Как найти корень уравнения дробного числа

Решение уравнений с дробями

О чем эта статья:

5 класс, 6 класс, 7 класс

Понятие дроби

Прежде чем отвечать на вопрос, как найти десятичную дробь, разберемся в основных определениях, видах дробей и разницей между ними.

Дробь — это рациональное число, представленное в виде a/b, где a — числитель дроби, b — знаменатель. Есть два формата записи:

  • обыкновенный вид — ½ или a/b,
  • десятичный вид — 0,5.

Дробь — это одна из форм деления, записываемая с помощью дробной черты. Над чертой принято писать делимое (число, которое делим) — числитель. А под чертой всегда находится делитель (на сколько делим), его называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление.

Дроби бывают двух видов:

  1. Числовые — состоят из чисел. Например, 2/7 или (1,8 − 0,3)/5.
  2. Алгебраические — состоят из переменных. Например, (x + y)/(x − y). Значение дроби зависит от данных значений букв.

Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 4/9 и 23/57.

Неправильная дробь — та, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 13/5. Такое число называют смешанным — читается так: «две целых три пятых», а записывается — 2 3/5.

Основные свойства дробей

Дробь не имеет значения, если делитель равен нулю.

Дробь равняется нулю в том случае, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

Дроби a/b и c/d называют равными, если a × d = b × c.

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Действия с дробями можно выполнять те же, что и с обычными числами: складывать, вычитать, умножать и делить. Также, дроби можно сравнивать между собой и возводить в степень.

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Наша задача — найти неизвестные числа так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство. Давайте на примере:

  • Возьмем выражение 4 + 5 = 9. Это верное равенство, потому что 4+5 действительно 9. Если бы вместо 9 стояло любое другое число — мы бы сказали, что числовое равенство неверное.
  • Уравнением можно назвать выражение 4 + x = 9, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое уравнивает выражения справа и слева, когда мы подставляем его на место неизвестной. В таком случае афоризм «зри в корень» — очень кстати при усердном решении уравнений.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Решить уравнение значит найти все его корни или убедиться, что корней нет.

Алгебраические уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные. Расскажем и про них.

Линейное уравнение выглядит таках + b = 0, где a и b — действительные числа.

Что поможет в решении:

  • если а не равно нулю, то у уравнения единственный корень: х = −b : а;
  • если а равно нулю, а b не равно нулю — у уравнения нет корней;
  • если а и b равны нулю, то корень уравнения — любое число.
Квадратное уравнение выглядит так:ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, a ≠ 0.

Понятие дробного уравнения

Дробное уравнение — это уравнение с дробями. Да, вот так просто. Но это еще не все. Чаще всего неизвестная стоит в знаменателе. Например, вот так:

Такие уравнения еще называют дробно-рациональными. В них всегда есть хотя бы одна дробь с переменной в знаменателе.

Если вы видите в знаменателях числа, то это уравнения либо линейные, либо квадратные. Решать все равно нужно, поэтому идем дальше. Примеры:

На алгебре в 8 классе можно встретить такое понятие, как область допустимых значений — это множество значений переменной, при которых это уравнение имеет смысл. Его используют, чтобы проверить корни и убедиться, что решение правильное.

Мы уже знаем все важные термины, их определения и наконец подошли к самому главному — сейчас узнаем как решить дробное уравнение.

Как решать уравнения с дробями

1. Метод пропорции

Чтобы решить уравнение методом пропорции, нужно привести дроби к общему знаменателю. А само правило звучит так: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних. Проверим, как это работает.

Итак, у нас есть линейное уравнение с дробями:

В левой части стоит одна дробь — оставим без преобразований. В правой части видим сумму, которую нужно упростить так, чтобы осталась одна дробь.

После того, как в левой и правой части осталась одна дробь, можно применить метод пропорции и перемножить крест-накрест числители и знаменатели.

2. Метод избавления от дробей

Возьмем то же самое уравнение, но попробуем решить его по-другому.

В уравнении есть две дроби, от которых мы очень хотим избавиться. Вот, как это сделать:

  • подобрать число, которое можно разделить на каждый из знаменателей без остатка;
  • умножить на это число каждый член уравнения.

Ищем самое маленькое число, которое делится на 5 и 9 и без остатка — 45 как раз подходит. Умножаем каждый член уравнения на 45 и избавляемся от знаменателей. Вуаля!

Вот так просто мы получили тот же ответ, что и в прошлый раз.

Что еще важно учитывать при решении

  • если значение переменной обращает знаменатель в 0, значит это неверное значение;
  • делить и умножать уравнение на 0 нельзя.

Универсальный алгоритм решения

Определить область допустимых значений.

Найти общий знаменатель.

Умножить каждый член уравнения на общий знаменатель и сократить полученные дроби. Знаменатели при этом пропадут.

Раскрыть скобки, если нужно и привести подобные слагаемые.

Решить полученное уравнение.

Сравнить полученные корни с областью допустимых значений.

Записать ответ, который прошел проверку.

Курсы по математике от Skysmart помогут закрепить материал и разобраться в сложных темах.

Примеры решения дробных уравнений

Чтобы стать успешным в любом деле, нужно чаще практиковаться. Мы уже знаем, как решаются дробные уравнения — давайте перейдем к решению задачек.

Пример 1. Решить дробное уравнение: 1/x + 2 = 5.

  1. Вспомним правило х ≠ 0. Это значит, что область допустимых значений: х — любое число, кроме нуля.
  2. Отсчитываем справа налево в числителе дробной части три знака и ставим запятую.
  3. Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.

Решим обычное уравнение.

Пример 2. Найти корень уравнения

  1. Область допустимых значений: х ≠ −2.
  2. Умножим обе части уравнения на выражение, которое сократит оба знаменателя: 2(х+2)
  3. Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.

Переведем новый множитель в числитель..

Сократим левую часть на (х+2), а правую на 2.

Пример 3. Решить дробное уравнение:

    Найти общий знаменатель:

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель. Сократим. Получилось:

Выполним возможные преобразования. Получилось квадратное уравнение:

Решим полученное квадратное уравнение:

Получили два возможных корня:

Если x = −3, то знаменатель равен нулю:

Если x = 3 — знаменатель тоже равен нулю.

  • Вывод: числа −3 и 3 не являются корнями уравнения, значит у данного уравнения нет решения.
  • Дробно-рациональные уравнения

    Что такое дробно-рациональные уравнения

    Дробно-рациональными уравнениями называют такие выражения, которые представляется возможным записать, как:

    при P ( x ) и Q ( x ) в виде выражений, содержащих переменную.

    Таким образом, дробно-рациональные уравнения обязательно содержат как минимум одну дробь с переменной в знаменателе с любым модулем.

    9 x 2 — 1 3 x = 0

    1 2 x + x x + 1 = 1 2

    6 x + 1 = x 2 — 5 x x + 1

    Уравнения, которые не являются дробно-рациональными:

    СЛОЖНА-А-А 🙀 Ты же знаешь, что если не разобраться в теме сейчас, то потом придется исправлять оценки. Беги на бесплатное онлайн-занятие с репетитором (подробности тут + 🎁).

    Как решаются дробно-рациональные уравнения

    В процессе решения дробно-рациональных уравнений обязательным действием является определение области допустимых значений. Найденные корни следует проверить на допустимость, чтобы исключить посторонние решения.

    Алгоритм действий при стандартном способе решения:

    1. Выписать и определить ОДЗ.
    2. Найти общий знаменатель для дробей.
    3. Умножить каждый из членов выражения на полученный общий параметр (знаменатель), сократить дроби, которые получились в результате, чтобы исключить знаменатели.
    4. Записать уравнение со скобками.
    5. Раскрыть скобки для приведения подобных слагаемых.
    6. Найти корни полученного уравнения.
    7. Выполним проверку корней в соответствии с ОДЗ.
    8. Записать ответ.

    Пример 1

    Разберем предложенный алгоритм на практическом примере. Предположим, что имеется дробно-рациональное уравнение, которое требуется решить:

    x x — 2 — 7 x + 2 = 8 x 2 — 4

    Начать следует с области допустимых значений:

    x 2 — 4 ≠ 0 ⇔ x ≠ ± 2

    Воспользуемся правилом сокращенного умножения:

    x 2 — 4 = ( x — 2 ) ( x + 2 )

    В результате общим знаменателем дробей является:

    Выполним умножение каждого из членов выражения на общий знаменатель:

    x x — 2 — 7 x + 2 = 8 x 2 — 4

    x ( x — 2 ) ( x + 2 ) x — 2 — 7 ( x — 2 ) ( x + 2 ) x + 2 = 8 ( x — 2 ) ( x + 2 ) ( x — 2 ) ( x + 2 )

    После сокращения избавимся от скобок и приведем подобные слагаемые:

    x ( x + 2 ) — 7 ( x — 2 ) = 8

    x 2 + 2 x — 7 x + 14 = 8

    Осталось решить квадратное уравнение:

    Согласно ОДЗ, первый корень является лишним, так как не удовлетворяет условию, по которому корень не равен 2. Тогда в ответе можно записать:

    Примеры задач с ответами для 9 класса

    Требуется решить дробно-рациональное уравнение:

    x x + 2 + x + 1 x + 5 — 7 — x x 2 + 7 x + 10 = 0

    x x + 2 + x + 1 x + 5 — 7 — x x 2 + 7 x + 10 = 0

    Определим область допустимых значений:

    О Д З : x + 2 ≠ 0 ⇔ x ≠ — 2

    x 2 + 7 x + 10 ≠ 0

    D = 49 — 4 · 10 = 9

    x 1 ≠ — 7 + 3 2 = — 2

    x 2 ≠ — 7 — 3 2 = — 5

    Квадратный трехчлен x 2 + 7 x + 10 следует разложить на множители, руководствуясь формулой:

    a x 2 + b x + c = a ( x — x 1 ) ( x — x 2 )

    x x + 2 + x + 1 x + 5 — 7 — x ( x + 2 ) ( x + 5 ) = 0

    Заметим, что общим знаменателем для дробей является: ( x + 2 ) ( x + 5 ) . Умножим на этот знаменатель уравнение:

    x x + 2 + x + 1 x + 5 — 7 — x ( x + 2 ) ( x + 5 ) = 0

    Сократим дроби, избавимся от скобок, приведем подобные слагаемые:

    x ( x + 2 ) ( x + 5 ) x + 2 + ( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 5 ) x + 5 —

    — ( 7 — x ) ( x + 2 ) ( x + 5 ) ( x + 2 ) ( x + 5 ) = 0

    x ( x + 5 ) + ( x + 1 ) ( x + 2 ) — 7 + x = 0

    x 2 + 5 x + x 2 + 3 x + 2 — 7 + x = 0

    2 x 2 + 9 x — 5 = 0

    Потребуется решить квадратное уравнение:

    2 x 2 + 9 x — 5 = 0

    Первый корень не удовлетворяет условиям ОДЗ, поэтому в ответ нужно записать только второй корень.

    Дано дробно-рациональное уравнение, корни которого требуется найти:

    4 x — 2 — 3 x + 4 = 1

    В первую очередь следует переместить все слагаемые влево и привести дроби к минимальному единому знаменателю:

    4 \ ( x + 4 ) x — 2 — 3 \ ( x — 2 ) x + 4 — 1 \ ( x — 2 ) ( x + 4 ) = 0

    4 ( x + 4 ) — 3 ( x — 2 ) — ( x — 2 ) ( x + 4 ) ( x — 2 ) ( x + 4 ) = 0

    4 x + 16 — 3 x + 6 — ( x 2 + 4 x — 2 x — 8 ) ( x — 2 ) ( x + 4 ) = 0

    x + 22 — x 2 — 4 x + 2 x + 8 ( x — 2 ) ( x + 4 ) = 0

    Заметим, что получилось нулевое значение для дроби. Известно, что дробь может равняться нулю, если в числителе нуль, а знаменатель не равен нулю. На основании этого можно составить систему:

    — x 2 — x + 30 ( x — 2 ) ( x + 4 ) = 0 ⇔ — x 2 — x + 30 = 0 ( x — 2 ) ( x + 4 ) ≠ 0

    Следует определить такие значения для переменной, при которых в дроби знаменатель будет обращаться в нуль. Такие значения необходимо удалить из ОДЗ:

    ( x — 2 ) ( x + 4 ) ≠ 0

    Далее можно определить значения для переменных, которые при подстановке в уравнение обращают числитель в нуль:

    — x 2 — x + 30 = 0 _ _ _ · ( — 1 )

    Получилось квадратное уравнение, которое можно решить:

    Сравнив корни с условиями области допустимых значений, можно сделать вывод, что оба корня являются решениями данного уравнения.

    Нужно решить дробно-рациональное уравнение:

    x + 2 x 2 — 2 x — x x — 2 = 3 x

    На первом шаге следует перенести все слагаемые в одну сторону и привести дроби к минимальному единому знаменателю:

    x + 2 \ 1 x ( x — 2 ) — x \ x x — 2 — 3 \ ( x — 2 ) x = 0

    x + 2 — x 2 — 3 ( x — 2 ) x ( x — 2 ) = 0

    x + 2 — x 2 — 3 x + 6 x ( x — 2 ) = 0

    — x 2 — 2 x + 8 x ( x — 2 ) = 0 ⇔ — x 2 — 2 x + 8 = 0 x ( x — 2 ) ≠ 0

    Перечисленные значения переменной обращают знаменатель в нуль. По этой причине их необходимо удалить из области допустимых значений.

    — x 2 — 2 x + 8 = 0 _ _ _ · ( — 1 )

    Корни квадратного уравнения:

    x 1 = — 4 ; x 2 = 2

    Заметим, что второй корень не соответствует ОДЗ. Таким образом, в ответе остается только первый корень.

    Найти корни уравнения:

    x 2 — x — 6 x — 3 = x + 2

    Согласно стандартному алгоритму решения дробно-рациональных уравнений, выполним перенос всех слагаемых в одну сторону. Далее необходимо привести к дроби к наименьшему общему знаменателю:

    x 2 — x — 6 \ 1 x — 3 — x \ ( x — 3 ) — 2 \ ( x — 3 ) = 0

    x 2 — x — 6 — x ( x — 3 ) — 2 ( x — 3 ) x — 3 = 0

    x 2 — x — 6 — x 2 + 3 x — 2 x + 6 x — 3 = 0

    0 x x — 3 = 0 ⇔ 0 x = 0 x — 3 ≠ 0

    Такое значение переменной, при котором знаменатель становится равным нулю, нужно исключить из области допустимых значений:

    Заметим, что это частный случай линейного уравнения, которое обладает бесконечным множеством корней. При подстановке какого-либо числа на место переменной х в любом случае числовое равенство будет справедливым. Единственным недопустимым значением для х в данном задании является число 3, которое не входит в ОДЗ.

    Ответ: х — любое число, за исключением 3.

    Требуется вычислить корни дробно-рационального уравнения:

    5 x — 2 — 3 x + 2 = 20 x 2 — 4

    На первом этапе необходимо выполнить перенос всех слагаемых влево, привести дроби к минимальному единому знаменателю:

    5 \ ( x + 2 ) x — 2 — 3 \ ( x — 2 ) x + 2 — 20 \ 1 ( x — 2 ) ( x + 2 ) = 0

    5 ( x + 2 ) — 3 ( x — 2 ) — 20 ( x — 2 ) ( x + 2 ) = 0

    5 x + 10 — 3 x + 6 — 20 ( x — 2 ) ( x + 2 ) = 0

    2 x — 4 ( x — 2 ) ( x + 2 ) = 0 ⇔ 2 x — 4 = 0 ( x — 2 ) ( x + 2 ) ≠ 0

    ( x — 2 ) ( x + 2 ) ≠ 0

    Данные значения переменной х являются недопустимыми, так как в этом случае теряется смысл дроби в связи с тем, что знаменатель принимает нулевое значение.

    Заметим, что 2 не входит в область допустимых значений. В связи с этим, можно заключить, что у уравнения отсутствуют корни.

    Ответ: корни отсутствуют

    Нужно найти корни уравнения:

    x — 3 x — 5 + 1 x = x + 5 x ( x — 5 )

    Начнем с определения ОДЗ:

    — 5 ≠ 0 x ≠ 0 x ( x — 5 ) ≠ 0 x ≠ 5 x ≠ 0

    При умножении обеих частей уравнения на единый знаменатель всех дробей и сокращении аналогичных выражений, которые записаны в числителе и знаменателе, получим:

    x — 3 x — 5 + 1 x = x + 5 x ( x — 5 ) · x ( x — 5 )

    ( x — 3 ) x ( x — 5 ) x — 5 + x ( x — 5 ) x = ( x + 5 ) x ( x — 5 ) x ( x — 5 )

    ( x — 3 ) x + x = x + 5

    Прибегая к арифметическим преобразованиям, можно записать уравнение в упрощенной форме:

    x 2 — 3 x + x — 5 = x + 5 → x 2 — 2 x — 5 — x — 5 = 0 → x 2 — 3 x — 10 = 0

    Для дальнейших действий следует определить, к какому виду относится полученное уравнение. В нашем случае уравнение является квадратным с коэффициентом при x 2 , который равен 1. Таким образом, целесообразно воспользоваться теоремой Виета:

    x 1 · x 2 = — 10 x 1 + x 2 = 3

    В этом случае подходящими являются числа: -2 и 5.

    Второе значение не соответствует области допустимых значений.

    Молодец! Раз ты дочитал это до конца, вероятно, ты все отлично усвоил. Но если вдруг что-то еще непонятно — попробуй онлайн-занятие с репетитором (подробности тут + 🎁).

    Урок по теме «Решение дробных рациональных уравнений». 8-й класс

    Разделы: Математика

    Класс: 8

    Цели урока:

    • формирование понятия дробных рационального уравнения;
    • рассмотреть различные способы решения дробных рациональных уравнений;
    • рассмотреть алгоритм решения дробных рациональных уравнений, включающий условие равенства дроби нулю;
    • обучить решению дробных рациональных уравнений по алгоритму;
    • проверка уровня усвоения темы путем проведения тестовой работы.
    • развитие умения правильно оперировать полученными знаниями, логически мыслить;
    • развитие интеллектуальных умений и мыслительных операций — анализ, синтез, сравнение и обобщение;
    • развитие инициативы, умения принимать решения, не останавливаться на достигнутом;
    • развитие критического мышления;
    • развитие навыков исследовательской работы.
    • воспитание познавательного интереса к предмету;
    • воспитание самостоятельности при решении учебных задач;
    • воспитание воли и упорства для достижения конечных результатов.

    Тип урока: урок – объяснение нового материала.

    Ход урока

    1. Организационный момент.

    Здравствуйте, ребята! На доске написаны уравнения посмотрите на них внимательно. Все ли из этих уравнений вы сможете решить? Какие нет и почему?

    Уравнения, в которых левая и правя часть, являются дробно-рациональными выражениями, называются дробные рациональные уравнения. Как вы думаете, что мы будем изучать сегодня на уроке? Сформулируйте тему урока. Итак, открываем тетради и записываем тему урока «Решение дробных рациональных уравнений».

    2. Актуализация знаний. Фронтальный опрос, устная работа с классом.

    А сейчас мы повторим основной теоретический материл, который понадобиться нам для изучения новой темы. Ответьте, пожалуйста, на следующие вопросы:

    1. Что такое уравнение? (Равенство с переменной или переменными.)
    2. Как называется уравнение №1? (Линейное.) Способ решения линейных уравнений. (Все с неизвестным перенести в левую часть уравнения, все числа — в правую. Привести подобные слагаемые. Найти неизвестный множитель).
    3. Как называется уравнение №3? (Квадратное.) Способы решения квадратных уравнений. (Выделение полного квадрата, по формулам, используя теорему Виета и ее следствия.)
    4. Что такое пропорция? (Равенство двух отношений.) Основное свойство пропорции. (Если пропорция верна, то произведение ее крайних членов равно произведению средних членов.)
    5. Какие свойства используются при решении уравнений? (1. Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному. 2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.)
    6. Когда дробь равна нулю? (Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.)

    3. Объяснение нового материала.

    Решить в тетрадях и на доске уравнение №2.

    Какое дробно-рациональное уравнение можно попробовать решить, используя основное свойство пропорции? (№5).

    х 2 -4х-2х+8 = х 2 +3х+2х+6

    х 2 -6х-х 2 -5х = 6-8

    Решить в тетрадях и на доске уравнение №4.

    Какое дробно-рациональное уравнение можно попробовать решить, умножая обе части уравнения на знаменатель? (№6).

    Теперь попытайтесь решить уравнение №7 одним из способов.


    источники:

    http://wika.tutoronline.ru/algebra/class/9/drobnoraczionalnye-uravneniya

    http://urok.1sept.ru/articles/559882