Характеристическое сопротивление четырехполюсника через коэффициенты уравнений

№79 Характеристические параметры симметричного четырехполюсника.

Для симметричного четырехполюсника коэффициент A=D и система уравнений формы А имеет вид:

Характеристическим сопротивлением четырехполюсника Zc называется такое сопротивление нагрузки Z2=Zc, при котором входное сопротивление четырехполюсника со сто¬роны первичных выводов также равно сопротивлению нагрузки:

Установим связь между характеристическим сопротивлением Zc и коэффициентами четырeхполюсника А, В, С. Для этой цели преобразуем уравнения четырехполюсника:

Разделим уравнение (1) на уравнение (2):

где постоянная (коэффициент) передачи четырехполюсника

Вещественная часть коэффициента передачи α показывает, как изменяется модуль напряжения (тока) при переходе через четырехполюсник, поэтому называется коэффициентом затухания:

[Hп] или [Непер] – основная единица измерения затухания.

Затухание в 1Нп соответствует уменьшению модуля величины в е = 2,72 раза. На практике для измерения затухания сигналов применяется другая, более удобная для практики единица, а именно: 1 децибелл [дБ], которая определяется согласно уравнению:

Соотношение между единицами затухания: 1Нп = 8,086 дБ ; 1дБ = 0,115Нп.

Мнимая часть коэффициента передачи показывает, как изменяется фаза напряжения (тока) при переходе через четырехполюсник, поэтому называется коэффициентом фазы:

Характеристическое сопротивление Zc и коэффициент передачи g=α+jβ называются характеристическими параметрами четырехполюсника.

Выразим коэффициенты четырехполюсника через его характеристические параметры Zc и g.

Преобразуем уравнение связи между коэффициентами:

Решаем совместно полученные уравнения:

откуда следует, что

получим для коэффициентов:

С учетом этих выражений основные уравнения формы А получат окончательный вид:

Данная форма уравнений четырехполюсника используется в теории цепных схем и в теории электрических фильтров.

Четырехполюсники

Содержание:

Основы теории четырехполюсников и фильтров:

Электрическая цепь, имеющая два входных и два выходных зажима, называется четырехполюсником. Теория четырехполюсников в общем виде рассматривает основную проблему электротехники: передачу энергии от источника к приемнику через промежуточное звено — четырехполюсник.

Активные четырехполюсники содержат внутри себя также источники электрической энергии. Далее сначала рассматриваются пассивные четырехполюсники, не содержащие внутри себя источников энергии. Примером их могут служить линия передачи (рис. 9.1, а), трансформатор (рис. 9.1, б), мостовая схема (рис. 9.1, в), а также Т-образная (рис. 9.1, г) и П-образная (рис. 9.1, д) схемы, к зажимам I’, I» которых подключается источник, а к зажимам 2′, 2″ — приемник электрической энергии.

На рис. 9.2, а изображена в общем виде схема четырехполюсника. Здесь

Для вывода уравнений, связывающих входные и выходные напряжения и токи, удобно заменить приемник Z2 с напряжением эквивалентным источником напряжения без внутреннего сопротивления (рис. 9.2, б). Согласно, э. д. с. последнего должна быть равна Тогда можно применить метод наложения. Считая сначала существующим только источник и замыкая накоротко зажимы источника — (рис. 9.2, в), находят токи которые, очевидно, будут пропорциональны напряжению

Аналогично, при наличии источника , и коротком замыкании (рис. 9.2, г)

Здесь — комплексные коэффициенты пропорциональности, имеющие размерность проводимости; Y11 и Y12 называются входными, а Y12 и Y21 — взаимными проводимостями. Проводимости Y12 и Y21 определяют токи в короткозамкнутом выходном или входном контуре при заданном напряжении в другом контуре. При одинаковом напряжении U токи Yl2U и Y21U по принципу взаимности были бы равны между собой. Следовательно, взаимные проводимости

Действительные токи на входе и выходе четырехполюсника

Совместное решение этих уравнений дает

После введения обозначений

(9.1)

получаются уравнения четырехполюсника:

где комплексы А, В, С, D называются параметрами четырехполюсника. Между ними существует следующая связь:

Следовательно, из четырех параметров независимыми являются три.

Если входные и выходные зажимы поменять местами (рис. 9.2, д), т. е. осуществить обратное питание (индекс «о»), уравнения, очевидно, получатся аналогичными:

а параметры А’, В’, С’, D’ определятся из выражений (9.1), если индекс I заменить индексом 2 и наоборот:

Следовательно, уравнения четырехполюсника, питаемого со стороны выхода, получают вид:

Отсюда следует, что в симметричном четырехполюснике, который со стороны выходных зажимов представляет ту же цепь, что и со стороны входных, А = D и А 2 — ВС = 1.

С помощью уравнений четырехполюсника можно определить нагрузочный режим, т. е. найти , для заданных . Очевидно, уравнения четырехполюсника могут быть использованы также для определения двух любых величин из указанных, если заданы две другие.

Холостой ход и короткое замыкание четырехполюсника

При холостом ходе ток на выходе = 0 и уравнения четырехполюсника дают

При коротком замыкании напряжение на выходе = 0 и из уравнении четырехполюсника вытекает, что

Отсюда видно, что параметр А представляет собой отношение входного и выходного комплексных напряжений при холостом ходе четырехполюсника, a D — отношение входного и выходного комплексных токов при коротком замыкании.

Если при холостом ходе напряжение на выходе будет равно напряжению при нагрузке, а при коротком замыкании ток на выходе — току при нагрузке, уравнения четырехполюсника получают вид:

Следовательно, напряжение и ток I1 при любом заданном режиме работы приемника могут быть определены путем наложения соответствующих режимов холостого хода и короткого замыкания.

Чтобы осуществить это наложение, надо знать, как расположить друг относительно друга векторные диаграммы холостого хода и короткого замыкания . Для этой цели нужно измерить сдвиг фаз σ между векторами при опыте холостого хода и сдвиг фаз между векторами при опыте короткого замыкания.

После этого построение ведется в следующем порядке (рис. 9.3): строится заданная диаграмма затем под углом σ к вектору т. е. отличаются от основных уравнений четырехполюсника тем, что параметры А и D поменялись местами, строится вектор , а под углом к нему — вектор под углом β к вектору I2 строится вектор а под углом к нему — вектор После этого строятся векторы напряжения и тока на входе как суммы напряжений и токов при холостом ходе и коротком замыкании.

Так как в симметричном четырехполюснике А = D, то

т. е. угол сдвига фаз между векторами равен заданному углу сдвига фаз в нагрузке, что сразу определяет взаимное расположение векторных диаграмм холостого хода и короткого замыкания без добавочных измерений.

Указанное применение принципа наложения имеет большое значение при испытании мощных электротехнических устройств, описываемых линейными уравнениями, так как позволяет заменить опыт нагрузки, требующий источников большой мощности, опытами холостого хода и короткого замыкания при значительно меньшей мощности.

Определение параметров четырехполюсника

Если известны конкретная схема и сопротивления (проводимости) ветвей четырехполюсника, то его параметры могут быть определены расчетным путем по входным и взаимным проводимостям. Можно также исходить непосредственно из зависимостей, устанавливаемых законами Кирхгофа.

Далее в качестве примера рассмотрены простейшие схемы четырехполюсников. Так как из четырех параметров четырехполюсника независимыми являются три, простейшие схемы должны содержать три ветви, т. е. представлять собой соединение звездой (Т-образная схема, рис. 9.1, г) или треугольником (П-образная схема, рис. 9.1, д).

Для Т-образной схемы при режиме холостого хода (рис. 9.4, а) очевидны следующие соотношения:

при коротком замыкании (рис. 9.4, б)

Отсюда параметры этого четырехполюсника

Параметры П-образной схемы могут быть определены аналогичным расчетом (рис. 9.1, д). При холостом ходе

при коротком замыкании

Отсюда параметры П-схемы

Подобно тому, как при расчете цепей любой двухполюсник удобно заменить простейшим эквивалентным двухполюсником — последовательной или параллельной схемой, можно любой сложный четырехполюсник заменить простейшим эквивалентным ему, т. е. Т- или П-схемой. Решая уравнения (9.2) и (9.3), можно найти параметры этих эквивалентных схем, выразив их через параметры четырехполюсника.

Из этих выражений видно, что схемы, эквивалентные симметричным четырехполюсникам, сами тоже симметричны, так как, если А = D, то

Если конкретная схема и параметры ветвей четырехполюсника неизвестны, его параметры могут быть определены из опытов холостого хода и короткого замыкания при питании и измерениях со стороны входа и со стороны выхода. Эти измерения позволяют определить комплексы сопротивлений короткого замыкания и холостого хода при питании схемы со стороны входных зажимов — при питании схемы со стороны выходных зажимов 2′ —2″:

Как видно из этих выражений, полные сопротивления при коротком замыкании и холостом ходе связаны между собой соотношением:

поэтому из четырех вышеупомянутых опытов необходимы лишь три, а четвертый может служить для контроля.

Параметры четырехполюсника находят по формулам, вытекающим из (9.4):

Повторное сопротивление и коэффициент распространения симметричного четырехполюсника

В технике электросвязи часто применяются симметричные четырехполюсники и такое согласование их с сопротивлением нагрузки Z, при котором сопротивление между входными зажимами также равно Z, т. е.

Сопротивление Z получило название повторного. Уравнения симметричного четырехполюсника после подстановки примут вид:

Деление первого уравнения на второе дает:

откуда

и уравнения четырехполюсника, нагруженного повторным сопротивлением, будут иметь вид:

Как видно из этих уравнений, равные между собой отношения напряжений и токов на входе и выходе являются комплексным числом. Последнее может быть представлено в показательной форме:

Следовательно, у симметричного четырехполюсника, нагруженного повторным сопротивлением, выходные напряжение и ток меньше входных в раз, а их фазы — на угол β. Поэтому α называется коэффициентом затухания, β — коэффициентом фазы, — коэффициентом распространения. Коэффициент β измеряется в радианах, α—в неперах; одному неперу соответствует затухание в е = 2,718. раз.

уравнения симметричного четырехполюсника при произвольной нагрузке могут быть переписаны в другой форме:

Передаточные функции и обратные связи четырехполюсников

Как видно из предыдущего, четырехполюсник можно рассматривать как преобразователь входных величин или в выходные или . Тогда его можно характеризовать передаточной функцией К, равной отношению выходной величины к входной. Например,

Очевидно, что первая передаточная функция безразмерна, вторая имеет размерность сопротивления, третья — проводимости.

В ряде электротехнических и автоматических устройств необходимо, чтобы передаточная функция зависела от режима цепи на выходе. Для этого схема усложняется обратной связью — дополнительным четырехполюсником, питаемым выходной величиной основного четырехполюсника, например напряжением а выходная величина дополнительного четырехполюсника, например напряжение включается последовательно с источником первичного напряжения (рис. 9.5).

Пусть передаточная функция четырехполюсника обратной связи равна . Тогда входное напряжение основного четырехполюсника, передаточная функция которого

окуда передаточная функция всей системы

Из этого выражения видно, что передаточную функцию К’ системы можно изменять, регулируя передаточную функцию Ко устройства обратной связи.

Цепные схемы и электрические фильтры

Цепные схемы состоят из каскадно включенных четырехполюсников, называемых звеньями (рис. 9.6).

При этом выходные зажимы каждого предыдущего звена соединяются с входными последующего. Если все n четырехполюсника одинаковы и симметричны, а последний нагружен своим повторным сопротивлением Z, то оно будет также входным сопротивлением последнего звена, нагрузкой предпоследнего звена, его входным сопротивлением и т. д. Величина — коэффициент распространения одного звена схемы), на которую надо умножать выходные величины каждого звена, чтобы получить входные, также одинакова для всех звеньев. В результате Z является повторным сопротивлением всей цепной схемы, а ее коэффициент распространения

Тогда уравнения n-звенной цепной схемы будут:

В различных электротехнических устройствах между источником энергии и приемником включают электрические фильтры в виде четырехполюсников или цепных схем, чтобы пропустить к приемнику только токи заданного диапазона частоты.

Фильтры различаются по диапазону пропускаемых частот: низкочастотные — от 0 до заданного значения ω, высокочастотные — от ω до , полосные — от ω1 до 1 Коэффициенты часто также обозначаются через А, В, С и D.

В случае перемены направления передачи электрической энергии, а именно при передаче энергии от выводов 2 к выводам 1, в уравнениях четырехполюсника связывают напряжения и токи [см. уравнения (9-4) по форме Если заменить в (9-3) токи на —на — и решить уравнения относительно то получим уравнения четырехполюсника в форме || В ||, выраженные через коэффициенты формы || А ||. Для обратимого четырехполюсника:

Сопоставляя уравнение (9-18) с уравнениями (9-3), соответствующими направлению передачи энергии от выводов 1 к выводам 2, заключаем, что с переменой направления передачи энергии коэффициенты входящие в системы уравнений, меняются местами.

Параметры холостого хода и короткого замыкания

Было показано, что коэффициенты представляют собой входные проводимости четырехполюсника рис. 9-4, измеренные слева и справа при закороченных противоположных выводах; соответственно представляют собой входные сопротивления четырехполюсника при разомкнутых выводах.

Введя индексы «к» и «х» для обозначения режимов короткого замыкания (выводы замкнуты) и холостого хода (выводы разомкнуты), получим параметры холостого хода и короткого замыкания:

Этих параметров достаточно для составления уравнений обратимого четырехполюсника. Для записи уравнений необратимого четырехполюсника недостаточно параметров холостого хода и короткого замыкания, так как из них только три являются независимыми.

Действительно, на основании (9-19) и таблицы приложения II

и

откуда

Таким образом, параметры холостого хода и короткого замыкания, выражаемые формулами (9-19), принудительно связаны уравнением (9-20).

В случае симметричного четырехполюсника

т. е. симметричный четырехполюсник характеризуется только двумя параметрами.

Параметры холостого хода и короткого замыкания могут быть выражены через любую систему коэффициентов, например через коэффициенты А:
В свою очередь любая система коэффициентов обратимого четырехполюсника может быть выражена через параметры холостого хода и короткого замыкания. Например, для коэффициентов А получаем

и, используя (9-21), выражаем все остальные коэффициенты через

Схемы замещения четырехполюсника

На основании уравнений четырехполюсника могут быть построены различные схемы замещения, которые облегчают исследование общих свойств рассматриваемой цепи. Ниже показаны некоторые схемы замещения четырехполюсника, параметры которых выражаются через коэффициенты У, Z и А.
1 Эта формула дает двузначное решение, так как входящие в нее параметры не меняются от перекрещивания любой пары выводов.

На практике чаще всего пользуются П-образной и Т-образной схемами замещения четырехполюсника.

На рис. 9-5, а показана П-образная схема замещения четырехполюсника, в которой проводимости ветвей выражены через коэффициенты Y. При этом зависимый источник тока сохраняется в эквивалентной схеме

только в случае необратимого четырехполюсника; в схеме обратимого четырехполюсника источник тока отсутствует (см. рис. 9-6, а).

Схема рис. 9-5, о соответствует системе уравнений (9-1). Действительно, по первому закону Кирхгофа ток равен сумме токов, входящих в ветви с проводимостями Ток, входящий в первую ветвь, рдвен а ток, входящий во вторую ветвь, равен

В свою очередь ток равен сумме токов, входящих в ветви с проводимостями и тока источника Следовательно,

На рис. 9-5, б показана Т-образная схема замещения, в которой сопротивления ветвей выражены через коэффициенты Z четырехполюсника. Применив второй закон Кирхгофа, легко убедиться в тем, что данная схема соответствует уравнениям (9-2).

Схема замещения четырехполюсника содержит зависимый источник э. д. с. или тока в случае, когда четырехполюсник необратим. В схеме обратимого четырехполюсника зависимый источник отсутствует (рис. 9-6, б).

Параметры схемы замещения четырехполюсника могут быть выражены также через коэффициенты А. Так, например, пользуясь таблицей приложения II, можно в П-об-разной схеме (см. рис. 9-5, а) проводимости ветвей выразить через коэффициенты А. при этом получится схема рис. 9-5, в\ в случае обратимого четырехполюсника будем иметь схему рис. 9-6, а, которая часто применяется для расчета энергетических систем.

Пассивный П-образный четырехполюсник может быть преобразован в Т-образный (или наоборот) по правилу преобразования треугольника в эквивалентную звезду.

Следует заметить, что П-образ на я и Т-образная схемы замещения четырехполюсника не всегда физически реализуемы

Под физически реализуемой пассивной схемой понимается такая схема, в которой параметры r, L и С положительны. Если в какой-либо ветви схемы данное условие не выполнено, то схема физически нереализуема.

1 Это не относится к четырехполюсникам, не содержащим реактивных элементов.

Например, схема рис. 9-6, б нереализуема при отрицательном знаке действительной части т. е. если

Схемой замещения четырехполюсника может служить и мостовая схема. Мостовая схема является физически реализуемым эквивалентом для любого реально осуществимого симметричного пассивного четырехполюсника.

Схемы замещения необратимых четырехполюсников, описанные выше, применяются для анализа и расчета электрических цепей, содержащих электронные лампы и транзисторы. К этому вопросу предстоит вернуться во второй части курса.

Пример 9-1.

Рассматривая автотрансформатор (см. рис. 8-21, о) как четырехполюсник, построить для него Т-образную схему замещения.

Выбрав положительные направления токов по третьему варианту и воспользовавшись параметрами Z, найдем:

На основании рис. 9-6, б получаются следующие сопротивления ветвей Т-образной схемы:

Полученный результат совпадает с данными (см, рис. 8-21, б).

Входное сопротивление четырехполюсника при произвольной нагрузке

Обозначим через входное сопротивление четырехполюсника со стороны выводов 1, когда к выводам 2 присоединено произвольное комплексное сопротивление Z3 (рис. 9-7, а); соответственно через обозначим. входное сопротивление четырехполюсника со стороны выводов 2, когда к выводам 1 присоединено произвольное комплексное сопротивление (рис. 9-7, б).

Следовательно, входное сопротивление равно отношению напряжения к току при прямой передаче энергии:a равно отношению напряжения к-локу при обратной передаче энергии:


Входные сопротивления четырехполюсника могут быть выражены через любую систему коэффициентов четырехполюсника и комплексные сопротивления нагрузок и .

а и б — произвольная нагрузка: в и г — согласованная нагрузка.

Например, если воспользоваться системой уравнений (9-3), то, разделив первое из уравнений на второе, получим:

Аналогично при обратной передаче на основании (9-18)

Если воспользоваться таблицами приложений II и III, то можно выразить через другие коэффициенты четырехполюсника.

На практике применяются и другие выражения для . Например, в тех случаях, когда известны параметры холостого хода и короткого замыкания удобно пользоваться зависимостями от этих параметров. С этой целью выражениям (9-23) и(9-24) с учетом (9-21) придается следующий вид:

Рассмотренные выше функциональные зависимости представляют собой дробнолинейные преобразования, связывающие сопротивления на выводах четырехполюсника; они иллюстрируют одно из свойств четырехполюсника — способность преобразовывать сопротивления.

Характеристические параметры четырехполюсника

Положим, что сопротивления в схемах рис. 9-7, а и б подобраны таким образом, что и . Иначе говоря, будем считать, что существуют два сопротивления: которые удовлетворяют следующему условию: входное сопротивление четырехполюсника, нагруженного сопротивлением , равно (рис. 9-7, в); входное сопротивление четырехполюсника, нагруженного сопротивлением равно (рис. 9-7, г).

Такие два сопротивления называются характеристическими сопротивлениями несимметричного четырехполюсника.

Условие, когда четырехполюсник нагружен соответствующим характеристическим сопротивлением, называется условием согласованной нагрузки или согласованного включения.

Положив в (9-23) и (9-24)

и

получим

Совместное решение этих уравнений относительно и дает:

Введем для рассматриваемого обратимого четырехполюсника новый параметр g, удовлетворяющий условиям:

Эти условия всегда осуществимы, так как параметр g может быть комплексным. Кроме того, эти условия взаимно дополняют друг друга, так как имеющая место связь между коэффициентами (9-16) соответствует тригонометрической формуле


Параметр g в общем случае комплексный; называется мерой передачи четырехполюсника. Это — третий характеристический параметр обратимого четырехполюсника. Его действительная часть а называется собственным затуханием четырехполюсника, а мнимая часть b — коэффициентом фазы.

Физический смысл этих коэффициентов будет пояснен ниже. Выразим коэффициенты четырехполюсника формы через характеристические параметры.

На основании (9-25):

Умножение (9-26) на (9-27) и (9-28) дает:

1 Иногда этот параметр называется коэффициентом передачи, его не следует смешивать с терминами «коэффициент передачи по напряжению» и «коэффициент передачи по току». В литературе ранее применялось обозначение

Деление (9-26) на (9-27) и (9-28) дает:

В результате подстановки (9-29)—(9-32) в (9-3) получаются уравнения несимметричного обратимого четырехполюсника в гиперболической форме, соответствующие положительным направлениям токов указанным на рис. 9-4:

При согласованно подобранной нагрузке имеет место равенство


Если воспользоваться известным математическим соотношением

то уравнения (9-33) упростятся:

Отсюда следует, что при согласованно подобранной нагрузке модули напряжений и соответственно токов на входе и выходе четырехполюсника связаны уравнениями:


Множитель равен отношению амплитуд или действующих значений напряжений на входе и выходе четырехполюсника при согласованной нагрузке. В свою очередь множитель равен отношению амплитуд или действующих значений токов при той же нагрузке.

Если аргументы (углы) комплексных характеристических сопротивлений обозначить через то фазовый сдвиг напряжения на входе относительно напряжения на выходе определится величиной а фазовый сдвиг тока на выходе относительно тока на выходе — величиной

В общем случае коэффициент фазы b может быть определен как полусумма фазовых сдвигов между напряжениями и соответственно между токами на входе и выходе четырехполюсника, нагруженного согласованно. При равенстве углов и согласованно подобранной нагрузке фазовые сдвиги между напряжениями и соответственно между токами четырехполюсника одинаковы и равны b.

Характеристические параметры и g могут быть выражены через параметры холостого хода и короткого замыкания, а именно: на основании (9-21), (9-25) и (9-26)

Подстановка (9-26) в формулу ch g + sh g = приводит к выражению, связывающему характеристический параметр g с коэффициентами четырехполюсника формы ||A||,

По этой формуле g вычисляется однозначно, если подставлять под радикалы коэффициенты А в показательной форме с последующим сложением углов и делением их суммы на 2. По формуле (9-35) для тангенса принципиально невозможно получить однозначное решение, так как входные сопротивления под радикалом не изменяются от перекрещивания выводов четырехполюсника. Поэтому формула (9-36) предпочтительнее формулы (9-35) для th g.

Вычисление g по формуле для th g ведется в следующем порядке:


откуда

в результате логарифмирования

Следует отметить, что параметр g может быть также получен как половина натурального логарифма отношения произведений комплексных напряжения и тока на входе и выходе четырехполюсника при согласованной нагрузке.

Действительно, на основании (9-34)

откуда

В случае симметричного четырехполюсника характеристические сопротивленияравны друг другу:
Следовательно, входное сопротивление симметричного четырехполюсника, нагруженного характеристическим сопротивлением равно . Это означает, что всякому симметричному четырехполюснику соответствует некоторое характеристическое сопротивление обладающее следующим свойством: если нагрузить данный четырехполюсник сопротивлением то отноишия напряжения к току на входе и выходе четырехполюсника будут-одинаковыми, т. е.


На основании (9-33) уравнения симметричного четырехполюсника при произвольной нагрузке записываются в гиперболической форме (для положительных направлений рис. 9-4) так:


Если нагрузка подобрана согласованно, т. е. то
В этом случае амплитудные изменения напряжения и тока определяются множителем а фазовый сдвиг между напряжениями или токами — углом b. Собственное затухание а будет:

Величины g, а и b — безразмерные. Угол b вычисляется в радианах (рад); собственное затухание а, входящее в (9-39), принято вычислять в б е л а х (Б) или децибелах (дБ), которые определяются следующим образом.

Если полная мощность на выходе четырехполюсника в 10 раз меньше мощности на его входе, то затухание составляет 1-Б\ если мощность уменьшается в 100 раз, то затухание оценивается в 2 Б и т. д. Поэтому

В случае согласованно нагруженного симметричного четырехполюсника


Децибел — единица затухания, в 10 раз мейьшая бела. Затухание 1 дБ соответствует уменьшению полной мощности в 1,26 раза или уменьшению напряжения и тока в 1,12 раза.

Затуханию 1 Нп соответствует уменьшение амплитуды и действующего значения напряжения или тока в е = 2,718 раза (так как при имеем ).
Табл. 9-1 иллюстрирует зависимость затухания в децибелах от отношений полных мощностей на входе и выходе четырехполюсника;

Таблица 9-1
Затухание при различных отношениях дБ

соответствующие им отношения величин напряжений или токов симметричного четырехполюсника, нагруженного согласованно, составляют

Для перехода от децибелов к неперам или обратно можно воспользоваться приведенным выше условием:

Вносимое затухание четырехполюсника

Вносимое затухание (или усиление) является мерой оценки изменения условий передачи при включении четырехполюсника между источником и приемником.

Положим, что между источником напряжения, имеющим внутреннее сопротивление и приемником включен четырехполюсник.

Под вносимым затуханием четырехполюсника подразумевается десятикратное значение десятичного логарифма (в децибелах) или половина натурального логарифма (в неперах) отношения полной мощности 5,. которую непосредственно отдавал бы источник сопротивлению (рис. 9-8, о), к полной мощности на выходе четырехполюсника, нагруженного сопротивлением (рис, 9-8, б):


или

Мощности выражаются следующим образом:


Отношение входящее в (9-42), может быть выражено через характеристические параметры четырехполюсника и сопротивления

Пользуясь обозначениями рис. 9-8, б и уравнениями четырехполюсника, записанными в форме находим:

откуда

На основании (9-29) — (9-32)

Подстановка (9-44) в (9-43) дает:

После ряда алгебраических преобразований получается:
где

— так называемые коэффициенты отражения на входе и выходе четырехполюсника.

В связи с этим выражение (9-42) принимает следующий вид:

Следовательно, вносимое затухание состоит из пяти слагаемых. Первое слагаемое — собственное затухание четырехполюсника, второе — затухание вследствие несогласованности сопротивлений на входе четырехполюсника, третье — затухание вследствие несогласованности сопротивлений на выходе, четвертое — затухание вследствие взаимодействия несогласованностей на входе и выходе и пятое со знаком минус — затухание вследствие несогласованности сопротивлений источника и приемника.

Если вносимое затухание равно нулю, то это означает, что мощности на входе и выходе четырехполюсника равны между собой.

Когда четырехполюсник является усилителем мощности (например, в случае лампового триода или транзистора), выражения (9-40) и (9-41) дают отрицательные значения ; это указывает на то,- что вместо затухания в данном случае имеет место усиление (измеряемое в децибелах или неперах),

Передаточная функция

Передаточной функцией называется зависимость от частоты отношения комплексных амплитуд или комплексных действующих значений электрических величин на выходе и входе четырехполюсника при заданном режиме передачи. Необходимо помнить, что именно выходная электрическая величина делится на входную, а не обратно.

Передаточные функции, соответствующие отношению одноименных электрических величин, — коэффициент передачи по напряжению

и коэффициент передачи по току

представляют собой безразмерные, в общем случае комплексные, зависящие от частоты величины. Применительно к усилительным устройствам они носят название коэффициентов усиления по напряжению и току.

Отношения разноименных электрических величин — передаточное сопротивление и передаточная проводимость — имеют соответственно размерности сопротивления и проводимости и также являются в общем случае комплексными величинами, зависящими от частоты.

Зависимости модулей комплексных отношений представляют собой амплитудно-частотные, зависимости их аргументов — фазо-частотные характеристики четырехполюсника.
Под передаточной функцией понимается часто отношение операторных изображенийэлектрических величин на выходе и входе четырехполюсника»

Эти характеристики имеют важное значение для работы устройств автоматики и радиотехники.

В общем случае четырехполюсника, нагруженного произвольным сопротивлением передаточные функции могут быть выражены через любую систему коэффициентов четырехполюсника, и сопротивление

Через коэффициенты формы они выразятся следующим образом (положительные направления для токов соответствуют прямой передаче):
Н

При холостом ходе и коротком замыкании эти коэффициенты примут вид:

В случае обратной передачи, очевидно, можно написать


Отсюда видно, что для обратимого четырехполюсника коэффициент передачи по напряжению при холостом ходе и прямом направлении передачи энергии равен коэффициенту передачи по току при коротком замыкании и обратном направлении передачи энергии. В свою очередь коэффициент передачи по току при коротком замыкании и прямом направлении передачи равен коэффициенту передачи по напряжению при холостом ходе и обратном направлении передачи.

Каскадное соединение четырехполюсников, основанное на согласовании характеристических сопротивлений

На практике широко распространено каскадное или цепочечное соединение четырехполюсников, при котором входные выводы каждого последующего четырехполюсника присоединяются к выходным выводам предыдущего четырехполюсника; цепи, служащие для передачи электрической энергии (каналы связи и т. д.) обычно состоят из звеньев, следующих друг за другом.

Каскадное соединение четырехполюсников, выполненное по принципу согласования характеристических сопротивлений, заключается в том, что входное сопротивление на выводах любого четырехполюсника равно характеристическому.

Рисунок 9-9 иллюстрирует каскадное соединение двух четырехполюсников. Ввиду того что комплексное сопротивление нагрузки согласовано с выходным характеристическим сопротивлением второго четырехполюсника, входное сопротивление этого четырехполюсника равно характеристическому при этом оно служит согласованной нагрузкой для первого четырехполюсника. Поэтому входное сопротивление первого четырехполюсника также равно характеристическому


Отсюда следует, что каскадно соединенные четырехполюсники с согласованными характеристическими сопротивлениями могут быть замещены одним четырехполюсником, имеющим характеристические сопротивления, равные входному характеристическому сопротивлению первого и выходному характеристическому сопротивлению последнего четырехполюсников (рис. 9-9). Мера передачи g результирующего четырехполюсника определяется алгебраической суммой мер передачи составных четырехполюсников.

В самом деле, применительно к схеме рис. 9-9 в соответствии с (9-34)

Полученные выражения подтверждают сказанное выше: результирующий четырехполюсник имеет характеристические сопротивления и меру передачи Соответственно собственное затухание результирующего четырехполюсника а фазовый коэффициент

Было показано что передача максимума активной мощности обеспечивается, когда комплексные сопротивления источника и нагрузки являются сопряженными. Это условие не выполняется в случае согласования характеристических сопротивлений каскада в прямом и обратном направлениях, если характеристические сопротивления комплексные. Однако если они активные (включая сопротивление источника), как это нередко имеет место на практике, то обеспечивается оптимальное условие передачи мощности.

Согласование характеристических сопротивлений .широко применяется в автоматике, приборостроении и электронике.

Уравнения сложных четырехполюсников в матричной форме

Для получения параметров результирующего четырехполюсника, составленного из более простых четырехполюсников, параметры которых известны, удобно пользоваться матричной записью,


В зависимости от схемы соединения сложного четырехполюсника применяется та или иная форма уравнений, а именно:

  1. при каскадном соединении (рис. 9-10) —форма
  2. при последовательном соединении (см. рис. 9-11) — форма
  3. при параллельном соединении (см. рис. 9-12) — форма Каскадное соединение четырехполюсников (рис. 9-10). Уравнения

составных четырехполюсников в матричной форме

Здесь индексом а отмечены величины, относящиеся к первому четырехполюснику, а индексом 6 — величины, относящиеся ко второму четырехполюснику.

При каскадном соединении


Следовательно,


Таким образом, матрица результирующего четырехполюсника равна произведению матриц составных четырехполюсников:

Эго правило распространяется на случай каскадного соединения любого числа четырехполюсника.’ При этом матрицы, подлежащие


перемножению, записываются в порядке следования соответствующих четырехполюсников, так как умножение матриц не подчиняется переместительному закону.

Последовательное соединение четырехполюсников (рис. 9-11) Уравнения составных четырехполюсников в матричной формеимеют вид:

Таким образом, матрица результирующего четырехполюсника равна сумме матриц составных четырехполюсников:


Параллельное соединение четырехполюсника (рис. 9-12)

Уравнения составных четырехполюсников в матричной форме имеют вид:
При параллельном соединении четырехполюсников:

При параллельном соединении четырехполюсников:

Таким образом, матрица результирующего четырехполюсника равна сумме матриц Составных четырехполюсников

Правила нахождения матриц сложных четырехполюсников сведены в табл. 9-2. Они справедливы при любом числе составных четырехполюсников. Однако правила сложения матриц применимы только при равенстве токов входящего и выходящего в каждой паре выводов составных четырехполюсников, которое должно быть обеспечено тем или иным способом.

Одноэлементные четырехполюсники

Простейшими четырехполюсниками являются одноэлементные четырехполюсники, состоящие из последовательного (рис. 9-13, а) или параллельного (рис. 9-13, б) двухполюсника.

Уравнения первого из них в форме записываются следующим образом:


или, что то же,

Уравнения одноэлементного четырехполюсника с параллельной ветвью (рис. 9-13, б) в формезаписываются следующим образом:


или, что то же,


Если в первом четырехполюснике (рис. 9-13, а) положить Z = 0 или, что то же, во втором четырехполюснике (рис. 9-13, б) принять то получится уравнение

в форме

соответствующее непосредственному прямому соединению, показанному на рис. 9-14, а.


Поэтому при перекрещивании входных или выходных выводов любого четырехполюсника его матрица умножается на что равносильно перемене знаков коэффициентов А.

Г-образный четырехполюсник

Коэффициенты Г-образного четырехполюсника (см. рис. 9-15) могут быть получены непосредственно по формулам. Например, для схемы рис. 9-15, а коэффициенты формы ||Л|| согласно формулам будут:
Легко убедиться, что перекрещенному соединению (рис. 9-14, б) соответствует уравнение в формесогласно формулам будут:

Аналогично могут быть вычислены и другие коэффициенты.

Характеристические параметры Г-образного четырехполюсника могут быть вычислены по формулам (9-25) и (9-26).


Для схемы рис. 9-15, а:

Для схемы рис. 9-15, б:


При расчете электрических фильтров и в ряде других случаев за исходные схемы Г-образных четырехполюсников принимаются схемы рис. 9-15, виг, причем мера передачи Г-образного четырехполюсника обозначается через g/2, для того чтобы при согласованном каскадном соединении двух таких четырехполюсников получался Т- или П-образный четырехполюсник с мерой передачи g. При этом характеристическое сопротивление со стороны параллельной ветви обозначается через а со стороны последовательной ветви — через
На основании (9-45) или (9-46):


Эти выражения используются в теории электрических фильтров.

Т-образный и П-образный четырехполюсники

Рассматривались схемы замещения четырехполюсника и приводились схемы Т-образного и П-образного четырехполюсников. Коэффициенты таких четырехполюсников вычисляются по общей методике.

Так, для Т-образной схемы рис.

9-16 получим:


Характеристические параметры находятся по формулам (9-25) и (9-26).

Симметричные Т- и П-образные четырехполюсники можно получить согласованным каскадным соединением двух одинаковых Г-образных четырехполюсников (рис. 9-17, а и б). Результирующие четырехполюсники имеют характеристические сопротивленияопределяемые согласно (9-47), и меру передачи g, вдвое превышающую меру передачи Г-образного четырехполюсника.

С учетом (9-48) имеем:

Тот же результат получается на основании (9-26).

Симметричный мостовой четырехполюсник

Для симметричного мостового четырехполюсника (см.рис. 9-18) в соответствии с можно получить коэффициенты формы



Характеристические параметры симметричного мостового четырехполюсника находятся по формулам:

Как уже отмечалось, мостовой четырехполюсник является физически реализуемым эквивалентом для любого реально осуществимого симметричного пассивного четырехполюсника.

Обратная связь

Последовательно-параллельное соединение двух четырехполюсников представляет собой один из основных видов цепи с обратной связью, в которой напряжение на выходе воздействует на входные напряжения системы. Пусть некоторое устройство, которое назовем основным, представляет собой четырехполюсник с передаточной функцией

(рис. 9-19). Если выходное напряжение подвести к выводам другого четырехполюсника, называемого устройством обратной связи, и включить его противоположные выводы последовательно с входными выводами основного устройства, то получится система с обратной связью по напряжению.

Обозначим передаточную функцию устройства обратной связи черезОчевидно,

Следовательно, передаточная функция всей системы

или, если разделить числитель и знаменатель на


Если поменять полярность одной из пар выводов устройства обратной связи, то в знаменателе (9-51) вместо знака минус получится знак плюс.

Обратная связь, при которой напряжение, пропорциональное выходному напряжению, добавляется к входному напряжению системы так, чтоназывается положительной; если же то обратная связь называется отрицательной.

Выражение (9-51) может быть переписано так:

Если то


Это выражение показывает, что передаточная функция системы зависит от передаточной функции устройства обратной связи. Регулируя последнюю, можно воздействовать на передаточную функцию всей системы.

Методы расчета электрических цепей с использованием теории четырехполюсников

Основные теоретические сведения:

В радиотехнике обычно интересуются прохождением сигналов через произвольную сложную электрическую цепь. При этом важно установить связь между выходными и входными значениями сигнала, не рассчитывая токи и напряжения на элементах внутри цепи.

Для такого анализа цепь (или часть цепи) представляется обобщенной схемой в виде четырехполюсника. Анализ цепи в этом случае производится на основе классической теории четырехполюсников, которая устанавливает связь между токами и напряжениями, действующими на входных и выходных зажимах (полюсах).

Краткая характеристика четырехполюсников

На рис. 5.1. показан неавтономный активный четырехполюсник. В зависимости от того, какая пара переменных величин считается независимой, процессы в четырехполюсниках можно описать одной из шести форм уравнений, приведенных и табл. 5.1.

Коэффициенты уравнений характеризуют свойства четырехполюсника, зависящие только от схемы цепи и параметров ее элементов. Поэтому коэффициенты уравнения называют собственными (иногда первичными) параметрами четырехполюсника. Их можно определить экспериментально или аналитически по известной схеме цепи. Для определения параметров применяют режим холостого хода (XX) или режим короткого замыкания (КЗ) на соответствующих зажимах четырехполюсника.

Режим работы четырехполюсника выбирают так, чтобы одно из слагаемых данных уравнений (табл. 5.1) было равно нулю. Например, для выходных зажимов при XX при КЗ Далее, полагая одну из двух переменных величин (ток, напряжение) заданной, по схеме цепи рассчитывают данный параметр.

При выбранном режиме работы четырехполюсника каждый коэффициент уравнений имеет конкретный физический смысл. Например, из уравнений в форме Y (табл. 5.1) видно, что каждый коэффициент равен отношению тока к напряжению. Поэтому по физическому смыслу Y-параметры являются входными или передаточными проводимостями. В этом смысле Z- параметры являются входными или передаточными сопротивлениями.

А- и В-параметры называют передаточными, так как по физическому смыслу они являются передаточными сопротивлениями (проводимостями) или коэффициентами передачи по напряжению (току). Параметры вида Н и G называются гибридными, так как они содержат входные сопротивления (проводимости) и коэффициенты передачи по напряжению (току).

В общем случае четырехполюсник характеризуется четырьмя параметрами. Для взаимных и симметричных четырехполюсников число параметров уменьшается, так как могут быть два параметра, равных по величине. Условия взаимности и симметричности четырехполюсников для различных собственных параметров приведены в табл. 5.2.

Любая система параметров может быть выражена через каждую из других пяти систем (табл.5.3). Например, в справочнике приведены Н-параметры транзистора, а для расчета цепи необходимо знать Y-параметры транзистора. В этом случае необходимо воспользоваться формулами, расположенными на пересечении строки Y и столбца Н (табл. 5.3):

где Н — определитель матрицы Н-параметров.

Использование собственных параметров четырехполюсника позволяет при расчете любую электрическую цепь представить эквивалентной схемой замещения.

На рис. 5.2 показаны схемы замещения на базе Y-, Z- и Н-параметров. Наиболее часто схемы замещения применяют для описания электрических приборов (триодов, транзисторов), включенных в электрическую цепь.

Собственные параметры четырехполюсника не учитывают влияние внешних цепей (источника и нагрузки). Для расчета четырехполюсника с учетом этих целей применяют комплексные функции, которые иногда называют вторичными или рабочими параметрами. Эти параметры выражают через собственные параметры Y или Z.

Если источник задан напряжением или током на входе четырехполюсника, то при расчете необходимо учитывать только нагрузку. Комплексные входные и передаточные функции для этого случая приведены соответственно в табл. 5,4 и 5.5.

Расчет в ряде случаев удается упростить, если цепь представить в виде сложного четырехполюсника. Основные виды соединения двух простых четырехполюсников показаны в табл. 5.6. Матрицы параметров некоторых простых четырехполюсников приведены в табл. 5.7 и 5.8.

Примеры решения задач:

Пример 5.1.1.

Для четырехполюсника (рис. 5.3, а) определить А-параметры. Y- и Z-параметры найти по связям с полученными параметрами.

Дано:

Решение

1. Строим схемы для холостого хода и короткою замыкания на зажимах 2—2′ (рис. 5.3, б, в).

Для режима холостого хода система уравнений вида А примет вид:

Отсюда

Для определении на вход цепи рис. 5.3,6 подаем и определяем

При расчете задаемся и находим (рис. 5.3, б)

Для режима короткого замыкания система уравнений вида А примет вид

Для определения на вход цепи (рис. 5.3, в) подаем и находим . Из схемы видно, что поэтому

Подставляя по значение в исходную формулу, получаем

можно найти из соотношения

т.е.

2. Рассчитаем Y- и Z-параметры по формулам связи с А-параметрами (см. табл. 5.3):


Пример 5.1.2.

Найти матрицу А низкочастотного фильтра, изображенного на рис. 5.4, пользуясь матрицами элементарных четырехполюсников.

Решение

1. Определяем матрицу элементарного четырехполюсника (см. табл. 5.7)

2. Находим матрицу элементарного четырехполюсника (см. табл. 5.7)

3.Рассчитаем матрицу А сложного четырехполюсника при каскадном включении элементарных четырехполюсников

Пример 5.1.3.

Определить комплексную передаточную функцию по напряжению реактивного фильтра нижних частот (см. рис. 5.4), нагруженного на активное сопротивление .

Решение

1. Рассчитаем Y-параметры ненагруженного четырехполюсника. Из табл. 5.8 определим

2.Комплексную передаточную функцию по напряжению нагруженного четырехполюсника определим по формуле (см. табл. 5.5).

Учитывая, что , получаем

Методы расчета линейных активных цепей с использованием теории четырехполюсников

Основные теоретические сведения:

Цепи с электронными приборами (электронными лампами, транзисторами, операционными усилителями и т.п.), способные в определенных режимах усиливать по мощности входной сигнал, называются активными. Вследствие нелинейности вольт-амперных характеристик (ВАХ) электронных приборов такие цепи, строго говоря, являются нелинейными. Если амплитуда входного сигнала мала, а рабочая точка выбрана на линейном участке ВАХ прибора, id активные цели можно рассматривать как линейные.

В этом случае их анализ производят методами теории линейных электрорадиоцепей.

Для расчета линейных электрических цепей активные элементы заменяют их моделями, которые с определенной степенью точности отражают происходящие в них физические процессы. Paзличают математические (аналитические) и электрические модели электронных приборов. При расчете линейных активных цепей (ЛАЦ) известными методами теории цепей используют электрические модели, т. е. эквивалентные электрические схемы активных элементов. Обычно применяют два вида эквивалентных схем электронных приборов — физическую и схему на базе собственных параметров четырехполюсника.

Физическая эквивалентная схема строится на основе структуры прибора и принципа его работы, т. е. на основе так называемых физических параметром.

Рассмотрим эквивалентные схемы трех основных видов электронных приборов, применяемых для усиления сигналов. Способность прибора усиливать сигнал отражается включением в эквивалентную схему зависимого источника тока или напряжения.

На рис.5.9 схематически показано устройство плоскостного биполярного транзистора и его условное графическое изображение. В электрическую цепь транзистор может быть включен по схеме с обшей базой (ОБ), но схеме с общим эмиттером (ОЭ) или по схеме с общим коллектором (ОК). В табл. 5.9 приведены физические эквивалентные схемы биполярного транзистора для трех схем включения.

Элемент , схемы является дифференциальным сопротивлением эмиттерного перехода в прямом направлении, — дифференциальное сопротивление коллекторного перехода в обратном направлении, — сопротивление объема полупроводника базы. Обычно в транзисторах

В общем случае все физические параметры являются частотно-зависимыми. Этот факт учитывается включением в электрическую модель емкостей эмиттера и коллектора. Эти емкости достаточно малы, поэтому их влияние необходимо учитывать лишь на высоких частотах. Наиболее вредной является емкость коллектора шунтирующая источник.

В рассматриваемых схемах усилительные свойства отображены зависимыми источниками тока в цепи коллектора, которые выражены через коэффициент передачи тока;

Зависимый источник можно выразить также через коэффициент передачи тока базы:Так как то

В современных транзисторах ток базы мал по сравнению с током эмиттера. Обычно поэтому

На рис.5.10 приведены условное графическое изображение и физическая эквивалентная схема электровакуумного триода.

Эквивалентная схема характеризуется физическими параметрами: входным и внутренним сопротивлениями триода переменному току и межэлектродными емкостями, которые пунктиром показаны на условном графическом изображении. Для большинства триодов эти емкости имеют значения от 2 до 15 пФ, поэтому на низких частях их можно не учитывать.

Величины входного и внутреннего сопротивлений зависит от режима работы триода. Обычно на сетку подается отрицательное относительно катода напряжение. При этом ток сетки близок к нулю, а входное сопротивление велико — единицы — десятки мегаом. Внутреннее сопротивление триода при работе в линейном режиме обычно лежит в пределах от 10 до 30 кОм.

Зависимый источник тока в эквивалентной схеме определяется крутизной S вольт-амперной характеристики и напряжением между сеткой и катодом:

где — ток анода.

Важным параметром триода является коэффициент усиления


где — напряжение между анодом и катодом.

Современные триоды имеют коэффициент усиления от 3 до 100 и крутизну от 1 до 50 мА/В.

Рассмотренная физическая эквивалентная схема соответствует включению триода и цепь по наиболее распространенной схеме с общим катодом. Кроме того, триод может включаться в цепь по схеме с общим анодом или с обшей сеткой.

Полевой (униполярный, канальный) транзистор является полупроводниковым аналогом электровакуумного триода. На рис.5.11 схематически показано устройство полевого транзистора с управляющим переходом и каналом типа, а также его условное графическое изображение.

Сетке триода соответствует затвор (3) транзистора, катоду -исток (И), аноду — сток (С).

Физическая эквивалентная схема этого транзистора, включенного на схеме с общим истоком, показана на рис. 5.12. Видно, что эта схема аналогична схеме триода. Зависимый источник тока характеризуется крутизной ВАХ и напряжением между затвором и истоком:

где — ток стока.

Величина внутреннего сопротивления может достигать сотен килоом.

Второй тип эквивалентных схем электронных приборов основан на представлении их линейными невзаимными четырехполюсниками. В этом случае параметрами активных элементов являются коэффициенты уравнений четырехполюсников (см. табл. 5.1). Поэтому эквивалентными схемами электронных приборов являются схемы замещения четырехполюсников на базе соответствующих параметров (см. рис. 5.2). Аналогично физическим эквивалентным схемам усилительные свойства электронных приборов отражаются зависимыми источниками.

В настоящее время основными параметрами транзисторов считаются гибридные Н-параметры, так как они наиболее просто измеряются. Именно эти параметры приводятся во всех справочниках. При расчете некоторых цепей удобнее применять Y-napaметры. Переход от одних параметров к другим производится по известным формулам связи собственных параметров четырехполюсников разных систем (см. табл. 5.3).

Н- и Y-параметры называются низкочастотными мало сигнальными, так как они справедливы лишь на низких частотах и для входных сигналом с малыми амплитудами. При работе электронных приборов на низких частотах все их параметры являются вещественными.

Параметры электронных приборов как четырехполюсников, в отличие от физических параметров, существенно зависят от схемы включения прибора в цепь. Поэтому к цифровому индексу параметра добавляют соответствующую букву.

Например, матрицы Н-параметров транзисторов, включенных по схеме с ОЭ и по схеме с ОБ, соответственно имеют вид:

Аналогично записываются матрицы Y-параметров.

Зная параметры прибора для одной схемы включения, можно найти его параметры для другой схемы. В табл. 5.10 приведены формулы, связывающие -параметры транзистора при различных схемах включения в цепь.

Н-параметры так же, как и Y-параметры, непосредственно связаны с физическими параметрами электронного прибора. Некоторые формулы, определяющие эту связь для биполярных транзисторов, приведены в табл. 5.11 и 5.12.

Отметим физический смысл Н-параметров транзистора, который следует из уравнений четырехполюсника в форме Н (см. табл. 5.1).

В систему Н-параметров входят величины:

. — входное сопротивление при коротком замыкании выходных зажимов транзистора

— коэффициент обратной связи по напряжению при холостом ходе на входных зажимах;

— коэффициент передачи тока ( или в зависимости от схемы включения) при

— выходная проводимость транзистора при холостом ходе на входе

По физическому смыслу выходная проводимость есть внутренняя проводимость транзистора;

Для полевого транзистора или электровакуумного триода эквивалентную схему можно упростить. Наиболее часто эти приборы включают в цепь по схеме с общим катодом (истоком). При этом входное сопротивление велико, поэтому ток сетки (затвора) близок к нулю.

Из уравнений в форме (см. табл. 5.1) видно, что Поэтому эти активные элементы характеризуются двумя параметрами:

Расчет линейных активных целей (ЛАЦ) с использованием рассмотренных эквивалентных схем активных элементов может производиться по известным методам. В настоящее время наиболее часто применяют MУH, MKT, метод сигнальных графов.

Введение в эквивалентные схемы активных элементов зависимых (управляемых) источников позволяет исключить из расчета независимые источники цепи (источники питания), которые обеспечивают заданный режим работы. При этом зависимые источники работают на частоте сигнала, подаваемого на вход цепи.

Таким образом, при расчете полагают, что в цепи действует один независимый источник сигнала на входе. Поэтому расчет цепи проводят обычным способом, определяя заданные токи (напряжения) или комплексные функции.

Особенность расчета ЛАЦ по MKT или МУН состоит в следующем. Электрическая схема цепи заменяется эквивалентной схемой, в которой активные элементы заменяются физическими эквивалентными схемами или схемами на базе параметров четырехполюсника. Далее, в соответствии с выбранным методом расчета составляются по общим правилам контурные или узловые уравнения.

Например, допустим, что схема имеет три независимых контура. Источник сигнала включен в первый контур, а зависимый источник электронного прибора находится в третьем контуре. В соответствии с MKT система контурных уравнений в матричной форме будет иметь вид

В этом случае матрица контурных сопротивлений описывает только пассивные элементы цепи. Условимся называть такие матрицы матрицами пассивной части цепи и обозначим соответственно или Эти матрицы являются симметричными относительно главных диагоналей, т. е.

Зависимые источники активных элементов неизвестны, они определяются токами (напряжениями) в цепи. Поэтому их необходимо выразить через контурные токи (при MKT) или через узловые напряжения (при МУН) и перенести в соответствующие элементы правой части уравнений.

После преобразований все уравнения, кроме первого, будут иметь нулевые правые части. При этом матрица Z или Y характеризует цепь с учетом активных элементов. Такую матрицу будем называть полной.

Так как электронной прибор является невзаимным (однонаправленным), то полная матрица будет несимметричной, т. е. в общем случае

Полная матрица Z или Y позволяет но известным формулам через определители рассчитать любую комплексную функцию цепи.

Эти методы расчета обычно называют методами эквивалентных схем. Они отличаются наглядностью, простатой и логичностью действий, позволяют использовать любые эквивалентные схемы активных элементов. Однако их применение ограничено, так как для сложных многокаскадных цепей метод становится громоздким.

Представление зависимых источников через искомые точки или напряжения, перенос этих величин в левые части уравнений имеют общие закономерности. Исследования этих закономерностей позволило обобщить (формализовать) методы расчета. Суть обобщения состоит в том, что можно по известным правилам составлять полную матрицу сопротивлений (проводимостей) цепи, не составляя систему уравнений.

Рассмотрим обобщенный метод узловых напряжений (ОМУН). Сущность этого метода состоит в следующем. Электронные приборы в схеме заменяют физической эквивалентной схемой, затем по известным правилам определяют независимые узлы и для них составляют матрицу пассивной части цепи, включая физические параметры электронного прибора. Далее в эту матрицу вписывают так называемые управляющие параметры, учитывающие зависимые источники активных элементов. Полученная в результате этого матрица является полной матрицей активной линейной цепи, позволяющей произвести расчет заданных величин.

Управляющим параметрам называют коэффициент (по модулю) при узловом напряжении, которое создает ток зависимого источника активного элемента. Он рассчитывается непосредственно из выражения для зависимого источника тока.

Для биполярного транзистора Ток эмиттера зависит от сопротивления ветви эмиттера (внутреннего и внешнего) и от приложенного к ней узлового напряжения. Например, если то

Проводимость и является управляющим параметром, который вписывается в два элемента матрицы . В общем случае ток эмиттера может определяться разностью двух узловых напряжений: В этом случае управляющий параметр необходимо вписать в четыре элемента матрицы.

Номера строк этих элементов определяются номерами узлов цепи, к которым подключен зависимый источник тока , а номера столбцов — номерами узловых напряжений, создающих этот ток. Например, пусть источник включен между узлами 3 и 5, а управляется он узловым напряжением . Тогда управляющий параметр необходимо вписать в элементы матрицы.

Параметр вписывают со знаком плюс, если источник и напряжение относительно своих углов направлены одинаково. Например, в элемент параметр необходимо вписать со знаком плюс, если ток источника направлен к узлу 5, а напряжение — к узлу 3 (или оба направлены от узлов). В противном случае необходимо ставить знак минус.

Необходимо помнить, что при определении направления напряжения относительно -го узла необходимо учитывать его знак в формуле для расчета эмиттерного тока.

Для расчета ЛАЦ применяют также другой вариант ОМУН, принципиально отличающийся от рассмотренного выше. Сущность этого метода состоит в следующем. Для расчета составляют эквивалентную схему цепи, из которой исключают все активные элементы. Точки включения электродов этих элементов на схеме считаются узлами. Для этой схемы по известным правилам МУН составляют матрицу

Электронные приборы описывают матрицами Y-параметров. Для получения полной матрицы цепи элементы матрицы Y-napaметров необходимо вписать в одноименные элементы матрицы Далее расчет ведется обычным способом.

Если электронный прибор включен в цепь определенно, т. е. по схеме с общим электродом, то он характеризуется четырьмя параметрами, например:

В общем случае электронный прибор включается в цепь неопределенно, т. е. без общего электрода. При этом на всех электродах имеется напряжение относительно базисного узла (относительно земли).

Пример неопределенного включения транзистора показан на рис. 5.13. В этом случае транзистор описывается не четырьмя, а девятью Y-параметрами. Такая матрица формируется на основе параметров транзистора с определенной схемой включения. Для схемы, прицеленной на рис. 5.13, матрица Y-параметров транзистора имеет вид:

Можно показать, что такая матрица является неопределенной, т. е. суммы ее элементов в каждой строке и в каждом столбце тождественно равны нулю. На основании этого свойства определяют дополнительные параметры. Например: и.т.д.

Чтобы получить правильную полную матрицу проводимостей ЛАЦ, необходимо знать правила вписывания Y-параметров электронных приборов. Если, например, электроды транзистора включены к узлам с номерами то строки и столбцы неопределенной матрицы необходимо обозначить соответственно этими же номерами (см. ). Тогда элементы этой матрицы вписываются в элементы матрицы имеющие те же номера.

Примеры решения задач:

Пример 5.2.1.

Рассчитать комплексный коэффициент передачи по напряжению однокаскадного транзисторного усилителя (рис. 5.14) методом контурных токов (MKT). Транзистор представить физической схемой замещения.

Решение

1. Составим эквивалентную схему транзисторного усилителя по переменному току (рис. 5.15).

2. Выполним эквивалентные преобразования сопротивлений в схеме (рис. 5.16).

3. Выберем независимые контуры и зададим положительное направление контурных токов в них (рис. 5.16).

4. Составим систему уравнении по MKT:

5. Выразим ток эмиттеpa через контурный ток

6. Подставим ток эмиттера в уравнения

7. Сгруппируем подобные слагаемые в уравнениях

.

8. Рассчитаем ток по формуле Крамера


9. Рассчитаем выходное напряжение транзисторного усилителя

10. Рассчитаем комплексный коэффициент передачи по напряжению транзисторного усилителя

Пример 5.2.2.

Рассчитать комплексный коэффициент передачи по напряжению однокаскадного транзисторного усилителя (рис. 5.17) MKT. Транзистор представить схемой замещения на базе Н-параметров.

1. Составим эквивалентную комплексную схему транзисторного усилителя по переменному току (рис. 5.18).

2.Выполним эквивалентные преобразования сопротивлений в схеме и преобразуем источник тока в эквивалентный источник ЭДС (рис. 5.19):

3. Выберем независимые контуры и зададим положительное направление в них контурных токов.

4. Составим систему уравнений по MKT:

5. Выразим ток и напряжение через контурные токи:

6. Подставим их выражения в уравнения:

7. Сгруппируем подобные слагаемые в уравнениях:

8. Рассчитаем комплексный ток третьего контура

9. Рассчитаем выходное напряжение транзисторного усилителя

10. Рассчитаем комплексный коэффициент передачи по напряжению транзисторного усилителя

Пример 5.2.3. Рассчитать комплексный коэффициент передачи по напряжению однокаскадного транзисторного усилителя (рис. 5.20) ОМУН. Транзистор представить физической схемой замешения.

Решение

1. Составим эквивалентную комплексную схему транзисторного усилителя по переменному току (рис. 5.21).
2. Выберем независимые углы и зададим положительное направление узловых напряжений.

3. Составим матрицу проводимостей пассивной части схемы.

4. Определим управляющий параметр. Из схемы видно, что поэтому источник тока

Отсюда получим управляющий параметр:

5. Впишем управляющий параметр в матрицу

Источник тока включен в узлы 3 и 4, а управляется он узловым напряжением третьего узла . Поэтому параметр необходимо вписать в элементы матрицы

Ток источника направлен от yзла 3, а напряжение с учетом знака в формуле (5.1) направлено к. узлу. Поэтому в элемент параметр вписывается со знаком минус. Рассуждая аналогично, найдем, что в элемент параметр необходимо вписать со знаком плюс. После вписывания получим полную матрицу Y проводимостей усилителя

6. Рассчитаем комплексный коэффициент передачи усилителя по формуле (см. табл. 4.1)

где — алгебраические дополнения полной матрицы проводимостей, получаемые из нее путем вычеркивания соответствующих строк (в данном случае первой) и столбцов (первого и четвертого соответственно).

Пример 5.2.4.

Рассчитать Y-параметры транзистора — 623 В.

Дано:

Решение

1. Рассчитаем параметр транзистора по формуле (см. табл. 5.9)

2. Рассчитаем -параметры транзистора, включенного в схему с общей базой, по формулам пересчета параметров (см. табл. 5.3):

3. Используя основное свойство неопределенной матрицы, составим матрицу Y-параметров транзистора

4. Составим матрицу -параметров транзистора, включенного по схеме с общим эмиттером

Пример 5.2.5.

Рассчитать комплексный коэффициент передачи по напряжению однокаскадного транзисторного усилителя (см. рис. 5.20) ОМУН. Транзистор описать матрицей Y-параметров.

Решение

1.Составим эквивалентную комплексную схему однокаскадного транзисторного усилителя без учета транзистора (рис. 5.22).

2. Выберем независимые узлы и зададим положительное направление узловых напряжений.

3. Составим матрицу проводимостей пассивной части схемы

4. Впишем матрицу проводимостей пассивной части схемы в матрицу Y-параметров транзистора, включенного по схеме с общим эмиттером

5. Рассчитаем комплексный коэффициент передачи по напряжению

Пример 5.2.6.

Рассчитать комплексный коэффициент передачи по напряжению однокаскадного транзисторного усилители (рис. 5.23) МУН. Транзистор представить схемой замещения на базе Y-параметров. Построить АЧХ усилителя в диапазоне

Дано:

Решение

1. Составим эквивалентную комплексную схему транзисторного усилителя по переменному току (рис. 5.24).

2. Выберем независимые узлы и зададим положительное направление узловых напряжений.

3. Составим систему уравнений по МУН

4. Выразим напряжения через узловые напряжения:

5. Подставим значения напряжений в систему уравнений (5.2):

6. Сгруппируем подобные слагаемые в уравнениях (5.3):

7. Запишем матрицу проводимостей из полученной системы уравнений (5.4)

8. Подставим числовые значения и матрицу проводимостей

9. Рассчитаем комплексный коэффициент передачи по напряжению:

После подстановки и преобразований получим


Модуль комплексного коэффициента передачи определяется выражением

10. Рассчитаем значения модуля комплексного коэффициента передачи по напряжению и диапазоне частот

По результатам расчета построим график АЧХ и среде Mathcad (рис. 5.25).

Рекомендую подробно изучить предметы:
  1. Электротехника
  2. Основы теории цепей
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Линейные диаграммы
  • Круговые диаграммы
  • Цепи с взаимной индукцией
  • Трехфазные цепи
  • Нелинейные электрические цепи
  • Магнитные цепи и их расчёт
  • Цепи переменного тока
  • Символический метод расчета цепей

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

5.4. Собственные (характеристические) параметры четырехполюсника

5.4. Собственные (характеристические) параметры четырехполюсника

Собственное (характеристическое) сопротивление четырехполюсника. При передаче сигналов на большие расстояния электрическая цепь может состоять из большого числа каскадно включенных четырехполюсников. Основным требованием к передающей цепи является обеспечение минимальных потерь мощности передаваемого сигнала в самой цепи при условии, что мощность сигнала, выделяемая в нагрузке на приемном конце, должна быть максимально возможной.

Известно, что генератор сигналов с внутренним сопротивлением Zг, отдает максимальную мощность в такую нагрузку, сопротивление которой Zн согласованно с его внутренним сопротивлением, т.е. при Zг = Zн. Для выполнения этого условия необходимо обеспечить передачу максимальной мощности от генератора в четырехполюсник и передачу максимальной мощности от четырехполюсника в нагрузку. Это означает, что необходимо согласовать входное сопротивление четырехполюсникаZвх1 с внутренним сопротивлением генератора, т.е. выполнить условие Zвх1 = Zг и согласовать входное сопротивление четырехполюсника Zвх2 с сопротивлением нагрузки, т.е. выполнить условие Zвх2 = Zн. Если при включении четырехполюсника выполняется условие Zвх1=Zг и Zвх2 = Zн, то четырехполюсник будет работать в режиме согласованного включения.

Входные сопротивления четырехполюсника Zвх1 и Zвх2, при которых наступает режим согласованного включения, называются собственными (характеристическими) сопротивлениями четырехполюсника и обозначаются Zс1 и Zс2.

Выразим собственные сопротивления четырехполюсника через А-параметры. Для этого в выражениях (5.9) и (5.10) примем Zвх1 = Zг = Zс1 и Zвх2= Zн = Zс2 получим:

;

.

Совместное решение этих уравнений относительно Zс1 и Zс2 дает следующие выражения:

, (5.15)

. (5.16)

Учитывая связь А-параметров с параметрами холостого хода и короткого замыкания, которая определяется выражениями (5.11 – 5.14) уравнения (5.15) и (5.16) можно записать в следующем виде:

, (5.17)

. (5.18)

Из уравнений (5.15 – 5.18) видно, что собственные (характеристические) сопротивления четырехполюсника можно рассчитать с помощью А-параметров, или определить экспериментально методами холостого хода и короткого замыкания.

Пример. Резистивный четырехполюсник (рис. 5.2) с элементами Z1 = R1 = 2000 Ом, Z2= R2 = 1000 Ом включить согласованно с генератором, который имеет внутреннее сопротивление Zг, и нагрузкой Zн.

Рис. 5.2. Резистивный четырехполюсник.

Для согласования четырехполюсника с генератором и нагрузкой необходимо выполнить условие Zг = Zс1, и Zн = Zс2, следовательно, необходимо определить собственные сопротивления четырехполюсника со стороны генератора Zс1 и со стороны нагрузки Zс2. Эти величины можно рассчитать по формулам (5.15) и (5.16).

А-параметры, входящие в формулы (5.15) и (5.16), определим из матрицы, которую на основании рис. 5.2 и исходных данных можно записать в следующем виде:

,

откуда А11 = 3; А12 = 2000; A21 = 0,001; A22=1.

Зная А-параметры по формулам (5.17) и (5.18) определяем собственные сопротивления четырехполюсника:

Ом.

Ом.

На основании полученных расчетов следует, что для согласованного включения четырехполюсника необходимо внутреннее сопротивление генератора взять равнымZг=Zс1=2449 Ом, а сопротивление нагрузки Zн = Zс2 = 816.4 Ом.

Аналогичный результат можно получить, используя выражения (5.17) и (5.18). Для этого необходимо определить параметры холостого хода и короткого замыкания. Из схемы (рис.5.2) видно, что:

Ом Ом, тогда

Ом, а Ом

Ом и Ом.

Собственная (характеристическая) постоянная передачи четырехполюсника. При согласованном включении четырехполюсника потерь энергии на стыках соединения генератора с четырехполюсника и четырехполюсника с нагрузкой не будет. В этом случае потери энергии в цепи будут обусловлены только собственными потерями четырехполюсника, например, потерями энергии на его резистивных элементах.

Для оценки собственных потерь энергии в четырехполюснике вводят в качестве меры, характеризующей, как передает четырехполюсник энергию (с потерями или без), понятиехарактеристическая (собственная) постоянная передачи четырехполюсника. В качестве такой характеристики используют логарифмическое отношение мощностей на входе S1 = U1I1 и выходе S2 = U2I2 четырехполюсника, которое записывается в виде следующего выражения:

. (5.19)

Из определения следует, что все токи и напряжения должны измеряться или вычисляться в режиме согласованного включения четырехполюсника, т.е. приZг = Zс1 и Zн = Zс2. Так как

, (5.20)

то уравнение (5.19) примет вид:

. (5.21)

Для симметричного четырехполюсника Zс1 = Zс2 = Zс, тогда из (5.21) следует:

. (5.22)

Выясним физический смысл характеристической постоянной передачи четырехполюсника. Пусть на входе четырехполюсника действует гармонический сигнал и . Тогда для выходного сигнала можно записать следующие выражения и . Подставляя эти выражения для токов и напряжений в формулу (5.19) получим:

, (5.23)

(5.24)

называется собственным (характеристическим) ослаблением четырехполюсника. Она показывает в логарифмическом масштабе, на сколько уменьшилась мощность на выходе четырехполюсника по сравнению с мощностью на его входе при согласованном включении четырехполюсника. Из выражения (5.22) видно, что для симметричного четырехполюсникаαс показывает ослабление абсолютных значений напряжения и тока.

Отношение двух величин в масштабе натуральных логарифмов называют непером (Нп). Из выражения (5.24) следует, что ослабление будет равно одному неперу, если:

, откуда раз.

Следовательно, ослаблению в 1Нп соответствует уменьшение мощности в е2 = 7,39 раз.

На основании выражения (5.22) для симметричного четырехполюсника имеем:

или

т.е. ослаблению в 1Нп соответствует уменьшение напряжения или тока в е=2.718 раз.

На практике ослабление оценивают не в масштабе натуральных логарифмов (неперах), а в масштабе десятичных логарифмов – белах(Б) и децибелах(дБ).

При оценке ослабления в белах выражение (5.24) принимает вид:

(5.25)

Из этого выражения следует, что ослабление будет равно 1Б, если откуда S1/S2 = 10, т.е. ослаблению в 1Б соответствует уменьшение мощности в 10 раз.

Бел достаточно крупная единица, поэтому на практике используют в 10 раз меньшую единицу – децибел. Поскольку по определению 1Б = 10дБ, то при оценке ослабления в децибелах выражение (5.25) примет вид:

. (5.26)

Поскольку мощность пропорциональна квадрату напряжения или тока (S-U2, S-I2), то при оценке ослабления напряжений и токов в децибелах вместо формулы (5.26) используют выражение:

. (5.27)

Используя формулы пересчета натуральных логарифмов в десятичные можно установить, что 1Нп = 8.7дБ, а 1дБ = 0.115Нп.

Вычисление собственного (характеристического) ослабления несимметричного четырехполюсника поясним на примере.

Пример. Пусть несимметричный четырехполюсник включен в согласованном режиме. Мощность сигнала на его входе S1 = 1Вт, а на выходе S2 = 10мВт. Необходимо определить характеристическое ослабление четырехполюсника в децибелах по мощности.

Ослабление по мощности согласно формуле (5.26) составляет

Из выражения (5.23) видно, что второе слагаемое

(5.28)

определяет, как изменяются фазы напряжения и тока входного сигнала при передаче его через четырехполюсник, работающий в режиме согласованного включения и называетсясобственной (характеристической) фазой или фазовой постоянной четырехполюсника. Для симметричного четырехполюсника βс = φu1 – φu2 = φi1 – φi2 равна разности фаз входного и выходного напряжений или токов. Фазовая постоянная четырехполюсника измеряется в радианах(рад.) или градусах(град).


источники:

http://www.evkova.org/chetyirehpolyusniki

http://support17.com/rtcs-lecture-30/