Как можно решить тригонометрическое уравнение

Как можно решить тригонометрическое уравнение

Методы решения тригонометрических уравнений.

1. Алгебраический метод.

( метод замены переменной и подстановки ).

2. Разложение на множители.

П р и м е р 1. Решить уравнение: sin x + cos x = 1 .

Р е ш е н и е . Перенесём все члены уравнения влево:

sin x + cos x – 1 = 0 ,

преобразуем и разложим на множители выражение в

левой части уравнения:

П р и м е р 2. Решить уравнение: cos 2 x + sin x · cos x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,

sin x · cos x – sin 2 x = 0 ,

sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,

П р и м е р 3. Решить уравнение: cos 2 x – cos 8 x + cos 6 x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2 x + cos 6 x = 1 + cos 8 x ,

2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,

cos 4x · ( cos 2x – cos 4x ) = 0 ,

cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,

1). cos 4x = 0 , 2). sin 3x = 0 , 3). sin x = 0 ,

3. Приведение к однородному уравнению.

а) перенести все его члены в левую часть;

б) вынести все общие множители за скобки;

в) приравнять все множители и скобки нулю;

г ) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на

cos ( или sin ) в старшей степени;

д) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan .

П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.

Р е ш е н и е . 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,

sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,

tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 , отсюда y 2 + 4y +3 = 0 ,

корни этого уравнения: y ₁ = — 1, y ₂ = — 3, отсюда

1) tan x = –1, 2) tan x = –3,

4. Переход к половинному углу.

П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin x – 5 cos x = 7.

Р е ш е н и е . 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) =

= 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) ,

2 sin ² ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,

tan ² ( x / 2 ) – 3 tan ( x / 2 ) + 6 = 0 ,

5. Введение вспомогательного угла.

где a , b , c – коэффициенты; x – неизвестное.

Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса , а именно : модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1 . Тогда можно обозначить их соответственно как cos и sin ( здесь — так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение прини мает вид:

6. Преобразование произведения в сумму.

П р и м е р . Решить уравнение: 2 sin x · sin 3 x = cos 4 x .

Р е ш е н и е . Преобразуем левую часть в сумму:

Тригонометрические уравнения. Как решать тригонометрические уравнения?

Тригонометрические уравнения – уравнения, содержащие переменную под знаком тригонометрических функций.

Если проще: это уравнения, в которых неизвестные (иксы) или выражения с ними находятся внутри синусов , косинусов , тангенсов и котангенсов .

Как решать тригонометрические уравнения:

Любое тригонометрическое уравнение нужно стремиться свести к одному из видов:

где \(t\) – выражение с иксом, \(a\) – число. Такие тригонометрические уравнения называются простейшими. Их легко решать с помощью числовой окружности ( тригонометрического круга ) или специальных формул:

\(\sin ⁡x=a\) \(⇔\) \( \left[ \beginx=\arcsin a+2πn, n∈Z\\ x=π-\arcsin a+2πl, l∈Z\end\right.\)
если \(a∈[-1;1]\)

Инфографику о решении простейших тригонометрических уравнений смотри здесь: \(sinx=a\) , \(cosx=a\) , \(tgx=a\) и \(ctgx=a\) .

Пример. Решите тригонометрическое уравнение \(\sin⁡x=-\)\(\frac<1><2>\).
Решение:

Решим уравнение с помощью числовой окружности. Для этого:
1) Построим оси.
2) Построим окружность.
3) На оси синусов (оси \(y\)) отметим точку \(-\) \(\frac<1><2>\) .
4) Проведем перпендикуляр к оси синусов через эту точку.
5) Отметим точки пересечения перпендикуляра и окружности.
6)Подпишем значения этих точек: \(-\) \(\frac<π><6>\) ,\(-\) \(\frac<5π><6>\) .
7) Запишем все значения соответствующие этим точкам с помощью формулы \(x=t+2πk\), \(k∈Z\):
\(x=-\) \(\frac<π><6>\) \(+2πk\), \(k∈Z\); \(x=-\) \(\frac<5π><6>\) \(+2πn\), \(n∈Z\)

Что означает каждый символ в формуле корней тригонометрических уравнений смотри в видео .

Внимание! Уравнения \(\sin⁡x=a\) и \(\cos⁡x=a\) не имеют решений, если \(a ϵ (-∞;-1)∪(1;∞)\). Потому что синус и косинус при любых икс больше или равны \(-1\) и меньше или равны \(1\):

Пример. Решить уравнение \(\cos⁡x=-1,1\).
Решение: \(-1,1 \(\frac<π><4>\) , \(\frac<5π><4>\)
7) Запишем все значения этих точек. Так как они находятся друг от друга на расстоянии ровно в \(π\), то все значения можно записать одной формулой:

Ответ: \(x=\) \(\frac<π><4>\) \(+πk\), \(k∈Z\).

Пример. Решите тригонометрическое уравнение \(\cos⁡(3x+\frac<π><4>)=0\).
Решение:

Опять воспользуемся числовой окружностью.
1) Построим окружность, оси \(x\) и \(y\).
2) На оси косинусов (ось \(x\)) отметим \(0\).
3) Проведем перпендикуляр к оси косинусов через эту точку.
4) Отметим точки пересечения перпендикуляра и окружности.
5) Подпишем значения этих точек: \(-\) \(\frac<π><2>\),\(\frac<π><2>\) .
6)Выпишем все значение этих точек и приравняем их к аргументу косинуса (к тому что внутри косинуса).

7) Дальше решать в таком виде несколько трудновато, разобьем уравнение на два.

8) Как обычно в уравнениях будем выражать \(x\).
Не забывайте относиться к числам с \(π\), так же к \(1\), \(2\), \(\frac<1><4>\) и т.п. Это такие же числа, как и все остальные. Никакой числовой дискриминации!

Ответ: \(x=\) \(\frac<π><12>\) \(+\) \(\frac<2πk><3>\) \(x=-\) \(\frac<π><4>\) \(+\) \(\frac<2πk><3>\) , \(k∈Z\).

Сводить тригонометрические уравнения к простейшим – задача творческая, тут нужно использовать и тригонометрические формулы , и особые методы решений уравнений:
— Метод введения новой переменной (самый популярный в ЕГЭ).
— Метод разложения на множители .
— Метод вспомогательных аргументов.

Рассмотрим пример решения квадратно-тригонометрического уравнения

Пример. Решите тригонометрическое уравнение \(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)
Решение:

Сделаем замену \(t=\cos⁡x\).

Наше уравнение превратилось в типичное квадратное . Можно его решить с помощью дискриминанта .

\(D=25-4 \cdot 2 \cdot 2=25-16=9\)

Делаем обратную замену.

Первое уравнение решаем с помощью числовой окружности.
Второе уравнение не имеет решений т.к. \(\cos⁡x∈[-1;1]\) и двум быть равен не может ни при каких иксах.

Запишем все числа, лежащие на числовой окружности в этих точках.

Ответ: \(x=±\) \(\frac<π><3>\) \(+2πk\), \(k∈Z\).

Пример решения тригонометрического уравнения с исследованием ОДЗ:

Пример(ЕГЭ). Решите тригонометрическое уравнение \(\frac<2\cos^2⁡x-\sin<⁡2x>>\) \(=0\)

Есть дробь и есть котангенс – значит надо записать ОДЗ . Напомню, что котангенс это фактически дробь:

Потому ОДЗ для ctg\(x\): \(\sin⁡x≠0\).

Отметим «нерешения» на числовой окружности.

Тригонометрические уравнения — формулы, решения, примеры

Равенство, содержащее неизвестную под знаком тригонометрической функции (`sin x, cos x, tg x` или `ctg x`), называется тригонометрическим уравнением, именно их формулы мы и рассмотрим дальше.

Простейшие тригонометрические уравнения

Простейшими называются уравнения `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, где `x` — угол, который нужно найти, `a` — любое число. Запишем для каждого из них формулы корней.

1. Уравнение `sin x=a`.

При `|a|>1` не имеет решений.

При `|a| \leq 1` имеет бесконечное число решений.

Формула корней: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Уравнение `cos x=a`

При `|a|>1` — как и в случае с синусом, решений среди действительных чисел не имеет.

При `|a| \leq 1` имеет бесконечное множество решений.

Формула корней: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Частные случаи для синуса и косинуса в графиках.

3. Уравнение `tg x=a`

Имеет бесконечное множество решений при любых значениях `a`.

Формула корней: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Уравнение `ctg x=a`

Также имеет бесконечное множество решений при любых значениях `a`.

Формула корней: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Формулы корней тригонометрических уравнений в таблице

Для синуса:Для косинуса:Для тангенса и котангенса:Формулы решения уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции:

Методы решения тригонометрических уравнений

Решение любого тригонометрического уравнения состоит из двух этапов:

• с помощью тригонометрических формул преобразовать его до простейшего;
• решить полученное простейшее уравнение, используя выше написанные формулы корней и таблицы.

Рассмотрим на примерах основные методы решения.

Алгебраический метод.

В этом методе делается замена переменной и ее подстановка в равенство.

Пример. Решить уравнение: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 — x)+1=0`

Решение. Используя формулы приведения, имеем:

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

делаем замену: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, тогда `2y^2-3y+1=0`,

находим корни: `y_1=1, y_2=1/2`, откуда следуют два случая:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Ответ: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Разложение на множители.

Пример. Решить уравнение: `sin x+cos x=1`.

Решение. Перенесем влево все члены равенства: `sin x+cos x-1=0`. Используя формулы двойного угла, преобразуем и разложим на множители левую часть:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Ответ: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Приведение к однородному уравнению

Вначале нужно данное тригонометрическое уравнение привести к одному из двух видов:

`a sin x+b cos x=0` (однородное уравнение первой степени) или `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (однородное уравнение второй степени).

Потом разделить обе части на `cos x \ne 0` — для первого случая, и на `cos^2 x \ne 0` — для второго. Получим уравнения относительно `tg x`: `a tg x+b=0` и `a tg^2 x + b tg x +c =0`, которые нужно решить известными способами.

Пример. Решить уравнение: `2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=1`.

Решение. Запишем правую часть, как `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени, разделим его левую и правую части на `cos^2 x \ne 0`, получим:

`tg^2 x+tg x — 2=0`. Введем замену `tg x=t`, в результате `t^2 + t — 2=0`. Корни этого уравнения: `t_1=-2` и `t_2=1`. Тогда:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.

Ответ. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Переход к половинному углу

Пример. Решить уравнение: `11 sin x — 2 cos x = 10`.

Решение. Применим формулы двойного угла, в результате: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x/2+10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

Применив описанный выше алгебраический метод, получим:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Ответ. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Введение вспомогательного угла

В тригонометрическом уравнении `a sin x + b cos x =c`, где a,b,c — коэффициенты, а x — переменная, разделим обе части на `sqrt `:

Коэффициенты в левой части имеют свойства синуса и косинуса, а именно сумма их квадратов равна 1 и их модули не больше 1. Обозначим их следующим образом: `\frac a>=cos \varphi`, ` \frac b> =sin \varphi`, `\frac c>=C`, тогда:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Подробнее рассмотрим на следующем примере:

Пример. Решить уравнение: `3 sin x+4 cos x=2`.

Решение. Разделим обе части равенства на `sqrt <3^2+4^2>`, получим:

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

Обозначим `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Так как `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, то в качестве вспомогательного угла возьмем `\varphi=arcsin 4/5`. Тогда наше равенство запишем в виде:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Применив формулу суммы углов для синуса, запишем наше равенство в следующем виде:

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Ответ. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Дробно-рациональные тригонометрические уравнения

Это равенства с дробями, в числителях и знаменателях которых есть тригонометрические функции.

Пример. Решить уравнение. `\frac <1+cos x>=1-cos x`.

Решение. Умножим и разделим правую часть равенства на `(1+cos x)`. В результате получим:

Учитывая, что знаменатель равным быть нулю не может, получим `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Приравняем к нулю числитель дроби: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Тогда `sin x=0` или `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Учитывая, что ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, решениями будут `x=2\pi n, n \in Z` и `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Ответ. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Тригонометрия, и тригонометрические уравнения в частности, применяются почти во всех сферах геометрии, физики, инженерии. Начинается изучение в 10 классе, обязательно присутствуют задания на ЕГЭ, поэтому постарайтесь запомнить все формулы тригонометрических уравнений — они вам точно пригодятся!

Впрочем, даже запоминать их не нужно, главное понять суть, и уметь вывести. Это не так и сложно, как кажется. Убедитесь сами, просмотрев видео.