом замены переменной.

Решение уравнений методом замены переменной.

Самостоятельная работа №2.

Решение уравнений с модулем.

Решение уравнений с модулем.

Решение уравнений с модулем.

Самостоятельная работа №3.

Графическое решение уравнений.

Графическое решение уравнений.

Графическое решение уравнений.

Самостоятельная работа №4.

Программа включает в себя два раздела «Содержание» и «Ожидаемые результаты». Раздел «Содержание обучения» состоит не только из школьного курса математики 9 – го класса общеобразовательной школы, но и ряда дополнительных вопросов, непосредственно примыкающих к этому курсу. Они углубляют его как по основным линиям, так и включают в себя ряд новых, ранее не рассматривавшихся в школьном курсе типов и методов решения задач, являющихся важными содержательными компонентами современной системы непрерывного математического образования. В этом разделе рассматриваются не только вопросы организации учебно – методического процесса, но и требования к математической подготовке учащихся, задаётся примерный объём знаний, навыков и умений, которых должны достичь школьники. Указанный объём отчасти выходит за рамки типовой программы по математике для 9 – го класса. Это объясняется необходимостью приобретения учащимися умения решать задачи более высокого уровня, по сравнению с обязательным уровнем сложности, точно и грамотно формулировать изученные теоретические положения и излагать собственные рассуждения при решении задач, применять наиболее рациональные методы решения, правильно пользоваться математической терминологией и символикой.

Элективный курс «Решение уравнений высших степеней» имеет следующие содержательные компоненты.

Решение уравнений способом разложения левой части на множители:

— вынесение общего множителя за скобки;

— применение формул сокращённого умножения;

— выделение полного квадрата;

— метод неопределённых коэффициентов;

— подбор корня многочлена по старшему и свободному коэффициентам;

— метод введения параметра;

— метод введения новой переменной;

— симметрические уравнения 3 – й степени.

Решение уравнений методом замены переменных:

— симметрические уравнения 4 – й степени;

— возвратные уравнения 4 – й степени;

— уравнения 4 – й степени вида вида ( x + a )( x + b )( x + c )( x + d ) = m , где числа a , b , c , d связаны равенством a + b = c + d = k .

Решение уравнений с модулем:

Графическое решение уравнений:

— построение графика функции у = | ƒ(х) |;

— построение графика функции у = ƒ(|х|);

— построение графика функции у = |ƒ(| х|)|.

В результате изучения курса учащиеся должны уметь:

— свободно оперировать аппаратом алгебры при решении уравнений;

— отличать уравнения высших степеней различных типов и знать способы их решения;

— строить графики различных функций.

1. М.Л. Галицкий, А.М. Гольдман, Л.М. Звавич «Сборник задач по алгебре для 8-9 классов». Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. Москва «Просвещение» 1999г.

2. В.В. Бардушкин, И.Б. Кожухов, А.А. Прокофьев, А.М. Ревякин,

А.М. Терещенко «Письменный вступительный экзамен по математике». Москва «Лист» 1998 г.

3. Н.В. Бурмистрова, Н.Г. Старостенкова «Функции и их графики». Учебное пособие. Саратов «Лицей» 2003 г.

Вступление. Решение линейных и квадратных уравнений.

Общие методы решения уравнений всех типов (рациональных, иррациональных, тригонометрических, показательных и логарифмических):

1. Использование ОДЗ.

Иногда ОДЗ уравнения состоит из нескольких точек, и остается только проверить, какие из них удовлетворяют уравнению. В случае, если ОДЗ— пустое множество, уравнение не имеет корней.

2. Вынесение общего множителя (разложение на множители).

3. Замена переменной.

В тех случаях, когда исходное уравнение может быть приведено к виду ƒ( g ( x )) = 0, заменой t = g ( x ) уравнение сводится к решению уравнения ƒ( t ) = 0. Далее для каждого полученного корня t _k решается уравнение g ( x ) = t _k .

4. Использование ограниченности функций.

Иногда уравнение ƒ(х) = g ( x ) устроено так, что на всей ОДЗ ƒ(х) ≥ A , а g ( x ) ≤ A при некотором А. Решение уравнения сводится тогда к нахождению тех значений х, при которых одновременно ƒ(х) =А и g ( x ) = A .

5. Использование монотонности функций.

Если на некотором промежутке ( a ; b ) функции, входящие в уравнение ƒ( x ) = g ( x ), таковы, что ƒ( x ) непрерывна и строго возрастает, а g ( x ) непрерывно и строго убывает, то равенство ƒ( x ) = g ( x ) возможно только в одной точке. Иногда это значение можно угадать.

6. Графический метод.

Иногда полезно рассмотреть эскизы графиков функций ƒ( x ) и g ( x ), входящих в уравнение ƒ( x ) = g ( x ). Это может помочь выяснить:

1) на какие множества надо разбить числовую ось, чтобы на каждом из этих множеств использовать свой способ решения;

2) наличие или отсутствие корней, их количество.

В ходе занятия целесообразно повторить способы решения линейных и квадратных уравнений на примерах из учебников 7 – 8 классов.

Способы разложения многочлена на множители

1. Вынесение общего множителя.

x³ – 3x² + 4x = x(x² – 3x + 4).

Применение формул сокращенного умножения.

a n – b n =(a – b)(a n-1 + a n-2 b + a n-3 b 2 + … + a 2 b n-3 + ab n-2 + b n-1 ), n є N.

a 5 – b 5 = (a – b)(a 4 + a 3 b + a 2 b 2 + ab 3 + b 4 ).

( x 2 + 2 x ) 2 – ( x + 1) 2 = ( x 2 + 2 x + x + 1)(х 2 + 2х – х – 1) = (х 2 + 3х + 1)(х 2 + х – 1)

3. Выделение полного квадрата.

х 4 + 6х 2 – 10 = (х 2 ) 2 + 2 × 3 × х 2 + 3 2 – 3 2 — 10 = (х 2 + 3) 2 – () 2 = =(х 2 + 3 − )(х 2 + 3 + ).

х 4 – 5х 2 + х 3 – 5х = (х 4 + х 3 ) – (5х 2 + 5х) = х 3 (х + 1) – 5х(х + 1) = = (х + 1)(х 3 – 5х) = х(х + 1)(х 2 – 5).

5. Метод неопределенных коэффициентов.

Суть этого метода состоит в том, что заранее предполагается вид множителей — многочленов, на которые разлагается данный многочлен. Этот метод опирается на следующие утверждения:

1) два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях х;

2) любой многочлен третьей степени разлагается в произведение линейного и квадратного множителей;

3) любой многочлен четвертой степени разлагается в произведение двух множителей второй степени.

3 / _a − a² + 5a – 7 = 0,

3 − a ³ + 5 a ² − 7 a = 0, a ≠ 0,

a ³ − 5 a ² + 7 a – 3 = 0.

Подбором находим корень а = 3. Отсюда, b ₃ = 1, b ₂ = — 2, b ₁ = 1. Значит, х³ − 5х² + 7х – 3 = (х – 3)(х² − 2х + 1).

6. Подбор корня многочлена по его старшему и свободному коэффициентам.

Иногда при разложении многочлена на множители полезны следующие утверждения:

1) если многочлен a _n + a _{n -1} x + … + a ₀ x ⁿ, a ₀ ≠ 0 с целыми коэффициентами имеет рациональный корень х ₀ = p / _q , где p / _q − несократимая дробь, p є Z , q є N , то p − делитель свободного члена a _n , a q − делитель старшего коэффициента а ₀ ;

2) если каким – либо образом подобран корень x = α многочлена P _n ( x ) степени n , то многочлен P _n ( x ) можно представить в виде P _n ( x ) = = ( x – α ) P _{n -1} ( x ), где P _{n -1} ( x ) − многочлен степени n -1.

Многочлен P _{n -1} ( x ) можно найти либо делением многочлена P _n ( x ) на двучлен ( x – α ) столбиком, либо соответствующей группировкой слагаемых многочлена и выделением из них множителя ( x – α ), либо методом неопределенных коэффициентов.

x 4 – 5x 3 + 7x 2 – 5x + 6 (±1, ± 2, ±3, ±6).

x 4 – 5x 3 + 7x 2 – 5x + 6 | x – 2

x 4 – 2x 3 x 3 – 3x 2 + x – 3

-3x 3 + 7x 2 – 5x + 6

x 4 – 5x 3 + 7x 2 – 5x + 6 = (x – 2)(x 3 – 3x 2 + x – 3) = (x – 2)(x 2 (x – 3) + (x -3)) =

= ( x – 2)( x – 3)( x 2 + 1).

7. Метод введения параметра.

x 3 − ( + 1) x 2 + 3.

Пусть = а , 3 = а 2 , тогда

x 3 – (a + 1)x 2 + a 2 = x 3 – ax 2 – x 2 + a 2 = a 2 – ax 2 + (x 3 – x 2 ).

Корни квадратного трехчлена относительно а

a² − ax² + (x³ − x²) = (a – x)(a − x² + x).

x ³ − ( + 1) x ² + 3 = ( x – )( x ² − x − ).

8. Метод введения новой неизвестной.

x ( x + 1)( x + 2)( x + 3) – 15 = [ x ( x + 3)] [( x + 1)( x + 2)] – 15 =

=( x ² + 3 x )( x ² + 3 x + 2) – 15 .

Пусть x ² + 3 x = y , тогда y ( y + 2) – 15 = y ² + 2 y + 1 – 16 = ( y + 1)² — 16 =

= (y + 1 + 4)(y + 1 – 4) = (y + 5)(y – 3).

x(x + 1)(x + 2)(x + 3) – 15 = (x² + 3x + 5)(x² + 3x – 3).

Основные методы решения уравнений высших степеней − разложение на множители и замена переменной. В отдельных случаях при решении уравнений целесообразно использовать свойства монотонности и ограниченности функций.

Решение уравнений способом разложения левой части на множители

1) x ³ + x ² − 4 x − 4 = 0,

( x 3 + x 2 ) – 4( x + 1) = 0,

x 2 ( x + 1) – 4( x + 1) = 0,

( x + 1)( x – 2)( x + 2) = 0,

x + 1 = 0 или х – 2 = 0 или х + 2 = 0

х = — 1 х = 2 х = — 2

2) 27х 3 – 15х 2 + 5х – 1 = 0,

(27х 3 – 1) – 5х(3х – 1) = 0,

(3х – 1)(9х 2 + 3х + 1) – 5х(3х – 1) = 0,

(3х – 1)(9х 2 – 2х +1) = 0,

3х – 1 = 0 или 9х 2 – 2х + 1 = 0

х = 1 / ₃ Корней нет, так как D

3) х 3 + 4х 2 – 5 = 0,

х 3 + 4х 2 – 4 – 1 = 0,

(х 3 – 1) + (4х 2 – 4) = 0,

(х – 1)(х 2 + х + 1) + 4(х – 1)(х + 1) = 0,

(х – 1)(х 2 + 5х + 5) = 0,

х – 1 = 0 или х 2 + 5х + 5 = 0

х = . Ответ: 1; .

4) (х 2 + 4х)(х 2 + х – 6) = (х 3 – 9х)(х 2 + 2х – 8),

х(х + 4)(х + 3)(х – 2) = х(х – 3)(х + 3)(х + 4)(х – 2),

х(х + 4)(х + 3)(х – 2) – х(х – 3) (х + 3)(х + 4)(х – 2) = 0,

х( х + 4)(х + 3)(х – 2)(4 – х) = 0,

х = 0 или х = — 4 или х = — 3 или х = 2 или х = 4

Ответ: 0; — 4; 4; -3; 2.

5) х 4 – х 3 – 13х 2 + х + 12 = 0,

(х 4 – 13х 2 + 12) – х(х 2 – 1) = 0,

х 4 − 13х 2 + 12 = 0 .

Пусть х 2 = t , тогда t 2 – 13 t + 12 = 0,

(x 2 – 12)(x 2 – 1) – x(x 2 – 1) = 0,

(x 2 – 1)(x 2 – x – 12) = 0,

(x – 1)(x + 1)(x 2 – x – 12) = 0,

(x – 1)(x + 1)(x + 3)(x – 4) = 0 ,

x – 1 = 0 или х + 1 = 0 или х + 3 = 0 или х – 4 = 0

х = 1 х = — 1 х = — 3 х = 4

6) х 4 – х 3 – 13х 2 + х + 12 = 0,

х 4 – х 3 – 12х 2 – х 2 + х + 12 = 0,

х 3 (х – 1) – 12(х – 1)(х + 1) – х(х – 1) = 0,

(х – 1)(х 3 – 13х – 12) = 0,

х− 1 = 0 или х 3 – 13х – 12 = 0.

х = 1 Подбором находим, что х = -1, тогда

х 3 – 13х – 12 х + 1

х 3 + х 2 х 2 – х – 12

х 3 – 13х – 12 = (х + 1)(х 2 – х – 12) = (х + 1)(х + 4)(х – 3).

(х + 1)(х + 4)(х – 3) = 0,

х + 1 = 0 или х + 4 = 0 или х – 3 = 0

х = — 1 х = -4 х = 3

Симметрические уравнения третьей степени.

Уравнение вида ax ³ + bx ² + bx + a = 0, a ≠ 0, называется симметрическими уравнениями 3-ей степени.

7) 3х 3 + 4х 2 + 4х + 3 = 0,

3(х 3 + 1) + 4х(х + 1) = 0,

(х + 1)(3х 2 + х + 3) = 0,

х + 1 = 0 или 3х 2 + 3 + х = 0.

х = — 1 Корней нет, так как D

Решите уравнение (способом разложения левой части на множители).

x 3 + x 2 – 4x – 4 = 0;

3x 3 + 5x 2 + 5x + 3 = 0;

x 3 – x 2 – 81x + 81 = 0;

x 3 + 3x 2 – 16x – 48 = 0;

x 4 + 2x 3 – x – 2 = 0;

x 4 – 3x 3 + x – 3 = 0;

2x 4 + 3x 3 + 16x + 24 = 0;

24x 4 + 16x 3 – 3x – 2 = 0;

x 3 + 3x 2 – 6x – 8 = 0;

x 3 + 5x 2 + 15x + 27 = 0;

8x 3 – 6x 2 + 3x – 1 = 0;

27x 3 – 15x 2 + 5x – 1 = 0;

3x 3 – 7x 2 – 7x + 3 = 0;

x 3 – 7x 2 – 21x + 27 = 0;

x 3 + 1991x + 1992 = 0;

(x + 1) 2 (x + 2) + (x – 1) 2 (x – 2) = 12;

x 3 + 4x 2 – 5 = 0;

x 3 – 3x 2 + 2 = 0;

x 3 – 3x 2 – 6x + 8 = 0;

28x 3 + 3x 2 + 3x + 1 = 0;

126x 3 – 3x 2 + 3x – 1 = 0;

(x 2 + 4x)(x 2 + x – 6) = (x 3 – 9x)(x 2 + 2x – 8);

(x 2 + 5x)(x 2 – 3x – 28) = (x 3 – 16x)(x 2 – 2x – 35);

x 4 – x 3 – 13x 2 + x + 12 = 0;

x 4 – x 3 – 7x 2 + x + 6 = 0.

Решение уравнений методом замены переменной

1. Симметрические уравнения четвертой степени.

Уравнения вида ax 4 + bx 3 + cx 2 ± bx + a = 0, a ≠ 0, называются симметрическими уравнениями четвертой степени. Метод решения их следующий:

ax 4 + bx 3 + cx 2 ± bx + a = 0 ax 2 + a / _{x ²} + bx ± b / _x + c = 0, поскольку х = 0 не является корнем исходного уравнения. Второе уравнение можно переписать в виде:

a [( x ± 1 / _x ) 2 2] + b ( x ± 1 / _x ) + c = 0.

Последнее уравнение заменой t = x ± 1 / _x сводится к квадратному уравнению

at 2 + bt + c 2a = 0.

6 x 4 – 13 x 3 + 12 x 2 – 13 x + 6 = 0.

Так как х =0 не является корнем данного уравнения, то разделим обе его части на х 2 .

6х 2 – 13х + 12 − + = 0,

(6х 2 + ) – 13(х + ) + 12 = 0,

6((х + ) 2 – 2) – 13(х + ) + 12 = 0.

Пусть х + = t , тогда

6 t² − 12 – 13t + 12 = 0 ,

t = 0 или t = .

Значит, х + = 0 или х + = ,

= 0 х + = ,

x = ,

x ₁ = 1,5 , x ₂ = .

Ответ: 1,5; .

2. Возвратные уравнения четвертой степени.

Уравнения вида ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0, где = и a , b , с ≠ 0, называются возвратными. Заменой t = bx + они сводятся к квадратному уравнению t 2 + t + с – 2 a = 0.

x 4 + 2x 3 – 11x 2 + 4x + 4 = 0, a = 1, b = 2, c = — 11, d = 4, e = 4.

Так как х = 0 не является корнем данного уравнения, то разделим обе его части на х 2 .

x 2 + 2 x – 11 + + = 0,

( x 2 + ) + (2 x + ) – 11 = 0,

( x + ) 2 − 4 + 2( x + ) – 11 = 0.

Пусть t = x + , тогда

t 2 + 2 t – 15 = 0,

t = ,

Значит, x + = − 5 или x + = 3

x 2 + 5 x + 2 = 0, x 2 – 3 x + 2 = 0,

x = . x ₁ = 1, x ₂ = 2.

Ответ: ; 1; 2.

Это уравнение группировкой сомножителей [( x + a )( x + b )][( x + c )( x + d )] = m ,

перемножением скобок попарно и введением переменной y = x 2 + kx сводится к решению квадратного уравнения относительно y : ( y + ab )( y + cd ) = m .

( x – 2)( x + 1)( x + 4)( x + 7) = 19,

[( x + 1)( x + 4)][( x – 2)( x +7)] = 19,

( x 2 + 5 x + 4)( x 2 + 5 x – 14) = 19.

Пусть t = x 2 + 5 x + 4, тогда

t 2 – 18t – 19 = 0,

t = ,

Значит, х 2 + 5х + 4 = − 1 или х 2 + 5х + 4 = 19

х 2 + 5х + 5 = 0, x 2 + 5 x – 15 = 0,

x = . x = .

Ответ: х = , х = .

1) 6х 2 + 3х + 1 + = 0,

3(2х 2 + х) + 1 + = 0.

Пусть t = 2 x 2 + x , t ≠ 0, тогда

3 t + 1 + = 0,

3 t 2 + 2 t – 5 = 0,

t = ,

t ₁ = — , t ₂ = 1.

Значит, 2 x 2 + x = — или 2х 2 + х = 1

6х 2 + 3х + 5 = 0 2 x 2 + x – 1 = 0,

Корней нет, так как D D = 9,

x = ,

2) 2х 5 – 3х 4 + 5х 3 – 5х 2 + 3х – 2 = 0.

Подбором находим, что х = 1 является корнем данного уравнения.

2х 5 – 3х 4 + 5х 3 – 5х 2 + 3х – 2 х – 1

2х 5 – 2х 4 2х 4 – х 3 + 4х 2 – х + 2

− х 4 + 5х 3 – 5х 2 + 3х – 2

4х 3 – 5х 2 + 3х – 2

2х 4 – х 3 + 4х 2 – х + 2 = 0.

х = 0 не является корнем данного уравнения. Разделим обе части уравнения на х 2 .

2х 2 – х + 4 − + = 0,

2(х 2 + ) – (х + ) + 4 = 0.

Пусть t = x + , тогда х 2 + = t 2 – 2 .

2(t 2 – 2) – t + 4 = 0,

t ₁ = 0, t ₂ = .

Значит, х + = 0 или х + =

Корней нет, так как х 2 + 1 ≠ 0, х ≠ 0. = 0,

Корней нет, т. к. D

3) (2х 2 – 3х + 1)(2х 2 + 5х + 1) = 9х 2 .

х = 0 не является корнем данного уравнения. Разделим обе части уравнения на х 2 .

(2х – 3 + )(2х + 5 + ) = 9.

Пусть t = 2 x + , тогда

t 2 + 2 t – 24 = 0,

t = ,

Значит, 2х + = − 6 или 2х + = 4

2х 2 + 6х + 1 = 0, 2х 2 − 4х + 1 = 0,

x = . x = .

Ответ: ; .

4) − = 1,

− = 1.

Пусть t = x 2 + 5 x – 6 , t ≠ 0, тогда

− = 1,

16( t + 12) – 20 t – t ( t + 12) = 0,

t 2 + 16 t – 192 = 0,

t = ,

Значит, х 2 + 5х – 6 = − 24 или х 2 + 5х – 6 = 8

х 2 + 5х + 18 = 0. х 2 + 5х – 14 = 0,

Корней нет, так как D

5) = + 5.

х = 0 не является корнем данного уравнения. Разделим числитель и знаменатель каждой дроби на х.

= + 5.

Пусть t = x + , тогда

− − 5 = 0,

= 0,

− 10 t 2 + 5 t + 75 = 0,

2 t 2 – t – 15 = 0,

t = ,

t ₁ = − , t ₂ = 3.

Значит, х + = 3 или х + = −

х 2 – 3х + 2 = 0, 2х 2 + 5х + 4 = 0.

D = 1, Корней нет, так как D

x = ,

6) х 4 – 5х 3 + 10х 2 – 10х + 4 = 0

х = 0 не является корнем данного уравнения. Разделим обе части уравнения на х 2 .

х 2 – 5х + 10 − + = 0,

(х 2 + )− 5(х + ) + 10 = 0 .

Пусть t = x + , тогда t 2 = x 2 + 4 + , x 2 + = t 2 – 4 .

t 2 − 4 – 5 t + 10 = 0,

t = ,

Значит, х + = 2 или х + =3,

х 2 − 2х + 2 = 0. х 2 – 3х + 2 = 0,

Корней нет, так как D D = 1,

x = ,

Решите уравнение способом подстановки.

(х 2 – 2х) 2 – 3х 2 + 6х – 4 = 0;

(х 2 – 3х) 2 – 14х 2 + 42х + 40 = 0;

(2х 2 + 3х – 1) 2 – 10х 2 – 15х + 9 = 0;

(х 2 − 5х + 7) 2 – (х – 3)(х – 2) – 1 = 0;

(х – 2)(х – 3) 2 (х – 4) = 20;

(х 2 – 3х)(х – 1)(х – 2) = 24;

(х 2 – 5х)(х + 3)(х – 8) + 108 = 0;

(х + 4) 2 (х + 10)(х – 2) + 243 = 0;

х (х + 4)(х + 5)(х + 9) + 96 = 0;

х(х + 3)(х + 5)(х + 8) + 56 = 0;

(х – 4)(х – 3)(х – 2)(х – 1) = 24;

(х – 3)(х – 4)(х – 5)(х – 6) = 1680;

х 4 – 7х 3 + 14х 2 – 7х +1 = 0;

2х 4 + х 3 – 11х 2 + х +2 = 0;

6х 4 + 7х 3 – 36х 2 – 7х + 6 = 0;

78х 4 – 133х 3 + 78х 2 – 133х + 78 = 0;

х 4 – 5х 3 + 10х 2 – 10х + 4 = 0;

х 4 – х 3 – 10х 2 + 2х + 4 = 0;

(х + 5) 4 – 13х 2 (х + 5) 2 + 36х 4 = 0;

2(х – 1) 4 – 5(х 2 – 3х + 2) 2 + 2(х – 2) 4 = 0;

21)2(х 2 + х + 1) 2 – 7(х – 1) 2 = 13(х 3 – 1);

22) 3(х + 2) 2 + 2(х 2 – 2х + 4) 2 = 5(х 3 + 8);

23) (2х 2 – 3х + 1)(2х 2 + 5х + 1) = 9х 2 ;

24) (х + 2)(х + 3)(х + 8)(х + 12) = 4х 2 ;

25) 6(х 2 + ) + 5(х + ) – 38 = 0;

26) (х 2 + ) + 7(х − ) + 10 = 0;

27) (х 2 + ) – (х + ) – 8 = 0;

28) (х 2 +) – (х +) – 12 = 0;

29) − х 2 = 3 – 4х;

30) − = 1;

31) + = 1;

32) = 12х 2 + 7х – 6;

33) 2х + 1 + = 5х 2 ;

34) = + 5;

35) + = −1,5;

36) =;

37) + + = 0;

38) х 2 + = 3;

39) х 2 + = 7.