Уравнение средней линии
Как составить уравнение средней линии треугольника по координатам его вершин? Как записать уравнение средней линии трапеции?
Для решения этих задач используем свойства средней линии треугольника и средней линии трапеции.
Найти координаты середин двух сторон и составить уравнение прямой, проходящей через две найденные точки.
1) Написать уравнение прямой, содержащей среднюю линию треугольника с вершинами в точках A(-2;-4), B(1;6), C(7;0), пересекающей стороны AB и BC в точках M и N.
М — середина отрезка AB, N — середина BC.
Составим уравнение прямой MN, например, в виде y=kx+b:
Найти координату одной из точек средней линии и составить уравнение прямой, параллельной стороне треугольника.
— середина отрезка AB. Составим уравнение прямой AC:
Составим уравнение прямой MN как уравнение прямой, проходящей через точку M и параллельной прямой AC.
Угловой коэффициент прямой MN равен угловому коэффициенту прямой AC:
то есть уравнение прямой MN ищем в виде
Поскольку точка M принадлежит прямой, её координаты удовлетворяют этому уравнению. Отсюда находим значение b:
Таким образом, уравнение прямой MN
Аналогичные рассуждения применимы и при составлении уравнения средней линии трапеции.
Написать уравнение прямой, содержащей среднюю линию трапеции с вершинами в точках A(-2;1), B(1;5), C(4;-1), D(0;-3).
Сначала следует определить основания данной трапеции.
Составим уравнения сторон AD и BC. Если эти прямые параллельны, то AD и BC — основания трапеции. Если эти прямые не параллельны, то основания трапеции — AB и CD.
Значит, уравнение прямой AD: y= -2k-3.
B(1;5), C(4;-1),
Уравнение прямой BC: y= -2k+7.
Поскольку угловые коэффициенты прямых равны:
то AD ∥BC, то есть AD и BC являются основаниями трапеции ABCD. Значит AB и CD — боковые стороны. Найдём координаты точек M и N — середины AB и CD соответственно.
Составим уравнение прямой MN, M(-1/2;3), N(2;-2):
Уравнение AD — y= -2k-3, середина AB — M(-1/2;3). Составляем уравнение прямой MN, параллельной прямой AD.
Значит уравнение MN ищем в виде y= -2x+b.
Так как прямая проходит через точку M, её координаты удовлетворяют уравнению прямой:
Следовательно, уравнение средней линии трапеции ABCD имеет вид y=-2x+2 или 2x+y-2=0.
Все формулы средней линии трапеции
Трапеция это фигура, которая имеет четыре стороны, две из которых параллельны, а две другие, нет. Параллельные стороны называются - верхнее основание и нижнее основание. Две другие, называются боковыми сторонами.
Средняя линия трапеции - отрезок соединяющий середины боковых сторон и расположен параллельно к основаниям. Длина средней линии, равна полу сумме оснований.
1. Формула средней линии трапеции через основания
b - верхнее основание
a - нижнее основание
m - средняя линия
Формула средней линии, ( m ):
2. Формулы средней линии через основание, высоту и углы при нижнем основании
b - верхнее основание
a - нижнее основание
h - высота трапеции
m - средняя линия
Формулы средней линии трапеции, ( m ):
3. Формула средней линии трапеции через диагонали, высоту и угол между диагоналями
α , β - углы между диагоналями
d 1 , d 2 - диагонали трапеции
h - высота трапеции
m - средняя линия
Формулы средней линии трапеции , ( m ):
4. Формула средней линии трапеции через площадь и высоту
S - площадь трапеции
h - высота трапеции
m - средняя линия
Трапеция. Формулы, признаки и свойства трапеции
Параллельные стороны называются основами трапеции, а две другие боковыми сторонами
Так же, трапецией называется четырехугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна, и стороны не равны между собой.
- Основы трапеции - параллельные стороны
- Боковые стороны - две другие стороны
- Средняя линия - отрезок, соединяющий середины боковых сторон.
- Равнобедренная трапеция - трапеция, у которой боковые стороны равны
- Прямоугольная трапеция - трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основам
 |
 |
| Рис.1 | Рис.2 |
Основные свойства трапеции
AK = KB, AM = MC, BN = ND, CL = LD
3. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме:
| m = | a + b |
| 2 |
BC : AD = OC : AO = OB : DO
d 1 2 + d 2 2 = 2 a b + c 2 + d 2
Сторона трапеции
Формулы определения длин сторон трапеции:
a = b + h · ( ctg α + ctg β )
b = a - h · ( ctg α + ctg β )
a = b + c· cos α + d· cos β
b = a - c· cos α - d· cos β
4. Формулы боковых сторон через высоту и углы при нижнем основании:
| с = | h | d = | h |
| sin α | sin β |
Средняя линия трапеции
Формулы определения длины средней линии трапеции:
1. Формула определения длины средней линии через длины оснований:
| m = | a + b |
| 2 |
2. Формула определения длины средней линии через площадь и высоту:
| m = | S |
| h |
Высота трапеции
Формулы определения длины высоты трапеции:
h = c· sin α = d· sin β
2. Формула высоты через диагонали и углы между ними:
| h = | sin γ · | d 1 d 2 | = | sin δ · | d 1 d 2 |
| a + b | a + b |
3. Формула высоты через диагонали, углы между ними и среднюю линию:
| h = | sin γ · | d 1 d 2 | = | sin δ · | d 1 d 2 |
| 2 m | 2 m |
4. Формула высоты трапеции через площадь и длины оснований:
| h = | 2S |
| a + b |
5. Формула высоты трапеции через площадь и длину средней линии:
| h = | S |
| m |
Диагонали трапеции
Формулы определения длины диагоналей трапеции:
d 1 = √ a 2 + d 2 - 2 ad· cos β
d 2 = √ a 2 + c 2 - 2 ac· cos β
2. Формулы диагоналей через четыре стороны:
| d 1 = | √ | d 2 + ab - | a ( d 2 - c 2 ) |
| a - b |
| d 2 = | √ | c 2 + ab - | a ( c 2 - d 2 ) | a - b |
d 1 = √ h 2 + ( a - h · ctg β ) 2 = √ h 2 + ( b + h · ctg α ) 2
d 2 = √ h 2 + ( a - h · ctg α ) 2 = √ h 2 + ( b + h · ctg β ) 2
d 1 = √ c 2 + d 2 + 2 ab - d 2 2
d 2 = √ c 2 + d 2 + 2 ab - d 1 2
Площадь трапеции
Формулы определения площади трапеции:
1. Формула площади через основания и высоту:
| S = | ( a + b ) | · h |
| 2 |
3. Формула площади через диагонали и угол между ними:
| S = | d 1 d 2 | · sin γ | = | d 1 d 2 | · sin δ |
| 2 | 2 |
4. Формула площади через четыре стороны:
| S = | a + b | √ | c 2 - | ( | ( a - b ) 2 + c 2 - d 2 | ) | 2 |
| 2 | 2( a - b ) |
5. Формула Герона для трапеции
| S = | a + b | √ ( p - a )( p - b )( p - a - c )( p - a - d ) |
| | a - b | |
где
| p = | a + b + c + d | - полупериметр трапеции. |
| 2 |
Периметр трапеции
Формула определения периметра трапеции:
1. Формула периметра через основания:
Окружность описанная вокруг трапеции
Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности:
1. Формула радиуса через стороны и диагональ:
| R = | a·c·d 1 |
| 4√ p ( p - a )( p - c )( p - d 1) |
где
| p = | a + c + d 1 |
| 2 |
a - большее основание
Окружность вписанная в трапецию
Формула определения радиуса вписанной в трапецию окружности
1. Формула радиуса вписанной окружности через высоту:
| r = | h |
| 2 |
Другие отрезки разносторонней трапеции
Формулы определения длин отрезков проходящих через трапецию:
1. Формула определения длин отрезков проходящих через трапецию:
| KM = NL = | b | KN = ML = | a | TO = OQ = | a · b |
| 2 | 2 | a + b |
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.
[spoiler title="источники:"]
http://www-formula.ru/average-line-trapeze
http://ru.onlinemschool.com/math/formula/trapezium/
[/spoiler]
