Х 2 является решением уравнения найдите

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Калькулятор онлайн.
Решение показательных уравнений.

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить показательное уравнение. Программа для решения показательного уравнения не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения результата.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Обязательно ознакомьтесь с правилами ввода функций. Это сэкономит ваше время и нервы.
Правила ввода функций >> Почему решение на английском языке? >>
С 9 января 2019 года вводится новый порядок получения подробного решения некоторых задач. Ознакомтесь с новыми правилами >> —> Введите показательное уравнение
Решить уравнение

Немного теории.

Показательная функция, её свойства и график

Напомним основные свойства степени. Пусть а > 0, b > 0, n, m — любые действительные числа. Тогда
1) a n a m = a n+m

4) (ab) n = a n b n

7) a n > 1, если a > 1, n > 0

8) a n m , если a > 1, n n > a m , если 0 x , где a — заданное положительное число, x — переменная. Такие функции называют показательными. Это название объясняется тем, что аргументом показательной функции является показатель степени, а основанием степени — заданное число.

Определение. Показательной функцией называется функция вида y = a x , где а — заданное число, a > 0, \( a \neq 1\)

Показательная функция обладает следующими свойствами

1) Область определения показательной функции — множество всех действительных чисел.
Это свойство следует из того, что степень a x где a > 0, определена для всех действительных чисел x.

2) Множество значений показательной функции — множество всех положительных чисел.
Чтобы убедиться в этом, нужно показать, что уравнение a x = b, где а > 0, \( a \neq 1\), не имеет корней, если \( b \leqslant 0\), и имеет корень при любом b > 0.

3) Показательная функция у = a x является возрастающей на множестве всех действительных чисел, если a > 1, и убывающей, если 0 x при a > 0 и при 0 x при a > 0 проходит через точку (0; 1) и расположен выше оси Oх.
Если х x при a > 0.
Если х > 0 и |х| увеличивается, то график быстро поднимается вверх.

График функции у = a x при 0 0 и увеличивается, то график быстро приближается к оси Ох (не пересекая её). Таким образом, ось Ох является горизонтальной асимптотой графика.
Если х

Показательные уравнения

Рассмотрим несколько примеров показательных уравнений, т.е. уравнений, в которых неизвестное содержится в показателе степени. Решение показательных уравнений часто сводится к решению уравнения a x = a b где а > 0, \( a \neq 1\), х — неизвестное. Это уравнение решается с помощью свойства степени: степени с одинаковым основанием а > 0, \( a \neq 1\) равны тогда и только тогда, когда равны их показатели.

Решить уравнение 2 3x • 3 x = 576
Так как 2 3x = (2 3 ) x = 8 x , 576 = 24 2 , то уравнение можно записать в виде 8 x • 3 x = 24 2 , или в виде 24 x = 24 2 , откуда х = 2.
Ответ х = 2

Решить уравнение 3 х + 1 — 2 • 3 x — 2 = 25
Вынося в левой части за скобки общий множитель 3 х — 2 , получаем 3 х — 2 (3 3 — 2) = 25, 3 х — 2 • 25 = 25,
откуда 3 х — 2 = 1, x — 2 = 0, x = 2
Ответ х = 2

Решить уравнение 3 х = 7 х
Так как \( 7^x \neq 0 \) , то уравнение можно записать в виде \( \frac<3^x> <7^x>= 1 \), откуда \( \left( \frac<3> <7>\right) ^x = 1 \), х = 0
Ответ х = 0

Решить уравнение 9 х — 4 • 3 х — 45 = 0
Заменой 3 х = t данное уравнение сводится к квадратному уравнению t 2 — 4t — 45 = 0. Решая это уравнение, находим его корни: t1 = 9, t2 = -5, откуда 3 х = 9, 3 х = -5.
Уравнение 3 х = 9 имеет корень х = 2, а уравнение 3 х = -5 не имеет корней, так как показательная функция не может принимать отрицательные значения.
Ответ х = 2

Решить уравнение 3 • 2 х + 1 + 2 • 5 x — 2 = 5 х + 2 х — 2
Запишем уравнение в виде
3 • 2 х + 1 — 2 x — 2 = 5 х — 2 • 5 х — 2 , откуда
2 х — 2 (3 • 2 3 — 1) = 5 х — 2 ( 5 2 — 2 )
2 х — 2 • 23 = 5 х — 2 • 23
\( \left( \frac<2> <5>\right) ^ = 1 \)
x — 2 = 0
Ответ х = 2

Решить уравнение 3 |х — 1| = 3 |х + 3|
Так как 3 > 0, \( 3 \neq 1\), то исходное уравнение равносильно уравнению |x-1| = |x+3|
Возводя это уравнение в квадрат, получаем его следствие (х — 1) 2 = (х + 3) 2 , откуда
х 2 — 2х + 1 = х 2 + 6х + 9, 8x = -8, х = -1
Проверка показывает, что х = -1 — корень исходного уравнения.
Ответ х = -1

Уравнения с двумя переменными (неопределенные уравнения)

Разделы: Математика

Обращение автора к данной теме не является случайным. Уравнения с двумя переменными впервые встречаются в курсе 7-го класса. Одно уравнение с двумя переменными имеет бесконечное множество решений. Это наглядно демонстрирует график линейной функции, заданный в виде ax + by=c. В школьном курсе учащиеся изучают системы двух уравнений с двумя переменными. В результате из поля зрения учителя и, поэтому ученика, выпадает целый ряд задач, с ограниченными условиями на коэффициент уравнения, а также методы их решения.

Речь идет о решении уравнения с двумя неизвестными в целых или натуральных числах.

В школе натуральные и целые числа изучаются в 4-6-х классах. К моменту окончания школы не все ученики помнят различия между множествами этих чисел.

Однако задача типа “решить уравнение вида ax + by=c в целых числах” все чаще встречается на вступительных экзаменах в ВУЗы и в материалах ЕГЭ.

Решение неопределенных уравнений развивает логическое мышление, сообразительность, внимание анализировать.

Я предлагаю разработку нескольких уроков по данной теме. У меня нет однозначных рекомендаций по срокам проведения этих уроков. Отдельные элементы можно использовать и в 7-м классе (для сильного класса). Данные уроки можно взять за основу и разработать небольшой элективный курс по предпрофильной подготовке в 9-м классе. И, конечно, этот материал можно использовать в 10-11 классах для подготовки к экзаменам.

Цель урока:

    повторение и обобщение знаний по теме “Уравнения первого и второго порядка”
  • воспитание познавательного интереса к учебному предмету
  • формирование умений анализировать, проводить обобщения, переносить знания в новую ситуацию

Урок 1.

Ход урока.

1) Орг. момент.

2) Актуализация опорных знаний.

Определение. Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида

mx + ny = k, где m, n, k – числа, x, y – переменные.

Определение. Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.

Уравнения с двумя переменными, имеющими одни и те же решения, называются равносильными.

1. 5x+2y=12 (2)y = -2.5x+6

Данное уравнение может иметь сколько угодно решений. Для этого достаточно взять любое значение x и найти соответствующее ему значение y.

Пусть x = 2, y = -2.5•2+6 = 1

x = 4, y = -2.5•4+6 =- 4

Пары чисел (2;1); (4;-4) – решения уравнения (1).

Данное уравнение имеет бесконечно много решений.

3) Историческая справка

Неопределенные (диофантовы) уравнения – это уравнения, содержащие более одной переменной.

В III в. н.э. – Диофант Александрийский написал “Арифметику”, в которой расширил множество чисел до рациональных, ввел алгебраическую символику.

Так же Диофант рассмотрел проблемы решения неопределенных уравнений и им даны методы решения неопределенных уравнений второй и третьей степени.

4) Изучение нового материала.

Определение: Неоднородным диофантовым уравнением первого порядка с двумя неизвестными x, y называется уравнение вида mx + ny = k, где m, n, k, x, y Z k0

Если свободный член k в уравнении (1) не делится на наибольший общий делитель (НОД) чисел m и n, то уравнение (1) не имеет целых решений.

Пример: 34x – 17y = 3.

НОД (34; 17) = 17, 3 не делится нацело на 17, в целых числах решения нет.

Пусть k делится на НОД (m, n). Делением всех коэффициентов можно добиться, что m и n станут взаимно простыми.

Если m и n уравнения (1) взаимно простые числа, то это уравнение имеет по крайней мере одно решение.

Если коэффициенты m и n уравнения (1) являются взаимно простыми числами, то это уравнение имеет бесконечно много решений:

где (; ) – какое-либо решение уравнения (1), t Z

Определение. Однородным диофантовым уравнением первого порядка с двумя неизвестными x, y называется уравнение вида mx + ny = 0, где (2)

m, n, x, y Z

Если m и n – взаимно простые числа, то всякое решение уравнения (2) имеет вид

5) Домашнее задание. Решить уравнение в целых числах:

  • 9x – 18y = 5
  • x + y= xy
  • Несколько детей собирали яблоки. Каждый мальчик собрал по 21 кг, а девочка по 15 кг. Всего они собрали 174 кг. Сколько мальчиков и сколько девочек собирали яблоки?
  • Замечание. На данном уроке не представлены примеры решения уравнений в целых числах. Поэтому домашнее задание дети решают исходя из утверждения 1 и подбором.

    Урок 2.

    1) Организационный момент

    2) Проверка домашнего задания

    5 не делится нацело на 9, в целых числах решений нет.

    Методом подбора можно найти решение

    3) Составим уравнение:

    Пусть мальчиков x, x Z, а девочек у, y Z, то можно составить уравнение 21x + 15y = 174

    Многие учащиеся, составив уравнение, не смогут его решить.

    Ответ: мальчиков 4, девочек 6.

    3) Изучение нового материала

    Столкнувшись с трудностями при выполнении домашнего задания, учащиеся убедились в необходимости изучения их методов решений неопределенных уравнений. Рассмотрим некоторые из них.

    I. Метод рассмотрения остатков от деления.

    Пример. Решить уравнение в целых числах 3x – 4y = 1.

    Левая часть уравнения делится на 3, следовательно, должна делиться и правая часть. Рассмотрим три случая.

    1. Если y = 3m, m Z, то 4y + 1= 4•3m + 1 = 12m + 1 не делится на 3.
    2. Если y = 3 m + 1, то 4y +1 = 4• (3m + 1)+1 = 12m + 5 не делится на 3.
    3. Если y = 3 m + 2, то 4y +1 = 4• (3m + 2)+1 = 12m + 9 делится на 3, поэтому 3x = 12m + 9, следовательно, x = 4m + 3, а y = 3m + 2.

    Ответ: где m Z.

    Описанный метод удобно применять в случае, если числа m и n не малы, но зато разлагаются на простые сомножители.

    Пример: Решить уравнения в целых числах.

    Пусть y = 4n, тогда 16 — 7y = 16 – 7•4n = 16 – 28n = 4*(4-7n) делится на 4.

    y = 4n+1, тогда 16 – 7y = 16 – 7• (4n + 1) = 16 – 28n – 7 = 9 – 28n не делится на 4.

    y = 4n+2, тогда 16 – 7y = 16 – 7• (4n + 2) = 16 – 28n – 14 = 2 – 28n не делится на 4.

    y = 4n+3, тогда 16 – 7y = 16 – 7• (4n + 3) = 16 – 28n – 21 = -5 – 28n не делится на 4.

    Следовательно, y = 4n, тогда

    4x = 16 – 7•4n = 16 – 28n, x = 4 – 7n

    Ответ: , где n Z.

    II. Неопределенные уравнения 2-ой степени

    Сегодня на уроке мы лишь коснемся решения диофантовых уравнений второго порядка.

    И из всех типов уравнений рассмотрим случай, когда можно применить формулу разности квадратов или другой способ разложения на множители.

    Пример: Решить уравнение в целых числах.

    13 – простое число, поэтому оно может быть разложено на множители лишь четырьмя способами: 13 = 13•1 = 1•13 = (-1)(-13) = (-13)(-1)

    Рассмотрим эти случаи

    а) =>

    б) =>

    в) =>

    г) =>

    4) Домашнее задание.

    Примеры. Решить уравнение в целых числах:

    а)

    2x = 42x = 52x = 5
    x = 2x = 5/2x = 5/2
    y = 0не подходитне подходит
    2x = -4не подходитне подходит
    x = -2
    y = 0

    б)

    в)

    Итоги. Что значит решить уравнение в целых числах?

    Какие методы решения неопределенных уравнений вы знаете?

    Упражнения для тренировки.

    1) Решите в целых числах.

    а) 8x + 12y = 32x = 1 + 3n, y = 2 — 2n, n Z
    б) 7x + 5y = 29x = 2 + 5n, y = 3 – 7n, n Z
    в) 4x + 7y = 75x = 3 + 7n, y = 9 – 4n, n Z
    г) 9x – 2y = 1x = 1 – 2m, y = 4 + 9m, m Z
    д) 9x – 11y = 36x = 4 + 11n, y = 9n, n Z
    е) 7x – 4y = 29x = 3 + 4n, y = -2 + 7n, n Z
    ж) 19x – 5y = 119x = 1 + 5p, y = -20 + 19p, p Z
    з) 28x – 40y = 60x = 45 + 10t, y = 30 + 7t, t Z

    2) Найти целые неотрицательные решения уравнения:

    а) 8x + 65y = 81x = 2, y = 1
    б) 17x + 23y = 183x = 4, y = 5

    3) Найти все пары целых чисел (x; y), удовлетворяющие следующим условиям

    а) x + y = xy(0;0), (2;2)
    б) (1;2), (5;2), (-1;-1), (-5;-2)

    Число 3 можно разложить на множители:

    a) б) в) г)
    в) (11;12), (-11;-12), (-11;12), (11;-12)
    г) (24;23), (24;-23), (-24;-23), (-24;23)
    д) (48;0), (24;1), (24;-1)
    е) x = 3m; y = 2m, mZ
    ж) y = 2x – 1x = m: y = 2m – 1, m Z
    з) x = 2m; y = m; x = 2m; y = -m, m Z
    и)решений нет

    4) Решить уравнения в целых числах

    (-3;-2), (-1;1), (0;4), (2;-2), (3;1), (5;4)
    (x — 3)(xy + 5) = 5(-2;3), (2;-5), (4;0)
    (y + 1)(xy – 1)=3(0;-4), (1;-2), (1;2)
    (-4;-1), (-2;1), (2;-1), (4;1)
    (-11;-12), (-11;12), (11;-12), (11;12)
    (-24;23), (-24;23), (24;-23), (24;23)

    5) Решить уравнения в целых числах.

    а) (-1;0)
    б)(5;0)
    в) (2;-1)
    г) (2; -1)
  • Детская энциклопедия “Педагогика”, Москва, 1972 г.
  • Алгебра-8, Н.Я. Виленкин, ВО “Наука”, Новосибирск, 1992 г.
  • Конкурсные задачи, основанные на теории чисел. В.Я. Галкин, Д.Ю. Сычугов. МГУ, ВМК, Москва, 2005г.
  • Задачи повышенной трудности в курсе алгебры 7-9 классов. Н.П. Косрыкина. “Просвещение”, Москва, 1991 г.
  • Алгебра 7, Макарычев Ю.Н., “Просвещение”.
  • Тест на тему «Линейные уравнения с двумя переменными»

    Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

    1) Пара значений, обращающая уравнение с двумя переменными в верное равенство, называется …

    А) х и у уравнения; Б) решением уравнения;

    В) двумя корнями уравнения; Г) проверкой уравнения.

    2) Выберите неверное утверждение:

    А) если к обеим частям уравнения с двумя переменными прибавить одно и то же число, то получится уравнение, равносильное данному;

    Б) если слагаемое перенести из одной части уравнения с двумя переменными в другую, изменив при этом его знак на противоположный, то получится уравнение, равносильное данному;

    В) если обе части уравнения с двумя переменными умножить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному;

    Г) если обе части уравнения с двумя переменными разделить на одно и то же число, то получится уравнение, равносильное данному.

    3) Заполните пропуски:

    Графиком линейного уравнения с двумя переменными, в котором хотя бы __________ из коэффициентов при переменных не равен _______, является _________________.

    3) 4) Выберите линейные уравнения с двумя переменными:

    4) А) 3х-у=17; Б) ху-2у=3; В) 4х=2у; Г) х 2 -4у=2.

    6) 5) Какие пары чисел являются решением уравнения 2х-4у=10

    9) 6) Выразите из уравнения 5у+2х=4 переменную х через у и найдите одно решение этого уравнения:

    7) Найдите значение коэффициента k в уравнении 3х+ ky =5, если известно, что пара чисел (-1;-4) является решением этого уравнения,

    2) 1) Что значит решить уравнение с двумя переменными?

    А) значит найти все его решения или показать, что решений нет;

    Б) значит построить график этого уравнения;

    В) значит найти значения х уравнения;

    Г) значит найти значения у уравнения.

    3) Выберите верные утверждения:

    А) если обе части уравнения с двумя переменными умножить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному;

    Б) если слагаемое перенести из одной части уравнения с двумя переменными в другую, то получится уравнение, равносильное данному;

    В) если к обеим частям уравнения с двумя переменными прибавить одно и то же число, то получится уравнение, равносильное данному;

    Г) если одну часть уравнения с двумя переменными разделить на положительное число, то получится уравнение, равносильное данному.

    4) 3) Заполните пропуски: Графиком уравнения с двумя переменными называется множество точек _______________________ плоскости, координаты которых являются ___________________ этого уравнения.

    4) Выберите линейные уравнения с двумя переменными:

    А) х-7у=13; Б) х 3 -2у=3; В) ху=2у-1; Г) 5х-4у=12.

    5) Какие пары чисел являются решением уравнения 5х+10у=20

    6) Выразите из уравнения 2 у+3х=8 переменную y через x и найдите одно решение этого уравнения:

    7) Найдите значение коэффициента k в уравнении 2х- ky =10, если известно, что пара чисел (8;2) является решением этого уравнения,

    Курс повышения квалификации

    Дистанционное обучение как современный формат преподавания

    • Сейчас обучается 945 человек из 80 регионов

    Курс профессиональной переподготовки

    Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

    • Сейчас обучается 687 человек из 75 регионов

    Курс повышения квалификации

    Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

    • Сейчас обучается 315 человек из 69 регионов

    Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

    Дистанционные курсы для педагогов

    «Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

    Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

    Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

    5 591 090 материалов в базе

    Материал подходит для УМК

    «Алгебра», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. / Под ред. Теляковского С.А.

    40. Линейное уравнение с двумя переменными

    Самые массовые международные дистанционные

    Школьные Инфоконкурсы 2022

    33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

    «Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

    Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

    Другие материалы

    • 16.04.2021
    • 74
    • 0
    • 16.04.2021
    • 83
    • 1
    • 16.04.2021
    • 61
    • 0

    • 16.04.2021
    • 65
    • 0

    • 16.04.2021
    • 78
    • 7

    • 16.04.2021
    • 177
    • 8

    • 16.04.2021
    • 491
    • 11

    • 15.04.2021
    • 206
    • 3

    Вам будут интересны эти курсы:

    Оставьте свой комментарий

    Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

    Добавить в избранное

    • 16.04.2021 1084
    • DOCX 15.7 кбайт
    • 53 скачивания
    • Рейтинг: 5 из 5
    • Оцените материал:

    Настоящий материал опубликован пользователем Майорова Галина Михайловна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Автор материала

    • На сайте: 5 лет и 2 месяца
    • Подписчики: 1
    • Всего просмотров: 6651
    • Всего материалов: 9

    Московский институт профессиональной
    переподготовки и повышения
    квалификации педагогов

    Дистанционные курсы
    для педагогов

    663 курса от 690 рублей

    Выбрать курс со скидкой

    Выдаём документы
    установленного образца!

    Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

    Время чтения: 11 минут

    Университет им. Герцена и РАО создадут портрет современного школьника

    Время чтения: 2 минуты

    РДШ организовало сбор гуманитарной помощи для детей из ДНР

    Время чтения: 1 минута

    В Ростовской и Воронежской областях организуют обучение эвакуированных из Донбасса детей

    Время чтения: 1 минута

    В Белгородской области отменяют занятия в школах и детсадах на границе с Украиной

    Время чтения: 0 минут

    Курские власти перевели на дистант школьников в районах на границе с Украиной

    Время чтения: 1 минута

    В приграничных пунктах Брянской области на день приостановили занятия в школах

    Время чтения: 0 минут

    Подарочные сертификаты

    Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

    Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.


    источники:

    http://urok.1sept.ru/articles/417558

    http://infourok.ru/test-na-temu-linejnye-uravneniya-s-dvumya-peremennymi-5152542.html